23.2解直角三角形及其应用题型突破（六大题型）2025-2026学年沪科版（2012）数学九年级上册

23.2解直角三角形及其应用题型突破2025-2026学年 沪科版九年级上册（六大题型） 题型一：解直角三角形的相关计算 1.在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，则高为（    ） A． B． C． D． 3.已知在中，，，，那么的长是 ． 4.如图，在中，，，，则的长为 ． 5.在中，已知的对边分别为，且，解这个直角三角形． 题型二：解非直角三角形 1.在锐角中，是高，如果，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 2．已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5.如图，在中，已知，，，求的长． 题型三：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 1．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 2．如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 3.如图，在中，，，，是的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，若，则的长为（   ）    A． B．7 C． D．5 4.如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则 ． 5．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 题型四：仰角俯角问题 1．如图，在高为h的山顶上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°和60°，用h 表示这个建筑物的高度为（ ）原创作品 A．h B．h C．h D．h 2.如图,小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大树的方向前进4 m,测得仰角为60°,已知小敏同学眼睛距离地面的高度(AB)为1.6 m,则这棵树的高度约为(　　)(结果精确到0.1 m,≈1.73)【来源：21·世纪·教育·网】 A.3.5 m　　B.3.6 m　　C.4.3 m　　D.5.1 m 3．如图，两幢建筑物和，，，．和之间有一景观池，某同学在D点测得池中喷泉处E点的俯角为，在C点测得E点的俯角为，点A、E、B在同一直线上．求得两幢建筑物之间的距离约为（    ）（结果精确到，参考数据：，， A． B． C． D． 4．如图2所示，点B在点A北偏西60°方向，且AB=5km，点C在点B北偏东30°方向，且BC=12km，则A到C的距离为________．【来源：21·世纪·教育·网】 5．如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为多少m？ 6．如图，两座建筑物AB与CD，其地面距离BD为60米，E为BD的中点，从E点测得A的仰角为30°，从C处测得E的俯角为60°，现准备在点A与点C之间拉一条绳子挂上小彩旗（不计绳子弯曲），求绳子AC的长度．（结果保留一位小数，≈1.41，≈1.73） 7．印江文昌阁，始建于明代嘉靖十年，阁建不久，因故被毁，崇祯二年，由时任印江知县史谏重修之，始名文昌阁，小亮和小刚想利用自己所学知识来测量文昌阁的高度，如图，小亮的目高为米，他站在处测得塔顶的仰角为，小刚的目高EF为米，他站在距离塔底中心点米远的处，测得塔顶的仰角为．（点在同一水平线上）．（参考数据：，，） (1)求小亮与塔底中心的距离；（用含的式子表示） (2)若小亮与小刚相距米，求文昌阁的高度． 题型五：方向角 1.如果由点A测得点B在北偏东15°方向，那么点B测得点A的方向为___________. 2．某次海上搜救行动中，搜救船正以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，搜救船匀速行驶小时后到达处，又测得小岛在它的北偏西方向．已知小岛上有火山喷发，对周围的搜救行动均有干扰作用，试判断该搜救船在航行过程中是否会受到干扰（参考数据：，．结果精确到）． 3．为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求B处到灯塔P的距离； (2)已知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由． 4.为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 题型六：坡度坡角 1.如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 2．如图，、为两个建筑物，建筑物的高度为米，从建筑物的顶部测得建筑物的顶部点的俯角为，测得建筑物的底部点的俯角为，则建筑物的高度是 米．（结果带根号形式） 3．如图，某人在山脚处测得山顶的仰角为，他从处沿着坡度的斜坡前进到达处，这时测得山顶的仰角为，求山高的值．（参考数据：） 4．如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 5．如图，坡的坡度为，坡面长26米，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡(请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：)． (1)若修建的斜坡的坡角(即)恰为，则此时平台的长为多少米？ (2)坡前有一建筑物，小明在D点测得建筑物顶部H的仰角为30°，在坡底A点测得建筑物顶部H的仰角为60°，点B、C、A、G、H在同一平面内，点C、A、G在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？ 【答案】 23.2解直角三角形及其应用题型突破2025-2026学年 沪科版九年级上册（六大题型） 题型一：解直角三角形的相关计算 1.在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，则高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.已知在中，，，，那么的长是 ． 【答案】9 4.如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】9 5.在中，已知的对边分别为，且，解这个直角三角形． 【答案】，，． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ． 题型二：解非直角三角形 1.在锐角中，是高，如果，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2．已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 3．如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 4．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 5.如图，在中，已知，，，求的长． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，垂足为点， 设，在中， ， 在中，， ， ， ， . 解得：，即， 在中，∵， ∴ 题型三：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 1．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 2．如图，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一点，将沿直线AM对折得到，若AN平分，则CN的长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 3.如图，在中，，，，是的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，若，则的长为（   ）    A． B．7 C． D．5 【答案】B 4.如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则 ． 【答案】 5．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． （2）解：在中，， 在中，． ∴． 题型四：仰角俯角问题 1．如图，在高为h的山顶上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°和60°，用h 表示这个建筑物的高度为（ ）原创作品 A．h B．h C．h D．h 【答案】A 2.如图,小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大树的方向前进4 m,测得仰角为60°,已知小敏同学眼睛距离地面的高度(AB)为1.6 m,则这棵树的高度约为(　　)(结果精确到0.1 m,≈1.73)【来源：21·世纪·教育·网】 A.3.5 m　　B.3.6 m　　C.4.3 m　　D.5.1 m 【答案】D　 3．如图，两幢建筑物和，，，．和之间有一景观池，某同学在D点测得池中喷泉处E点的俯角为，在C点测得E点的俯角为，点A、E、B在同一直线上．求得两幢建筑物之间的距离约为（    ）（结果精确到，参考数据：，， A． B． C． D． 【答案】A 4．如图2所示，点B在点A北偏西60°方向，且AB=5km，点C在点B北偏东30°方向，且BC=12km，则A到C的距离为________．【来源：21·世纪·教育·网】 【答案】13km 5．如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为多少m？ 【答案】 【详解】解：依题意，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， 在中，， ∴， 答：乙建筑物的高为． 6．如图，两座建筑物AB与CD，其地面距离BD为60米，E为BD的中点，从E点测得A的仰角为30°，从C处测得E的俯角为60°，现准备在点A与点C之间拉一条绳子挂上小彩旗（不计绳子弯曲），求绳子AC的长度．（结果保留一位小数，≈1.41，≈1.73） 【答案】AC的长度约为69.2米． 【详解】如图，连接AC． 在直角△ABE中，BE＝30米，∠AEB＝30°，则AE＝＝＝20（米）． 在直角△CDE中，DE＝30米，∠CED＝60°，则CE＝＝＝60（米）． 又∵∠AEC＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴由勾股定理得到：AC＝＝40≈69.2（米）． 答：AC的长度约为69.2米． 7．印江文昌阁，始建于明代嘉靖十年，阁建不久，因故被毁，崇祯二年，由时任印江知县史谏重修之，始名文昌阁，小亮和小刚想利用自己所学知识来测量文昌阁的高度，如图，小亮的目高为米，他站在处测得塔顶的仰角为，小刚的目高EF为米，他站在距离塔底中心点米远的处，测得塔顶的仰角为．（点在同一水平线上）．（参考数据：，，） (1)求小亮与塔底中心的距离；（用含的式子表示） (2)若小亮与小刚相距米，求文昌阁的高度． 【答案】(1)小亮与塔底中心的距离约为米； (2)文昌阁的高度约为米． 【详解】（1）解：根据题意可得米，，米，米， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴小亮与塔底中心的距离约为米； （2）解：∵米， ∴（米）， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴（米）， ∴文昌阁的高度约为米． 题型五：方向角 1.如果由点A测得点B在北偏东15°方向，那么点B测得点A的方向为___________. 【答案】南偏西15°或西偏南75° 2．某次海上搜救行动中，搜救船正以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，搜救船匀速行驶小时后到达处，又测得小岛在它的北偏西方向．已知小岛上有火山喷发，对周围的搜救行动均有干扰作用，试判断该搜救船在航行过程中是否会受到干扰（参考数据：，．结果精确到）． 【答案】该搜救船在航行过程中会受到干扰 【详解】解：由题意得，，，， 过作于， ， ，， ， ， 解得：， 该船在航行过程中与小岛的最近距离为， ∵， ∴该搜救船在航行过程中会受到干扰． 3．为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求B处到灯塔P的距离； (2)已知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由． 【答案】(1)B处到灯塔P的距离为海里 (2)海监船继续向正东方向航行是不安全的，见解析 【详解】（1）解：过点P作于点D， 由题意得，海里，，， 设海里，则海里， 在中， ， 在中，， ∴， 解得， 在中，． 答：B处到灯塔P的距离为海里． （2）解：不安全，理由如下： 由（1）可知 ， ∵， ∴海监船继续向正东方向航行是不安全的． 4.为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西方向上．（参考数据：，，，） (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)千米 (2)千米 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于E，过点B作于F， ∴， 由题意得，， 在中，千米， 千米， ∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：的长度约为千米； （2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足千米．过点M作于T， 由题意得，， 在中，千米， 千米， ∴千米， 设千米，则千米，千米， 在中，千米， 千米， ∴千米， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（此时大于的长，舍去）， ∴千米， 答：甲无人机飞离B处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 题型六：坡度坡角 1.如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 【答案】A 2．如图，、为两个建筑物，建筑物的高度为米，从建筑物的顶部测得建筑物的顶部点的俯角为，测得建筑物的底部点的俯角为，则建筑物的高度是 米．（结果带根号形式） 【答案】60-20 3．如图，某人在山脚处测得山顶的仰角为，他从处沿着坡度的斜坡前进到达处，这时测得山顶的仰角为，求山高的值．（参考数据：） 【答案】 【详解】解：如图所示，作交于点F， ∵坡度，， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得，，即， 解得， ∴，， ∵，，， 设，则， ∴，，，，， ∵， ∴，即， 解得， ， 答：山高的值为． 4．如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 【答案】(1)山顶点C到水平面的距离为(2) 【详解】（1）解：过点C作，垂足为F． 在中， ∵，，， ∴． 答：山顶点C到水平面的距离为． （2）解：过点B作，，垂足分别为H、E． ∴ ∴四边形是矩形． ∴，， 在中， ∵的坡度为， ∴． ∴． 在中， ∵山坡的坡度为， ∴． ∴． ∴山坡的长为：． 答：山坡的长为． 5．如图，坡的坡度为，坡面长26米，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡(请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：)． (1)若修建的斜坡的坡角(即)恰为，则此时平台的长为多少米？ (2)坡前有一建筑物，小明在D点测得建筑物顶部H的仰角为30°，在坡底A点测得建筑物顶部H的仰角为60°，点B、C、A、G、H在同一平面内，点C、A、G在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？ 【答案】(1)7米 (2)建筑物高约为米． 【详解】（1）解：∵坡的坡度为，坡面长26米，D为的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，而， ∴，， ∴（米）； 则平台的长为7米； （2）过点D作，垂足为P． 在中，， 同理可得：， 在矩形中，，， 在中， ， ∴， ∵， ∴ ， 解得：， ∴（米）， 答：建筑物高约为米． 学科网（北京）股份有限公司 $