精品解析：山东省威海市乳山市银滩高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

高一数学12月考 一、单选题 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 3. 已知样本数据5，6，6，6，8，9，10，11，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 幂函数在上是增函数，则实数的值为（ ） A. 2或 B. C. 2 D. 或 6. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 已知不等式，下列说法正确的有（ ） A. 若，则不等式的解集为 B. 若，则不等式的解集为 C. 若，恒成立，则整数的取值集合为 D. 若恰有两个整数使得不等式成立，则实数取值范围是 11. 已知函数，且，若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 2 三、填空题 12. 已知函数f(x)＝，则f[f(－1)]等于________． 13. 样本中共有5个数据值，其中前四个值分别为1，2，3，5，第五个值丢失，若该样本平均数为2，则样本方差为______． 14. 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是________. 四、解答题 15. 已知集合，，. （1）求； （2），求的取值范围． 16. 已知函数． （1）若，求a的值； （2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （3）若对于恒成立，求实数m范围． 17. 已知函数的图象经过点. （1）求值； （2）求不等式的解集； （3）若成立，求实数的取值范围. 18. Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. （1）求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； （2）当年产量多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 19. 已知函数． （1）用定义证明函数在R上为减函数； （2）若（其中，），求实数的取值范围； （3）若在上存在唯一零点，求实数的取值范围． 20. ________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学12月考 一、单选题 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合交、补运算即可求解； 【详解】由条件可得， 所以, 故选：B 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合抽象函数的定义域列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数的定义域为，函数有意义， 得，解得， 所以所求定义域为. 故选：D 3. 已知样本数据5，6，6，6，8，9，10，11，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的概念求解. 【详解】因为：， 所以样本数据5，6，6，6，8，9，10，11的第60百分位数是第5个数为8. 故选：C 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，将绝对值不等式化简，即可得到结果. 【详解】因为，所以或，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 幂函数在上是增函数，则实数的值为（ ） A. 2或 B. C. 2 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性列式即可求解. 【详解】为幂函数， 所以，即， 即，解得或， 又在上是增函数， 所以， 当时，， 当时，， 所以. 故选：. 6. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可． 【详解】定义域为， ∵在上单调递增， ∴在上单调递增， ∵，， 即，所以在上存在唯一零点． 故选：B． 7. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得到，，即可判断出，再利用不等式的性质及对数的单调性，即可判断出，从而得出结果. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以，得到，即，所以， 故选：A. 8. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为，所以或只需的图象与直线有3个交点，利用数形结合即可得 【详解】因为，所以或 因为关于的方程共有5个不同的实数根． 所以的图象与直线和直线共有5个不同的交点． 如图，的图象与直线有2个交点， 所以只需的图象与直线有3个交点，所以． 故选：D． 【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 二、多选题 9. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】对于A：∵，，. ∴，. 当且仅当，即，，取“”，∴A正确； 对于B：，由（1）知，∴. ∴.∴B正确； 对于C：. ∴，∴C错误； 对于D：， 当且仅当，即，取“”，∴D正确. 故选：ABD. 10. 已知不等式，下列说法正确的有（ ） A. 若，则不等式的解集为 B. 若，则不等式解集为 C. 若，恒成立，则整数的取值集合为 D. 若恰有两个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】先因式分解得到二次函数的两点式，代入，即可得，从而可判断A选项；根据得出，从而可直接解，即可判断B选项；分与讨论，当时，转化为含参二次不等式恒成立问题，写出等价条件，解不等式组即可判断C选项；分类讨论分别求解不等式，即可判断D选项. 【详解】， 对于A，若，恒成立，所以的解集为，故A正确； 对于B，若，则，的解集为，故B正确； 对于C，恒成立，即， 当时，等价于 解不等式组得，所以整数的取值为， 当时，恒成立，满足题意. 综上所述，整数的取值为，故C错误； 对于D，易知， 当，即时， 的解集为， 易知该解集中不止两个整数解，不符合题意，舍去； 当，即时，由知不符合题意； 当，即时， 的解集为， 易知该解集中不止两个整数解，不符合题意，舍去； 当，即时， 的解集为， 若该解集中恰有两个整数解，则，解得. 综上，实数的取值范围是，故D正确 故选：ABD 11. 已知函数，且，若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】AC 【解析】 【分析】由的范围讨论单调性，确定最值即可求解； 【详解】当时，单调递增，此时，， 所以，解得， 当时，单调递减，此时，， 所以，解得， 所以实数的值可以是或， 故选：AC. 三、填空题 12. 已知函数f(x)＝，则f[f(－1)]等于________． 【答案】2 【解析】 【详解】∵函数，， ， 故答案为2． 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用． 13. 样本中共有5个数据值，其中前四个值分别为1，2，3，5，第五个值丢失，若该样本的平均数为2，则样本方差为______． 【答案】4 【解析】 【分析】设第五个值为，由该样本的平均数为2，根据平均数的计算公式求出，再根据方差的公式计算即可. 【详解】设第五个值为， 则由该样本的平均数为2，可知，解得. 则样本方差. 故答案为：4 14. 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，，分析两个函数的单调性，求出、，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】依题意知. 因为在上单调递减，所以. 又在上单调递增，所以， 因此，则. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知集合，，. （1）求； （2），求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求绝对值不等式和分式不等式，化简集合，再取交集； （2）由得，再对集合中的进行分和两种情况讨论. 【详解】（1）∵， ∴； ∵，∴； . （2） ①当时，不满足题意（舍）； ②当时，， ，； ③当时，，， 综上， 【点睛】本题考查集合的交运算、集合间的基本关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对集合为空集情况的讨论. 16. 已知函数． （1）若，求a的值； （2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论； （3）若对于恒成立，求实数m的范围． 【答案】（1） （2）奇函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）代入，得到，利用对数的运算即可求解； （2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算的数量关系，由此完成证明； （3）将已知转化为，求出在的最小值，即可得解. 【小问1详解】 ，，即，解得， 所以a的值为 小问2详解】 为奇函数，证明如下： 由，解得：或，所以定义域为关于原点对称， 又， 所以为奇函数； 【小问3详解】 因为， 又外部函数为增函数，内部函数在上为增函数， 由复合函数的单调性知函数在上为增函数， 所以， 又对于恒成立，所以，所以， 所以实数的范围是 17. 已知函数图象经过点. （1）求的值； （2）求不等式的解集； （3）若成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入点的坐标可得解析式； （2）判断奇偶性和单调性，利用性质可解不等式； （3）利用单调性转化为，结合基本不等式可求答案. 【小问1详解】 因为函数的图象经过点，所以，解得. 【小问2详解】 ，定义域为，，即为奇函数； 因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 等价于，即， 所以，解得或，故解集为. 【小问3详解】 由（2）可知函数为增函数，，所以； 等价于，即在恒成立， 因，当且仅当时等号成立， 所以在上的最小值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 18. Labubu已然成为2025年年轻人的新宠，它为年轻人提供了情绪价值，成为了很多年轻人的精神寄托.现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此款玩具，已知生产这种玩具的年固定成本为15万元，每生产x千件需另投入万元.其中与x之间的关系为：，且函数的图象过，，三点.通过市场分析，公司决定每千件Labubu售价定为12万元，且该厂年内生产的此款玩具能全部销售完. （1）求a，b，c的值，并写出年利润（万元）关于年产量的x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】（1）， （2）当时，取得最大值，且最大值为115万元 【解析】 【分析】（1）将给定的三点坐标代入函数式，求出，进而求出的表达式. （2）由（1）按与分段求出最大值，再比较大小即得. 【小问1详解】 将，，三点代入，得， 解得，即 依题意，. 【小问2详解】 由（1） 当时，，则当为时，取得最大值60万元； 当时， ，当且仅当时，即时取得等号， 此时取得最大值，且最大值为115万元， 所以当年产量为42千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润115万元. 19. 已知函数． （1）用定义证明函数在R上为减函数； （2）若（其中，），求实数的取值范围； （3）若在上存在唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性定义即可证明结论； （2）利用函数的单调性可得，结合对数函数性质分类讨论，即得答案； （3）结合函数单调性，利用零点存在定理即可求得答案. 小问1详解】 任取，，且， 则， 因为，所以，所以，则， 所以函数在R上为减函数； 【小问2详解】 由（1）得在R上为减函数，又， 则， 当时，，解得， 当时，，解得，不成立， 综上所述， 【小问3详解】 由（1）得在R上为减函数，则在R上也为减函数， 又在上存在唯一零点， 即，且 解得. 20. ________． 【答案】13 【解析】 【分析】由指数和对数的运算性质，结合换底公式即可求得结果. 【详解】原式 故答案为：13 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $