期末复习04圆期末冲刺必备讲义（2）(知识梳理+题型精析+备考压轴通关)2025-2026学年苏科版九年级数学上册

该初中数学讲义以“对称图形——圆”为核心，通过表格梳理过点作圆规律、圆周角与圆心角关系等知识，用思维导图呈现圆的确定要素、三角形外接圆与外心、圆周角定理及推论的内在联系，突出“不在同一直线上的三点确定一个圆”“圆周角=1/2圆心角”等重难点。 讲义亮点在于“题型+技巧”双轨设计，如通过直角三角形外接圆半径计算（已知直角边3、4求半径）、圆内接四边形对角互补应用等题型，结合“遇直径找直角”等技巧，培养推理能力与模型意识。易错点警示帮助学生避坑，分层练习满足不同水平需求，助力教师精准教学与学生自主复习。

期末复习04圆期末冲刺必备讲义（2） 本部分属于“对称图形——圆”核心板块，2.3聚焦“圆的确定规则”，解决“如何作圆”“三角形与圆的关联”问题；2.4围绕“圆周角的性质”，建立“圆周角与圆心角、弧、弦的数量关系”，二者是圆的性质应用与几何计算的基础，常结合考查综合题型。 1. 核心重点：牢记“不在同一直线上的三点确定一个圆”“圆周角=1/2圆心角”及三大推论，掌握直角三角形外接圆的特殊性质； 2. 解题技巧：遇直径优先找90°圆周角，遇三角形外心先判断三角形形状，遇圆内接四边形优先用对角互补； 3. 作图关键：外接圆作图需准确作出两条边的垂直平分线，保留作图痕迹（垂直平分线的作图痕迹、交点标注、半径标注）。 期末必备 知识点梳理 1.圆的确定要素 2.过点作圆的规律(核心定理) 3.三角形的外接圆与外心 4.圆周角的定义与判定(易错点核心) 5.圆周角与圆心角.弧的关系 6.三大重要推论(中考高频考点) 7.易错点警示(期末避坑指南) 常考题型 精讲精炼 1.确定圆的基本条件 2.三角形外接圆的概念辨析与要点 3.三角形外心坐标的求解方法 4.特殊三角形外接圆半径的计算技巧 5.圆周角定理的内容与应用 6.同弧/等弧所对的圆周角的相等性质 7.半圆(直径)所对的圆周角是直角 8.90度的圆周角所对弦为直角的推论 9.圆内接四边形的角度求解方法 10.四边形外接圆直径的计算方式 期末备考 压轴通关 (18题) 【知识点01.圆的确定要素】 确定一个圆必须具备两个关键要素，二者缺一不可： *圆心：确定圆的位置（平面内固定点，圆上所有点到圆心距离相等）； *半径：确定圆的大小（连接圆心与圆上任意一点的线段长度，半径不变则圆的大小固定）。 【知识点02.过点作圆的规律】 过点的个数 能否作圆 圆的个数 圆心特点 关键说明 1个点 能 无数个 平面内任意点均可作为圆心 半径为圆心到该点的距离，距离不同圆不同 2个点（A、B） 能 无数个 所有圆心都在线段AB的垂直平分线上 垂直平分线上任意一点到A、B距离相等，可作为圆心，半径为该点到A（或B）的距离 3个点 分两种情况 不共线：1个；共线：0个 不共线时，圆心是三条线段垂直平分线的唯一交点 核心结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆（“确定”即存在且唯一） 【知识点03.三角形的外接圆与外心】 1. 核心概念 *三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆（一个三角形有且只有一个外接圆）； *三角形的外心：三角形外接圆的圆心（即三角形三边垂直平分线的交点）； *圆的内接三角形：顶点都在同一个圆上的三角形（一个圆有无数个内接三角形）。 2. 外心的核心性质 外心到三角形三个顶点的距离相等（距离即为外接圆半径）； 外心的位置由三角形的形状决定（关键考点）： 外心的位置随三角形类型不同而变化，具体分为三种情况： *1.锐角三角形的外心在三角形内部，其外接圆半径无特殊固定关系，需要通过作垂直平分线的作图方法计算得出； *2.直角三角形的外心在斜边中点处，这是直角三角形外心的特殊位置，由此可推出其外接圆半径等于斜边长度的一半，这是高频计算考点； *3.钝角三角形的外心在三角形外部，且具体位于钝角所对边的垂直平分线延长线上。 3. 三角形外接圆的尺规作法（必考考点） (1)作三角形任意两条边的垂直平分线（推荐选较短边，作图更简便）； (2)两条垂直平分线的交点即为外心（圆心）； (3)以圆心到任意一个顶点的距离为半径，画圆即可（此圆即为三角形的外接圆）。 【知识点04.圆周角的定义与判定】 圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角（两个条件必须同时满足，缺一不可）。 易混区分：圆心角的顶点在圆心，两边必然与圆相交；而顶点在圆上但一边与圆不相交的角，不是圆周角。 【知识点05.圆周角与圆心角.弧的关系】 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。 1. 定理核心内涵 *前提：“同弧或等弧”（确定对应的圆周角和圆心角，是计算的关键）； *数量关系：∠圆周角 = 1/2 ∠圆心角； *延伸结论：同弧或等弧所对的圆周角相等（因为它们所对的圆心角相等）。 2. 圆周角与弧的延伸关系 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半（因圆心角的度数等于它所对弧的度数，结合圆周角定理推导得出），即：∠圆周角 = 1/2 弧的度数。 【知识点06.三大重要推落(中考高频考点】 推论类别 核心内容 应用场景 推论1（直径与直角关联） 半圆（或直径）所对圆周角为90°；90°圆周角所对弦为直径 构造直角三角形解题 推论2（角与弧、弦转化） 同圆/等圆中，相等圆周角所对弧、弦均相等 角度、弧、弦等量转化 推论3（圆内接四边形性质） 对角互补；任一外角等于内对角 圆内接四边形角度计算 【知识点07.高频易错点警示】 一.确定圆的条件易错点 *1.遗漏“不在同一直线上”的前提，错误认为“任意三点确定一个圆”； *2.混淆外心与内心的性质：外心到顶点距离相等，内心到边距离相等，易记混； *3.求直角三角形外接圆半径时，误将直角边当作斜边计算，忘记“半径=斜边一半”的结论； *4.作图时仅作一条边的垂直平分线找外心，导致圆心位置错误（需作两条边的垂直平分线交点）。 二.圆周角易错点 *1.圆周角判定遗漏条件：仅关注“顶点在圆上”，忽略“两边与圆相交”； *2.应用定理时找错对应弧：误将圆周角与不对应的圆心角关联，导致角度计算错误； *3.混淆“弦所对的圆周角”：一条弦可对两个互补的圆周角（分别在弦的两侧），仅直径所对的圆周角必为90°，非直径的弦所对的圆周角不一定是直角； *遗忘圆内接四边形的性质：解题时未利用“对角互补”“外角等于内对角”，导致思路卡顿。 【题型1.