精品解析：河北省张家口市NT20名校联合体2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

NT20名校联合体高一年级12月质量检测考试 数学 考试说明： 1.本试卷共150分．考试时间120分钟． 2.请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 3. “是幂函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 4. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 7. 已知方程的两个根分别为，，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知，，，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确有（ ） A. “”是“”的充分条件 B. 若函数为奇函数，则必有 C. 和表示同一函数 D. 若，，，则 10. 已知函数，，是奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的单调递增区间为， B. 的值域为 C. 的图象关于点中心对称 D. 若函数和的图象有两个公共点，，则 11. 已知函数的定义域为，在定义域内任意实数，都有，当时，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上为减函数 D. 不等式的解集为且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数（且）的图象经过的定点的坐标为______． 13. 已知函数，则______． 14. 已知函数，若方程在上有解，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值：； （2）已知，，用，表示的值． 16. 已知集合，函数的定义域为集合，集合． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）用定义证明在上是减函数； （2）求不等式解集． 18. 设，，当时，关于的不等式恒成立，函数． （1）求的值； （2）求的最小值； （3）已知函数，若当时，，，使得成立，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）写出函数的单调递增区间（不需要说明理由）； （2）关于方程有四个根，，，，且，求的取值范围； （3）关于的方程的所有根中有两个正根分别为，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ NT20名校联合体高一年级12月质量检测考试 数学 考试说明： 1.本试卷共150分．考试时间120分钟． 2.请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用补集与交集的概念计算即可. 【详解】因为集合，， 易知， 所以. 故选：D 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解. 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“，”的否定是“，”. 故选：A 3. “是幂函数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的定义求出，再利用充分条件、必要条件判断得解. 【详解】由函数幂函数，得，解得， 所以“是幂函数”是“”的充要条件. 故选：D 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为在上单调递减，所以， 由对数函数在上单调递增知，， 所以. 故选：C 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，由此可求结果. 【详解】因为，解得， 所以解集为， 故选：B. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合奇函数的定义运算求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 当时，则， 所以. 故选：C. 7. 已知方程的两个根分别为，，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用根与系数的关系结合对数的运算法则计算即可. 【详解】由题意可知，即是方程的两个根， 则，可得， 所以. 故选：D 8. 已知，，，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，再解一元二次不等式即可. 【详解】因，，， 则 ， 等号成立时， 因恒成立，则， 即，得， 则实数的取值范围是. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. “”是“”的充分条件 B. 若函数为奇函数，则必有 C. 和表示同一函数 D. 若，，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据充分条件的概念判断A，根据奇函数的定义域判断B，根据定义域判断C，根据基本不等式及不等式的性质判断D. 【详解】因为能推出，所以“”是“”的充分条件，故A正确； 函数为奇函数，且定义域中有时，则必有，故B错误； 因为的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数，故C错误； 因为，所以，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：AD 10. 已知函数，，是奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的单调递增区间为， B. 的值域为 C. 的图象关于点中心对称 D. 若函数和的图象有两个公共点，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：化简的解析式，根据单调性的性质结合对勾函数性质判断单调性；对于B：整理可得，进而分析判断；对于C：根据奇函数和对称性的定义分析判断；对于D：分析可知的图象关于点中心对称，结合对称性运算求解. 【详解】对于选项A：因为， 当时，在内单调递增； 当时，在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：的单调递增区间为，，故A正确； 对于选项B：因为， 显然，则，故B错误； 对于选项C：因为是奇函数， 则，整理可得， 所以的图象关于点中心对称，故C正确； 对于选项D：因为，可知的图象是由的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位， 可知的图象关于点中心对称， 若函数和的图象有两个公共点，， 则，所以，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，在定义域内任意实数，都有，当时，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上为减函数 D. 不等式的解集为且 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过赋值法分析函数的特殊值与奇偶性，构造辅助函数分析单调性，利用函数性质转化并求解不等式，逐一验证选项. 【详解】选项A,令，代入，得， 解得，故A正确. 选项B,令，得，代入，解得. 令，得，故偶函数，不是奇函数，B错误. 选项C,构造，则原等式化为. 当时，. 取，令（）， 则，故在上单调递增， 即在上单调递增. 因是偶函数，偶函数在对称区间上单调性相反，故在上单调递减，C正确. 选项D,由， 不等式可化为. 因是偶函数且在上单调递增，故， 同时需满足定义域、（即）. 解，平方得，解得. 结合，解集为且，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数（且）的图象经过的定点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据（且）计算. 【详解】因， 则的图象经过的定点的坐标为. 故答案为： 13. 已知函数，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用函数的解析式，将自变量代入解析式求函数值即可. 【详解】由题设，， 所以. 故答案为： 14. 已知函数，若方程在上有解，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过令，得到，再令，得到在上有解，进而结合求根公式即可求解. 【详解】由题意得：方程在上有解 即在上有解， 令，即上有解， 令，当且仅当时取等号， 即在上有解， 因为， 即有解，且大根为， 由题意， 即， 当，即时，成立， 当，即时， 等价于， 解得，又，所以， 综上所述：实数的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求值：； （2）已知，，用，表示值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用对数运算性质以及根式与指数幂的互化、指数幂的运算性质求解出结果； （2）根据指对互化以及换底公式求解出结果. 【详解】（1）原式 ； （2）因为，所以， 因为， 所以 16. 已知集合，函数的定义域为集合，集合． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解分式不等式求集合，利用对数和根式的性质求函数的定义域得集合，再由集合的交运算求结果； （2）根据集合的包含关系，讨论、列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题设， 由，可得，即， 所以； 【小问2详解】 由，若，则， 若，则，可得， 综上，. 17. 已知函数． （1）用定义证明在上是减函数； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）任取，判断的符号即可； （2）利用函数的奇偶性把不等式转化为 ，然后利用函数的单调性脱去，最后解不等式即可得出答案. 【小问1详解】 任取，则， 因为，所以，，，故在上单调递减. 【小问2详解】 因为在上为奇函数，所以不等式可化为，又因为在上单调递减， 所以不等式即为， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为 18. 设，，当时，关于的不等式恒成立，函数． （1）求的值； （2）求的最小值； （3）已知函数，若当时，，，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，函数不存在最小值，当时，函数最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）分别求得当时，，，，的解集，进而可求解； （2）通过分别讨论即可； （3）分别求得在和在上的值域，结合集合关系即可求解. 【小问1详解】 令，， 令，得两根之积， 两根为， ，则当时，，时，， 当时， 又当时，，当时，，当时，. 所以要使当时，关于的不等式恒成立， 需使，又，解得：. 【小问2详解】 由（1）得：， 当时，，此时不存在最小值， 当时，图象开口向下，不存在最小值， 当时，图象开口向上，当时，得到最小值， 综上，当时，函数不存在最小值，当时，函数最小值为； 【小问3详解】 由的解析式可知其在上单调递减， 所以当，的值域为， 又当时，在单调递减，单调递增， 又，则在上的值域为， 所以在的值域为， 因为，，使得成立， 即， 所以，解得. 即的取值范围是. 19. 已知函数. （1）写出函数的单调递增区间（不需要说明理由）； （2）关于的方程有四个根，，，，且，求的取值范围； （3）关于的方程的所有根中有两个正根分别为，，证明：． 【答案】（1）函数的单调递增区间为和 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由指数函数与对数函数的性质，结合复合函数的性质可求单调递增区间； （2）作出函数的图像，数形结合可得，进而计算可求得的取值范围； （3）由题意计算可得且，结合基本不等式可得结论. 【小问1详解】 当时，，由在上单调递增，在上单调递减， 所以可得在上单调递减， 当时，，由在上单调递增，在上单调递增， 所以可得在上单调递增， 当时，，由对数函数的性质可得在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为和. 【小问2详解】 因为，所以，所以，又， 作出函数的图像如图所示，关于的方程有四个根， 则函数和有四个交点，所以， 因为，所以可得， 所以，， 由，得，所以，所以， 所以，又，所以， 又，所以，所以，所以， 所以. 【小问3详解】 关于的方程的所有根中有两个正根分别为，， 所以，，又， 所以，所以， 所以，所以或，所以（舍去）或， 所以且，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $