第3章 勾股定理章节重难点复习（3个知识点+8种题型） 2025-2026学年苏科版 数学八年级上册

该初中数学讲义通过知识框架系统梳理勾股定理单元核心内容，以要点清单形式呈现勾股定理的定义与应用、逆定理的判定步骤及勾股数特征，清晰展现三个知识点的重难点分布和内在逻辑联系。 讲义亮点在于8种典型题型的分层设计，涵盖求面积、最短路径等应用场景，如最短路径问题中长方体表面爬行路径计算，培养几何直观和空间观念。例题与变式题结合，基础题巩固知识，综合题提升推理能力，支持学生自主复习，助力教师精准分层教学。

第3章 勾股定理 章末重难点复习（3个知识点+8种题型） 一、要点梳理 要点一、勾股定理 1.勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 要点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 　如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释： 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证：与是否具有相等关系： 　　 若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形； 　　 若时，△ABC是锐角三角形； 　　　若时，△ABC是钝角三角形． 2.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点诠释： 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 4.若a为奇数，则b=,c= 要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 二、典型例题 【考点1 利用勾股定理求面积】 例1.如图，中，平分，交于点D，延长至点E，使，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，由外角的性质得到，再根据角平分线的定义得到，既可以证得，进而得到结论； （2）根据三线合一得到，，然后根据勾股定理得到，然后利用解题即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【变式1】△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（　　） A．42 B．32 C．42或32 D．42或37 【分析】本题应分两种情况进行讨论： （1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出； （2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出． 【解答】解：此题应分两种情况说明： （1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中， BD9， 在Rt△ACD中， CD5 ∴BC＝5+9＝14 ∴△ABC的周长为：15+13+14＝42； （2）当△ABC为钝角三角形时， 在Rt△ABD中，BD＝9， 在Rt△ACD中，CD＝5， ∴BC＝9﹣5＝4． ∴△ABC的周长为：15+13+4＝32 ∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32． 综上所述，△ABC的周长是42或32． 故选：C． 【考点2 判断直角三角形】 例2.在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件： ①； ②； ③，，； ④，其中可以判定是直角三角形的有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，对于①④，求出各内角的度数，判断即可；对于②③，根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】∵，， ∴， ∴是直角三角形， 则①正确； ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形， 则②正确； ∵，，， ∴， ∴不是直角三角形． 则③不正确； 设，根据三角形内角和定理，得 ， 解得， ∴，，， ∴不是直角三角形． 则④不正确． 正确的有2个． 故答案为：2． 【变式2】下列是直角三角形的有（　　）个 ①△ABC中a2＝c2﹣b2 ②△ABC的三内角之比为3：4：7 ③△ABC的三边平方之比为1：2：3 ④三角形三边之比为3：4：5 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：①∵a2＝c2﹣b2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形； ②∵△ABC的三内角之比为3：4：7， ∴△ABC中最大角的度数为：180°90°， ∴△ABC是直角三角形； ③∵△ABC的三边平方之比为1：2：3， ∴设三边的平方分别为k，2k，3k， ∵k+2k＝3k， ∴△ABC是直角三角形； ④∵三角形三边之比为3：4：5， ∴设三边分别为3a，4a，5a， ∵（3a）2+（4a）2＝（5a）2， ∴△ABC是直角三角形， 所以，上列是直角三角形的有4个， 故选：D． 【考点3 利用勾股定理求最短路径】 例3.如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：C． 【变式3】如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（　　） A．（3+） cm B． cm C． cm D． cm 【分析】把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算． 【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是9和4， 则所走的最短线段是； 第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是7和6， 所以走的最短线段是； 第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是10和3， 所以走的最短线段是； 三种情况比较而言，第二种情况最短． 故选：C． 【考点4 利用勾股定理求长度】 例4.如图，在中，，交于点，，． (1)若，则___________， ___________； (2)若，求的长． 【答案】(1)8，15； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． （1）由勾股定理计算即可得出答案； （2）设，则，由勾股定理得出，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8，15； （2）解：设，则， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式4】如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离米．竹竿高处水面的部分AD长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度BD为______． 【答案】1.5米 【分析】设人工湖的深度BD设为x米，则竹竿BC的长米，可以放到一个直角三角形中计算．此直角三角形的一条直角边CD是0.8米，另一条直角边是人工湖BD为x米，斜边BC是竹竿的长米．根据勾股定理得，即可解答． 【详解】解：设人工湖的深度BD设为x米，则竹竿BC的长米，由题意得， ， 解之得： 故答案为：1.5米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用． 【考点5 勾股定理的证明】 例5.阅读下列材料，完成任务 我们知道，平方差公式可以用如图所示的平面几何图形的面积来表示，实际上，还有一些代数式恒等式也可以用这种形式表示．    任务： (1)图1是由2个边长分别为，的正方形和2个全等的长方形所拼成的大正方形，根据图中的信息，可以写出所表示的代数恒等式为______； (2)图2所示的图形是由四个直角边长分别为，，斜边长为的全等的直角三角形和一个正方形的拼成的大正方形，请你用面积法推导恒等式的方法，证明勾股定理． (3)在中，，为直角边长，为斜边长，且，，求直角三角形的斜边长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个矩形的面积和计算即可． （2）根据正方形的面积不变性，三角形的面积公式计算证明即可． （3）根据勾股定理，公式变形计算即可． 【详解】（1）解：根据正方形的面积等于边长的平方，得到正方形的面积为； 结合图形，得到正方形的面积还等于， 故， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴（舍去）． 【点睛】本题考查了数学公式的几何表示，完全平方公式的几何意义，勾股定理的证明，计算应用，熟练掌握公式和勾股定理是解题的关键． 【变式5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2 证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a ∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABCb2ab． 又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCBc2a（b﹣a） ∴b2abc2a（b﹣a） ∴a2+b2＝c2 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2． 【分析】首先连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证． 【解答】证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a， ∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADEabb2ab， 又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDEabc2a（b﹣a）， ∴abb2ababc2a（b﹣a）， ∴a2+b2＝c2． 【考点6 勾股定理逆定理的应用】 例6.如图，四边形中，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴四边形的面积； 故选B． 【变式6】如图所示，已知AD，AE分别是的高和中线，；试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 【答案】(1)的长为 (2)的面积是 (3)和的周长的差是 【分析】（1）由勾股定理逆定理可确定为直角三角形，且．再由等积法即可求出AD的长； （2）根据三角形中线的性质可求出，再根据三角形面积公式计算即可； （3）根据三角形中线的性质可得，即可求出． （1） ∵， ∴， ∴为直角三角形，且． ∵是边上的高， ∴， ∴； （2） ∵是的中线， ∴， ∴； （3） ∵为边上的中线， ∴， ∴， 即和的周长的差是． 【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理，三角形中线的性质．确定出为直角三角形，且是解题关键． 【考点7 勾股定理的实际应用】 例7.如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒． （1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离； （2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间． 【分析】（1）过点A作AH⊥ON于H，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案； （2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，利用勾股定理求出CH的长，再根据等腰三角形的性质可得CD的长，从而求出时间． 【解答】解：（1）过点A作AH⊥ON于H， ∵∠O＝30°，OA＝80米， ∴AHOA＝40米， ∴卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为40米； （2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响， 由（1）知AH＝40米， ∴CH30（米）， ∴CN＝2CH＝60（米）， ∴t＝60÷5＝12（秒）， ∴卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间为12秒． 【变式7】我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域． (1)城是否受到这次台风的影响?为什么? (2)若城受到这次台风影响，那么城遭受这次台风影响有多长时间? 【答案】(1)城会受台风影响 (2)6小时 【分析】本题考查勾股定理的应用，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据垂线段最短，故应由A点向作垂线，垂足为，若，则A城不受影响，否则受影响； （2）点A到直线的长为千米的点有两点，分别设为D、G，则是等腰三角形，由于，则C是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间． 【详解】（1）解：由点向作垂线，垂足为， 在中，，则， 因为，所以城会受台风影响； （2）解：设上点，使千米， 是等腰三角形， ， 是的垂直平分线， ， 在中，千米，千米， 有勾股定理得，（千米） 则千米， 遭受台风影响的时间是：小时 【考点8 利用勾股定理解折叠问题】 例8. 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，角平分线的性质，过点作，可得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可． 【详解】解：过点作， ∵长方形， ∴， ∵平分， ∴， 由翻折可得， 由勾股定理，得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故选：B． 【变式8】如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为___________． 【答案】或5 【分析】分两种情况进行分类讨论：①当时，求CE的长；②当时，求CE的长． 【详解】解：①如图1，当时，， ， ， ，是的中点， ． ②如图2，当时，由折叠性质知， ， 三点共线． ， 在中，， 设， ， 在中，， ． 综上所述，CE的长为：5或． 【点睛】此题考查翻折变换，勾股定理，熟练运用勾股定理以及学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 勾股定理 章末重难点复习（3个知识点+8种题型） 一、要点梳理 要点一、勾股定理 1.勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 要点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 　如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释： 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为； （2）验证：与是否具有相等关系： 　　 若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形； 　　 若时，△ABC是锐角三角形； 　　　若时，△ABC是钝角三角形． 2.勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点诠释： 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等） 4.若a为奇数，则b=,c= 要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 二、典型例题 【考点1 利用勾股定理求面积】 例1.如图，中，平分，交于点D，延长至点E，使，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的面积． 【变式1】△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（　　） A．42 B．32 C．42或32 D．42或37 【考点2 判断直角三角形】 例2.在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件： ①； ②； ③，，； ④，其中可以判定是直角三角形的有 个． 【变式2】下列是直角三角形的有（　　）个 ①△ABC中a2＝c2﹣b2 ②△ABC的三内角之比为3：4：7 ③△ABC的三边平方之比为1：2：3 ④三角形三边之比为3：4：5 A．1 B．2 C．3 D．4 、【考点3 利用勾股定理求最短路径】 例3.如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米 A． B． C． D． 【变式3】如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（　　） A．（3+） cm B． cm C． cm D． cm 【考点4 利用勾股定理求长度】 例4.如图，在中，，交于点，，． (1)若，则___________， ___________； (2)若，求的长． 【变式4】如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离米．竹竿高处水面的部分AD长0.2米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度BD为______． 【考点5 勾股定理的证明】 例5.阅读下列材料，完成任务 我们知道，平方差公式可以用如图所示的平面几何图形的面积来表示，实际上，还有一些代数式恒等式也可以用这种形式表示． 任务： (1)图1是由2个边长分别为，的正方形和2个全等的长方形所拼成的大正方形，根据图中的信息，可以写出所表示的代数恒等式为______； (2)图2所示的图形是由四个直角边长分别为，，斜边长为的全等的直角三角形和一个正方形的拼成的大正方形，请你用面积法推导恒等式的方法，证明勾股定理． (3)在中，，为直角边长，为斜边长，且，，求直角三角形的斜边长．    【变式5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2 证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a ∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABCb2ab． 又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCBc2a（b﹣a） ∴b2abc2a（b﹣a） ∴a2+b2＝c2 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2． 【考点6 勾股定理逆定理的应用】 例6.如图，四边形中，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6】如图所示，已知AD，AE分别是的高和中线，；试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 【考点7 勾股定理的实际应用】 例7.如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒． （1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离； （2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间． 【变式7】我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域． (1)城是否受到这次台风的影响?为什么? (2)若城受到这次台风影响，那么城遭受这次台风影响有多长时间? 【考点8 利用勾股定理解折叠问题】 例8. 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　） A． B． C．4 D． 【变式8】如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为___________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $