期末复习02用一元二次方程解决实际问题期末冲刺必备讲义(知识梳理+题型精析+压轴通关)2025-2026学年苏科版九年级数学上册

期末复习02用一元二次方程解决实际问题期末冲刺必备讲义 期末必备 知识 点梳理 1.核心逻辑:建模思想 2.常见实际问题类型及模型 3.易错点总结 4.解题技巧 5.核心模型对比 常考 题型 精讲 精炼 1.一元二次方程应用:传播类问题 2.一元二次方程应用:增长率类问题 3.一元二次方程应用:图形相关问题 4.一元二次方程应用:数字问题 5.一元二次方程应用:营销问题 6.一元二次方程应用:动态几何问题 7.一元二次方程应用:工程问题 8.一元二次方程应用:行程问题 9.一元二次方程应用:其他综合问题 10.一元二次方程应用:握手.循环赛问题 期末备考 压轴通关 压轴题(9) 【知识点01.解题核心流程】 核心流程： 1.审题：梳理已知量、未知量，明确数量关系（相等关系、倍数关系、和差关系等）； 2.设元：选择合适的未知量设为未知数（直接设元 / 间接设元）； 3.列方程：根据数量关系列出一元二次方程； 4.解方程：用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法求解； 5.检验：①检验解是否满足方程；②检验解是否符合实际问题的意义（如长度、数量为正，人数为整数等）； 6.作答：根据检验结果给出最终答案。 【知识点02.常见实际问题类型及模型】 （一）增长率 / 下降率问题 1. 基本公式 若初始量为a，平均增长率为x，经过n次增长后的量为b， 则：a(1+x)n=b 若为平均下降率， 则公式为：a(1−x)n=b（x为下降率，0<x<1） 2. 关键说明 *增长率 / 下降率是 “平均每次” 的变化比例，需明确增长 / 下降的次数； *初始量a是变化前的基础量，最终量b是变化后的量； *解出的增长率 / 下降率需满足实际范围（正数且≤1，若超过 1 需舍去）。 3. 示例 某工厂 2023 年的产值为 100 万元，2025 年的产值为 144 万元，求这两年的平均增长率。解：设平均增长率为x，则100(1+x)2=144，解得x1=0.2=20%，x2=−2.2（舍去）。 （二）传播问题 1. 核心模型 *单轮传播：1 个传染源，每轮传播给x个新对象，则 1 轮后总感染数为1+x； *多轮传播：若每轮传播的新对象不再参与传播（非连锁传播）：总感染数 = 1 + x + x + …（轮数次）； *连锁传播（核心考点）：1 个传染源，每轮每个感染者都传播给x个新对象，且新感染者下一轮继续传播，则： *第 1 轮后感染数：1+x； *第 2 轮后感染数：(1+x)+x(1+x)=(1+x)2； *第n轮后感染数：(1+x)n（若初始传染源为a个，则为a(1+x)n）。 2.关键说明 *传播问题的核心是 “连锁效应”，每轮新感染者都成为下一轮的传染源； *需明确 “传播轮数”“初始传染源数量”“每轮传播人数”； *解为负数或 0 需舍去（传播人数为正整数）。 3. 示例 有 1 人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均 1 个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均 1 人传染x人，则(1+x)2=121，解得x1=10，x2=−12（舍去）。 (三）面积 / 体积问题 1. 核心思路 利用几何图形的面积 / 体积公式，结合图形的拼接、裁剪、扩建等变化，找出变化前后的边长 / 半径等量的关系，列出方程。 2. 常见图形模型 *矩形 / 正方形面积 ① 直接面积型：长 × 宽 = 面积； ② 边框 / 道路型：若矩形场地长为a、宽为b，四周修宽度为x的道路，中间种植区域面积为S，则(a−2x)(b−2x)=S（道路在四周，双向减2x） ③ 内嵌矩形型：大矩形内嵌套小矩形，间距均匀，同理用 “整体边长 - 2× 间距” 表示小矩形边长。 *圆形面积：πr2=面积（若半径变化为x，则新半径为r±x）； *立体体积：如长方体体积 = 长 × 宽 × 高，圆柱体积 = πr2h（体积变化类问题同理）。 3. 关键注意 *边长、半径等量必须为正数，解为负数或超过原边长的需舍去； *图形的 “拼接” 需考虑重叠部分，“裁剪” 需考虑剩余部分的尺寸关系。 （四）利润 / 销售问题 1. 核心公式 *单件利润 = 单件售价 - 单件成本； *总利润 = 单件利润 × 销售数量； *销售数量与售价的关系：售价每提高 / 降低m元，销售数量减少 / 增加n件（需明确变化比例）。 2. 模型构建 设售价提高 / 降低x元，则： *新售价 = 原售价 ± x； *新单件利润 =（原售价±x） - 单件成本； *新销售数量 = 原销售数量 ∓×n（“+x” 对应 “- 数量”，“-x” 对应 “+ 数量”）； *总利润y=新单件利润 × 新销售数量，若已知总利润目标，令目标值列方程。 3. 示例 某商品每件成本 30 元，原售价 50 元，每月销售 200 件，若售价每提高 1 元，销量减少 10 件，求售价提高多少元时，每月总利润为 4800 元？ 解：设提高x元，则(50+x−30)(200−10x)=4800，化简为(20+x)(200−10x)=4800，解得x1=4，x2=8（均符合实际）。 （五）数字问题 1. 两位数 / 三位数表示方法 *两位数：十位数字为a，个位数字为b，则两位数 = 10a+b； *三位数：百位a、十位b、个位c，则三位数 = 100a+10b+c。 2. 常见题型 *数字位置互换：如两位数个位与十位互换后，新数与原数的和 / 差为某值； *数字间的数量关系：如十位数字比个位数字大 2，且这个两位数是个位数字的 12 倍等。 3. 关键注意 *数字a,b,c为 09 的整数（十位、百位数字不能为 0）； *解出的数字需满足位数规则（如十位数字不能为负数或大于 9）。 （六）握手 / 比赛问题 1. 核心模型 *握手问题：n个人两两握手，不重复、不遗漏，总握手次数为（每个人与n−1人握手，每两次握手重复计算一次）； *比赛问题： ① 单循环赛（每两队赛 1 场）：n支队伍总比赛场数 =； ② 双循环赛（每两队赛 2 场）：总比赛场数 =n(n−1)； ③ 淘汰赛（输者淘汰）：决出冠军需比赛n−1场（n支队伍）。 2. 关键说明 *握手 / 单循环赛的核心是 “无重复”，需除以 2 消除重复计数； *解为正整数（人数 / 队伍数为正整数），负数或非整数解舍去。 3. 示例 某次同学聚会，每两人都握一次手，共握手 45 次，求参加聚会的同学人数。 解：设参加聚会的同学有n人，则=45，化简为n2−n−90=0，解得n1=10，n2=−9（舍去）。 （七）工程 / 行程问题（拓展型） 1. 工程问题 *核心公式：工作效率 × 工作时间 = 工作量（通常设总工作量为 1）； *若原工作效率为（t为原完成时间），改进后效率提高x，则新效率为(1+x)，结合完成时间的变化列方程。 2. 行程问题 *核心公式：速度 × 时间 = 路程； 相遇 / 追及问题中，若速度变化为x，则新速度为v±x，结合路程相等或时间差列方程（较少考一元二次，多为一元一次，但若涉及速度平方或两次变化则为二次）。 【知识点03.易错点总结】 1.设元不当：间接设元时未明确未知量与所求量的关系，导致后续计算复杂； 2.数量关系错误： *增长率问题中混淆 “(1+x)2” 与 “1+2x”（平均增长率≠两次增长率之和）； *传播问题忽略 “连锁传播”，误按单轮传播计算； 3.忽略实际意义：解为负数、零或超出实际范围（如人数为小数、边长为负数）未舍去； 4.单位不统一：如长度单位混用（米与厘米）、货币单位不一致，导致方程错误； 5.解方程错误：配方时常数项移项错误、公式法中判别式计算错误、因式分解不彻底； 6.计数重复 / 遗漏：握手 / 比赛问题中未消除重复计数，或传播问题漏算初始传染源。 【知识点04.解题技巧】 1.优先选择直接设元：若所求量明确，直接设为未知数；若所求量复杂，设中间量为未知数（间接设元），最后转化为所求量； 2.画图辅助分析：面积问题、行程问题中，画出图形标注已知量和未知量，直观呈现数量关系； 3.分类梳理模型：遇到实际问题先判断类型（增长率 / 传播 / 利润等），对应套用核心公式，避免混淆； 4.检验步骤不可省：即使方程的解正确，也需验证是否符合实际场景（如利润问题中售价不能低于成本，传播人数为正整数）； 5.整理等量关系：将题目中的关键语句转化为数学等式（如 “增长到原来的 2 倍” 即 “=2×原数”，“两两握手” 即 “”）。 【知识点05.核心模型对比】 问题类型 核心公式 / 模型 关键注意点 增长率 / 下降率 a(1±x)n=b 增长率为正，下降率 0<x<1 传播问题（连锁） a(1+x)n=总数量 每轮新感染者参与下一轮传播 面积问题 图形面积公式 边长为正，不超过原尺寸 利润问题 总利润=单件利润×销售数量 售价≥成本，销量为正整数 握手 / 单循环赛 =总次数 消除重复计数 【题型1.一元二次方程应用:传播类问题】 【典例】近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而停课．甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传播后共有36人患了甲流，每轮感染中平均一个人感染几人？ 【跟踪专练1】生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【跟踪专练2】（1）解方程①    ② （2）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支． 【题型2.一元二次方程应用:增长率问题】 【典例】“一山揽胜景，美人卧池西．”凭借自身奇、绝、险、幽、秀美的自然景观，厚重的历史遗迹，丰富的文化内涵，西山坐稳了“滇中第一佳境”的名头，也成为云南旅游的一张亮眼名片．“网红打卡地”西山风景区在2025年10月1日国庆节，接待游客达2万人次，预计到10月3日这天将接待游客万人次． (1)求西山风景区2025年10月1日至2025年10月3日这3天时间内接待游客人次的平均增长率． (2)按这个增长规律，预计10月4日西山接待游客多少人？ 【跟踪专练1】某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． (1)求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 【跟踪专练2】某实验室进行溶液稀释实验，现有浓度为的盐水溶液，总质量为100克．实验要求：先倒出部分盐水，再加入相同质量的清水，再重复该操作一次后（每次倒出盐水的质量相同），测得新的盐水浓度为．求每次倒出盐水的质量． 【题型3.一元二次方程应用:图形相关问题】 【典例.】如图，学校生物小组的试验园地是一块长、宽的矩形，为便于管理，现要在中间开辟两横一纵的三条等宽小路．若要使种植面积为，求小路的宽． 【跟踪专练1】在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，养鸡场的面积是160平方米．为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽为多少米？ 【跟踪专练2】如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形），建造一个长方形健身区域（长方形）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合． (1)若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的的取值范围； (2)在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 【题型4.一元二次方程应用:数字问题】 【典例】2025年7月1日是建党104周年纪念日，在本月月历表上可以用一个方框圈出4个数（如下图所示）．若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为84，求这个最小数． 【跟踪专练1】已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数． 【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和； 【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数． 【跟踪专练2】某科技实验室研发了一台数据处理器，当输入任意一组数对时，处理器会按照规则计算并输出结果． (1)若输入，时，求处理器输出的数值； (2)已知输入数对后，处理器输出结果为，求n的值． 【题型5.一元二次方程应用:营销问题】 【典例】“我运动，我健康，我快乐！”渭南市市民健身热情越来越高，某健身器材店以每组30元的进价购进一批哑铃组，当每组售价50元时，1个月可售出150组，为了回馈顾客，该店决定从下个月起采用降价促销的方式，经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加10组，该店计划下个月售卖哑铃组获利3060元，为了尽可能多地让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 【跟踪专练1】2025年国家消费补贴政策已进入第四批资金冲刺阶段，在政府消费补贴政策推动下，家电市场销售持续升温．某家电商场采购一批扫地机器人进行销售，每台扫地机器人的进货价为1000元．调查发现，当每台的销售价为1500元时，平均每天能售出20台；而当每台扫地机器人的销售价每降低100元时，平均每天就能多售出10台．若设每台扫地机器人的销售价降低元． (1)这种扫地机器人平均每天的销售量为_____台；（用含的代数式表示） (2)该商场要想使这种扫地机器人平均每天的销售利润达到12000元，则每台扫地机器人的销售价应降低多少元？ 【跟踪专练2】学校项目实验小组有一块矩形试验田如图所示，、，为了管理方便，现要在试验田中间开辟一横两纵共三条等宽的管理通道，使种植区（图中阴影部分）总面积为． (1)求管理通道的宽； (2)实验小组计划将该试验田收获的作物进行义卖，所得款项用于公益．去年作物总产量为千克，义卖售价为8元/千克，所有作物全部售出．今年，通过改进种植技术使作物产量大幅提升，与去年相比，若每千克作物的售价每降低元，总销量可增加千克． ①若今年义卖售价定为元/千克，则作物的总销量为________千克，义卖总收入为________元． ②若今年义卖总收入预计为元，为尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为________元/千克． 【题型6.一元二次方程应用:动态几何问题】 【典例】如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【跟踪专练1】如图，在直角三角形中，，，，点P从点B开始沿以的速度向点A运动，同时，点Q从点B 开始沿以的速度向点C运动．那么几秒后，的面积为？ 【跟踪专练2】如图，在中，，，，现有两个动点，分别从点和点同时出发，其中点以的速度，沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接，设动点运动时间为． (1)用含的代数式表示，的长度； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)是否存在x值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【题型7.一元二次方程应用:工程问题】 【典例】某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【跟踪专练1】在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【跟踪专练2】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【题型8.一元二次方程应用:行程问题】 【典例】运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【跟踪专练1】一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 【跟踪专练2】在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 【题型9.一元二次方程应用:其他综合问题】 【典例】额尔古纳湿地位于内蒙古自治区呼伦贝尔市，是亚洲面积最大，保存最完好的木本湿地系统，被誉为亚洲第一湿地．为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准：标准一：如果人数不超过20人，门票价格为70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元／人． (1)若某单位组织22人去额尔古纳湿地旅游，购买门票费用为___________元； (2)若某单位支付该景区门票费用共计1500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 【跟踪专练1】高邮是一座历史悠久，文化底蕴深厚的国家历史文化名城，拥有独特的非物质文化遗产，文化名人辈出．某公司组织一批员工到高邮游玩，支付给旅行社29250元．该旅行社的收费标准如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加一人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元 求该公司参加旅游的员工人数． 【跟踪专练2】若关于的一元二次方程的两根均为整数，则称的值为该方程的“关联值”．如：方程两根均为整数，其“关联值”为． (1)方程的“关联值”为_________； (2)若关于的一元二次方程的“关联值”为1，求的值； (3)求证：关于的一元二次方程（为整数）一定有“关联值”． 【题型10.一元二次方程应用:握手.循环赛问题】 【典例】为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 【跟踪专练1】（1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 【跟踪专练2】2025年江西省举行赣超足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛． 本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区6个队，北区n个队，每个区进行双循环小组积分赛（每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛），各区取前四晋级决赛． (1)宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级，问：宜春队第一阶段共参与了____场比赛． (2)如果北区第一阶段比赛总场数为20场，求 n 的值． 1．化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 2．运城临猗苹果是山西省名优特产，其果色鲜艳，果肉脆甜，汁水丰富，富含人体所必需的各类营养成分，年获国家农产品地理标志登记保护，年入选国家特色农产品优势区，深受老百姓的喜爱．年临猗某果园苹果年产吨，年实现了年产吨的目标． (1)求该果园年至年苹果年产量的年平均增长率． (2)某果库以元的成本采购了苹果吨，目前可以以元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失吨，且每星期需要支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元，那么储藏多少个星期后，出售这批苹果可获利元？ 3．某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． (1)求停车位的宽． (2)该商场停车场原收费8元/小时，日均运营成本200元，高峰时段（12小时）车位全满，平峰时段（12小时）使用率．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低（因涨价导致部分车主选择其他停车场），若调整后日均利润为9208元，求a的值． 4．整体思想在解决数学问题中有重要作用． 例如: (1)为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为，求出； (2)现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，求出此数的值． 5．北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国，某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． (1)直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)该网店某天获得利润8000元，求当天的销售单价为多少元？ (3)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元（）给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则m的值是多少？ 6．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 7．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 8．如图，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，已知，，将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形．    (1)当点恰好落在轴上时，如图，求点的坐标． (2)连接，当点恰好落在对角线上时，如图，连接，． ①求证：； ②求点的坐标． (3)在旋转过程中，点是直线与直线的交点，点是直线与直线的交点，若，请直接写出点的坐标． 9．在平面直角坐标系xOy中，对任意两点，我们称，为点M与点N的“绝对和”，记作． 已知点． (1)在点中，与点P的“绝对和”为1的点是_______； (2)若直线上恰好有两个点与点P的“绝对和”等于1，求b的取值范围： (3)已知点，正方形ABCD顶点坐标分别为．若线段PR上存在点E，正方形ABCD上存在点F，使得，直接写出t的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习02用一元二次方程解决实际问题期末冲刺必备讲义 期末必备 知识 点梳理 1.核心逻辑:建模思想 2.常见实际问题类型及模型 3.易错点总结 4.解题技巧 5.核心模型对比 常考 题型 精讲 精炼 1.一元二次方程应用:传播类问题 2.一元二次方程应用:增长率类问题 3.一元二次方程应用:图形相关问题 4.一元二次方程应用:数字问题 5.一元二次方程应用:营销问题 6.一元二次方程应用:动态几何问题 7.一元二次方程应用:工程问题 8.一元二次方程应用:行程问题 9.一元二次方程应用:其他综合问题 10.一元二次方程应用:握手.循环赛问题 期末备考 压轴通关 压轴题(9) 【知识点01.解题核心流程】 核心流程： 1.审题：梳理已知量、未知量，明确数量关系（相等关系、倍数关系、和差关系等）； 2.设元：选择合适的未知量设为未知数（直接设元 / 间接设元）； 3.列方程：根据数量关系列出一元二次方程； 4.解方程：用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法求解； 5.检验：①检验解是否满足方程；②检验解是否符合实际问题的意义（如长度、数量为正，人数为整数等）； 6.作答：根据检验结果给出最终答案。 【知识点02.常见实际问题类型及模型】 （一）增长率 / 下降率问题 1. 基本公式 若初始量为a，平均增长率为x，经过n次增长后的量为b， 则：a(1+x)n=b 若为平均下降率， 则公式为：a(1−x)n=b（x为下降率，0<x<1） 2. 关键说明 *增长率 / 下降率是 “平均每次” 的变化比例，需明确增长 / 下降的次数； *初始量a是变化前的基础量，最终量b是变化后的量； *解出的增长率 / 下降率需满足实际范围（正数且≤1，若超过 1 需舍去）。 3. 示例 某工厂 2023 年的产值为 100 万元，2025 年的产值为 144 万元，求这两年的平均增长率。解：设平均增长率为x，则100(1+x)2=144，解得x1=0.2=20%，x2=−2.2（舍去）。 （二）传播问题 1. 核心模型 *单轮传播：1 个传染源，每轮传播给x个新对象，则 1 轮后总感染数为1+x； *多轮传播：若每轮传播的新对象不再参与传播（非连锁传播）：总感染数 = 1 + x + x + …（轮数次）； *连锁传播（核心考点）：1 个传染源，每轮每个感染者都传播给x个新对象，且新感染者下一轮继续传播，则： *第 1 轮后感染数：1+x； *第 2 轮后感染数：(1+x)+x(1+x)=(1+x)2； *第n轮后感染数：(1+x)n（若初始传染源为a个，则为a(1+x)n）。 2.关键说明 *传播问题的核心是 “连锁效应”，每轮新感染者都成为下一轮的传染源； *需明确 “传播轮数”“初始传染源数量”“每轮传播人数”； *解为负数或 0 需舍去（传播人数为正整数）。 3. 示例 有 1 人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均 1 个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均 1 人传染x人，则(1+x)2=121，解得x1=10，x2=−12（舍去）。 (三）面积 / 体积问题 1. 核心思路 利用几何图形的面积 / 体积公式，结合图形的拼接、裁剪、扩建等变化，找出变化前后的边长 / 半径等量的关系，列出方程。 2. 常见图形模型 *矩形 / 正方形面积 ① 直接面积型：长 × 宽 = 面积； ② 边框 / 道路型：若矩形场地长为a、宽为b，四周修宽度为x的道路，中间种植区域面积为S，则(a−2x)(b−2x)=S（道路在四周，双向减2x） ③ 内嵌矩形型：大矩形内嵌套小矩形，间距均匀，同理用 “整体边长 - 2× 间距” 表示小矩形边长。 *圆形面积：πr2=面积（若半径变化为x，则新半径为r±x）； *立体体积：如长方体体积 = 长 × 宽 × 高，圆柱体积 = πr2h（体积变化类问题同理）。 3. 关键注意 *边长、半径等量必须为正数，解为负数或超过原边长的需舍去； *图形的 “拼接” 需考虑重叠部分，“裁剪” 需考虑剩余部分的尺寸关系。 （四）利润 / 销售问题 1. 核心公式 *单件利润 = 单件售价 - 单件成本； *总利润 = 单件利润 × 销售数量； *销售数量与售价的关系：售价每提高 / 降低m元，销售数量减少 / 增加n件（需明确变化比例）。 2. 模型构建 设售价提高 / 降低x元，则： *新售价 = 原售价 ± x； *新单件利润 =（原售价±x） - 单件成本； *新销售数量 = 原销售数量 ∓×n（“+x” 对应 “- 数量”，“-x” 对应 “+ 数量”）； *总利润y=新单件利润 × 新销售数量，若已知总利润目标，令目标值列方程。 3. 示例 某商品每件成本 30 元，原售价 50 元，每月销售 200 件，若售价每提高 1 元，销量减少 10 件，求售价提高多少元时，每月总利润为 4800 元？ 解：设提高x元，则(50+x−30)(200−10x)=4800，化简为(20+x)(200−10x)=4800，解得x1=4，x2=8（均符合实际）。 （五）数字问题 1. 两位数 / 三位数表示方法 *两位数：十位数字为a，个位数字为b，则两位数 = 10a+b； *三位数：百位a、十位b、个位c，则三位数 = 100a+10b+c。 2. 常见题型 *数字位置互换：如两位数个位与十位互换后，新数与原数的和 / 差为某值； *数字间的数量关系：如十位数字比个位数字大 2，且这个两位数是个位数字的 12 倍等。 3. 关键注意 *数字a,b,c为 09 的整数（十位、百位数字不能为 0）； *解出的数字需满足位数规则（如十位数字不能为负数或大于 9）。 （六）握手 / 比赛问题 1. 核心模型 *握手问题：n个人两两握手，不重复、不遗漏，总握手次数为（每个人与n−1人握手，每两次握手重复计算一次）； *比赛问题： ① 单循环赛（每两队赛 1 场）：n支队伍总比赛场数 =； ② 双循环赛（每两队赛 2 场）：总比赛场数 =n(n−1)； ③ 淘汰赛（输者淘汰）：决出冠军需比赛n−1场（n支队伍）。 2. 关键说明 *握手 / 单循环赛的核心是 “无重复”，需除以 2 消除重复计数； *解为正整数（人数 / 队伍数为正整数），负数或非整数解舍去。 3. 示例 某次同学聚会，每两人都握一次手，共握手 45 次，求参加聚会的同学人数。 解：设参加聚会的同学有n人，则=45，化简为n2−n−90=0，解得n1=10，n2=−9（舍去）。 （七）工程 / 行程问题（拓展型） 1. 工程问题 *核心公式：工作效率 × 工作时间 = 工作量（通常设总工作量为 1）； *若原工作效率为（t为原完成时间），改进后效率提高x，则新效率为(1+x)，结合完成时间的变化列方程。 2. 行程问题 *核心公式：速度 × 时间 = 路程； 相遇 / 追及问题中，若速度变化为x，则新速度为v±x，结合路程相等或时间差列方程（较少考一元二次，多为一元一次，但若涉及速度平方或两次变化则为二次）。 【知识点03.易错点总结】 1.设元不当：间接设元时未明确未知量与所求量的关系，导致后续计算复杂； 2.数量关系错误： *增长率问题中混淆 “(1+x)2” 与 “1+2x”（平均增长率≠两次增长率之和）； *传播问题忽略 “连锁传播”，误按单轮传播计算； 3.忽略实际意义：解为负数、零或超出实际范围（如人数为小数、边长为负数）未舍去； 4.单位不统一：如长度单位混用（米与厘米）、货币单位不一致，导致方程错误； 5.解方程错误：配方时常数项移项错误、公式法中判别式计算错误、因式分解不彻底； 6.计数重复 / 遗漏：握手 / 比赛问题中未消除重复计数，或传播问题漏算初始传染源。 【知识点04.解题技巧】 1.优先选择直接设元：若所求量明确，直接设为未知数；若所求量复杂，设中间量为未知数（间接设元），最后转化为所求量； 2.画图辅助分析：面积问题、行程问题中，画出图形标注已知量和未知量，直观呈现数量关系； 3.分类梳理模型：遇到实际问题先判断类型（增长率 / 传播 / 利润等），对应套用核心公式，避免混淆； 4.检验步骤不可省：即使方程的解正确，也需验证是否符合实际场景（如利润问题中售价不能低于成本，传播人数为正整数）； 5.整理等量关系：将题目中的关键语句转化为数学等式（如 “增长到原来的 2 倍” 即 “=2×原数”，“两两握手” 即 “”）。 【知识点05.核心模型对比】 问题类型 核心公式 / 模型 关键注意点 增长率 / 下降率 a(1±x)n=b 增长率为正，下降率 0<x<1 传播问题（连锁） a(1+x)n=总数量 每轮新感染者参与下一轮传播 面积问题 图形面积公式 边长为正，不超过原尺寸 利润问题 总利润=单件利润×销售数量 售价≥成本，销量为正整数 握手 / 单循环赛 =总次数 消除重复计数 【题型1.一元二次方程应用:传播类问题】 【典例】近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而停课．甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传播后共有36人患了甲流，每轮感染中平均一个人感染几人？ 【答案】每轮感染中平均一个人感染人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 设每轮感染中平均一个人感染人，根据“小区经过两轮传播后共有36人患了甲流”，列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设每轮感染中平均一个人感染人， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， ， ， 每轮感染中平均一个人感染人． 【跟踪专练1】生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【答案】6 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．设这种植物每个支干长出个小分支，则1个主干长出个枝干，个枝干长出个小分支，再根据总数是43，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出个小分支， 则， 解得：，（舍）， 即这种植物每个支干长出个小分支． 【跟踪专练2】（1）解方程①    ② （2）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支． 【答案】（1）① ；②，；（2）每个支干长出9个小分支 【分析】此题考查了一元二次方程的解法与实际应用； （1）①用因式分解法求解即可； ②利用公式法求解方程即可； （2）由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，所以支干有x个，小分支共有个，根据“主干、支干和小分支的总数是91”即可列方程，再解方程即可求解． 【详解】解：（1）①， ， ， 或 解得，； ②， ，，，， ∴ ∴，； （2）由题意设每个支干长出x个小分支，则支干有x个，小分支共有个， 由题意得：， 整理得， 解得，（舍去）， 即每个枝干长出9个小分支． 【题型2.一元二次方程应用:增长率问题】 【典例】“一山揽胜景，美人卧池西．”凭借自身奇、绝、险、幽、秀美的自然景观，厚重的历史遗迹，丰富的文化内涵，西山坐稳了“滇中第一佳境”的名头，也成为云南旅游的一张亮眼名片．“网红打卡地”西山风景区在2025年10月1日国庆节，接待游客达2万人次，预计到10月3日这天将接待游客万人次． (1)求西山风景区2025年10月1日至2025年10月3日这3天时间内接待游客人次的平均增长率． (2)按这个增长规律，预计10月4日西山接待游客多少人？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)4日西山接待游客万人 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）设平均增长率是，可得：，求解即可； （2）根据增长率计算即可． 【详解】（1）解：设平均增长率是， 根据题意得：， 解得 (舍去)， 即平均增长率是； （2）解：预计10月4日西山接待游客（万人）． 【跟踪专练1】某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． (1)求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2)每件衬衫应降价20元； 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立利润与价格的等式是解题关键； （1）设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x，根据题意得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据商场平均每天盈利额每件的盈利售出件数；每件的盈利原来每件的盈利降价数．设每件衬衫应降价元，然后根据前面的关系式列出方程，解方程即可求出结果． 【详解】（1）解：设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x 由题意得： 解得：或（不合题意，舍去） 答：2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； （2）解：设每件衬衫应降价m元 由题意得： 整理得：，即 解得：或 因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存 所以 答：每件衬衫应降价20元． 【跟踪专练2】某实验室进行溶液稀释实验，现有浓度为的盐水溶液，总质量为100克．实验要求：先倒出部分盐水，再加入相同质量的清水，再重复该操作一次后（每次倒出盐水的质量相同），测得新的盐水浓度为．求每次倒出盐水的质量． 【答案】 30克 【分析】本题考查溶液浓度问题，解题的关键在于根据每次倒出盐水并加入清水后溶液浓度的变化规律来建立方程求解． 设每次倒出盐水质量为克，根据两次操作后剩余盐的质量关系列出方程，解二次方程并舍去不合理根． 【详解】解：初始盐的质量为克， 第一次操作：倒出克盐水，倒出盐克，剩余盐克， 加入清水后总质量100克，浓度， 第二次操作：倒出克盐水，倒出盐克，剩余盐克， 加入清水后总质量100克，浓度， ，可得， ， 或， ∵，∴， 答：每次倒出盐水的质量为30克． 【题型3.一元二次方程应用:图形相关问题】 【典例.】如图，学校生物小组的试验园地是一块长、宽的矩形，为便于管理，现要在中间开辟两横一纵的三条等宽小路．若要使种植面积为，求小路的宽． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程与实际问题，关键是找到等量关系列方程；由种植面积列方程求解． 【详解】解：设小路的宽为， 依题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：小路的宽为． 【跟踪专练1】在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，养鸡场的面积是160平方米．为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽为多少米？ 【答案】8米 【分析】设米，则米，根据养鸡场的面积是160平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长为22米，即可确定结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：重建后的养鸡场的宽为8米． 【跟踪专练2】如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形），建造一个长方形健身区域（长方形）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合． (1)若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的的取值范围； (2)在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在符合要求的正方形休息亭，其边长为米 【分析】本题考查了不等式组的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）根据正方形边长不小于长椅长度和健身区域的面积不小于64平方米列不等式组求解即可； （2）根据整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：根据题意，得， 整理得， 解得，， ∵， ∴， ∴存在符合要求的正方形休息亭，其边长为米． 【题型4.一元二次方程应用:数字问题】 【典例】2025年7月1日是建党104周年纪念日，在本月月历表上可以用一个方框圈出4个数（如下图所示）．若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为84，求这个最小数． 【答案】这个最小数为． 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出最大数与最小数的差值是解题的关键． 设圈出的四个数中最小数为，则最大的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的乘积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：设这个最小数为，则最大数为． 依题意，得． 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 故答案为：这个最小数为． 【跟踪专练1】已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数． 【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和； 【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数． 【答案】（1）它们的平方和是25（2）这两个正整数分别是8和9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由较小的数是3，可得出较大的数是4，将两个数的平方相加，即可求出结论； （2）设较小的正整数是，则较大的正整数是，根据这两个连续正整数的平方和是145，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）较小的数是3， 较大的数是4， 它们的平方和是． 答：它们的平方和是25； （2）设较小的正整数是，则较大的正整数是， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：这两个正整数分别是8和9． 【跟踪专练2】某科技实验室研发了一台数据处理器，当输入任意一组数对时，处理器会按照规则计算并输出结果． (1)若输入，时，求处理器输出的数值； (2)已知输入数对后，处理器输出结果为，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，实数的混合运算，正确理解题意是解题的关键． （1）按照规则，代入计算即可； （2）按照规则输入，得到一元二次方程，再进行求解并检验是否符合题意即可． 【详解】（1）解：输入，时，则； （2）解：输入数对后，则 解得， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， ∴n的值为1． 【题型5.一元二次方程应用:营销问题】 【典例】“我运动，我健康，我快乐！”渭南市市民健身热情越来越高，某健身器材店以每组30元的进价购进一批哑铃组，当每组售价50元时，1个月可售出150组，为了回馈顾客，该店决定从下个月起采用降价促销的方式，经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加10组，该店计划下个月售卖哑铃组获利3060元，为了尽可能多地让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 【答案】3元 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该哑铃组每组应降价m元，由该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，确定销售量与价格之间关系，再根据利润单件利润销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设该哑铃组每组应降价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价元， 【跟踪专练1】2025年国家消费补贴政策已进入第四批资金冲刺阶段，在政府消费补贴政策推动下，家电市场销售持续升温．某家电商场采购一批扫地机器人进行销售，每台扫地机器人的进货价为1000元．调查发现，当每台的销售价为1500元时，平均每天能售出20台；而当每台扫地机器人的销售价每降低100元时，平均每天就能多售出10台．若设每台扫地机器人的销售价降低元． (1)这种扫地机器人平均每天的销售量为_____台；（用含的代数式表示） (2)该商场要想使这种扫地机器人平均每天的销售利润达到12000元，则每台扫地机器人的销售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)降低100元或200元 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：销售价降低元，则销量提高台， 即平均每天的销售量为台， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得：，． 答：每台扫地机器人的销售价应降低100元或200元． 【跟踪专练2】学校项目实验小组有一块矩形试验田如图所示，、，为了管理方便，现要在试验田中间开辟一横两纵共三条等宽的管理通道，使种植区（图中阴影部分）总面积为． (1)求管理通道的宽； (2)实验小组计划将该试验田收获的作物进行义卖，所得款项用于公益．去年作物总产量为千克，义卖售价为8元/千克，所有作物全部售出．今年，通过改进种植技术使作物产量大幅提升，与去年相比，若每千克作物的售价每降低元，总销量可增加千克． ①若今年义卖售价定为元/千克，则作物的总销量为________千克，义卖总收入为________元． ②若今年义卖总收入预计为元，为尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为________元/千克． 【答案】(1)2米 (2)①，；② 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及销售问题中的数量关系．理解题意列出正确的数量关系是解题关键． （1）通过设通道宽，利用平移种植区的方法，得到种植区对应的矩形长和宽的代数式，再根据矩形面积公式列出一元二次方程，求解并检验得到通道宽度． （2）①先计算出售价降低的幅度，再根据“每降低元，总销量增加千克”求出销量增加量，进而得到总销量，最后根据“总收入售价销量”计算总收入即可． ②设售价为元/千克，先表示出销量随售价的变化量，再根据“总收入售价销量”列出一元二次方程，求解后结合“让购买者得到实惠”的条件选择合适的售价即可． 【详解】（1）解：设管理通道的宽为2米， 根据题意得， 解得，（不合题意，舍去） 答：管理通道的宽为米． （2）解：①千克， 元； ②设义卖售价应定为元/千克，售价降低了元， 增加的销量为千克， 总销量为千克， ， 解得，， 尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为元千克． 故答案为． 【题型6.一元二次方程应用:动态几何问题】 【典例】如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间就可以表示出，，再用就可以求出的长； （2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，； （2）解：存在，理由如下： 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 存在的值，使得的面积等于，此时的值为1． 【跟踪专练1】如图，在直角三角形中，，，，点P从点B开始沿以的速度向点A运动，同时，点Q从点B 开始沿以的速度向点C运动．那么几秒后，的面积为？ 【答案】3 【分析】本题主要考查了列方程解决几何问题，解题的关键是找出等量关系． 假设后，的面积为，表示出，根据三角形的面积列出方程求解即可． 【详解】解：假设后，的面积为， 则，根据题意得， ∴， 解得，符合题意，（负值已舍）， ∴3秒后，的面积为． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，现有两个动点，分别从点和点同时出发，其中点以的速度，沿向终点移动；点以的速度沿向终点移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接，设动点运动时间为． (1)用含的代数式表示，的长度； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)是否存在x值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查勾股定理，列代数式，一元一次方程及一元二次方程的应用，能够根据题意列出相应的方程是解题的关键． （1）先根据勾股定理求得，再根据路程速度时间求出，，再根据即可． （2）根据题意，当为等腰三角形时，，建立一个关于的方程，解方程即可． （3）用含的代数式表示出四边形的面积，利用四边形的面积为建立一个关于方程，解方程即可．若有解，则存在，若无解则不存在． 【详解】（1）解：，，， ． ，； （2）由题意，得 ， ． 当时，为等腰三角形； （3）假设存在的值，使得四边形的面积等于， 则 解得． 假设成立， 所以当时，四边形面积的面积等于． 【题型7.一元二次方程应用:工程问题】 【典例】某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 【跟踪专练1】在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 【跟踪专练2】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 【题型8.一元二次方程应用:行程问题】 【典例】运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 【跟踪专练1】一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 【答案】最早再过2小时能侦察到． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能找出军舰和侦察船的距离关系，利用勾股定理正确列出一元二次方程． 设侦察船由B出发到侦察到这艘军舰经过的时间是x小时，由题中信息可以知道军舰和侦察船的行驶方向互相垂直，所以军船和侦察船的距离和时间的关系式是：时侦察船可侦察到这艘军舰，解即可求时间x． 【详解】解：能．设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰， 则， 得：， 整理得， 即， ∴， ∴， 即当经过2小时至小时时，侦察船能侦察到这艘军舰． ∴最早再过2小时能侦察到． 【跟踪专练2】在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 【答案】(1)2， (2)4秒 【分析】本题考查了一元二次方程在匀变速直线运动中的应用，涉及平均速度公式、路程公式．解题用到的思想是方程思想，方法是根据题意建立速度、时间、路程的数量关系，通过列方程求解；解题关键是理解匀变速直线运动中平均速度的计算方法（初末速度的算术平均数）以及路程公式即的应用；易错点是在求解时间时，忽略小球停止运动的时间限制（5秒），导致误选不符合实际的解． （1）根据“速度均匀减少”的特点，用初速度与停止时的速度差除以时间可求每秒速度减少量；再根据速度减少规律，得出t秒后的速度表达式． （2）先根据平均速度公式求出时间段内的平均速度，再结合路程公式即建立关于时间t的一元二次方程，求解后结合小球停止时间的限制，舍去不符合实际的解，得到最终时间． 【详解】（1）根据题意，小球平均每秒速度减少量为：（米/秒）． 从开始滚动t秒后，速度减少了米/秒，所以此时速度为：（米/秒）． 故答案为：2，． （2）根据题意，平均速度． 因为运动路程即，且米， 解得，． 因为小球5秒后停止运动，不符合实际情况，舍去． 答：小球滚动24米用了4秒． 【题型9.一元二次方程应用:其他综合问题】 【典例】额尔古纳湿地位于内蒙古自治区呼伦贝尔市，是亚洲面积最大，保存最完好的木本湿地系统，被誉为亚洲第一湿地．为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准：标准一：如果人数不超过20人，门票价格为70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元／人． (1)若某单位组织22人去额尔古纳湿地旅游，购买门票费用为___________元； (2)若某单位支付该景区门票费用共计1500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 【答案】(1)1452 (2)25名 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算，解决本题关键是读懂题意，建立等式列方程． （1）根据标准二先求解门票，即可求解总费用； （2）根据费用共计1500元，则人数超过20人，则根据标准二建立等式列方程即可． 【详解】（1）解：门票价格为（元／人）， ∴（元 ）， 故答案为：1452； （2）解：设该单位有名员工去该景区旅游， 则可列方程：， 整理得：， 解得：， 当时，， 当时， 舍去， 该单位共有25名员工去该景区旅游． 【跟踪专练1】高邮是一座历史悠久，文化底蕴深厚的国家历史文化名城，拥有独特的非物质文化遗产，文化名人辈出．某公司组织一批员工到高邮游玩，支付给旅行社29250元．该旅行社的收费标准如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加一人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元 求该公司参加旅游的员工人数． 【答案】该公司参加旅游的员工人数为45人 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设该公司参加旅游的员工人数为人，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：设该公司参加旅游的员工人数为人， ∵， ∴， 依题意得： 解得：，； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ∴； 答：该公司参加旅游的员工人数为45人． 【跟踪专练2】若关于的一元二次方程的两根均为整数，则称的值为该方程的“关联值”．如：方程两根均为整数，其“关联值”为． (1)方程的“关联值”为_________； (2)若关于的一元二次方程的“关联值”为1，求的值； (3)求证：关于的一元二次方程（为整数）一定有“关联值”． 【答案】(1) (2)无解 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用因式分解法进行解方程，得，再把数值代入进行计算，即可作答． （2）先根据关于的一元二次方程的“关联值”为1，进行列式计算，得；再分别代入，进行计算，即可作答． （3）根据，得因为为整数，关于的一元二次方程的两根均为整数，再把数值代入进行化简，然后分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵方程， ∴， ∴， 则方程两根均为整数，其“关联值”为． （2）解：∵关于的一元二次方程的“关联值”为1， ∴， ∴， 解得， ∵， 当时，则， 即， 此时方程无实数根，不满足两根均为整数的条件， ∴舍去； 当时，则， 即， ∴ 此时方程无实数根，不满足两根均为整数的条件， ∴舍去 综上：的值是无解的； （3）证明：∵， ∴， ∴ ∵为整数， ∴关于的一元二次方程的两根均为整数， 依题意，， ∵为整数， ∴一元二次方程的“关联值”为， ∴关于的一元二次方程（为整数）一定有“关联值”． 【题型10.一元二次方程应用:握手.循环赛问题】 【典例】为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 【答案】共有6个队参赛． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数公式是解题的关键．设参赛队伍数量为，根据单循环赛制的比赛场数公式，建立方程求解． 【详解】解：设共有个队参赛， 由题意可得，， 解得：（不符合题意舍去）， 答：共有6个队参赛. 【跟踪专练1】（1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 【答案】（1）11支；（2）20件． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设应邀请支篮球队参加比赛，根据题意列方程求解即可； （2）由题意可知奖品数超过了10件，设购买的件数为，根据题意列方程求解，进而判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：设应邀请支篮球队参加比赛， 根据题意，可列方程： 整理得 解得或（舍去） 答：应邀请11支篮球队参加比赛； （2）解：， 奖品数超过了10件， 设购买的件数为，则每件商品的价格为：元，根据题意可得： 解得：， 当时，； 当时，，不合题意舍去； 答：王老师购买该奖品的件数为20件． 【跟踪专练2】2025年江西省举行赣超足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛． 本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区6个队，北区n个队，每个区进行双循环小组积分赛（每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛），各区取前四晋级决赛． (1)宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级，问：宜春队第一阶段共参与了____场比赛． (2)如果北区第一阶段比赛总场数为20场，求 n 的值． 【答案】(1)10 (2)5 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确地列出方程是解题的关键： （1）根据每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛，列出算式进行计算即可； （2）根据每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，宜春队要跟其他的5个队各踢2场， ∴宜春队第一阶段共参与（场）比赛； 故答案为：10； （2）由题意，， 整理，得：， 解得或（舍去）； 故． 1．化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值是． 2．运城临猗苹果是山西省名优特产，其果色鲜艳，果肉脆甜，汁水丰富，富含人体所必需的各类营养成分，年获国家农产品地理标志登记保护，年入选国家特色农产品优势区，深受老百姓的喜爱．年临猗某果园苹果年产吨，年实现了年产吨的目标． (1)求该果园年至年苹果年产量的年平均增长率． (2)某果库以元的成本采购了苹果吨，目前可以以元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失吨，且每星期需要支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元，那么储藏多少个星期后，出售这批苹果可获利元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解决本题的关键是根据题意找出等量关系，列出方程求解． 设果园年至年苹果年产量的年平均增长率为，可列方程，解方程即可求出平均增长率； 设储藏个星期后，出售这批苹果可获利元，根据利润总售价总成本，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设果园年至年苹果年产量的年平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 答：果园年至年苹果年产量的年平均增长率为； （2）解：设储藏星期后出售这批苹果可获利元， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 答：储藏个星期后出售这批苹果可获利元． 3．某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． (1)求停车位的宽． (2)该商场停车场原收费8元/小时，日均运营成本200元，高峰时段（12小时）车位全满，平峰时段（12小时）使用率．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低（因涨价导致部分车主选择其他停车场），若调整后日均利润为9208元，求a的值． 【答案】(1)停车位的宽为 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及矩形面积公式和利润的计算．分析边长的组成关系，根据价格调整后的使用率变化建立等量关系是解题关键． （1）用表示停车位的长和宽，再表示出停车场长和宽，根据矩形的面积公式列方程求解即可． （2）根据题意表示出停车场每日高峰时段和平峰时段的收费之和，减去成本即为利润，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设停车位的宽为，则停车位的长为，通车道宽为，停车场的长为，宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：停车位的宽为． （2）解：价格上涨后，停车场收费， 高峰时段收费为元， 平峰时段收费为元， ， 解得，， 当，，停车场使用率不可能为负值，故舍去， ． 答：的值为2． 4．整体思想在解决数学问题中有重要作用． 例如: (1)为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为，求出； (2)现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，求出此数的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程的应用，根据题目的整体思想运用的方法通过设未知数建立方程是解题的关键． （1）根据题意，通过设未知数，建立一元一次方程，解方程即可得解； （2）利用整体思想，将连分数设为变量，整理可得一元二次方程，最后用配方法解方程，结合即可得解． 【详解】（1）解：设， 则， ， 移项得，， 解得，， （2）解：设， 每一个分母都与原数完全一样， ， 整理，得， 移项，得， 配方，得， 即． 由此可得， ，， ， 的值为． 5．北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国，某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． (1)直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)该网店某天获得利润8000元，求当天的销售单价为多少元？ (3)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠m元（）给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则m的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）根据当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，列出函数解析式即可，根据单个销售利润不低于10元，且不高于31元，求出x的取值范围即可； （2）根据题意可知利润为，根据获得利润8000元，列出方程，解方程即可； （3）求出抛物线的对称轴为直线，根据，得出，根据二次函数的增减性得出当时，取得最大值，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个， ∴， ∵单个销售利润不低于10元，且不高于31元， ∴， ∴． 即，其中． （2）根据题意，得， 解得， ， ； （3）设每天扣除捐赠后可获得利润为元， 的对称轴为直线， ， ， 当时，随的增大而增大， 时，取得最大值， ， 解得． 6．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 7．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】(1)甲的说法不正确，理由见解析 (2)①；②过重 【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性． （1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可； （2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得． 【详解】（1）解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； （2）解：①由题意可知：， 解得， 故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比， 过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 8．如图，以矩形的顶点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，已知，，将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形．    (1)当点恰好落在轴上时，如图，求点的坐标． (2)连接，当点恰好落在对角线上时，如图，连接，． ①求证：； ②求点的坐标． (3)在旋转过程中，点是直线与直线的交点，点是直线与直线的交点，若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3)，． 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由勾股定理可求的长，即可求点坐标； （2）①连接交于点，由旋转的性质可得，，，，，，可得，进而得，由可证； ②通过证明点，点关于对称，可求点坐标，进而根据矩形的性质求得点的坐标，即可求解； （3）分两种情况讨论，由面积法可求，由勾股定理可求的值，即可求点坐标． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， 将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形， ，，， ， 点， （2）①连接交于点，如图所示：    四边形是矩形， ，， ，且， ， 将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形 ，，，，，， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ②， ， ， ， 点，点，点共线， ，， 点，点关于对称，且，， 点，， ，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵， ∴， 解得：,(舍去)， ∴， 设的坐标为，连接，交于点，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：， ∴． （3）如图所示，当点在点右侧，连接，过点作于， + ， 设，则，， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 负值舍去， ， ， 点， 如图所示，若点在点左侧，连接，过点作于，    ， 设，则，， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点， 综上所述：点，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，还考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，添加恰当辅助线是解本题的关键． 9．在平面直角坐标系xOy中，对任意两点，我们称，为点M与点N的“绝对和”，记作． 已知点． (1)在点中，与点P的“绝对和”为1的点是_______； (2)若直线上恰好有两个点与点P的“绝对和”等于1，求b的取值范围： (3)已知点，正方形ABCD顶点坐标分别为．若线段PR上存在点E，正方形ABCD上存在点F，使得，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据新定义计算得解； （2）设点在该直线上，坐标为，根据新定义列出方程，最终通过一元二次方程根的情况结合取值范围解决问题； （3）t的取值范围涉及到正方形上点的纵坐标的变化，结合新定义公式代入最大、最小值计算即可． 【详解】（1）与的绝对值和为： 与的绝对值和为： 与的绝对值和为：. 故答案为：，； （2）设点在该直线上，坐标为， 点与点的绝对值和为 ， 故， 当时，， ， 两边平方得，， ， ， ，， 恰好有两个点与点P的“绝对和”等于1， 解得，， 当时，， ， ，，， ， 解得，， 故的取值范围为：或； （3）设直线所在直线为， ，， ，解得，， ， 正方形随着的大小变化上下移动， 当最大时，即正方形所在位置纵坐标最大时，需满足最小，即为0，且对应线段上点的纵坐标最小， 线段上取点，正方形上取点， 则，解得，最大值为5， 同理，求最小值时，仍需满足，且对应线段上点的纵坐标最大， 线段上取点，正方形上取点， 则，解得，最小值为， 故的取值范围为：． 【点睛】本题考查了新定义综合问题，难度较大，涉及到绝对值、一元二次方程解法、根的判别式、一元一次不等式（组）、二元一次方程组、图形的变化与坐标等知识，理解题意用所学知识解决问题是关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $