精品解析：湖南省郴州市桂阳县鹿峰中学2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题

2025年下期七年级数学第三次素质检测试卷 考试范围：第一单元至第四单元第二节 考试时间：120分钟，满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 对于式子，下列说法不正确的是（ ） A. 指数是3 B. 底数是 C. 幂为8 D. 表示3个相乘的积 2. 解方程，要将系数化为1，下列做法正确的是（ ） A. 方程两边同时加上 B. 方程两边同时减去 C. 方程两边同时除以 D. 方程两边同时乘以 3. 如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面，与“静”相对的面上的汉字是（ ） A. 沉 B. 着 C. 应 D. 考 4. 已知，则等于（ ） A. 2 B. C. 0 D. 5. 先观察下列算式：……通过观察归纳，则第个算式是（ ） A. B. C. D. 6. 下列四组数值中，是方程组的解的是（ ） A. B. C. D. 7. 一个长方形的长比宽多米，周长是米，若设长方形的宽为米，依题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 定义一种新运算，当时，．若，则的值为（ ） A. B. 4 C. 4或 D. 4或 9. 现在我们已经知道，数轴上两点之间的距离可以由两点所表示的数来刻画，如数轴上A、B两点分别表示和5，则A、B两点之间的距离为．在求的最小值时，先把式子化为，然后借助于数轴，分析即可得到最小值为5．按照这样的方法，式子的最大值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 下列说法中，正确的个数（ ） ①若，则； ②三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ③若代数式的值与无关，则该代数式的值为； ④如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c． 若，则最小值为． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若，则_____． 12. 单项式的次数是_____，系数是_____． 13. 江阴高铁站运营一周年，一年到发旅客约人次，用科学记数法表示为________ . 14. 某种商品进价为200元，标价400元，由于该商品积压，商店准备打折销售，结果仍获利40%，则该商品是打________折销售 15. 如图是一个简单的数值运算程序框图，若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ________． 16. 《九章算术》是中国古代的数学专著，奠定了中国传统数学的基本框架．方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：“假设有若干人共同出钱买羊，如果每人出5钱，那么还差45钱；如果每人出7钱，那么仍旧差3钱，求买羊的人数和羊的价钱．”设羊是x钱，可列方程为______． 17. 已知方程，，用含的式子表示，则___________． 18. 李华同学通过七年级上学期的学习，得出如下结论：①对于任意有理数，代数式有最大值1；②10条直线两两相交，最多有90个交点；③若，则有是正数；④规定，如果，，，那么．上述结论中正确的有_______． 三、解答题（共8个小题，19-20题，每小题6分，21-22题，每小题8分，23-24题，每小题9分，25-26题，每小题10分，共66分） 19. 计算： 20. 解下列方程或方程组： （1） （2） 21. （1）已知若、满足，求的值； （2）若与互为相反数，且，与互为倒数，是最大的负整数．求代数式的值． 22. 如图，点C在线段上，E是的中点，D是的中点，若，求的长． 23. 东江湖某果农现有一批水蜜桃要运往长沙红星水果市场，果农准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第1次 3 2 14 第2次 4 5 24.5 （1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨水蜜桃？ （2）若果农共有吨水蜜桃，计划租用该公司的两种货车（两种车都租用，且每辆车都满载）正好把这批水果运完，则汽车公司有哪几种方案？ 24. 已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足． （1）比较大小：_______0，_______0，_______0（请填“＞”，“＜”或“＝”）； （2）化简：； （3）计算：． 25. 定义一种新运算：对任意有理数a，b都有，例如：． （1）求的值； （2）化简并求值：，其中a，b互为相反数，x是最大的负整数． （3）已知与的差中不含项，求a的值． 26. 如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、24，其中、满足，． （1）填空：______，______，______； （2）如图1，若点、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为 问：当为何值时，、之间的距离为2？ （3）如图2，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，则点表示的数为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期七年级数学第三次素质检测试卷 考试范围：第一单元至第四单元第二节 考试时间：120分钟，满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 对于式子，下列说法不正确的是（ ） A. 指数是3 B. 底数是 C. 幂为8 D. 表示3个相乘的积 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂运算的概念．根据幂运算的概念即可逐项判断． 【详解】解：A：中，指数是3，故A说法正确，不符合题意； B：中，底数是，故B说法正确，不符合题意； C：，故幂为，故C说法错误，符合题意； D：，故表示3个相乘的积，故D说法正确，不符合题意； 故选：C． 2. 解方程，要将系数化为1，下列做法正确的是（ ） A. 方程两边同时加上 B. 方程两边同时减去 C. 方程两边同时除以 D. 方程两边同时乘以 【答案】C 【解析】 【分析】根据等式的性质2，方程两边都除以即可． 【详解】解：， 方程两边都除以得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 3. 如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面，与“静”相对的面上的汉字是（ ） A. 沉 B. 着 C. 应 D. 考 【答案】B 【解析】 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：本题考查了正方体的平面展开图，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与“静”字相对的字是“着”． 故选：B． 【点睛】注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 4. 已知，则等于（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据题意的，进而根据绝对值的意义，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故选：D． 5. 先观察下列算式：……通过观察归纳，则第个算式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 先根据题中的等式找出规律，再代入求解． 【详解】 ， ∴第个算式是：， 故选：B． 6. 下列四组数值中，是方程组的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是三元一次方程组的解法，属于基础题型．消元法的使用是解决这个问题的关键．首先利用和得出关于和的二元一次方程组，从而求出和的值，然后将和代入任何一个式子得出的值，从而得出方程组的解． 【详解】解：， 可得：④， 可得：⑤， 可得：， 解得：，将代入④可得：， 将，代入①可得：， ∴方程组的解为：， 故选：． 7. 一个长方形的长比宽多米，周长是米，若设长方形的宽为米，依题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出长方形的宽,表示出长方形的长,根据长方形的周长列出方程即可解题. 【详解】解：设长方形的宽为米，则长方形的宽为（x+9）米,依题意得： , 故选D. 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用,属于简单题,找到等量关系是解题关键. 8. 定义一种新运算，当时，．若，则的值为（ ） A. B. 4 C. 4或 D. 4或 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况，分别根据定义的新运算列出分式方程，解分式方程求出x的值，经检验后可得答案． 【详解】解：当时，则， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意； 当时，则， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意； 综上，的值为4或， 故选：D． 【点睛】本题考查了新定义，解分式方程，注意要分情况讨论． 9. 现在我们已经知道，数轴上两点之间的距离可以由两点所表示的数来刻画，如数轴上A、B两点分别表示和5，则A、B两点之间的距离为．在求的最小值时，先把式子化为，然后借助于数轴，分析即可得到最小值为5．按照这样的方法，式子的最大值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义以及学生的分析、推理能力，体现了数形结合的思想方法． 画出数轴并根据绝对值的几何意义分析即可求解． 【详解】解：表示的是数轴上表示数的点分别到表示数2、的点的距离之差，画出数轴如图所示， 可知当时，这个距离之差取得最大值， 即取得最大值，最大值为． 故选∶ C 10. 下列说法中，正确的个数（ ） ①若，则； ②三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ③若代数式的值与无关，则该代数式的值为； ④如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c． 若，则最小值为． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用绝对值的性质进行化简，分数有意义的条件，数轴上点之间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键．若，则， 故①错误；三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，应该有三种情况，故②错误；若代数式的值与无关，则，故③错误；由乘积是常数推出取值范围，进而求出最小值为，故④正确． 【详解】解：若，则， 故①错误； 三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等， 则或或， 或或，故②错误； 若代数式的值与无关， 则，故③错误； ∵， ∴， ∴，，， ∴当时：有最小值为，故④正确． 故选： A． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式的整体代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．通过已知条件变形后整体代入即可． 【详解】解：由已知 ， 则 ， ∴． 故答案为：． 12. 单项式的次数是_____，系数是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】要确定单项式的次数和系数，分别根据单项式次数（所有字母指数和）、系数（数字因数）的定义来计算．本题主要考查单项式的次数与系数的定义，熟练掌握“单项式中所有字母的指数和为次数，数字因数为系数”是解题的关键． 【详解】解： 单项式的次数是，系数是， 故答案依次为：； ． 13. 江阴高铁站运营一周年，一年到发旅客约人次，用科学记数法表示为________ . 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．据此进行分析，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 某种商品进价为200元，标价400元，由于该商品积压，商店准备打折销售，结果仍获利40%，则该商品是打________折销售 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意，可以设打x折时，利润率为40%，根据利润＝进价×40%这个等量关系列方程解答． 【详解】解：设打x折，根据题意得 200×（1+40%）＝400×0.1x， 解得x＝7． 故最多可以打7折． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题时要明确利润是指进价的40%． 15. 如图是一个简单的数值运算程序框图，若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值及有理数的运算，将代入代数式中计算，直至计算结果小于为止． 【详解】解：开始输入的值为， ，返回继续运算； ，返回继续运算； ，输出结果； 故答案为：． 16. 《九章算术》是中国古代的数学专著，奠定了中国传统数学的基本框架．方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：“假设有若干人共同出钱买羊，如果每人出5钱，那么还差45钱；如果每人出7钱，那么仍旧差3钱，求买羊的人数和羊的价钱．”设羊是x钱，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知：买羊的人数和羊的总钱数没有变化，两次购买每人出的钱不一样；根据买羊的人数前后没有变化可列出等式关系． 【详解】解：羊价为x，则第一次买羊人数：，第二次买羊人数：， 根据人数相等列方程：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查一元一次方程的运用，根据等量关系列出方程是解题关键． 17. 已知方程，，用含的式子表示，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式的性质计算判断即可． 本题考查了等式的性质，熟练掌握性质，正确变形是解题的关键． 【详解】解：由方程可得到 或． 故答案为：． 18. 李华同学通过七年级上学期的学习，得出如下结论：①对于任意有理数，代数式有最大值1；②10条直线两两相交，最多有90个交点；③若，则有是正数；④规定，如果，，，那么．上述结论中正确的有_______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查绝对值的性质，直线相交交点个数的规律，有理数的运算以及新定义运算的理解． ①利用绝对值的非负性判断代数式的最大值；②利用直线相交交点公式计算；③分类讨论a，b的正负再判断乘积的正负；④根据条件确定a和b的符号，再根据新定义运算规则判断． 【详解】①因为，所以，则，当时取等号，故有最大值1，结论①正确． ②n条直线两两相交，最多交点数为，当时，，不是90，结论②错误． ③由于，又因|a| > |b|所以， 所以 ，即为正数．故结论③正确． ④由知a和b异号，由和知a为正数，b为负数，故，根据定义，结论④正确． 综上所述，结论①③④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（共8个小题，19-20题，每小题6分，21-22题，每小题8分，23-24题，每小题9分，25-26题，每小题10分，共66分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，先计算乘方、绝对值，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】解： ． 20. 解下列方程或方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解法、二元一次方程组的解法等知识，掌握相关知识是解决问题的关键． (1) 去分母，移项，合并同类项，系数化为1； (2) 可以使用代入消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 【小问2详解】 解：， 由①得：， 把③代入②， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为：． 21. （1）已知若、满足，求的值； （2）若与互为相反数，且，与互为倒数，是最大的负整数．求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质、相反数、倒数、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先根据非负数的性质求出，，再代入代数式结合有理数的乘方的运算法则，计算即可得解； （2）由相反数、倒数、负整数的定义求出，，，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∴，， ∴； （2）∵与互为相反数，且，与互为倒数，是最大的负整数， ∴，，， ∴， ∴． 22. 如图，点C在线段上，E是的中点，D是的中点，若，求的长． 【答案】， 【解析】 【分析】先用线段和差求出，再利用中点定义解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的中点的定义，线段的和差关系，利用题目中给出的数据结合中点的性质进行计算是解题的关键． 23. 东江湖某果农现有一批水蜜桃要运往长沙红星水果市场，果农准备租用汽车公司的甲乙两种货车，已知以往租用这两种货车的记录情况如表： 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第1次 3 2 14 第2次 4 5 24.5 （1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨水蜜桃？ （2）若果农共有吨水蜜桃，计划租用该公司的两种货车（两种车都租用，且每辆车都满载）正好把这批水果运完，则汽车公司有哪几种方案？ 【答案】（1）每辆甲种货车可装3吨水蜜桃，每辆乙种货车可装吨水蜜桃 （2）只有一种租车方案，租用1辆甲种货车、6辆乙种货车 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，二元一次方程整数解的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据表格中两次运输的车辆数与总吨数，设未知数列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租用甲、乙两种货车的数量，根据总吨数列出方程，结合车辆数为正整数求解所有可能组合． 【小问1详解】 解：设每辆甲种货车可装x吨水蜜桃，每辆乙种货车可装y吨水蜜桃， 依题意，得：， 解得：． 答：每辆甲种货车可装3吨水蜜桃，每辆乙种货车可装吨水蜜桃； 【小问2详解】 解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车， 依题意，得：， ∴． ∵m，n均为正整数， ∴， ∴只有一种租车方案，租用1辆甲种货车、6辆乙种货车． 24. 已知三个有理数，，在数轴上的对应点如图所示，且满足． （1）比较大小：_______0，_______0，_______0（请填“＞”，“＜”或“＝”）； （2）化简：； （3）计算：． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，数轴，有理数的加减乘除等，综合运用相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上左边的点表示的数比右边的点表示的数小，结合有理数的加减法则判断即可； （2）利用绝对值的性质化简即可； （3）利用绝对值的性质化简即可． 【小问1详解】 解：由数轴可得：，又， ∴，，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由数轴可得：，又， ∴，，， ∴ ． 【小问3详解】 解：∵， ∴，， ∴ ． 25. 定义一种新运算：对任意有理数a，b都有，例如：． （1）求的值； （2）化简并求值：，其中a，b互为相反数，x是最大的负整数． （3）已知与的差中不含项，求a的值． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算、有理数运算、整式加减运算等知识，正确理解新定义运算是解题关键． （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据题意可知，结合新定义运算将化简，然后将代入求值即可； （3）首先根据新定义运算计算与的差，结合知与的差中不含项可知，求解即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，可知 ； 【小问2详解】 ∵a，b互为相反数，x是最大的负整数 ∴， ∴ ； 【小问3详解】 根据题意，可知与的差为 ， ∵与的差中不含项， ∴，得解． 26. 如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、24，其中、满足，． （1）填空：______，______，______； （2）如图1，若点、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度的速度匀速向右运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为 问：当为何值时，、之间的距离为2？ （3）如图2，将数轴在原点、点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，则点表示的数为______． 【答案】（1），8，16； （2）当为6或时； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质先求解，的值，再利用，从而可得的值； （2）由点向右平移对应的点的数是，点向右平移对应的点的数是，结合，建立方程，再解方程即可； （3）先由题意分别计算点运动到点、、三点时的值，再分类讨论在、、上相遇的值是否符合题意即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴解得：，， ∵，， ， ， 【小问2详解】 由（1）可知，，，， ∴点向右平移对应的点的数是，点向右平移对应的点的数是， 当时， ∴或 或 ∴当为6或时，、之间的距离为2． 【小问3详解】 点表示的数为，以每秒3个单位长度的速度沿正方向运动至点， ∴移动后的数表示为：，当点移动至点时，， ， 根据题意可知、、， ∴当点运动到点时，；运动到点时，，运动到点时，， ①点、点在上相遇， 则， ， 不符合题意； ②点、点在上相遇， 则， ， ， 不符合题意； ③点、点在上相遇， 则，， ，符合题意， 点表示的数为：， 点表示的数为， 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，如何表示线段的长度，绝对值的非负性，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程，分类讨论，还需注意运动过程中速度的变化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $