精品解析：甘肃省天水市第七中学2025-2026学年八年级上学期第二次月考数学试卷

2025-2026学年度上学期第二次月考试题 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的一次项，合并同类项，令含有x的一次项的系数等于0，即可求出结果． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， 解得， 故选：A． 2. 若3•9m•27m＝321，则m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先利用幂的乘方、同底数幂乘法的运算法则把等式的左边进行整理，从而可得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：3•9m•27m ＝3×32m×33m ＝31＋2m＋3m ＝31＋5m， ∵3•9m•27m＝321，即31＋5m=321 ∴1＋5m＝21，解得：m＝4． 故选：C． 【点睛】本题主要考查幂的乘方、同底数幂乘法法则，解答本题的关键是灵活运用相关运算法则． 3. 如果，那么代数式的值为（ ） A. B. C. 6 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想解决问题是关键．由已知可知，再将代数式变形为，即可计算求值． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 4. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，由全等三角形的性质可得，，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 5. 如图，在中，，过点作，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和得到，再根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】∵在中，，， ∴， 又∵， ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和以及平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 6. 如图，大长方形由一个边长是a的小正方形和两个长、宽分别是a，b的小长方形组成．整个图形可表示出几个有关多项式因式分解的等式，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用面积分割法检验乘法算式以及多项式的因式分解． 根据计算面积的方法多种多样，因此可以用不同的方式表达求解即可． 【详解】解：A、把图形分割成一个正方形，两个长方形计算面积，则有：，故A正确； B、无法分割得到，故B错误； C、把图形分割成两个长方形，边长分别是，宽都是，则有：，故C正确； D、用整个图形的面积减去一个边长为的长方形，得到另外一个长方形，边长是，即：，故D正确． 故选：B 7. 如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 直接利用全等三角形的判定方法（），进而判断得出即可． 【详解】解：在和中， ，，（对顶角相等 ）， ∴． 故选：B ． 8. 下列命题中，其中真命题有（ ）个 （1）在同一平面内，如果直线，那么；（2）两条直线平行，同旁内角相等；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（5）直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；（6）一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，那么这两个角一定相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的性质，平行公理及其推论，点到直线的距离．根据平行线的性质，垂线的性质，平行公理及其推论，点到直线的距离，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：（1）在同一平面内，如果直线，那么，原命题是真命题； （2）两条直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题； （3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题； （4）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题； （5）直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题是假命题； （6）如图1，和的两边互相垂直，和互补， 如图2，和的两边互相垂直，， ∴若一个角的两边分别与另一个角的两边互相垂直，那么这两个角相等或互补， ∴原命题是假命题． 故选：A． 9. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是 80，则阴影部分的面积是（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，由题意可得，将转化为，即，代入计算即可． 【详解】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则， 由于大正方形与小正方形的面积之差是80，即， ， 故选：B． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 10. 如图，已知中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为（ ）时，能够在某一时刻使与全等． A. 4 B. 3 C. 4或3 D. 4或6 【答案】D 【解析】 【分析】根据AB=AC，等边对等角，可得∠B=∠C，结合全等三角形的性质“全等三角形对应角相等”可知点B的对应点是点C；根据全等三角形对应边相等的性质进行分类讨论即可． 【详解】∵ ∴∠B=∠C， ∵≌， ∴点B的对应点是点C， ∵点为的中点， ∴BD==12cm， ∴BP=CP或BD=CP 设点Q的运动速度为xcm/s，经过ts后，≌ BP=4t，CP=16-4t，CQ=xt ①当BP=CP时：4t=16-4t，解得t=2， 此时BD=CQ，12=2x，解得：x=6； ②BD=CP时，12=16-4t，解得：t=1， 此时BP=CQ，4×1=x×1，解得：x=4 综上：当点Q的运动速度为6cm/s或4cm/s时≌， 故选：D 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质，熟练地掌握等腰三角形等边对等角以及全等三角形对应边和对应角相等的性质是解题的关键，注意：此题中只能确定一组对应点，故要进行分类讨论． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先根据同底数幂乘法法则计算，再合并同类项即可解答． 【详解】解； ． 故答案为：． 12. 若，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式求解即可． 【详解】解：∵， 又，， ∴， ∴． 故答案为：5 13. 如图，，要使，则需要添加的条件可以是__________．（添加一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据三角形全等的判定（，，，，）即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 添加，根据证明； 添加，根据证明； 添加，根据证明； 添加，得出，根据补角性质得出，根据证明； 故答案为：或或或（答案不唯一）． 14. 已知2a﹣1与﹣a+2是m的平方根，则m的值是________． 【答案】1或9 【解析】 【分析】本题分两种情况讨论：①当2a﹣1与﹣a+2相等时，列出等式进行计算；②根据正数的两个平方根互为相反数列出方程求出a，再求解即可． 【详解】解：①当2a﹣1与﹣a+2相等时，可得2a﹣1=﹣a+2，解得a=1，则2a﹣1=1，故m=1； ②∵2a﹣1与﹣a+2是m的平方根， ∴2a﹣1+（﹣a+2）=0， ∴a=﹣1，则2a﹣1=﹣2﹣1=﹣3， ∴m==9. 故答案为：1或9. 【点睛】本题考查平方根，解题的关键是分情况讨论，同时注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 15. 若，则______________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 先根据可得，再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案是：80． 16. 一个等腰三角形一条腰上的中线把这个三角形的周长分成了6和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解、三角形的三边关系和等腰三角形的定义，正确分类、熟练掌握相关基础知识是关键． 设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，分两种情况：当腰和腰的一半的和为6与当腰和腰的一半的和为12时，分别列出方程组结合三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，分两种情况： 当腰和腰的一半的和为6时，则， 解得， 此时三角形的三边为4，4，10，不能构成三角形，故舍去； 当腰和腰的一半的和为12时，则， 解得， 此时三角形的三边为8，8，2，能构成三角形； 所以三角形的底边长是2； 故答案为：2． 三、解答题一（共46分） 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）多项式乘以多项式的法则，先乘法，再加减运算， （2）先分别进行多项式的乘法运算，再去括号，合并同类项． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，应按照多项式乘以多项式的法则，先乘法，再加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18. 把下列各式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式，完全平方公式分解因式，熟练掌握因式分解的基本步骤和方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再用完全平方公式分解即可； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 【详解】略 20. 如图，，，求证：，小力和小旺分别想到了各自的证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①__________） 在和中， （③__________）， （④__________） 小旺的证法： ，（已知）， 且，（⑤________） 在和中， （⑦________）， ． 【答案】①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦ 【解析】 【分析】本题考查了等角的补角相等、三角形外角性质以及全等三角形的判定与性质，小力先用等角的补角相等证明出，再证明，最后根据全等的性质得到；小旺根据三角形外角性质得到且，，证明，最后根据全等的性质得到． 【详解】证：小力的证法： （已知）， 且， （等角的补角相等）， 在和中， ， ， （全等三角形的对应边相等）． 小旺的证法： ，（已知）， 且，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦． 21. 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． （2）已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 【答案】（1）， （2）另一个因式是，a的值是2 【解析】 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得和的值． （2）设另一个因式是，则利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【小问1详解】 解：设另一个因式是，则有： ， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； 【小问2详解】 解：二次三项式有一个因式是，是正整数，设另一个因式是，则 ， 则， 解得，或（舍去，不符合题意）， 另一个因式是， 故另一个因式是，． 22. 甲、乙二人共同计算时，均出现了失误：甲由于抄错了第一个多项式中的运算符号，即把“”抄成“”，得到的结果为；乙由于抄漏了第二个多项式中的系数，即把“”抄成“”，得到的结果为． （1）求出，的值． （2）在（1）的条件下，试求的正确结果． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，加减消元法，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据甲抄错与乙抄漏，列出关于、的方程组求解； （2）将代入式子中，再利用多项式乘多项式法则计算即可． 【小问1详解】 解：由题意，得， ， ， 解得∶， ；； 【小问2详解】 解：由（1）得， 原式． 四、解答题二（共50分） 23. 先化简，再求值∶，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，多项式乘以多项式，解题关键是掌握多项式乘以多项式法则． 先利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 24. 在△ABC中，AB＝CB，AB⊥CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．求证：BE＝BF． 【答案】 证明：∵AB⊥CB， ∴∠ABC=90°，∠CBF=90°， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）， ∴BE=BF． 【解析】 【分析】根据“HL”判断Rt△ABE≌Rt△CBF，则可得到BE=BF． 【详解】略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 25. 如图，大小不同的两块三角板和直角顶点重合在点处，，，连接、，点恰好在线段上． （1）找出图中的全等三角形，并说明理由； （2）当，则的长度为　　． （3）猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） ，理由如下： ∴ 在与中 ． （2）8 （3） ，理由如下： 与相交于点，在与中 ． 【解析】 【分析】（1），，知，可证； （2）根据计算求解即可； （3）与相交于点，在与中，，，，进而可说明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 故答案为：8． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了三角形全等．解题的关键在于证明三角形全等． 26. 【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴当时，的最小值是4． （1）【类比探究】求代数式的最小值； （2）【举一反三】利用一面长度为的墙，用长的篱笆，怎样围成一个面积最大的矩形场地？最大面积是多少？ 【答案】（1）3 （2）当垂直于墙的一边的长为，平行于墙的一边的长为时，围成的矩形面积最大，最大为． 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟知配方法是解题的关键． （1）仿照题意利用配方法求解即可； （2）设垂直于墙的一边的长为，则平行于墙的一边的长为，则矩形的面积为，据此求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值是3； 【小问2详解】 解：设垂直于墙的一边的长为，则平行于墙的一边的长为， ∴矩形的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积最大，最大值为， 当时，，此时符合题意， 答：当垂直于墙的一边的长为，平行于墙的一边的长为时，围成的矩形面积最大，最大值为． 27. 在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】（1） 证明：①∵， ∴． ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴； ②由①得， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴； （3） ． 由上述可知， ∴, ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，同角或等角的余角相等， 对于（1），①根据“同角的余角相等”得，再根据“角角边”可得答案； ②根据全等三角形的对应边相等得出，再根据得出答案； 对于（2），先根据“角角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； 对于（3），仿照上述过程解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期第二次月考试题 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 1 2. 若3•9m•27m＝321，则m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如果，那么代数式的值为（ ） A. B. C. 6 D. 13 4. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，过点作，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，大长方形由一个边长是a的小正方形和两个长、宽分别是a，b的小长方形组成．整个图形可表示出几个有关多项式因式分解的等式，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中，其中真命题有（ ）个 （1）在同一平面内，如果直线，那么；（2）两条直线平行，同旁内角相等；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（5）直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；（6）一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，那么这两个角一定相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是 80，则阴影部分的面积是（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 10. 如图，已知中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为（ ）时，能够在某一时刻使与全等． A. 4 B. 3 C. 4或3 D. 4或6 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 12. 若，，则______． 13. 如图，，要使，则需要添加的条件可以是__________．（添加一个条件即可） 14. 已知2a﹣1与﹣a+2是m的平方根，则m的值是________． 15. 若，则______________． 16. 一个等腰三角形一条腰上的中线把这个三角形的周长分成了6和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为______． 三、解答题一（共46分） 17. 计算： （1）． （2）． 18. 把下列各式分解因式： （1）； （2）． 19. 如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 20. 如图，，，求证：，小力和小旺分别想到了各自的证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①__________） 在和中， （③__________）， （④__________） 小旺的证法： ，（已知）， 且，（⑤________） 在和中， （⑦________）， ． 21. 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ， 解得：，． 另一个因式为，的值为 问题：仿照以上方法解答下面问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． （2）已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值． 22. 甲、乙二人共同计算时，均出现了失误：甲由于抄错了第一个多项式中的运算符号，即把“”抄成“”，得到的结果为；乙由于抄漏了第二个多项式中的系数，即把“”抄成“”，得到的结果为． （1）求出，的值． （2）在（1）的条件下，试求的正确结果． 四、解答题二（共50分） 23. 先化简，再求值∶，其中，． 24. 在△ABC中，AB＝CB，AB⊥CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．求证：BE＝BF． 25. 如图，大小不同的两块三角板和直角顶点重合在点处，，，连接、，点恰好在线段上． （1）找出图中的全等三角形，并说明理由； （2）当，则的长度为　　． （3）猜想与的位置关系，并说明理由． 26. 【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴当时，的最小值是4． （1）【类比探究】求代数式的最小值； （2）【举一反三】利用一面长度为的墙，用长的篱笆，怎样围成一个面积最大的矩形场地？最大面积是多少？ 27. 在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $