精品解析：吉林省长春市第一五三中学2025-2026学年八年级上学期数学期中试题

长春市第一五三中学2025－2026学年八年级上学期 数学期中试题 命题人：赵振海 审核人：宋玉英 2025年11月 (考试时间：120分钟 试卷满分：120分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用油笔把答案写到答题卡相对应题号的方格内，如需改动，用橡皮擦干净后，再写其他答案． 作答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试题卷上无效； 3．测试范围：华师版2024八年级上册第10章~第12章知识，请妥善保管试卷． 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算正确，符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、，故选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、等式右边不是几个整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、等式右边不是几个整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别． 3. 举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假方法—举反例；逐项代入计算比较，即可求解． 【详解】解：对于A、B、C，得到的都是，不符合题意； 对于选项D： ∵，， ， ，， ， ， 故命题“若，则”不成立． 故选：D． 4. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ） A. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，利用判定三角形全等，进行判断即可． 【详解】解：∵点O为、的中点， ∴ ∵， ∴； ∴； ∴依据的数学基本事实是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 故选B． 5. 若，则a、b的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式配方，通过将二次三项式进行配方后，比较系数求出a和b的值，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 比较系数得：， 即； 又， 即， ， 因此，， 故选：C． 6. 如图，，，是三角形的边长，由甲、乙、丙三个三角形中标注的信息，能确定与左侧全等的是（ ）     A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 只有丙 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 根据全等三角形的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：甲图的三角形与无法证明两个三角形全等； 乙图的三角形与可以利用证明两个三角形全等； 丙图的三角形与可以利用证明两个三角形全等； ∴能确定与左侧全等的是乙和丙． 故选：C． 7. 如图，中，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件判断，然后根据全等三角形的性质和三角形的内角和即可求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，掌握全等三角形的性质是解题关键． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 8. 如果的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为5，，，若这两个三角形全等，则的值是（ ） A. 8 B. 或5 C. 6 D. 或5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 由于与全等，且△DEF中有一条边为5，而的边为3、5、7，因此的边5必须对应的边5．其余两边对应3和7，分两种情况讨论即可． 【详解】解：∵，且的边5对应的边5， ∴ 其余两边对应相等，有两种情况： ① 若且， 则， ∴； ② 若且， 则， ∴． 综上，的值为或5． 故选B． 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 9. 比较大小：_____2（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】采用平方法将无理数转化为有理数后比较，根据两个正实数，平方更大的原数更大得到结果． 【详解】解：∵，， 又 ∵， ∴． 10. 若，，则的值为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键． 通过因式分解，将原式化为，然后代入已知条件计算． 【详解】 ； ，， 所以原式 ． 故答案为：9． 11. 把命题“三条边都相等的三角形是等边三角形”写成“如果……，那么……”的形式是______． 【答案】如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形 【解析】 【分析】本题考查命题的改写，把命题的条件写成如果……的形式，把命题的结论写成那么……的形式即可． 【详解】解：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形； 故答案为：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形． 12. 如图，在和中，，若再添加一个条件，使，则可添加的条件是_______________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、）是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：在和中，，若再添加一个条件，使，则可添加的条件是： ：； ：或平分或平分； 故答案为：（答案不唯一）．　 13. 如图，在中，，点D、E在的延长线上，点G是上一点，且，点F是上一点，且．若，则________． 【答案】##10度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理，通过等量代换得出是解题的关键． 由，，得出，再由三角形的外角的意义得出，，从而得出，进一步求得答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，中，，，平分，于E，交延长线于F，则下列结论： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ． 其中正确的结论有_________(横线上填写序号)． 【答案】（1）（2）（4） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 先证，可证，可判断（1）；证明，得出，结合，可判断（2）；由得出，可判断（3）；结合，得出，可判断（4）；过D作于Q，由角平分线的性质定理得出，可判断（5）． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴由三角形内角和定理得：， 在和中， ， ∴，故（1）正确； ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故（2）正确； ∵， ∴， ∴，故（3）错误； ∵， ∴，故（4）正确； 如图，过D作于Q， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴，故（5）错误； 综上可知，正确的有（1）（2）（4）． 故答案为：（1）（2）（4）． 三、解答题(本大题共10小题，共78分) 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式除以单项式运算，熟练掌握相关运算规则是解题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的运算规则进行计算； （2）利用多项式除以单项式的运算规则进行计算． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的基本方法． （1）利用提取公因式法进行因式分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 若a、b、c均为实数，且，c是的整数部分． （1）则a的值为_______；b的值为________；c的值为________； （2）求的平方根． 【答案】（1），3，6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根，无理数大小估算，算术平方根和偶次幂的非负性，熟练掌握相关概念及运算是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得，从而求出a，b的值，再利用无理数大小估算求出c的值； （2）把a，b，c的值代入，再根据平方根的定义解答即可． 【小问1详解】 解：，，， ， ； ， ，即， 的整数部分是6， ， 故答案为：，3，6． 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， 的平方根为：． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算整式的乘法，再合并同类项得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 图①、图②均是6×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上．在给定的网格中按要求画图．要求： （1）在图①中画一个使它与全等． （2）在图②中画一个使它与全等． 【答案】（1）如图①，即为所求； （2）如图②，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了网格作图、全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）在方格中找到点，使得，连接，根据“”可知与全等； （2）在方格中找到点，使得且，易得，连接，根据“”可知与全等． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，已知，点C和点F在线段上，与交于点O，，． （1）求证：； （2）若，则_______． 【答案】（1） 证明：， ，即， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义和性质： （1）先证，再根据证明； （2）由全等三角形的性质可得，结合，求出，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，即， ， ， ， 故答案为：． 21. 在图1中，和都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连结． （1）求证；； （2）计算：__________； （3）在图2中，和都是等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，连结． 直接写出和的数量关系是_________；_______． 【答案】（1） 证明：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； （2） （3），90 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，综合运用上述知识是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，，，进而证明，即可证明； （2）由等边三角形的性质、三角形外角的性质得，由全等三角形的对应角相等，得，进而即可求解； （3）仿照（1）中方法证明，得出，，结合等腰直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：60； 【小问3详解】 解：和都是等腰直角三角形， ，，， ， ，即， 在和中， ， ， ，． ， ， ， ， 故答案为：，90． 22. 【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第57页B组第12题和第13题． 第12题：已知，，求的值． 第13题：已知，，求值． 【例题讲解】老师讲解了第12题的两种方法： 方法一：∵，∴，∴． 又∵，∴． 方法二：∵，∴， 又∵，， ∴．， 【方法运用】请你任选第12题的解法之一，解答上面的教材第57页B组的第13题． 【类比迁移】若，则____________． 【应用拓展】如图，在中，，分别以为边向其外部作正方形和正方形． 若，正方形与正方形的面积和为64，则的面积为_________． 【答案】方法运用：；类比迁移：7；应用拓展：9 【解析】 【分析】本题主要考查的是完全平方公式的应用，对公式进行适当变形是解题的关键． 方法运用：根据完全平方差公式，得出、与之间的关系，再代入求值； 类比迁移：根据进行求解； 应用拓展：对于直角三角形，面积是两条直角边相乘再除以2，令，类比例题讲解求解即可． 【详解】解：方法运用： ∵， ∴， 又∵，， ∴； 类比迁移： ，， ； 故答案为：7； 应用拓展： 令， ，正方形与正方形的面积和为64， ，， ， ， 故答案为：9． 23. 【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E使，连接． 由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 （1）如图①，的理由是 ； A． B． C． D． （2）请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． （3）如图②，是的中线，交于G，．探究与的关系，并说明理由； 【深入探究】 （4）如图③，在和中，，，且，连接，F为的中点，连接并延长交于H，，，求的面积． 【答案】（1）B （2）1（或3或5或7或9或11） （3），理由如下： 延长至点E使，连接，如图， 同理可证， ∴，， ∵． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）8 【解析】 【分析】（1）根据边角边的证明方法即可得到； （2）根据三角形三边的关系先得到的范围，再由，且边的长度为奇数，这一条件求解即可； （3）同理可证，可得，再由，转化边的关系求解角度的关系即可； （4）添加辅助线，延长至点G使，连接，同理可证明，再证明，由此可得，再由三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵是边上的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴的理由是B； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， 在中，， 即，即 ∵边的长度为奇数，且， ∴的长可能为1或3或5或7或9或11； 【小问3详解】 解：略 【小问4详解】 解：延长至点G使，连接，如图， 同理可知， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 即， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，则， ∴． 24. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结．点P到达点A时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． （1）在点P从A运动到C的过程中，线段的长为__________；（用含t的代数式表示） （2）当点P与点C重合时，求线段的长； （3）当为轴对称图形时，求t的值； （4）分别过点P、Q作于点D，于点E．当时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）2或4 （4）或5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等；能用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）由动点P从点A出发，沿A—C—A以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，即可求解； （2）当点P与点C重合时求得，由即可求解； （3）分类讨论：①当时，由为轴对称图形得，即可求解；②当时，同理可求； （4）①当时，由全等三角形的性质得，即可求解；②当时，同理可求． 【小问1详解】 解：由的运动得， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当点P与点C重合时， ， ， ； 【小问3详解】 解：①当时， ，， 为轴对称图形， ， ， 解得； ②当时， ，， 为轴对称图形， ， ， 解得； 故当为轴对称图形时，为t的值或； 【小问4详解】 解：①当时， ，， ， ， 解得； ②当时， ，， ， ， 解得； 故t的值为或5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第一五三中学2025－2026学年八年级上学期 数学期中试题 命题人：赵振海 审核人：宋玉英 2025年11月 (考试时间：120分钟 试卷满分：120分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用油笔把答案写到答题卡相对应题号的方格内，如需改动，用橡皮擦干净后，再写其他答案． 作答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试题卷上无效； 3．测试范围：华师版2024八年级上册第10章~第12章知识，请妥善保管试卷． 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ） A. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间线段最短 5. 若，则a、b的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，，，是三角形的边长，由甲、乙、丙三个三角形中标注的信息，能确定与左侧全等的是（ ）     A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 只有丙 7. 如图，中，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如果的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为5，，，若这两个三角形全等，则的值是（ ） A. 8 B. 或5 C. 6 D. 或5 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 9. 比较大小：_____2（填“”，“”或“”）． 10. 若，，则的值为_________． 11. 把命题“三条边都相等的三角形是等边三角形”写成“如果……，那么……”的形式是______． 12. 如图，在和中，，若再添加一个条件，使，则可添加的条件是_______________（写出一个即可）． 13. 如图，在中，，点D、E在的延长线上，点G是上一点，且，点F是上一点，且．若，则________． 14. 如图，中，，，平分，于E，交延长线于F，则下列结论： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ． 其中正确的结论有_________(横线上填写序号)． 三、解答题(本大题共10小题，共78分) 15. 计算： （1）； （2）． 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 若a、b、c均为实数，且，c是的整数部分． （1）则a的值为_______；b的值为________；c的值为________； （2）求的平方根． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 图①、图②均是6×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上．在给定的网格中按要求画图．要求： （1）在图①中画一个使它与全等． （2）在图②中画一个使它与全等． 20. 如图，已知，点C和点F在线段上，与交于点O，，． （1）求证：； （2）若，则_______． 21. 在图1中，和都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连结． （1）求证；； （2）计算：__________； （3）在图2中，和都是等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，连结． 直接写出和的数量关系是_________；_______． 22. 【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第57页B组第12题和第13题． 第12题：已知，，求的值． 第13题：已知，，求值． 【例题讲解】老师讲解了第12题的两种方法： 方法一：∵，∴，∴． 又∵，∴． 方法二：∵，∴， 又∵，， ∴．， 【方法运用】请你任选第12题的解法之一，解答上面的教材第57页B组的第13题． 【类比迁移】若，则____________． 【应用拓展】如图，在中，，分别以为边向其外部作正方形和正方形． 若，正方形与正方形的面积和为64，则的面积为_________． 23. 【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E使，连接． 由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 （1）如图①，的理由是 ； A． B． C． D． （2）请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． （3）如图②，是的中线，交于G，．探究与的关系，并说明理由； 【深入探究】 （4）如图③，在和中，，，且，连接，F为的中点，连接并延长交于H，，，求的面积． 24. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结．点P到达点A时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． （1）在点P从A运动到C的过程中，线段的长为__________；（用含t的代数式表示） （2）当点P与点C重合时，求线段的长； （3）当为轴对称图形时，求t的值； （4）分别过点P、Q作于点D，于点E．当时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $