精品解析：海南万宁市点 北京师范大学万宁实验学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年第一学期期中考试 九年级数学 一、单选题 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的为（ ） A. 赵爽弦图 B. 科克曲线 C. 河图幻方 D. 谢尔宾斯基三角形 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 2. 将一元二次方程化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，把方程化为一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程化为一般式为， ∴二次项系数和一次项系数分别是，， 故选：． 3. 在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，掌握关于原点对称的性质是解决本题的关键． 根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数求解即可． 【详解】解：∵点关于坐标原点的对称点是点， ∴点的坐标为， 故选A． 4. 如图，是的直径．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，三角形的内角和定理等知识．根据直径所对的圆周角和三角形的内角和定理求出度数，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 对于二次函数，下列说法正确的是：（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴是直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 函数的最大值是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据可得抛物线的开口向下，再根据二次函数的对称轴、增减性和最值逐项判断即可得． 【详解】解：二次函数中，， ∴这个二次函数的图象的开口向下，图象的对称轴是直线，则选项A和B错误； ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；则选项C错误； ∴当时，取得最大值，最大值为，则选项D正确； 故选：D． 6. 抛物线经过平移得到抛物线，则平移过程正确的是（ ） A. 先向左平移4个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移4个单位，再向下平移3个单位 C. 先向右平移4个单位，再向上平移3个单位 D. 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象平移规律． 根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”直接判断平移方向． 【详解】解：∵抛物线经过平移得到抛物线， ∴水平方向：变为，符合“右减”，即向右平移4个单位； 垂直方向：整体减去3，符合“下减”，即向下平移3个单位； ∴平移过程为先向右平移4个单位，再向下平移3个单位． 故选：D． 7. 数学课上，老师要求同学们“解方程”，小东说“其中一个解是”，小清说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为3”，小广说“此方程无实数根”，判断以上结论正确的是（ ） A. 小东说得对 B. 小清说得对 C. 小广说得对 D. 三名同学说法都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是熟练掌握根的判别式及根据判别式判断一元二次方程根的情况． 由题意得出系数后，根据根的判别式判断即可求解． 【详解】解：方程中，，，， ， ∴方程无实数根， 则小东说的不对，小清说的不对，小广说得对． 故选：C 8. 电影《南京照相馆》取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，以历史照片为依据，展现了普通中国人面对日军暴行以底片为“武器”的坚定抗争，是一堂生动的历史课，警示我们铭记历史、自强自立．据统计，该电影第一周总票房约亿元，第三周后总票房达到亿元．若在此期间每周票房按相同的增长率增长，设票房周增长率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查增长率问题，找准等量关系是解题的关键． 先分别求出每周的票房，需根据连续增长的总和建立方程． 【详解】解：第一周票房为亿元，每周增长率为，则： 第二周票房为， 第三周票房为 题目中“第三周后总票房达到亿元”指三周票房之和，因此方程为： ． 故选：D． 9. 若m、n是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 由根与系数的关系得出和的值，再代入计算可得答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 则， 故选：B． 10. 对于二次函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数开口向上，对称轴为，且在区间内，最小值在顶点处，最大值在端点处． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，对称轴为． ∵ ，且对称轴在区间内， ∴当时，取最小值，． 当时，； 当 时，． ∴ 的最大值为12． 因此，的取值范围是 ． 故选A 11. 数轴上有两个点和，点表示实数16，点从原点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动速度为半径为4，若点在外，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，点与圆的位置关系，解不等式，根据题意可得，再由点A在圆外可得，即可得到，解之即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A表示的数为， ∴， ∵半径为4，点在外， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 故选A． 12. 二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②；③和4是关于的方程的两个根；④当时，；⑤，其中正确的结论的个数是（ ）个． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． ．．． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．由表格数据可得和，从而得出，函数化为，结合时，得，据此逐一判断各结论． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴，即， ∴， ∵ 当时，， ∴， 解得：， ①，正确； ②，正确； ③ 二次函数图像对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等，即， ∴和3是关于的方程的两个根，则结论③错误； ④ ∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，由表格可知，当和时，， ∴当时，，则结论④正确； ⑤将点代入得：， 将点代入得：， ∴， ∵， ∴， ∴，则结论⑤正确； 综上，正确结论有4个， 故选：C． 二、填空题 13. 已知方程是关于x的一元二次方程，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．正确理解一元二次方程的概念是解题的关键． 根据一元二次方程的定义得到且，由此求得m的取值范围即可． 【详解】解：根据题意得：且， 解得． 故答案为：． 14. 如图，，，分别切于，，点．若，的周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，掌握切线长定理是解答本题的关键． 根据切线长定理，由，，分别切于，，点得，，，然后三角形周长的定义得到的周长，然后用等线段代换后得到的周长，即可解答． 【详解】解：，，分别切于，，点， ，，， 的周长， 故答案为：． 15. 如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分保持不变，下方部分沿轴向上翻折而成．直线与该图象有___________个交点；若图象与直线有四个交点，则的取值范围是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据配方法得出顶点式，可得当时，函数的最大值为4，则直线与该图象有个交点，若图象与直线有四个交点，若图象与直线有四个交点，观察图象即可得的取值范围． 【详解】解：∵函数的图象是由函数的图象轴上方部分保持不变， ∴当时，函数的最大值为4， ∴由函数图象可得直线与函数的图象有3个交点； 观察图象可得，当函数图象与直线有四个交点，则的取值范围是 故答案为：， 16. 如图，点为线段的中点，且，为等边三角形，且．则长的最小值为______． 【答案】#### 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，，则得出是等边三角形，进而证明，勾股定理求得的长，根据是定点，则时，取得最小值，即取得最小值，则，，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【详解】如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点为线段的中点，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，即取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短，将的长转化为求的长是解题的关键． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）两边都除以2后直接开平方可得； （2）左边利用十字相乘法分解因式求解可得． 【小问1详解】 解： ∴或， 解得； 【小问2详解】 解： ∴或， 解得． 18. 劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中．如图是该中学面积为的矩形空地，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加扩大成一个正方形区域，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地．求扩大后的正方形区域的边长． 【答案】正方形区域的边长为 【解析】 【分析】设正方形区域的边长为,则矩形空地长为，宽为，根据“面积为的矩形空地”，列出元二次方程，解之取其正值即可． 【详解】设正方形区域的边长为,则矩形空地长为，宽为，由题意得： ， 整理得：， 解得：（不合题意舍去）， 答：正方形区域的边长为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19. 某公园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷出的水柱呈抛物线形，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内．如图，过喷水管口所在铅垂线每一个截面均可得到两条关于对称的抛物线，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系． （1）若喷出的水柱在距水池中心3m处达到最高，且高度为5m，求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备时，喷水管意外喷水：为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心多少米以内？ 【答案】（1） （2）为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心7m以内． 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出值即可； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的值，由此即可得出结论． 【小问1详解】 解：设水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式为． 将代入，得，解得， 水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式为． 【小问2详解】 解：当时，有， 解得， 为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心7m以内． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 20. 如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查弧，弦，圆心角之间的关系，垂径定理，菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 【问题背景】数学兴趣小组利用两块大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动，如图1，他们将边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，使边，分别落在边上．容易发现． 【问题探究】将图1中正方形固定，将正方形绕点顺时针方向旋转． （1）如图2，连接，，试探究与是否仍然相等？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【问题拓展】将图1中正方形固定，将正方形绕点顺时针方向旋转． （2）如图3，在旋转过程中，当三点在同一条直线上时，求线段的长； （3）如图4，连接，取中点，连接，请直接写出线段长度的最小值和最大值． 【答案】 （1）仍成立．理由如下： ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）或； （3）的最小值为，的最大值为． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，得到，，继而得到，证明，可得； （2）连接，交于点M或N，利用正方形的性质，勾股定理分类计算即可； （3）延长到M，使，连接，则，根据题意得到G在以点B为圆心，为半径的圆上运动，进而分两种情况根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）当A，G，E三点在的右侧且在同一条直线上时， 连接交于点M， ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴，，， ∴； 当A，G，E三点在的左侧且在同一条直线上时， 连接，交于点N， 同理可证，， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：如图，延长到M，使，连接， ∵取中点，， ∴是中位线， 即， ∵将正方形绕点顺时针方向旋转， ∴G在以点B为圆心，为半径的圆上运动， 如图，当G到达时，取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， 此时， 当G到达时，取得最大值， 同理可得 即的最小值为，的最大值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形不等式是解题的关键． 22. 已知二次函数，（，为常数，且）， （1）如图，若此二次函数的图像经过点和点， ①求二次函数的解析式． ②抛物线对称轴上是否存在一点，使得有最小值，若存在，请求出的最小值与点的坐标，若不存在，说明理由． ③当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的取值范围． （2）当时，已知点，，若二次函数的图像与线段只有1个交点，求的取值范围． 【答案】（1）①；②存在一点，使得有最小值，最小值为，点的坐标为；③ （2）取值范围为或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式和两点间的距离公式，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）①利用待定系数法求函数解析式即可；②作点关于对称轴的对称点为，连接与的交点即为P，连接，设直线的解析式为，将和代入求解出解析式，进而即可求解；③根据二次函数的性质求解即可； （2）先求得当时，该二次函数的图像的对称轴为直线，顶点坐标为，与轴的交点为，分和时两种情况，利用二次函数的图像与性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：①此二次函数的图像经过点和点， ， 解得， 该二次函数的解析式为； ②存在一点，使得有最小值， 由①得，抛物线对称轴为， 如图，作点关于对称轴的对称点为，连接与的交点即为P，连接， 设直线的解析式为， 将和代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 当时， ， ∴， ∴的最小值为的长度为； ③由题意得，， ∴二次函数的图像的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时， ， ， 当时，二次函数的最大值为，最小值为4， 由题意，， 解得； 当时，二次函数的最大值为8，最小值为4， ， 当时，二次函数的最大值为8，最小值为， 由题意，， 解得，（两个都不符合范围，舍去）； 综上，满足条件的的取值范围为； 【小问2详解】 解：当时， ， 该二次函数的图像的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时， ， ∴与轴的交点为， 当时， ， 当时，二次函数的图像的开口向上，且，， 若二次函数的图像与线段只有1个交点，则，解得； 当时，二次函数的图像的开口向下，且，， 当即时，该二次函数的图像与线段只有1个交点； 当即时， 若二次函数的图像与线段只有1个交点，则， 解得， ， ， 综上，满足条件的取值范围为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试 九年级数学 一、单选题 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的为（ ） A. 赵爽弦图 B. 科克曲线 C. 河图幻方 D. 谢尔宾斯基三角形 2. 将一元二次方程化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 3. 在平面直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 对于二次函数，下列说法正确的是：（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴是直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 函数的最大值是 6. 抛物线经过平移得到抛物线，则平移过程正确的是（ ） A. 先向左平移4个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移4个单位，再向下平移3个单位 C. 先向右平移4个单位，再向上平移3个单位 D. 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位 7. 数学课上，老师要求同学们“解方程”，小东说“其中一个解是”，小清说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为3”，小广说“此方程无实数根”，判断以上结论正确的是（ ） A. 小东说得对 B. 小清说得对 C. 小广说得对 D. 三名同学说法都不对 8. 电影《南京照相馆》取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，以历史照片为依据，展现了普通中国人面对日军暴行以底片为“武器”的坚定抗争，是一堂生动的历史课，警示我们铭记历史、自强自立．据统计，该电影第一周总票房约亿元，第三周后总票房达到亿元．若在此期间每周票房按相同的增长率增长，设票房周增长率为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若m、n是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 10. 对于二次函数，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 数轴上有两个点和，点表示实数16，点从原点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动速度为半径为4，若点在外，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 12. 二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②；③和4是关于的方程的两个根；④当时，；⑤，其中正确的结论的个数是（ ）个． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． ．．． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 13. 已知方程是关于x的一元二次方程，则__________． 14. 如图，，，分别切于，，点．若，的周长为_________． 15. 如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分保持不变，下方部分沿轴向上翻折而成．直线与该图象有___________个交点；若图象与直线有四个交点，则的取值范围是___________． 16. 如图，点为线段的中点，且，为等边三角形，且．则长的最小值为______． 三、解答题 17. 解方程： （1）； （2）； 18. 劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中．如图是该中学面积为的矩形空地，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加扩大成一个正方形区域，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地．求扩大后的正方形区域的边长． 19. 某公园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷出的水柱呈抛物线形，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内．如图，过喷水管口所在铅垂线每一个截面均可得到两条关于对称的抛物线，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系． （1）若喷出的水柱在距水池中心3m处达到最高，且高度为5m，求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式； （2）王师傅在喷水池内维修设备时，喷水管意外喷水：为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心多少米以内？ 20. 如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 21. 【问题背景】数学兴趣小组利用两块大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动，如图1，他们将边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B，使边，分别落在边上．容易发现． 【问题探究】将图1中正方形固定，将正方形绕点顺时针方向旋转． （1）如图2，连接，，试探究与是否仍然相等？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【问题拓展】将图1中正方形固定，将正方形绕点顺时针方向旋转． （2）如图3，在旋转过程中，当三点在同一条直线上时，求线段的长； （3）如图4，连接，取中点，连接，请直接写出线段长度的最小值和最大值． 22. 已知二次函数，（，为常数，且）， （1）如图，若此二次函数的图像经过点和点， ①求二次函数的解析式． ②抛物线对称轴上是否存在一点，使得有最小值，若存在，请求出的最小值与点的坐标，若不存在，说明理由． ③当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的取值范围． （2）当时，已知点，，若二次函数的图像与线段只有1个交点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $