18.3分式的加法与减法【十大考点+十大题型】-2025-2026学年人教版八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

18.3分式的加法与减法 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：分式的加减法则： 同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。 知识点二：分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序 先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。 【题型探究】 题型一：同分母的分式加减 【例1】．（25-26八年级上·全国）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式加法或减法运算，熟练掌握分式加法或减法运算法则，是解题的关键． （1）根据同分母减法运算法则，进行计算即可； （2）根据同分母加法运算法则，进行计算即可； （3）根据同分母加法运算法则，进行计算即可； （4）根据同分母减法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查同分母分式的加减，注意符号． （1）分母不变，分子相减，最后要约分； （2）分母不变，分子相减，最后因式分解要约分； （3）先转化为同分母，再分子相加； （4）先转化为同分母，再进行分子运算． 【详解】（1） （2） （3） （4） 题型二：异分母的分式加减法 【例2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的加减运算，注意符号变化． （1）先通分，再加减，最后约分； （2）先通分，再加减，最后约分； （3）先因式分解，再通分，然后加减，最后通过因式分解约分． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式加减的运算法则． （1）先通分，再进行同分母的分式加法运算； （2）先通分，再进行同分母的分式减法运算； （3）先通分，再进行同分母的分式减法运算； （4）先通分，再进行同分母的分式加法运算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型三：整数与分式加减问题 【例3】．（25-26八年级上·山东聊城·期中）已知，，为常数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．先将通分变形为，从而得到，解方程求得、的值，再代入代数式中计算即可． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知其中，为常数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减，解二元一次方程组，熟练掌握异分母的分式相减的法则是解决此题的关键．根据分式的加减，先通分，转化为同分母的分式相减，将其相减后，与等号的右边对比，列出关于、的二元一次方程组，求出、的值，将其代入计算即可． 【详解】解：将等式的左边相减，得：， 根据左右两边相等，可得：， 解得： ． 【变式2】．（25-26八年级上·湖南永州·阶段练习）已知，试确定A，B的值 【答案】 【详解】解： ∵， ∴ ∴， 解得． 题型四：由分式恒等式，确定分子或者分母问题 【例4】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的化简，异分母化简时要注意通分，上下要同时乘以同一个代数式． （1）先通分，再加减合并； （2）先因式分解，再约分，最后加减； （3）先因式分解，再通分，最后加减合并． 【详解】（1） （2） （3） 【变式1】．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式2】．（2025八年级上·全国·专题练习）我们知道，一个房间窗户的面积与该房间地面面积的比值越大，采光越好．在某房间的设计图中，房间窗户的面积与该房间地面的面积分别为m，，且．小明提出，若把该房间窗户与房间地面的面积都增加a，采光会更好．你认为小明的说法正确吗？ 【答案】正确 【分析】本题主要考查了分式的加减运算及作差法比较大小，熟练掌握作差法比较分式大小的方法是解题的关键． 通过计算增加面积前后窗户与地面面积的比值之差，判断差值的正负，从而确定采光是否变好． 【详解】解：设原来窗户面积与地面面积的比值为， 增加面积后，新比值为． ∵ 又 ∵， ∴， ∴ ∴ ∴把该房间窗户与地面的面积都增加a，采光更好，小明的说法正确． 题型五：分式加减的实际应用 【例5】．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：； （2）解： 【变式1】．（2025八年级上·全国·专题练习）某地有的沙漠，原计划每年治理．为了尽快改善生态环境，当地加大了治理力度，每年比原计划多治理．照此计算，该地实际可比原计划提前几年使全部沙漠得到治理？ 【答案】 【分析】本题考查分式加减的实际应用，先分别求出原计划治理沙漠所需的时间和实际治理沙漠所需的时间，再通过作差得到实际比原计划提前的时间． 【详解】解：原计划治理沙漠所需的时间为年， 实际治理沙漠所需的时间为年， 则提前的时间为： ， 答：该地实际可比原计划提前年使全部沙漠得到治理． 【变式2】．（25-26八年级上·广东广州·期中）小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 【答案】(1) ，，， (2) 小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【分析】本题考查分式的实际应用，熟练掌握并利用题意列出代数式以及利用作差法进行分析比较是解题的关键； （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可； （2）根据题意利用作差法进行分析比较即可． 【详解】（1）解：小军爸爸白天加油花费元，夜间加油花费， ∴小军爸爸一天加2次油共花费元， 小慧爸爸一天加2次油共花费元， 小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）， 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）． 故答案为：，，，． （2）解：， 而，，，所以 从而，即． 因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算． 题型六：分式的加减乘除的混合计算 【例6】．（2025八年级上·全国·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【详解】（1）解：，，，； （2）解：，，，； （3）解：，，，； （4）解：，，，，； （5）解：，，，， ，； （6）解：，，， ，，． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据分式加减运算法则，计算括号里面的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则，进行计算即可； （3）根据分式混合运算法则，进行计算即可； （4）根据平方差公式，结合分式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】．（25-26八年级上·山东聊城·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）直接约分化简即可； （2）把除法转化为乘法，然后约分化简； （3）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简； （4）先算乘除，再算加减即可． 【详解】（1）； （2） ； （3） ； （4） ． 题型七：分式的化简求值问题 【例7】．（25-26八年级上·内蒙古·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，负整数指数幂，解题的关键是掌握分式化简的法则． 先对分式进行化简，然后代数求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式1】．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ，把代入，得． 【变式2】．（2025八年级上·全国·专题练习）求下列各式的值． (1)．其中，，． (2)．其中，． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，当，时，原式； （2）解：，当时，原式． 题型八：分式的最值问题 【例8】．（25-26八年级上·北京房山·期中）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：​，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二： 求代数式的最小值． ， ， ， 的最小值为． 解决下列问题： (1)如果分式可以变形为（，为实数），则_____；_____； (2)求代数式的最大值． 【答案】(1) ，； (2) ． 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、完全平方公式的应用、类比思想的运用，正确理解题意是解题的关键． 仿照阅读材料中的解题思路，可得：原式，类比可得：，； 类比中的解题思路，可得：原式，把分母进行配方可得：，根据平方的非负性可知的最小值是，所以的最大值是． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，； （2）解： 可得：， ， ， 的最小值是， 的最大值是， 的最大值是， 的最大值为． 【变式1】．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)，当时，分式运算的结果是整数 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解：， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分式有意义， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数 【变式2】．（24-25八年级下·北京·期中）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1)如果分式可以变形为（，为实数），则_____；______； (2)求分式的最大值． 【答案】(1)2，(2) 【详解】（1）解：， ∵分式可以变形为，∴；； 故答案为：2，； （2）解：， ∵， ∴当时，有最小值为2， ∴有最大值为， ∴有最大值为， ∴分式的最大值为． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列运算或化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简与运算，需逐项验证其正确性．选项A、C、D通过代入特定值或直接计算可发现错误；选项B通过因式分解和约分可化简为右侧形式，但需注意分母不为零的条件． 【详解】解：A、与在一般情况下不相等（如取，左边，右边），A错误． B、（当且时），与右边一致，B正确． C、不能化简为（如取，左边，右边），C错误． D、，与右边不相等（如取，左边，右边），D错误． 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）一份文件需要打印，打字员甲单独打印需小时，打字员乙单独打印需小时，那么两人一起打印这份文件的50%，所需要的时间是（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】此题考查分式混合运算的实际应用，根据工作效率和合作效率，计算完成50%工作所需时间 【详解】设总工作量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为， ∵ 合作效率为， 完成50%工作，工作量为，， ∴ 所需时间 = ， 故选：C 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下面是涂涂同学完成的一组分式化简的练习题，每小题分，他能得的分数是（   ） ①；②；③；④； ⑤； A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．根据分式的乘除和加减法则对每个式子进行化简，然后判断即可． 【详解】解：∵ ① ，正确； ② ，错误； ③ ，错误； ④ ，正确； ⑤ ，正确． ∴有题正确，得分为（分）， 即他能得的分数是分． 故选：B． 4．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）若，，则的值是（    ） A．1 B．0 C．-1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知条件，将A的表达式通分后化简，可得，进而直接计算的值． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴． 故选A． 5．（25-26八年级上·山东淄博·期中）如果，那么代数式与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，利用异分母分式的加减运算法则化简，即可得出结果． 【详解】解：∵ 又 ∴； 故选：C． 6．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若（A、B均为常数）的计算结果为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查分式的运算，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．将左边通分后与右边比较分子，得到关于A和B的方程，解出A和B后代入计算． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ 分子相等：， ∴ 比较系数： 解得：， ∴ ． 故选：D． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，，，，则P、Q、R的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用作差法比较两个分式的大小，作差法比较大小的方法是：如果，那么；如果，那么；如果，那么． 根据可得，从而得到P最大，然后用作差法比较的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴P最大； ， ∴， ∴， 故选D． 8．（25-26八年级上·湖南娄底·期中）当x分别取，，1，0，，，…，，，时，计算分式，再将所得结果相加，其和等于（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式化简求值， 当 （）时，；当 时，；可推出当的取值互为倒数时，其结果互为相反数，据此即可求解； 【详解】解：∵ 当 （）时，； 当 时，； ∴的取值序列为 ， ∴结果为， 故选： A 9．（25-26八年级上·广西来宾·期中）若，则常数和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算，解二元一次方程组，将方程左边通分后与右边比较分子，得到关于和的方程组，然后解方程组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴分子相等， ∴，解得， 故选：． 10．（25-26八年级上·广西来宾·期中）已知，将分别用和代入计算后，再根据所得结果规律，计算的结果是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】此题考查分式的加法计算，利用已知等式将每个分式拆项，通过通分求和简化表达式，即可得到答案 【详解】解：∵ = ， = ， ⋯ = ， ∴ 原式 = ， 中间项相互抵消， ∴ 原式 = = ， 通分得： = ， 故选：A． 二、填空题 11．（25-26八年级上·山东烟台·期中）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式的加减法则． 将原式通分后合并，并利用平方差公式和提取公因式进行化简． 【详解】解： ． 12．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的加法、解二元一次方程组，熟练掌握分式的加法法则是解题关键． 先计算等式右边的加法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ， ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：， 将代入①得：， ∴， 所以． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·湖南永州·月考）已知，分式的值 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的化简求值，整体代入思想方法，熟练掌握分式的性质是解本题的关键，由已知条件可得，代入所求分式，通过代入和化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，整理得 ， ∴ ． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）对于代数式，定义运算“※”：，例如：，若，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义运算，将左边按定义化简为分式形式，右边通分后得到分子表达式，通过比较分子系数建立关于A和B的方程组，解出A和B的值后代入所求表达式计算． 【详解】解：根据运算定义，， 右边：， 因此，， 分子相等：， 比较系数得：， 解方程组，得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 因此，． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·山东泰安·期中）有甲、乙两名采购员去同一家红富士苹果公司分别购买两次红富士苹果，两次购买红富士苹果价格分别为元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次用去800元，乙每次购买100千克．请判断甲、乙的购货方式 合算．（填“甲”或“乙”或“一样”） 【答案】甲 【分析】本题考查分式混合运算的应用，读懂题意，掌握分式混合运算的应用是解题的关键． 求出甲乙两人分别购买两次的平均价格，进行比较即可解答． 【详解】解：甲采购两次总支付金额为1600元， 总购买数量为（千克）， 平均价格为（元/千克）． 乙采购两次总支付金额为元， 总购买数量为200千克， 平均价格为（元/千克）． ， ∵，，， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴甲的平均价格较低，购货方式更合算． 故答案为：甲． 三、解答题 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 17．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ，2 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键；先通分合并括号内的表达式，再利用因式分解和约分进行化简，最后代入数值计算． 【详解】解： 原式 ， 当时，原式 ． 18．（25-26八年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中的值从不等式的非负整数解中任选一个． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 先算括号里的，然后利用完全平方公式，平方差公式化简，再算除法化简分式，最后将不等式的非负整数解代入求值即可． 【详解】解：原式 ； 解不等式得：且是非负整数， 或或， 的值不能取，不能取， 的值只能取0， ． 19．（25-26八年级上·山东威海·期中）按要求进行计算． (1)； (2)； (3)先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】(1)(2)(3)； 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解： ， ∵，， ∴，， 把代入得：原式． 20．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）材料1：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫作真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫作假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据材料1完成下列问题： （1）从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）；当时，随着x的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）； （2）当时，随着x的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）； 根据材料2完成下列问题： （3）将分式化成整式和真分式的代数和； （4）若x是整数，分式的结果也是整数，求满足条件的x的个数． 【答案】（1）减小；减小；（2）减小；（3）；（4）8 【详解】解：（1）根据材料1，当时，随着x的增大，的值减小； 当时，随着x的增大，的值减小． 故答案为：减小；减小． （2）∵， 当时，随着x的增大，的值减小， ∴的值随之减小． 故答案为：减小． （3）解：． ∴分式化为整式5和真分式的代数和． （4）解：由（3）知，， 是整数，且分式结果为整数， ∴必须为整数， ∴是8的因数，8的因数有：， 时，；时，；时，；时，；时，时，时，时，．所有值均满足分母， 满足条件的有8个． 21．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， (1)已知，求的值； (2)实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值； (3)问题解决： 已知：，，，求代数式的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由，知，，即． ，． （2）由，得，即，． ， ． （3）由，得，即：． 由，得：；由，得：． 以上三式相加，得， ． 将此式分别与前面三式相减，可求得：，，， 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.3分式的加法与减法 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：分式的加减法则： 同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。 知识点二：分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序 先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。 【题型探究】 题型一：同分母的分式加减 【例1】．（25-26八年级上·全国）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二：异分母的分式加减法 【例2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) 题型三：整数与分式加减问题 【例3】．（25-26八年级上·山东聊城·期中）已知，，为常数，求的值． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知其中，为常数，求的值． 【变式2】．（25-26八年级上·湖南永州·阶段练习）已知，试确定A，B的值 题型四：由分式恒等式，确定分子或者分母问题 【例4】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式2】．（2025八年级上·全国·专题练习）我们知道，一个房间窗户的面积与该房间地面面积的比值越大，采光越好．在某房间的设计图中，房间窗户的面积与该房间地面的面积分别为m，，且．小明提出，若把该房间窗户与房间地面的面积都增加a，采光会更好．你认为小明的说法正确吗？ 题型五：分式加减的实际应用 【例5】．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）化简： (1) (2) 【变式1】．（2025八年级上·全国·专题练习）某地有的沙漠，原计划每年治理．为了尽快改善生态环境，当地加大了治理力度，每年比原计划多治理．照此计算，该地实际可比原计划提前几年使全部沙漠得到治理？ 【变式2】．（25-26八年级上·广东广州·期中）小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 题型六：分式的加减乘除的混合计算 【例6】．（2025八年级上·全国·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．（25-26八年级上·山东聊城·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 题型七：分式的化简求值问题 【例7】．（25-26八年级上·内蒙古·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1】．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式2】．（2025八年级上·全国·专题练习）求下列各式的值． (1)．其中，，． (2)．其中，． 题型八：分式的最值问题 【例8】．（25-26八年级上·北京房山·期中）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：​，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二： 求代数式的最小值． ， ， ， 的最小值为． 解决下列问题： (1)如果分式可以变形为（，为实数），则_____；_____； (2)求代数式的最大值． 【变式1】．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【变式2】．（24-25八年级下·北京·期中）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1)如果分式可以变形为（，为实数），则_____；______； (2)求分式的最大值． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列运算或化简正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）一份文件需要打印，打字员甲单独打印需小时，打字员乙单独打印需小时，那么两人一起打印这份文件的50%，所需要的时间是（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 3．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下面是涂涂同学完成的一组分式化简的练习题，每小题分，他能得的分数是（   ） ①；②；③；④； ⑤； A．分 B．分 C．分 D．分 4．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）若，，则的值是（    ） A．1 B．0 C．-1 D．2 5．（25-26八年级上·山东淄博·期中）如果，那么代数式与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若（A、B均为常数）的计算结果为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，，，，则P、Q、R的大小关系是（　　） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·湖南娄底·期中）当x分别取，，1，0，，，…，，，时，计算分式，再将所得结果相加，其和等于（   ） A． B．1 C．0 D． 9．（25-26八年级上·广西来宾·期中）若，则常数和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 10．（25-26八年级上·广西来宾·期中）已知，将分别用和代入计算后，再根据所得结果规律，计算的结果是（   ） A． B．0 C． D．1 二、填空题 11．（25-26八年级上·山东烟台·期中）化简的结果是 ． 12．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知，则的值为 ． 13．（25-26八年级上·湖南永州·月考）已知，分式的值 ． 14．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）对于代数式，定义运算“※”：，例如：，若，则 ． 15．（25-26八年级上·山东泰安·期中）有甲、乙两名采购员去同一家红富士苹果公司分别购买两次红富士苹果，两次购买红富士苹果价格分别为元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次用去800元，乙每次购买100千克．请判断甲、乙的购货方式 合算．（填“甲”或“乙”或“一样”） 三、解答题 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 18．（25-26八年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中的值从不等式的非负整数解中任选一个． 19．（25-26八年级上·山东威海·期中）按要求进行计算． (1)； (2)； (3)先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 20．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）材料1：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫作真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫作假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据材料1完成下列问题： （1）从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）；当时，随着x的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）； （2）当时，随着x的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）； 根据材料2完成下列问题： （3）将分式化成整式和真分式的代数和； （4）若x是整数，分式的结果也是整数，求满足条件的x的个数． 21．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， (1)已知，求的值； (2)实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值； (3)问题解决： 已知：，，，求代数式的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $