精品解析：江苏省南通市如东县河口镇景安初级中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

阶段练习12.3 一、单选题 1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵因式分解是将多项式化为整式的积的形式， A．，右边是积的形式，且等式成立，故该选项正确； B．，等式不成立，且正确因式分解应为，故该选项错误； C．，是从积到多项式，是整式乘法，不是因式分解，故该选项错误； D．，右边不是积的形式，不是因式分解，故该选项错误． 故选：A． 2. 如果多项式可以用完全平方公式分解因式，那么的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，设，由得，即得，进而即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵多项式可用完全平方公式分解， ∴设， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式的乘法运算，包括平方差公式和完全平方公式，通过直接计算每个选项，验证其正确性． 【详解】解：A：∵，∴ A错误； B：∵，∴B错误； C：∵，∴C正确； D：∵，∴D错误． 故选：C． 4. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分式的定义，分子、分母都为整式，且分母中含有字母的式子是分式．逐一检查即可． 【详解】解： A、分母为2，分母中不含字母，故是整式； B、分母为，π为常数，分母中不含字母，故是整式； C、分母为，分母中含字母x和y，故是分式； D、分母为4，分母中不含字母，故是整式． 故选： C． 5. 若的展开式中不含项，则a的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算是解题的关键．展开乘积后，合并同类项，令项的系数为零，解出a的值． 【详解】解：∵ ， 又∵展开式中不含项， ∴， ∴． 故选：B． 6. 计算，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方的应用等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 将左边三个同底数幂相加合并，再运用同底数幂相乘的运算法则化简，右边幂的乘方化为同底数形式，然后再比较指数即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 7. 有两个正方形A和B，将A放置在B内部得到图1，将A，B并列放置得到图2，若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和8，则正方形A的面积为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式运算的应用，解题的关键是根据图形得出数量关系．设正方形A的边长是a，正方形B的边长是，根据图1和图2中阴影部分的面积分别为5和8，列出等式，根据求出结论． 【详解】解：设正方形A的边长是a，正方形B的边长是， 由题可得图1中阴影部分的面积是， 图2中阴影部分的面积是， ∵图1和图2中阴影部分的面积分别为5和8， ∴， ∴， ， ，即正方形A的面积为6， 故选：B． 8. 已知有序代数式串：x，，（，1）对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，； 第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，； 依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：x，，，，； ②第10次操作后得到的新代数式与第20次操作后得到的新代数式相同； ③第2024次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查规律类探索、分式的除法，根据所给操作规则找出所得代数式串的变化规律，利用规律逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，第3次操作时，用第四个式子除以第三个式子得到新代数式， ，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，，，故①正确； 依次类推，第4次操作后得到新的代数式串：x，，，，，， 第5次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x， 第6次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，， 第7次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，，， …… 观察可知，从第7次操作开始，第n次操作与第次操作后得到的新代数式相同，因此第10次操作后得到的新代数式与第16次、第22次操作后得到的新代数式相同，与第20次操作后得到的新代数式不同，故②错误； 观察可知，从第5次操作开始，新代数式串按照x，，，，，的顺序循环，每个循环的积为1， 第2024次操作后所得新代数式串有2026个代数式，，因此前2022个代数式的积为1，第2023至2026个代数式的积为：， 第2024次操作后得到的代数式串之积为，故③错误； 综上可知，正确的个数是1， 故选B． 二、填空题 9. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 根据十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 如果多项式是一个完全平方式，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，正确理解完成平方式的结构是解题的关键．根据完全平方公式，将多项式与的形式比较，通过系数关系求解的值． 【详解】解：多项式是一个完全平方式，可表示为， 比较系数，得， 所以；， 所以， 中间项系数满足， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 因此，的值为。 故答案为：． 11. 若一个三角形的底边为，底边上的高为，则面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积公式和多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键．根据三角形面积公式列式，再按照多项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵一个三角形的底边为，底边上的高为， ∴该三角形的面积为 ． 故答案为：． 12. 已知，则______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 由已知方程变形得到的值，然后利用完全平方公式求解． 【详解】解：由，可知， 两边同除以得， 即． 则， 即， 所以． 故答案为：14． 13. 若的值为3，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 本题根据分式的乘除运算法则，结合因式分解对分子分母进行分解后约分，对原式进行化简，得到化简后的分式形式，进而结合已知的化简结果，可解决求值的问题． 【详解】解：由题可知：， ， ， 解得：， 故答案为：． 14. 已知，若，则M与N的大小关系是M___________N． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式的大小比较，通过作差法及因式分解，结合已知条件分析即可. 【详解】解：由 ∵ ∴，即 ∴ 故答案为：. 15. 已知三角形的三条边为a，b，c，满足，c为最长边且为奇数，则这个三角形的周长为_________ 【答案】22或24 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式、非负数的性质以及三角形三边关系等知识．已知等式配方变形后，利用非负数的性质求出与的值，即可确定出三角形周长． 【详解】解：已知等式变形得：， 即， ∵，， ∴，， 解得：，， ∵c为最长边， ∴，即， ∵c为奇数， ∴c为9或11， 则这个三角形的周长为或． 故答案为：22或24． 16. 是整数，则整数____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式值为整数的问题，解题的关键是正确把分式分离出常数． 将分式化为带分数形式，利用分母整除分子时分式为整数的性质，求出所有整数解． 【详解】解： 要使原式为整数，则必须为整数，即是4的约数， ∴， 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，。 验证所有值均使分母，且分式均为整数， 故答案为：． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的乘除运算． （1）先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可； （2）先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可． 【小问1详解】 解：原式=  =  =  =  【小问2详解】 解：原式=  =  =  =  18. 因式分解 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． （1）利用平方差公式进行因式分解； （2）提取公因式后化简即可． 【小问1详解】 解：原式  ； 【小问2详解】 解：原式  ． 19. 阅读下面分解因式的过程：．利用上述分解因式的方法，解决问题． （1）因式分解：； （2）求方程的整数解． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）根据分组分解法求解即可； （2）根据分组分解法将原方程化为，再根据，都是整数得到，都是整数，进而根据求解方程组即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， ， ， ，都是整数， ，都是整数， ∵， 或， 解得：或， 综上，方程的整数解为：或． 20. 当取何值时，式子的值为正数？ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，分式的值，先根据乘除混合运算法则，进行化简，再根据分式的值为正数，则分子分母同号，且要保证分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：原式． 因为式子的值为正数，所以，即． 又因为式子中，需满足， 所以当，且时，式子的值为正数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段练习12.3 一、单选题 1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果多项式可以用完全平方公式分解因式，那么的值为( ) A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若的展开式中不含项，则a的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 6. 计算，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 7. 有两个正方形A和B，将A放置在B内部得到图1，将A，B并列放置得到图2，若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和8，则正方形A的面积为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 8. 已知有序代数式串：x，，（，1）对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，； 第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，； 依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：x，，，，； ②第10次操作后得到的新代数式与第20次操作后得到的新代数式相同； ③第2024次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题 9. 因式分解：___________． 10. 如果多项式是一个完全平方式，那么的值是______． 11. 若一个三角形的底边为，底边上的高为，则面积为________． 12. 已知，则______． 13. 若的值为3，则的值为______． 14. 已知，若，则M与N的大小关系是M___________N． 15. 已知三角形的三条边为a，b，c，满足，c为最长边且为奇数，则这个三角形的周长为_________ 16. 是整数，则整数____________ 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）； 18. 因式分解 （1）； （2）． 19. 阅读下面分解因式的过程：．利用上述分解因式的方法，解决问题． （1）因式分解：； （2）求方程的整数解． 20. 当取何值时，式子的值为正数？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $