河北省张家口市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

10月月考数学答案 1. 解：已知向量，，， 所以，则． 2. 解：已知向量，． 当时，，解得； 当时，则有，解得． 3. 解：，，即， 4. 解：选项，  ，所以，，三点共线，A正确； 选项，设  ，则  ，即  ，无解，B错误； 选项，设  ，则  ，即  ，无解，C错误； 选项，  ，设  ， 即  ，即  ，无解，D错误． 5. 解：由可得，为不共线向量， 若  共面，则 ，，， 即  ， 所以  ，解得：  ． 6. 解：由题意可知，因为， 所以 ， 所以． 7. 解：因为为中点，所以， 因为，所以， 则． 8. 解：以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，，， 设， 所以，， ， ，得， 由，得，得， ， ，当时，取得最大值． 故选D． 9. 解：点  关于原点的对称点的坐标为  ，A正确； 点  关于轴的对称点的坐标为  ，B错误； 点  关于  平面对称的点的坐标是  ，C正确； 两点  间的距离为  ，D正确． 故选： 10. 解：  ， ， 不共面，且两两共面、不共线，  若    ，则， A正确，B正确 若存在，使得   ，则 ， ， 共面，与已知矛盾，C错误 设         ， 则 此方程组无解，   ，  ，  不共面，D正确故选ABD． 11. 解：对于选项A因为，即是单位向量，且， 所以在上的投影向量为，故A错误 令，，，，又是底面三角形的重心， ， 则，，， ， 成立，故B正确 因为，而，所以，，，四点不共面，故C错误 若在基底下的坐标为， 则， 故在基底下的坐标为，故D正确． 12.  解：设直线的倾斜角是， 因为直线的一个方向向量是， 所以直线的斜率为， 因此，而，所以． 故答案为． 13.  ， ， 与线段相交，由题意设直线的斜率为， ， ． 或． 由于在及均单调递增， 直线的倾斜角的范围为：． 14.  解：由题可以为原点，建立空间直角坐标系如图所示： 则， ，设  ， 则  ， 设异面直线与所成角为， 则 ， 令， 则， 当时，， 当时，， 令 则， 因为 当时，有最小值， 此时  有最大值  ， 由  得  ，  ， 则异面直线 与所成角的余弦值最大时 ， 即， ， 所以 ． 故答案为：． 15.证明：由矩形，得，由矩形，得， 又，平面，平面， 平面，又平面，D.--------2分 又四边形为菱形，． -----4分 平面，平面，，------6分 平面． 解：由，，得，取的中点， 则，即． 以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，． 设平面的法向量为， 则得 取，得．----------8分 设平面的法向量为， 则 取，得．---------10分 设平面与平面所成锐角为，则．--------13分   16.证明：如图，以为原点，分别以，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，-------2分 设平面的法向量为， 则， 令，则，--------4分 ， ，-----------6分 平面， 平面-------------7分 解：， 由知平面的法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则直线与平面所成的角的正弦值 ．---------15分   17.解：根据条件，；----3分 ；-------5分 ；---7分 ；-----9分 ，---------11分 ；----------13分 ． -- -- ---15分 18.解：证明：在三棱柱中，四边形是平行四边形，而，则平行四边形是菱形，连接，如图， 则有，因，， ，平面，于是得平面， 而平面，则，由，得，，------3分 ，平面，从而得平面，--------5分 又平面，所以平面平面．-------7分 解：在平面内过作， 由知平面平面，平面平面， 则平面，以为原点，射线，，分别为，，轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，因，，，则，，，， --9分 假设在线段上存在符合要求的点，设其坐标为，， 则有，， -------11分 设平面的一个法向量，则有 令得，------13分 而平面的一个法向量， 依题意，，--------15分 化简整理得：而，解得，-----17分 所以在线段上存在一点，且是靠近的四等分点，使平面和平面所成角的余弦值为．  19.解：以点为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， ，，------2分 设平面的法向量为， 则，代入可得， 令，则，，所以，---3分 故点到平面的距离为．----7分 因为点在平面内，可设其中，为常数， 又与共线，可设， 由图可得， 即，------13分 整理得， ------ 15分 由可得， 由可得， 联立解得，代入可得， 所以，即． ----17分 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 张家口市正博中学高二年级 第一学期10月月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量，，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知向量，，则使，成立的分别为(    ) A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 3.若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则(    ) A. B. C. D. 4.已知空间向量且，，，则一定共线的三点是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5.已知，若共面，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 6.如图，已知在平行六面体中，，且，则(    ) A. B. C. D. 7.如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于(    ) A. B. C. D. 8.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在底面上包 括 边 界移动，且满足，则线段的长度的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在空间直角坐标系中，以下结论正确的是(    ) A. 点关于原点的对称点的坐标为 B. 点关于轴的对称点的坐标为 C. 点关于平面对称的点的坐标是 D. 两点间的距离为 10.已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是(    ) A. 若，则 B. ，，两两共面，但，，不共面 C. 一定存在实数，，使得 D. ，，一定能构成空间的一个基底 11.下列说法正确的是(    ) A. 已知，，则在上的投影向量为 B. 若是四面体的底面的重心，则 C. 若，则，，，四点共面 D. 若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是          ． 13.经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是          ． 14.如图，四边形和均为正方形，且，平面平面分别为 的中点，为线段上的动点，则异面直线与所成角的余弦值最大时，           ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题3分 如图，在四棱柱中，四边形和四边形都是矩形，，四边形是一个边长为的菱形，． 求证：平面 求平面与平面所成锐角的余弦值． 16.本小题5分 如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且，． 求证：平面； 求直线与平面所成的角的正弦值． 17.本小题5分 已知空间向量与夹角的余弦值为，且，，令，． 求，为邻边的平行四边形的面积； 求，夹角的余弦值． 18.本小题7分 已知三棱柱中，，，，． 求证：平面平面 若，在线段上是否存在一点使平面和平面所成角的余弦值为若存在，确定点的位置若不存在，说明理由． 19.本小题分 如图，在棱长为的正方体中，点，，分别在棱，，上，且． 求点到平面的距离； 若平面与线段的交点为，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$