确定圆的基本条件】 【典例】下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以为半径 C．以点O为圆心，为半径 D．经过已知点M 【答案】C 【分析】本题考查了圆的相关概念． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【跟踪专练1】若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 【跟踪专练2】下列语句正确的是（    ） A．旋转后的图形一定与原图形全等 B．弧长相等的弧所对的圆心角相等 C．任意四个点一定可以确定一个圆 D．圆内接三角形一定是直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查几何图形的性质，包括旋转的性质、圆的性质等．选项A涉及旋转后的图形全等性；选项B涉及等弧与圆心角的关系；选项C涉及点与圆的位置关系；选项D涉及圆内接三角形的性质．根据初中数学知识判断各选项正误． 【详解】解：A． 旋转后的图形一定与原图形全等，故该选项正确，符合题意； B． 同圆或等圆中，弧长相等的弧所对的圆心角相等，故该选项不正确，不符合题意； C． 不在同一直线上的三点确定一个圆，但四点不一定共圆，故该选项不正确，不符合题意； D． 圆内接三角形不一定是直角三角形，只有当一条边是直径时才是直角三角形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【题型2.三角形外接圆的概念辨析与要点】 【典例】如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握三角形外心的定义（三角形三边垂直平分线的交点），并通过作图确定外接圆经过的格点． 先作出、的垂直平分线，找到它们的交点（即外接圆的圆心），再以为圆心、为半径作圆，最后数出该圆除、、外经过的格点数． 【详解】解：如图，分别作、的中垂线，两直线的交点为， 以为圆心、为半径作圆，则即为过，，三点的外接圆， 由图可知，还经过点、、、、这5个格点， 故答案为：5． 【跟踪专练1】下列说法错误的是（   ） A．半径相等的两个半圆是等弧 B．面积相等的两个圆是等圆 C．长度相等的两条弧一定是等弧 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【答案】C 【分析】本题考查了等弧、等圆的定义以及三角形外心的性质，掌握圆的相关性质是解题关键．根据“等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合”；“等圆半径相等”；“三角形外心到顶点距离相等”逐项判断即可． 【详解】解：A、半径相等的两个半圆，所在圆是等圆，半圆弧长相等且能重合，原说法正确，不符合题意； B、圆面积相等则半径相等，故是等圆，原说法正确，不符合题意； C、等弧需在同圆或等圆中能够完全重合，长度相等的两条弧不一定满足此条件，原说法错误，符合题意； D、三角形的外心是垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】平面内，，，，五个点如图．过点 所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 【答案】A、E、C 【分析】本题主要考查了圆的认识、三角形的外接圆等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线，再结合图形即可得解． 【详解】解：要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线； 因为当三个点接近共线时，它们所确定的圆的半径会趋向于无穷大， 由图可知点A、E、C三点接近共线，符合题意， 故答案为：A、E、C． 【题型3.三角形外心坐标的求解方法】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 【跟踪专练1】.如图，直角坐标系中，经过三点的圆，圆心为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆的圆心，掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是正确解答此题的关键．先求得的垂直平分线所在的直线为，可知圆心在直线上，设，根据，可求点M坐标． 【详解】解：，， 的垂直平分线所在直线上， 圆心在直线上，设， ， ， 解得，则． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形外心、垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点⑩解题的关键． 分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心，然后直接写出坐标即可解答． 【详解】解：如图：分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心． 易得点P的坐标为，即的外心坐标为． 故选D． 【题型4.特殊三角形外接圆半径的计算技巧】 【典例】若直角三角形的两直角边长分别为3和4，则它的外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊三角形的外接圆半径；先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半求解． 【详解】解：直角三角形的两直角边长分别为和， 斜边长， 外接圆半径． 故答案为： 【跟踪专练1】如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，，，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键． 【跟踪专练2】直角三角形的两边长分别为5和12，则此三角形的外接圆半径是 ． 【答案】或6 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆的应用，注意：直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半． 分为两种情况，①当斜边是12时，②当两直角边是5和12时，求出即可． 【详解】解：分为两种情况： ①当斜边是12时，直角三角形的外接圆的半径是； ②当两直角边是5和12时，由勾股定理得：斜边为， 直角三角形的外接圆的半径是； 故答案为：或6． 【题型5.圆周角定理的内容与应用】 【典例】如图，是的外接圆，E是的中点，连接并延长交于点D，连接，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接、，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，进而根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：连接、， 由圆周角定理得：， ∵E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，、、、在上，，、的延长线交于点，且，则弧的度数为 ． 【答案】/度 【分析】连接，根据得到，得到，根据三角形的内角和列式计算即可． 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接、， ， ， ， ，， ， 解得，， 的度数为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，，，都是的半径，连接，，，则的度数（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角的定理求出的度数，可得的度数，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【题型6.同弧/等弧所对圆周角的相等性质】 【典例】如图，四边形是的内接四边形，点D是弧的中点，点E是弧上的一点，若，则的度数为 【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，由圆内接四边形对角互补得到的度数，再由可得，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵点D是弧的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，是的直径，C，D是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理及直径所对圆周角的性质，解题关键是熟练掌握圆周角定理及直径所对圆周角的性质． 由同弧圆周角相等得，由直径所对圆周角为直角得，利用直角三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：连接， ∵同弧所对的圆周角相等，， ∴． ∵是直径， ∴， 在，中 ． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，OA是的半径，弦，D是上一点，且点在优弧BC上．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键． 连接，根据垂径定理，证明，圆周角定理，证明，计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型7.半圆(直径)所对圆周角是直角】 【典例】如图，是的直径，是的弦，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，连接．利用三角形内角和定理求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵是直径， ∴． ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，BD是的直径，点A，C在上，交BD于点．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，三角形的内角和定理等知识，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求出，根据圆周角定理得出，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解∶∵BD是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，是半圆的直径，，等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，因为是半圆的直径，所以，由，根据圆周角定理得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【题型8.90度圆周角所对弦为直径的推论】 【典例】如图，一圆形玻璃镜面被损坏了一部分，为了得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺量得，，则该圆形镜面的直径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，连接，由圆周角定理得是圆形镜面的直径，再利用勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，且是圆周角， ∴是圆形镜面的直径， ∵，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列说法正确的个数有（   ） ①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②等弧所对的圆心角相等；③在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；④的角所对的弦是直径． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本性质，注意垂径定理的条件和圆周角定理的应用． 根据圆的性质，垂径定理和圆心角、弧、弦的关系判断每个说法的正确性． 【详解】解：① ∵ 当弦是直径时，平分弦的直径不一定平分弦所对的弧，∴ 说法错误； ② ∵ 等弧所对的圆心角相等，∴ 说法正确； ③ ∵ 在等圆中，弧相等则圆心角相等，所对的弦也相等，∴ 说法正确； ④ ∵ 只有的圆周角所对的弦是直径，但这里未指定角类型，∴ 说法错误． ∴ 正确的有2个． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面几何中的最值问题，将转换成圆的直径是解题的关键． 由可知，点在以为直径的圆上，故以为直径作，连接交于E，则E为所求，由此即可求出最值． 【详解】解：于点E，D为边上动点， 点E的轨迹为以的中点O为圆心，为半径的圆， 当点B，O，E共线时，最小， ∵等边三角形，， ∴， ∴， ． 故答案为：． 【题型9.圆内接四边形的角度求解方法】 【典例】如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【跟踪专练1】如图，是的弦，把沿弦对折，是对折后上的一点，是对折前优弧上的一点．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形折叠的问题以及圆内接四边形的性质，解题的关键是翻折，点落在处，得出．由已知条件先求出，再利用圆内接四边形的性质即可求出的度数，分别得到和，相减即可． 【详解】解：如图所示，翻折，点落在处， ， ，， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，是的直径，点D是弧的中点，，的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理的应用，连接，求解，可得，求解，结合，可得答案． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D是弧的中点， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【题型10.四边形外接圆直径的计算方式】 【典例】已知，如图，，点A，B为射线，上的动点，且，在的内部、的外部有一点P，且，，则线段的取范围 ． 【答案】 【分析】如图，由条件可以得出四点共圆，当是圆的直径时的值最大，当点与点或点重合时的值最小，通过解直角三角形就可以求出结论． 【详解】解：，， ， 四边形四点共圆． 当为直径时，最大， ． ， ，，， ， ． ， 在中，由勾股定理，得 ， ． ， ， ． 当点与顶重合时，最小．作于点．   ， ． ， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， ， 即． 的取值范围是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，垂径定理的性质的运用，勾股定理的运用，四点共圆定理的运用，解答时运用等腰三角形的性质及垂径定理求解是关键． 【跟踪专练1】如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】连接，，，证明，根据全等三角形的性质得到，进而求出，根据勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：连接，，， 在中，，， ， 点分别是和的中点， ，，，， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 是直角三角形，且， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理、等边对等角等知识，解题的关键是正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质． 1．如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 个． 【答案】3 【分析】本题考查了确定圆的条件. 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故答案为：3． 2．在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是确定圆的条件、待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，再根据不在同一直线上的三个点确定一个圆解答． 【详解】解：设直线的解析式为： 则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点在直线上， ，， 三点可以确定一个圆时，， 故选：D． 3．下列说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 【答案】D 【分析】本题题考查了圆周角定理、以及弦、弧、圆心角的概念和联系．解题的关键是熟记与正确理解定义与定理．根据相关概念与知识点之间的联系，逐项判断．即可解题． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧相等，所对的劣弧相等，故选项错误，不符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意； D、等弧一定是在同圆或等圆中， 等弧所对的弦相等，故选项正确，符合题意； 故选：D． 4．直角三角形的两直角边长是一元二次方程 的两根，则该三角形外接圆的半径是 ． 【答案】5 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，勾股定理和三角形的外接圆，利用韦达定理和代数式变形求出斜边长是解题关键． 直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半．两直角边是方程的两个根，利用根与系数的关系求出两直角边的和与积，再通过勾股定理求出斜边长度，进而得到半径． 【详解】解：设两直角边分别为 和 ，则根据根与系数的关系，有 ，． 由勾股定理可得，斜边 ． ∵， ∴ ， ∵直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半， ∴外接圆半径， 故答案为：5． 5．如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，，则以、、为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，三角形的外接圆与圆心．根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：如图，作弦、的垂直平分线， ∵点、、的坐标分别为，，， 所以弦，弦， ∴弦的垂直平分线与轴相交于点，弦的垂直平分线与轴相交于点， ∴两条垂直平分线的交点即为三角形外接圆的圆心，且点的坐标是． 故答案为：． 6．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（ ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵的外心为O， ． ， ， 、是方格纸格线的交点， 、的位置如图所示， ． 故选：D． 7．如图，上三点B、C、D将圆三等分，弦，若，则 ． 【答案】 【分析】连接，作于点，作垂直延长线于点，设，，，在中，则，在中，则，最后可求解. 【详解】解：如图，连接，作于点，作垂直于延长线于点， ∵上三点B、C、D将圆三等分 ∴， ∵， 设，， 在中，， ∴ ∴， ∴ 在中，则 同理在中，则 ∴ 解得：或（不合题意，舍去） ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆的基本性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是与圆有关的综合题，难度适中，解答的关键是认真审题，找到相关联的信息，结合图形，掌握相关知识的运用是解答的关键． 8．“七巧板”是我国古代劳动人民的发明，被誉为“东方魔方”．小洁同学用一个边长为的正方形纸片制作出如图①的七巧板，并拼出如图②的轴对称图形．过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则这个圆的半径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了七巧板，正方形的性质，确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心，垂直平分交于点，为圆心，连接，先求得，，利用垂径定理求得的长，在中，由勾股定理求解即可，解题的关键是作出适当的辅助线，构造直角三角形． 【详解】解：如图，垂直平分交于点，为圆心，连接， ∵将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形， ∴，， ∴， 设该圆的半径长是，则，， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴该圆的半径长是， 故选：C． 9．如图，点C，D在以为直径的半圆上，与的度数之和为，延长与交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了直径所对的圆周角为直角，圆心角、弧的关系，圆周角定理，掌握相关知识是解题的关键．根据圆周角定理及邻补角定义求出，根据圆周角、弧的关系求出，根据三角形内角和定理、对顶角性质求出，再根据四边形内角和是求解即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点，设圆心为，连接， 是半圆的直径， ， ， 与的度数之和为， ∴， ， ， ， 故选：C． 10．如图，以为圆心，4为半径的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为上一动点，于点F，则线段的长度的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握相关性质定理，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，连接，利用勾股定理求出和的长，当点在的延长线上时，的长度最小，最小值，即可得到答案． 【详解】解：连接，过点作于点，连接， 的半径为4， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的上， ， 当点在的延长线上时，的长度最小，最小值， 故答案为：． 11．如图，的半径是4，是的弦，点C在外，连接．若，则长的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】设与交于点D，连接，过点O作于E，连接，由圆周角定理得到，则可证明是等边三角形，得到，则点E是的中点，，由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到，根据，可得当三点共线，且点E在线段上时，有最大值，最大值为． 【详解】解：如图所示， 设与交于点D，连接，过点O作于E，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当三点共线，且点E在线段上时，有最大值，最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，一点到圆上一点的距离的最值问题，能够正确作出辅助线是解题的关键． 12．如图，在四边形中，，是的中点，是的中点，若，，，则的长为 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查圆内接四边形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质等知识点，解答此题的关键是得出，，，四点共圆． 连接，，根据且为中点，证明是等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质得到，根据圆周角定理得到，求得，，进而可得出结论． 【详解】连接，，如图， ，且为中点， ， ， ， 为中点， ， ， ，，，四点共圆， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 由勾股定理得 ， ， ， 故选A． 13．在中，，为上一个定点，用无刻度直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）    (1)如图1，作，使得经过点，并且与相切于点； (2)如图2，连接，在边上求作点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是圆的综合题，考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握几何的特征，作出符合条件的图形． （1）连接，作线段的垂直平分线，过点作的垂线，与交于点，以为圆心，为半径画圆，则即为所作； （2）作关于的对称点；作的外接圆与交于点，则点即为所作． 【详解】（1）解：如图，即为所作；    （2）解：如图，点即为所作．    14．如图1，在中，，以为直径作分别交于点D，    (1)求证： (2)若，，求半径． (3)如图2，点F在上，，连接、．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)见解析 【分析】（1）如图：连接，利用圆周角定理和等腰三角形的三线合一的性质即可证明结论； （2）如图：连接，利用圆周角定理和勾股定理求得，设半径为r，则，再利用勾股定理列出方程求解即可； （3）如图，连接，，利用圆周角定理，等腰三角形的性质得到，利用圆周角定理的推论得到，致力于平行线的判定与性质，圆的内接四边形的性质和等腰三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，   为的直径， ， ， ， ． （2）解：如图：连接，    由（1）知：， ， ， 为的直径， ， ， 设半径为r，则， ， ， ，解得：， 半径为5． （3）证明：如图，连接，   为的直径， ， ， ， ，， ， ∵， ， ， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、圆的内接四边形的性质、直角三角形的性质，等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等知识点，连接直径所对的圆周角是直角成为解题的关键． 15．已知：如图，在中，弦、相交于点P，，．求证：弦是的直径． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，连接，，，，根据弧、弦的关系可得出，根据证明，可得出，根据证明，得出，根据圆内接四边形的性质，得出，则可求出，然后根据的圆周角所对的弦是直径即可得证． 【详解】证明：连接，，，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴，即， 又，， ∴， ∴， 又四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴弦是的直径． 16．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，和都为等腰直角三角形，且，，把绕点O逆时针旋转得，旋转角为． (1)如图2，当时，求点的坐标； (2)在绕点O逆时针旋转过程中： ①如图3，当点恰好落在线段上时，求的长； ②设线段与线段的交点为H，求出和面积之和的最大值，并求出此时H点的坐标．（直接写结果） 【答案】(1) (2)①；②最大值为，H点坐标为 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的直角三角形性质及利用不等式求面积最值，解题的关键是熟练运用旋转性质构造全等三角形，结合几何图形边角关系及最值定理求解． （1）先根据等腰直角三角形性质得，由旋转性质知；作轴构造直角三角形，利用角的直角三角形边角关系求出和，结合象限符号得出坐标； （2）①先确定的边角性质，利用旋转性质证，得；构造等腰直角三角形和直角三角形，分别求出和，相加得长度； ②连接，由全等及四点共圆得出和均为直角三角形；利用不等式分别求两个直角三角形的最大面积，相加得总面积最大值，确定此时旋转角及H点坐标． 【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，O为原点，， ∴在x轴负半轴，在y轴正半轴； ∵绕O逆时针旋转得， ∴（旋转性质：对应边相等）； 过作轴于点M，此时为直角三角形， 由旋转方向可知：在第三象限，故从x轴负方向逆时针转，与x轴负方向夹角为； 在中，， ∴（含角的直角三角形，对边为斜边一半）， ； ∵在第三象限，横坐标与纵坐标均为负， ∴的坐标为； 故答案为：. （2）①解：连接， ∵为等腰直角三角形，O为原点，， ∴； 由旋转性质得：， ∴，即； 在和中，， ∴， 故，； 过点O作，垂足为N，， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， ∴； ②解：连接， 由①知， ∴， ∴四点共圆，四点共圆， ∴． 设的两条直角边为a与b，则， 由得，， 设的两条直角边为c与d， 则， 由得，， 当旋转角时，，和面积之和最大，此时H点坐标为， 最大值． ∴和面积之和最大值为，此时H点坐标为． 17．如图，正方形的边长为，点、分别是边、上的动点，，求面积的最小值． 【答案】 【分析】将绕点顺时针旋转得到，得出，设，则得出，然后作的外接圆，连接，，，过点作于点，根据等角定高模型求得，进而根据完全平方公式与二次根式的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴在直线上， 设，则 ∴ 作的外接圆，连接，，，过点作于点， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 则是等边三角形， 设的半径为，则， ∵， ∴ 解得：，即 ∵即 ∴ ∴，即的最大值为， ∴， ∴面积的最小值为． 18．综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 【答案】（1）相等，垂直 （2）证明见解析 （3） （4） 【分析】（1）根据图形进行猜想即可； （2）过点作于，过点作分别交、于、， 证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明； （3）证明，得出，，再证明，在中，利用勾股定理求出，由等面积法得求出，在中，利用勾股定理求出，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解； （4）构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于，证明是等腰直角三角形，得出，求得，则当最小时，的面积最小，则最小时，的面积最小，由，可知当最小时，的面积最小，由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小，此时，点与重合，再进行计算即可． 【详解】解：（1）相等，垂直； （2）过点作于，过点作分别交、于、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）在正方形中，由，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 得， 由等面积法得， 即， ∴， 在中，， 由（2）可知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （4）如图，构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵正方形中，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∴最小时，的面积最小， ∵， ∴当最小时，的面积最小， 由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小， 此时如图，点与重合， 则， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，外接圆，二次根式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习04圆期末冲刺必备讲义（2） 本部分属于“对称图形——圆”核心板块，2.3聚焦“圆的确定规则”，解决“如何作圆”“三角形与圆的关联”问题；2.4围绕“圆周角的性质”，建立“圆周角与圆心角、弧、弦的数量关系”，二者是圆的性质应用与几何计算的基础，常结合考查综合题型。 1. 核心重点：牢记“不在同一直线上的三点确定一个圆”“圆周角=1/2圆心角”及三大推论，掌握直角三角形外接圆的特殊性质； 2. 解题技巧：遇直径优先找90°圆周角，遇三角形外心先判断三角形形状，遇圆内接四边形优先用对角互补； 3. 作图关键：外接圆作图需准确作出两条边的垂直平分线，保留作图痕迹（垂直平分线的作图痕迹、交点标注、半径标注）。 期末必备 知识点梳理 1.圆的确定要素 2.过点作圆的规律(核心定理) 3.三角形的外接圆与外心 4.圆周角的定义与判定(易错点核心) 5.圆周角与圆心角.弧的关系 6.三大重要推论(中考高频考点) 7.易错点警示(期末避坑指南) 常考题型 精讲精炼 1.确定圆的基本条件 2.三角形外接圆的概念辨析与要点 3.三角形外心坐标的求解方法 4.特殊三角形外接圆半径的计算技巧 5.圆周角定理的内容与应用 6.同弧/等弧所对的圆周角的相等性质 7.半圆(直径)所对的圆周角是直角 8.90度的圆周角所对弦为直角的推论 9.圆内接四边形的角度求解方法 10.四边形外接圆直径的计算方式 期末备考 压轴通关 (18题) 【知识点01.圆的确定要素】 确定一个圆必须具备两个关键要素，二者缺一不可： *圆心：确定圆的位置（平面内固定点，圆上所有点到圆心距离相等）； *半径：确定圆的大小（连接圆心与圆上任意一点的线段长度，半径不变则圆的大小固定）。 【知识点02.过点作圆的规律】 过点的个数 能否作圆 圆的个数 圆心特点 关键说明 1个点 能 无数个 平面内任意点均可作为圆心 半径为圆心到该点的距离，距离不同圆不同 2个点（A、B） 能 无数个 所有圆心都在线段AB的垂直平分线上 垂直平分线上任意一点到A、B距离相等，可作为圆心，半径为该点到A（或B）的距离 3个点 分两种情况 不共线：1个；共线：0个 不共线时，圆心是三条线段垂直平分线的唯一交点 核心结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆（“确定”即存在且唯一） 【知识点03.三角形的外接圆与外心】 1. 核心概念 *三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆（一个三角形有且只有一个外接圆）； *三角形的外心：三角形外接圆的圆心（即三角形三边垂直平分线的交点）； *圆的内接三角形：顶点都在同一个圆上的三角形（一个圆有无数个内接三角形）。 2. 外心的核心性质 外心到三角形三个顶点的距离相等（距离即为外接圆半径）； 外心的位置由三角形的形状决定（关键考点）： 外心的位置随三角形类型不同而变化，具体分为三种情况： *1.锐角三角形的外心在三角形内部，其外接圆半径无特殊固定关系，需要通过作垂直平分线的作图方法计算得出； *2.直角三角形的外心在斜边中点处，这是直角三角形外心的特殊位置，由此可推出其外接圆半径等于斜边长度的一半，这是高频计算考点； *3.钝角三角形的外心在三角形外部，且具体位于钝角所对边的垂直平分线延长线上。 3. 三角形外接圆的尺规作法（必考考点） (1)作三角形任意两条边的垂直平分线（推荐选较短边，作图更简便）； (2)两条垂直平分线的交点即为外心（圆心）； (3)以圆心到任意一个顶点的距离为半径，画圆即可（此圆即为三角形的外接圆）。 【知识点04.圆周角的定义与判定】 圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角（两个条件必须同时满足，缺一不可）。 易混区分：圆心角的顶点在圆心，两边必然与圆相交；而顶点在圆上但一边与圆不相交的角，不是圆周角。 【知识点05.圆周角与圆心角.弧的关系】 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。 1. 定理核心内涵 *前提：“同弧或等弧”（确定对应的圆周角和圆心角，是计算的关键）； *数量关系：∠圆周角 = 1/2 ∠圆心角； *延伸结论：同弧或等弧所对的圆周角相等（因为它们所对的圆心角相等）。 2. 圆周角与弧的延伸关系 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半（因圆心角的度数等于它所对弧的度数，结合圆周角定理推导得出），即：∠圆周角 = 1/2 弧的度数。 【知识点06.三大重要推落(中考高频考点】 推论类别 核心内容 应用场景 推论1（直径与直角关联） 半圆（或直径）所对圆周角为90°；90°圆周角所对弦为直径 构造直角三角形解题 推论2（角与弧、弦转化） 同圆/等圆中，相等圆周角所对弧、弦均相等 角度、弧、弦等量转化 推论3（圆内接四边形性质） 对角互补；任一外角等于内对角 圆内接四边形角度计算 【知识点07.高频易错点警示】 一.确定圆的条件易错点 *1.遗漏“不在同一直线上”的前提，错误认为“任意三点确定一个圆”； *2.混淆外心与内心的性质：外心到顶点距离相等，内心到边距离相等，易记混； *3.求直角三角形外接圆半径时，误将直角边当作斜边计算，忘记“半径=斜边一半”的结论； *4.作图时仅作一条边的垂直平分线找外心，导致圆心位置错误（需作两条边的垂直平分线交点）。 二.圆周角易错点 *1.圆周角判定遗漏条件：仅关注“顶点在圆上”，忽略“两边与圆相交”； *2.应用定理时找错对应弧：误将圆周角与不对应的圆心角关联，导致角度计算错误； *3.混淆“弦所对的圆周角”：一条弦可对两个互补的圆周角（分别在弦的两侧），仅直径所对的圆周角必为90°，非直径的弦所对的圆周角不一定是直角； *遗忘圆内接四边形的性质：解题时未利用“对角互补”“外角等于内对角”，导致思路卡顿。 【题型1.确定圆的基本条件】 【典例】下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以为半径 C．以点O为圆心，为半径 D．经过已知点M 【跟踪专练1】若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 【跟踪专练2】下列语句正确的是（    ） A．旋转后的图形一定与原图形全等 B．弧长相等的弧所对的圆心角相等 C．任意四个点一定可以确定一个圆 D．圆内接三角形一定是直角三角形 【题型2.三角形外接圆的概念辨析与要点】 【典例】如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ． 【跟踪专练1】下列说法错误的是（   ） A．半径相等的两个半圆是等弧 B．面积相等的两个圆是等圆 C．长度相等的两条弧一定是等弧 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【跟踪专练2】平面内，，，，五个点如图．过点 所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 【题型3.三角形外心坐标的求解方法】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】.如图，直角坐标系中，经过三点的圆，圆心为，则点的坐标为 ． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型4.特殊三角形外接圆半径的计算技巧】 【典例】若直角三角形的两直角边长分别为3和4，则它的外接圆的半径为 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】直角三角形的两边长分别为5和12，则此三角形的外接圆半径是 ． 【题型5.圆周角定理的内容与应用】 【典例】如图，是的外接圆，E是的中点，连接并延长交于点D，连接，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，、、、在上，，、的延长线交于点，且，则弧的度数为 ． 【跟踪专练2】如图，，，都是的半径，连接，，，则的度数（  ） A． B． C． D． 【题型6.同弧/等弧所对圆周角的相等性质】 【典例】如图，四边形是的内接四边形，点D是弧的中点，点E是弧上的一点，若，则的度数为 【跟踪专练1】如图，是的直径，C，D是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，OA是的半径，弦，D是上一点，且点在优弧BC上．若，则的度数为 ． 【题型7.半圆(直径)所对圆周角是直角】 【典例】如图，是的直径，是的弦，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，BD是的直径，点A，C在上，交BD于点．若，则的度数为 ． 【跟踪专练2】如图，是半圆的直径，，等于，则（   ） A． B． C． D． 【题型8.90度圆周角所对弦为直径的推论】 【典例】如图，一圆形玻璃镜面被损坏了一部分，为了得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺量得，，则该圆形镜面的直径为 ． 【跟踪专练1】下列说法正确的个数有（   ） ①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②等弧所对的圆心角相等；③在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；④的角所对的弦是直径． A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是 ． 【题型9.圆内接四边形的角度求解方法】 【典例】如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，是的弦，把沿弦对折，是对折后上的一点，是对折前优弧上的一点．若，则的度数为 ． 【跟踪专练2】如图，是的直径，点D是弧的中点，，的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【题型10.四边形外接圆直径的计算方式】 【典例】已知，如图，，点A，B为射线，上的动点，且，在的内部、的外部有一点P，且，，则线段的取范围 ． 【跟踪专练1】如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【跟踪专练2】如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ． 1．如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为 个． 2．在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．等弧所对的弦相等 4．直角三角形的两直角边长是一元二次方程 的两根，则该三角形外接圆的半径是 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为，，，则以、、为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是 ． 6．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（ ） A．4 B．5 C． D． 7．如图，上三点B、C、D将圆三等分，弦，若，则 ． 8．“七巧板”是我国古代劳动人民的发明，被誉为“东方魔方”．小洁同学用一个边长为的正方形纸片制作出如图①的七巧板，并拼出如图②的轴对称图形．过该图形的A，B，C三个顶点作圆，则这个圆的半径长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，点C，D在以为直径的半圆上，与的度数之和为，延长与交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，以为圆心，4为半径的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为上一动点，于点F，则线段的长度的最小值为 ． 11．如图，的半径是4，是的弦，点C在外，连接．若，则长的最大值为 ． 12．如图，在四边形中，，是的中点，是的中点，若，，，则的长为 ( ) A． B． C． D． 13．在中，，为上一个定点，用无刻度直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）    (1)如图1，作，使得经过点，并且与相切于点； (2)如图2，连接，在边上求作点，使得． 14．如图1，在中，，以为直径作分别交于点D，    (1)求证： (2)若，，求半径． (3)如图2，点F在上，，连接、．求证：． 15．已知：如图，在中，弦、相交于点P，，．求证：弦是的直径． 16．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，和都为等腰直角三角形，且，，把绕点O逆时针旋转得，旋转角为． (1)如图2，当时，求点的坐标； (2)在绕点O逆时针旋转过程中： ①如图3，当点恰好落在线段上时，求的长； ②设线段与线段的交点为H，求出和面积之和的最大值，并求出此时H点的坐标．（直接写结果） 17．如图，正方形的边长为，点、分别是边、上的动点，，求面积的最小值． 18．综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $