探究--探寻“勾股数”学案2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025年秋八年级数学上册导学案(3-7) 主备人：张二平 班级 学生姓名： 课题：数学探究--探寻“勾股数” 学习目标： 1、 掌握直角三角形的判别条件，熟记一些勾股数，培养学生数形结合的思想。 2、 通过对勾股定理逆定理的综合应用，培养学生学习数学的兴趣。 3、 体验勾股定理及其逆定理在生活实际中的实用。 学习重点：直角三角形的判别条件及其应用。 学习难点：勾股定理及其逆定理的综合应用。 自学要求：认真阅读教材P105，回答下列问题： 一、情境引入： 忆旧：勾股数： 如果三个正整数a，b，c满足关系a2+b2=c2，则称a，b，c为勾股数。 思考： 已知a，b，c为△ABC的三边，下列条件中，能判定它是直角三角形的是 （ ） A、∠A+ ∠B= ∠C B、∠A：∠B：∠C=3：4：5 C、 a=8，b=17，c=15 D、a2+b2+c2-12a-16b-100c+200=0 二、交流活动： 活动1： 构造勾股数 构造勾股数，就是要寻找三个正整数，使它们满足“两个数的平方和(或差)等于第三个数的平方”， 即满足以下形式： （ ）2+（ ）2=（ ）2 ① 或（ ）2+（ ）2=（ ）2 ② 要满足上述① ②的形式，不妨从乘法公式人手，我们已经知道：(x+y)2-(r-y)2=4xy ③ 如果等式③的右边也能写成"( )2”的形式，那么它就符合②的形式， 因此，只要设x=㎡，y=n2，就可以化成：(m2+n2)2-(m2-n2)2=(2mn)2. 于是，当m，n为任意正整数,且 m>n时,m2+n2，m2-n2和2mn 就是勾股数，根据勾股数的这种表达式，就可以找出无数组勾股数。 活动2：在下表中填写勾股数： 活动3：一位数学家在他找到的勾股数的表达式中，用2n2十2n+1(n为任意正整数)表示勾股数中 最大的一个数，你能找出另外两个数的表达式吗? 三、探究研讨： 用的勾股数组，如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等. 观察1：“3，4，5”；“5，12，13”的构造方法如下： 按照上述构造规律， 完成填空：11、 、 ；13、 、 ；13、 、 ； 当n≥1，n为整数，则2n+1、 、 。 观察2：“6，8，10”；“8，15，17”的构造方法如下： 按照上述构造规律， 完成填空：10、 、 ；12、 、 ；14、 、 ； 当n＞1，n为整数，则2n、 、 。 口诀： 奇数平方写连续，偶数半方加减一。 四、知识拓展： 勾股数的很多有趣的性质： 1.勾股数中的额三个数不能全是奇数； 2.勾股数里的三个数要么全是偶数，要么只有一个偶数； 3.大于2的任何一个整数都可以作为直角三角形的一条边长； 4.如果一组勾股数中两个较大的数组相差1,那么这两个数的和就是第三个数的平方。 5.如果两个较大的数相差2，那么这两个数中间所夹的整数是第三个数的一半的平方。 6.所有的勾股数中至少有一个是3的倍数，至少有一个是4的倍数，至少有一个是5的倍数。 五、创新： 问题 1：是否存在这样的这样的4个整数a、b、c、d満足a2+b2+c2=d2, 你能进行一番探索吗？试试看。 问题2：如图1，已知四边形ABCD是长方形，AC为对角线，则有AB2+BC2=AC2,即A8、BC、AC 满足勾股定理，如图2，ABCD-A1B1C1D1是长方体，图1中的线段A8、BC、AC分别对应图2中的面ABB1A1、BCC1B1、ACC1A1，若长方体的面ABB1A1、BCC1B1、ACC1A1的面积分别用表示，则是否有仍然成立?请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $$