精品解析：重庆市第一中学校2025-2026学年八年级上学期12月期中数学试题

重庆一中初2027届25—26学年度上期半期考试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，下列选项错误的是（） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知函数，则该函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值应在（ ）之间 A. 7和8 B. 8和9 C. 9和10 D. 10和11 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，…，是等腰直角三角形，它们的斜边都在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，8，…，若的顶点坐标分别为，，，则按图中规律排列，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 10. 已知整式，其中，，，为自然数，为正整数，对任意正整数，满足，．下列结论中正确的个数是（ ） ①满足条件的单项式有3个； ②若，则当最大时，与是同类二根式； ③若，则满足条件的整式有19个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 2025年4月23日，中国科学院团队利用云南天文台1.2米望远镜激光测距系统，成功探测到公里外的远距离逆行轨道卫星单角锥反射器激光回波，实现我国首次地月尺度卫星激光测距．将数据用科学记数法表示为_____． 12. 若关于的函数为一次函数，则值为_____． 13. 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润16万元，由于产品畅销，利润逐月增加，三月份获得利润25万元．则该产品平均每月利润的增长率为_____（用百分数表示）． 14. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_____． 15. 如图，在中，，，点为内部一点，点为线段上一点，连接，，，，作于，若，，，则的周长为_____． 16. 一个四位自然数，如果的千位数字和十位数字组成的两位数与的百位数字和个位数字组成的两位数的差等于55，那么就称这个数为“55差数”．把“55差数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设．例如：一个四位数8361，，是“55差数”，且．则最大的“55差数”是_____，若是“55差数”，且．则所有满足条件值的和为_____． 三、解答题：（本大题共8个小题，每题8分，25题10分，26题12分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程组： （1） （2） 19. 如图，在中，，，． （1）请用尺规完成基本作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，连接；（使用基本作图法，保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：，， ． 为的垂直平分线， ，， _________①． ， ， ． 又， _________②． 在和中 ， ___________④． 20. 跳绳是重庆中考体育必考项目之一，某校体育组为了了解七、八年级学生1分钟跳绳成绩情况，从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的1分钟跳绳成绩（单位：次），进行整理、描述和分析（学生1分钟跳绳成绩用表示，共分四个等级：A．；B．；C．；D．） 下面给出了部分信息． 七年级名学生跳绳成绩在等级的数据是：，，，． 八年级名学生跳绳成绩是：，，，，，，，，，． 七、八年级抽取学生的跳绳成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 下四分位数 上四分位数 七年级 八年级 七年级抽取学生的跳绳成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中_____，_____，_____； （2）根据以上信息，你认为该校七、八年级哪个年级跳绳成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）学校规定1分钟跳绳次及以上为优秀，已知七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级跳绳成绩达到优秀的学生共有多少人？ 21. 化简求值：，其中． 22. 为了迎接2025年的“双十二”购物节并刺激消费，某工厂推出了甲和乙两种型号的雪地靴．已知该工厂生产了甲型和乙型雪地靴共200双，其中每双甲型雪地靴的生产成本为150元，每双乙型雪地靴的生产成本为200元，生产这些雪地靴的总成本为35500元． （1）请问甲型和乙型雪地靴各生产了多少双？ （2）这200双雪地靴被运往商场销售，甲型雪地靴的售价为每双300元，乙型雪地靴的售价为每双350元．销售过程中，由于甲型雪地靴销量不佳，在卖出一定数量后，工厂决定将剩余的甲型雪地靴按原价的四折出售．最终甲、乙两种型号的雪地靴全部售出，共获得利润20640元．问甲型雪地靴在卖出多少双后开始打折销售？ 23. 如图，在长方形中，，，点、点分别为边、边上的点，，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，到达点时停止．设运动的时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若一次函数与函数的图象有且仅有1个交点，请直接写出的取值范围． 24. 工人师傅用一根长杆进行墙面维修，顶端装有维修工具（长度忽略不计），用来接触墙面高处的维修点．如图所示（图中所有点都在同一平面内），已知墙面与地面垂直，工人师傅握住长杆的处，此时长杆恰好能够到墙面上的维修点（即与重合），若点到地面的垂直高度为1.5米，点到墙面的距离为0.8米，根据手中余杆的长度，计算出的长度为1.7米． （1）求处离地面的垂直高度； （2）在余杆仅剩0.4米的情况下，工人师傅保持相同站位和相同站姿（手臂伸出角度、长度、手离地高度都不变），握住处，且离地面高度仍是1.5米，若想要够到维修点正上方0.5米处的维修点，请问能否成功？说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交轴，轴于点，，点为线段的中点，且点． （1）求直线的表达式； （2）如图2，点为直线上一点且在点的上方，点，分别是轴与直线上的动点，当的面积为9时，求的最小值； （3）如图3，直线经过点且与轴所成的锐角为，点为直线上一动点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 26. 如图，已知，点为平面内一点． （1）如图1，当点在线段上时，连接，将绕点顺时针旋转到，点正好在上，若，，求的度数； （2）如图2，当点在延长线上时，满足，点是延长线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，使点正好在上，连接交于点，点是上一点，且，连接，若，用等式表示线段与线段的数量关系并证明； （3）如图3，当，时，过点作，点为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，当最小时，连接，将沿翻折到所在平面得到，点，是直线上的点，且点在点上方，点在点下方，连接，，满足，且，若，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中初2027届25—26学年度上期半期考试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根．根据无理数的定义（无限不循环小数）判断：是无理数，因此也是无理数；其他选项均为有理数． 【详解】解：对于A：是无理数； 对于B：，是有理数； 对于C：是有限小数，是有理数； 对于D： 是分数，是有理数． 故选：A． 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：选项C中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其它选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形； 故选：C． 3. 若，，下列选项错误的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵，∴，故A正确，不符合题意； ∵，，∴，故B错误，符合题意； ∵，，∴，故C正确，不符合题意； ∵，，∴，故D正确，不符合题意． 故选：B． 4. 如图，已知直线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 故选：D． 5. 如图，已知直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，解题的关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解．先求出的值，进而得到点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：直线过点， ， 点， 直线与直线相交于点， 二元一次方程组即的解为， 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，已知函数，则该函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据得出经过第一、二、四象限，即可求解． 【详解】解：∵中， ∴经过第一、二、四象限， 故选：C． 7. 估计的值应在（ ）之间 A. 7和8 B. 8和9 C. 9和10 D. 10和11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及无理数的估算．先根据二次根式的混合运算进行计算，然后通过平方数估计无理数的范围，从而确定整体值的区间． 【详解】解∶ ∵，， ∴， ∴， ∴． 因此，的值在10和11之间， 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，…，是等腰直角三角形，它们的斜边都在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，8，…，若的顶点坐标分别为，，，则按图中规律排列，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查是点的坐标规律，找到每4个点一循环点的坐标变化规律是解题的关键．观察图形可以看出；；每个为一组，由于，在负半轴，纵坐标为，再根据横坐标变化找到规律即可解答． 【详解】解：观察图形可以看出；每个为一组， ， 在负半轴，纵坐标为， 的横坐标分别为， 则的横坐标为, 的横坐标为， 的坐标为． 故选：C． 9. 如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定，根据勾股定理求得，根据折叠的性质以及勾股定理求得，过点作于点，证明，进而得出，勾股定理求得的长，进而在中，利用勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∵将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上， ∴，，， ∴ 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴， 如图，过点作于点， ∵，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴， 设，则 在中， ∴ 解得：，即，则， ∴， ∴， 故选：A． 10. 已知整式，其中，，，为自然数，为正整数，对任意正整数，满足，．下列结论中正确的个数是（ ） ①满足条件的单项式有3个； ②若，则当最大时，与是同类二根式； ③若，则满足条件的整式有19个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的定义，同类二次根式的判定；当，，则，故①正确；结论②在时n最大为5，此时，，两者为同类二次根式，正确；结论③中与条件矛盾，无解，故错误．因此仅结论①和②正确． 【详解】解：结论①：当，，，则， ∴存在满足条件的单项式有3个，即；故①正确． 结论②：∵，当最大时，则相邻差取最小值2． 由，，得，． 当时，，，，，，． ∴，，两者均为的倍数，为同类二次根式．∴正确． 结论③：∵，但 ∴，矛盾，无解．∴错误． 故选：C． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 2025年4月23日，中国科学院团队利用云南天文台1.2米望远镜激光测距系统，成功探测到公里外的远距离逆行轨道卫星单角锥反射器激光回波，实现我国首次地月尺度卫星激光测距．将数据用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．将用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若关于的函数为一次函数，则值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据平方根的定义解方程．根据一次函数的定义，函数表达式中的自变量指数必须为1，且系数不为零． 【详解】由一次函数的定义，需满足指数部分且系数部分． 解方程， 得， 即或． 当时，系数，不符合一次项系数不为零的要求； 当时，系数，符合要求． 故答案为：． 13. 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润16万元，由于产品畅销，利润逐月增加，三月份获得利润25万元．则该产品平均每月利润的增长率为_____（用百分数表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据增长问题，利用一月份和三月份的利润关系列出方程求解平均每月增长率． 【详解】解：设平均每月利润的增长率为，则三月份利润为， 即， 解得（取正值）， 所以． 故答案为： 14. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组；得，得出，结合已知可得，解一元一次方程，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵， ∴ 解得： 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点为内部一点，点为线段上一点，连接，，，，作于，若，，，则的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】分别以为边向下作等边三角形，连接， 根据勾股定理以及含度角的直角三角形的性质，求得，，进而证明，，进一步得出，再根据三角形内角和定理证明，得出在上，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，分别以为边向下作等边三角形，连接， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 在中，， 在中，， ∴ ∴， ∴ ∴， 设 ∵是等边三角形， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴在上， ∴的周长为 故答案为：． 16. 一个四位自然数，如果的千位数字和十位数字组成的两位数与的百位数字和个位数字组成的两位数的差等于55，那么就称这个数为“55差数”．把“55差数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设．例如：一个四位数8361，，是“55差数”，且．则最大的“55差数”是_____，若是“55差数”，且．则所有满足条件值的和为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，二元一次方程组的解．根据“差数”的定义，即千位数字和十位数字组成的两位数与百位数字和个位数字组成的两位数的差等于，列出方程．求最大“差数”时，需使千位数字最大，再使百位数字、十位数字和个位数字尽可能大．根据条件，结合的表达式和解方程，找出所有满足条件的值并求和． 【详解】解：一个四位自然数是“55差数”的条件是：千位数字和十位数字组成的两位数，与百位数字和个位数字组成的两位数的差等于55， 即： 化简得： 其中是千位数字，取值范围为1到9；是各位数字，取值范围为0到9． 设，，则． 和为整数，且，（因为是数字）． 由于55为正数，解得可能的整数解为： ，（即，) ，（即，) 情况1：， ，． （因为)，且，所以取5，6，7，8，9． （因为)，且（因为)，所以取5，6，7，8，9． 最大时取最大和最大，即，，则，，所以． 情况2：，，，． （因为)，且，所以取6，7，8，9． （因为)，所以取0，1，2，3，4． 最大时取最大和最大，即，，则，，所以． ∵ 因此，最大的“55差数”是． ∵，． ． 根据“55差数”的两种情况，代入： 情况1（，)：，，代入得： ， 所以． 情况2（，)：，，代入得： ， 所以． ∵． 在情况1中： ，，代入得： ． 化简：，整理得： 取5到9，取5到9，解得整数解： 当，时 ∴， ∴，， ∴，． 当，时 ∴， ∴，，，． 在情况2中：，，代入得：． 化简：，整理得：． 解得：． 取6到9，取0到4，但代入后均为负数（如，)，无有效解． 满足附加条件的有和，对应分别为和． 所有满足条件的值的和为：． 故答案为：，． 三、解答题：（本大题共8个小题，每题8分，25题10分，26题12分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算； （1）根据立方根、二次根式的性质、绝对值、零指数幂进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： 原式 ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组． （1）直接使用加减消元法求解； （2）先化简方程，消去分母，得到整式方程组，再用加减消元法求解． 【小问1详解】 解： ②×3得： ①-③得：，解得 将代入②得：，解得 ∴方程组的解为 【小问2详解】 解： 化简①：左边，所以 两边同乘6得：，即， 整理得 化简②：两边同乘30得：，即， 整理得， 两边同乘得 解方程组 ③×2得： ④+⑤得：，解得 将代入③得：，解得 ∴方程组的解为 19. 如图，在中，，，． （1）请用尺规完成基本作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，连接；（使用基本作图法，保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：，， ． 为的垂直平分线， ，， _________①． ， ， ． 又， _________②． 在和中 ， ___________④． 【答案】（1） 如图所示， （2） ；；；． 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）根据题意作的垂直平分线，交于点，交于点，连接； （2）根据等边对等角可得，进而证明，结合公共边，即可证明，从而得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 跳绳是重庆中考体育必考项目之一，某校体育组为了了解七、八年级学生1分钟跳绳成绩情况，从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的1分钟跳绳成绩（单位：次），进行整理、描述和分析（学生1分钟跳绳成绩用表示，共分四个等级：A．；B．；C．；D．） 下面给出了部分信息． 七年级名学生跳绳成绩在等级的数据是：，，，． 八年级名学生跳绳成绩是：，，，，，，，，，． 七、八年级抽取学生的跳绳成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 下四分位数 上四分位数 七年级 八年级 七年级抽取学生的跳绳成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中_____，_____，_____； （2）根据以上信息，你认为该校七、八年级哪个年级跳绳成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）学校规定1分钟跳绳次及以上为优秀，已知七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级跳绳成绩达到优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1），， （2） 八年级跳绳成绩更好，理由如下， 八年级跳绳成绩的中位数，上下四分位数都比七年级的好，整体成绩比七年级的好， （3）估计该校七、八年级跳绳成绩达到优秀的学生共有人 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，四分位数，样本估计总体，扇形统计图． （1）根据中位数、四分位数的定义求得，根据扇形统计图结合已知数据求得； （2）根据统计表中的数据，根据众数，中位数，四分位数的意义，即可求解； （3）根据样本估计总体计算，即可求解． 【小问1详解】 解：七年级名学生跳绳成绩在等级的数据有4个，占比为， ∴等级的占比为，则等级人数为：个， ∴中位数是第和第个数的平均数，即 八年级名学生跳绳成绩从小到大排列：，，，，，，，，，． 则下四分位数为第个数据，是，即， 故答案为：，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人） 答：估计该校七、八年级跳绳成绩达到优秀的学生共有人 21. 化简求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，非负数的性质．先根据非负数的性质求出和的值，再化简代数式，最后代入求值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 原式 ． 当，时， 原式． 22. 为了迎接2025年的“双十二”购物节并刺激消费，某工厂推出了甲和乙两种型号的雪地靴．已知该工厂生产了甲型和乙型雪地靴共200双，其中每双甲型雪地靴的生产成本为150元，每双乙型雪地靴的生产成本为200元，生产这些雪地靴的总成本为35500元． （1）请问甲型和乙型雪地靴各生产了多少双？ （2）这200双雪地靴被运往商场销售，甲型雪地靴的售价为每双300元，乙型雪地靴的售价为每双350元．销售过程中，由于甲型雪地靴销量不佳，在卖出一定数量后，工厂决定将剩余的甲型雪地靴按原价的四折出售．最终甲、乙两种型号的雪地靴全部售出，共获得利润20640元．问甲型雪地靴在卖出多少双后开始打折销售？ 【答案】（1）甲型雪地靴生产了90双，乙型雪地靴生产了110双． （2）甲型雪地靴在卖出38双后开始打折销售． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用． （1）甲型雪地靴生产了双，乙型雪地靴生产了双，根据题意列出方程，即可求解甲型和乙型雪地靴的生产数量； （2）根据利润和销售情况列方程求解甲型雪地打折前的销售数量． 【小问1详解】 解：设甲型雪地靴生产了双，乙型雪地靴生产了双． 根据题意， 解得： 答：甲型雪地靴生产了双，乙型雪地靴生产了双． 【小问2详解】 总成本为元，总利润为元，因此总收入为元． 乙型雪地靴全部按原价元销售，收入为元． 设甲型雪地靴在卖出双后开始打折，则打折前甲型收入为元，打折后甲型收入为元． 总收入方程为： 解得： 甲型雪地靴在卖出双后开始打折销售． 23. 如图，在长方形中，，，点、点分别为边、边上的点，，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，到达点时停止．设运动的时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若一次函数与函数的图象有且仅有1个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 图象如图所示， （3）或 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数的性质； （1）根据三角形的面积以及点的位置，分类讨论，列出函数表达式即可求解； （2）根据列表、描点、连线的方法画出函数图象，结合函数图象写出一条性质，即可求解； （3）先求得当一次函数分别经过三个特殊点时的的值，结合函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，，， 当时， 当时，如图， ，， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：列表 描点连线略 性质，当时，取得最大值；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 【小问3详解】 当过点时， 解得：； 当过点时， 解得：； 当过点时， 解得： 结合函数图象可得，当与函数的图象有且仅有1个交点时，或． 24. 工人师傅用一根长杆进行墙面维修，顶端装有维修工具（长度忽略不计），用来接触墙面高处的维修点．如图所示（图中所有点都在同一平面内），已知墙面与地面垂直，工人师傅握住长杆的处，此时长杆恰好能够到墙面上的维修点（即与重合），若点到地面的垂直高度为1.5米，点到墙面的距离为0.8米，根据手中余杆的长度，计算出的长度为1.7米． （1）求处离地面的垂直高度； （2）在余杆仅剩0.4米的情况下，工人师傅保持相同站位和相同站姿（手臂伸出角度、长度、手离地高度都不变），握住处，且离地面高度仍是1.5米，若想要够到维修点正上方0.5米处的维修点，请问能否成功？说明理由． 【答案】（1）米 （2） 如图，连接， 依题意，， 在中，． ∵，． ∴不能够到维修点正上方0.5米处的维修点． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）过点作于点，根据勾股定理解，即可求解； （2）连接，勾股定理求得，而，比较大小，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 依题意，，，， 在中，， ∴（米） 【小问2详解】 略 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交轴，轴于点，，点为线段的中点，且点． （1）求直线的表达式； （2）如图2，点为直线上一点且在点的上方，点，分别是轴与直线上的动点，当的面积为9时，求的最小值； （3）如图3，直线经过点且与轴所成的锐角为，点为直线上一动点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）直线的表达式 （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合问题，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的面积公式等； （1）分别求得的坐标，进而根据中点坐标公式求得的坐标，再根据待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据，结合已知可得为的中点，进而根据轴对称的性质以及垂线段最短，根据等面积法，即可求解； （3）根据构造等腰直角三角形，进而根据全等三角形的性质求得点的坐标，待定系数法求得的解析式，联立的解析式，其他情形同理求得即可． 【小问1详解】 解：∵直线：分别交轴，轴于点，， 当时，；当时， ∴， ∵点为线段的中点， ∴ 设直线的表达式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的表达式 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴点在上，且为的中点， ∵，， ∴， 作关于轴的对称点，则，则 如图，连接，过点作交于点，则的最小值为 ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点作轴的平行线，过点分别作轴的平行线，交于点； ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， 设，则，，， ∴即， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴的解析式为， ∵直线经过点且与轴所成的锐角为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 当在的下方时，如图，作等腰直角三角形， 同理可得， 直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， 当直线与轴正半轴的夹角为时，此时的解析式为 联立， 解得：， ∴， 综上所述，或或． 26. 如图，已知，点为平面内一点． （1）如图1，当点在线段上时，连接，将绕点顺时针旋转到，点正好在上，若，，求的度数； （2）如图2，当点在延长线上时，满足，点是延长线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，使点正好在上，连接交于点，点是上一点，且，连接，若，用等式表示线段与线段的数量关系并证明； （3）如图3，当，时，过点作，点为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，当最小时，连接，将沿翻折到所在平面得到，点，是直线上的点，且点在点上方，点在点下方，连接，，满足，且，若，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，根据三角形内角和定理以及等边对等角可得，根据，得出，进而根据三角形的外角的性质可得得出，再根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解； （2）连接，设，，根据旋转以及等边对等角、三角形的内角和与三角形的外角的性质分别表示出，结合题意得出，又，，即可得出，则可证明，进而证明，证明，得出，进而证明，结合线段的数量关系，即可得出结论； （3）先确定在与夹角为的直线上运动，当时，最小，求得当重合时即最小，如图作，过点作，设，，则，分别表示出，勾股定理建立方程，求得，进而根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵将绕点顺时针旋转到， ∴ ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴ 【小问2详解】 如图，连接， ∵， ∴，， 设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， 如图所示，在上取一点，使得，以为边等边三角形， ∵将绕点顺时针旋转至， ∴ ∵是等边三角形， ∵ ∴ ∴在上， ∴， ∴是等边三角形 ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴在与夹角为的直线上运动， 如图，以为边作等边三角形， 同理可得 ∴，则也在直线上， 当重合时，， 又∵ ∴， ∵在与夹角为的直线上运动， ∴当时，最小 此时， ∴当重合时即最小 如图作，过点作， ∴设， ∵，将沿翻折到所在平面得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，三角形内角和定理的应用，平行线的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，翻折的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 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