专项突破06 勾股定理的探究（期末复习-知识回顾+13个重难点培优题型+真题演练 共41题）-2025-2026学年苏科版数学八年级上册精讲练

该初中数学勾股定理专项突破讲义通过表格梳理与逻辑递进构建知识体系，系统呈现勾股定理的文字与符号语言、验证方法、逆定理及勾股数，用对比与关联突出重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于13种分层题型设计，如以弦图为背景的计算题培养几何直观，网格中判断直角三角形发展推理能力，结合真题演练强化应用意识。基础题夯实概念，拓展题提升思维，助力学生自主复习，也为教师精准教学提供支持。

专项突破06 勾股定理的探究 （知识回顾+13种重难点培优题型+真题演练 共41题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 错误！未定义书签。 知识点梳理01：勾股定理 1 知识点梳理02：勾股定理的验证 2 知识点梳理03：勾股定理的逆定理 3 知识点梳理04：勾股数 3 重点难点 考点讲练 3 题型1 用勾股定理解三角形 3 题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积 5 题型3 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 7 题型4 利用勾股定理证明线段平方关系 8 题型5 勾股定理的证明方法 11 题型6 以弦图为背景的计算题 14 题型7 用勾股定理构造图形解决问题 16 题型8 勾股定理与无理数 19 题型9 勾股树（数）问题 21 题型10 判断三边能否构成直角三角形 24 题型11 在网格中判断直角三角形 25 题型12 利用勾股定理的逆定理求解 28 题型13 勾股定理逆定理的拓展问题 32 期末真题 实战演练 33 知识点梳理01：勾股定理 文字语言 符号语言 变式 直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即 在Rt∆ABC中， 的对边分别为a、b、c，则有 特别注意： （1） 使用勾股定理时切记不能忽视前提条件是在直角三角形中； （2） 运用勾股定理时要注意：在∆ABC中，的对边分别为a，b，c，若，； 知识点梳理02：勾股定理的验证 【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角 边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长 分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样 拼成两个正方形，如右图： 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即 ， 整理得 . 【证法2】以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD +∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB +∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于. ∵ EF = FG =GH =HE = b-a , ∠HEF = 90º. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于. ∴ . ∴ . 知识点梳理03：勾股定理的逆定理 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且那么这个三角形是直角三角形. 2、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤 （1）“找”：找出三角形三边中的最长边； （2）“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； （3）“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则，不是。 3、勾股定理的逆定理的延伸与拓展 设三角形的三边长分别为a、b、c（c为最长边的长） 知识点梳理04：勾股数 1、勾股数： 2、常见的勾股数：①3、4、5；②6、8、10；③8、15、17；④7、24、25；⑤5、12、13； ⑥9、12、15. 题型1 用勾股定理解三角形 【精讲】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，数轴上点表示的数为，轴，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查实数与数轴，勾股定理．和均为半径，根据勾股定理求出的长，从而得到点A表示的数． 【规范解答】解： 轴， ∴， ， 点A表示的数为， 故选C． 【变式】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为4，，且，以点为圆心，为半径作半圆，与数轴相交于点和点，点表示的数记为，点表示的数记为． (1)________，________； (2)求的值. 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查了在数轴上表示实数，二次根式的运算，完全平方公式，整式的运算以及勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及整式的运算法则． （1）根据勾股定理可求出的长度，从而可求出与的值． （2）先根据完全平方公式对原式进行变形，代入数据再利用平方差公式即可求出答案． 【规范解答】（1）解：由题意可知：，，， 由勾股定理可知：， ∵点表示的数记为，点表示的数记为， ∴，， ∴，， 故答案为：，． （2）解： ∵，， ∴原式 ． 题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积 【精讲】（25-26八年级上·河南郑州·期中）意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图像信息．根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【规范解答】解：由勾股定理可得， 由题意，可得， ， 所以 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 【变式】（25-26八年级上·陕西西安·期中）勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，点M，G，E，D，Q，P均在长方形的边上．若，，则长方形内空白部分的面积之和是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用．根据勾股定理求出，延长交于点O，求出，，求出，，利用即可求出答案． 【规范解答】解：在中，，根据勾股定理得， ∴． 如图，延长交于点O， ∵四边形均为正方形，四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴ ． ∴空白部分的面积为． 故答案为：． 题型3 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【精讲】（25-26八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则 ． 【答案】60 【思路引导】本题主要查了勾股定理，理解并灵活运用勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，，从而得到，再代入相关数据即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ． 故答案为：60． 【变式】（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【思路引导】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【规范解答】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 题型4 利用勾股定理证明线段平方关系 【精讲】（25-26八年级上·福建福州·期中）借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）2 【思路引导】本题考查的是因式分解的应用和完全平方公式的几何背景，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：； （2）图2中图形的面积 ，即可变形为； （3）根据，，周长为2，可得：，在中，由勾股定理得，整理得，根据，，可知长方形的面积为：，即可得解． 【规范解答】解：（1）图1中阴影部分的面积可以表示为两个阴影部分的正方形的面积相加，也可表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积，即， 故答案为：； （2）发现：，理由如下： ∵图2中图形的面积：， ∴， ∴， ∴； （3）∵，，周长为2， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴长方形的面积为：． 【变式】如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1)7 (2)见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）先计算，结合，计算，再求的长； （2）连接，在上截取，连接，先证明，再利用等腰三角形的性质，勾股定理证明即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，在上截取，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 题型5 勾股定理的证明方法 【精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）请你根据图形及提示证明勾股定理图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形 (1)毕达哥拉斯的证法图： 补充完整以下证明过程 证明：正方形①的面积______ 正方形②的面积______． 又正方形①与正方形②的边长相等， ____________． ； (2)请你写出弦图图的另一种证法． 【答案】(1)，，， (2)见解析 【思路引导】本题考查勾股定理的证明，正方形的性质，解决本题的关键是根据题意得到等量关系． （1）根据题意即可完成填空； （2）根据题意，由图可知大正方形的面积个三角形的面积小正方形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式． 【规范解答】（1）证明：正方形①的面积， 正方形②的面积， 又正方形①与正方形②的边长相等， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由图可知大正方形的面积个三角形的面积小正方形的面积， ， 即． 【变式】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知：如图，，，，E是线段上一个动点，且，交于点． (1)求证：； (2)八（1）班小明同学在学习了课本中我国古代数学家赵爽通过“弦图”对勾股定理的验证方法后，受此启发，利用第（1）题的图形，连接，设，，，通过用不同方法计算四边形的面积，也验证了勾股定理．请你帮助小明同学完成验证过程． (3)连接，若，则线段的最小值为__________．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了勾股定理的证明及应用，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，正确表示出四边形面积的两种方法是解题的关键． （1）根据证明得出，即可推出结论； （2）连接、，由，得出，，，．再根据四边形的面积的两种表示方法得出等式整理即可得出结论； （3）取的中点，连接，，则，当在同一直线上时，线段取得最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵，， ， 在和中， ， ． ， ， ． ． ， ∴； （2）解：如图，连接、， ∵， ，，，． ． ， ． ． 即． （3）解：取的中点，连接，， ∵， ∴当在同一直线上时， ∴线段取得最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 题型6 以弦图为背景的计算题 【精讲】（25-26八年级上·江苏南京·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ． 【答案】7 【思路引导】此题主要考查了勾股定理的应用，根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案． 【规范解答】解：图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，， ，， ， ，， ， 的值是：． 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·江苏常州·期中）公元三世纪，我国数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图）中的两个正方形和八个直角三角形按图方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个结论： ； ；若，则；若点是线段的中点，则，其中正确的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，直角三角形性质等知识点，设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可，掌握数形结合思想是解题的关键． 【规范解答】解：设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，，， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故错误； ∵，， ∴，即， ∴， ∴，故正确； ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故错误； 综上可得：正确， 故选：． 题型7 用勾股定理构造图形解决问题 【精讲】（25-26八年级上·山西运城·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为：在直立于地面的一根木杆的顶端处，系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺（如图1）．在距木杆底端处8尺的地面上点处拉绳索，整根绳索恰好被拉直（如图2）．问绳索有多长？ (1)请通过已学知识解决这个实际问题； (2)将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长（较短的直角边）为，弦长（斜边）与股长（较长的直角边）的差为，弦长为，请用，表示，其结果为 ． 【答案】(1)绳索长尺 (2) 【思路引导】本题考查了勾股定理，理解题意，正确运用勾股定理是解此题的关键． （1）设绳索长尺，则尺，利用勾股定理计算即可得解； （2）由勾股定理计算即可得解． 【规范解答】（1）解：设绳索长尺，则尺， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， 故绳索长尺； （2）解：由题意并结合勾股定理可得， 整理可得：， ∴． 【变式】（25-26八年级上·河北保定·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则 线段 线段 ； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【模型应用】 （2）应用数形结合思想，已知，求的最小值为 ； 【拓展应用】 （3）应用数形结合思想，已知正数m满足，则m的值为 ． 【答案】（1）①，；②；（2）5；（3） 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． （1）①根据题意，设，则．则根据及图形可进行求解； ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解； （2）我们可以构造宽为2，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则，同理（1）可进行求解； （3）作边长分别为5，12，13的直角三角形，过点F作于点Q，由可知：，则，然后根据等面积法可进行求解． 【规范解答】解：（1）①由题意得，； 故答案为，； ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即为最小， 由图可知：， ∴在中，由勾股定理可得：； （2）如图，构造宽为2，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则， 作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即为的最小值， 同理（1）可得：， 即的最小值为5； 故答案为5； （3）如图，作边长分别为5，12，13的直角三角形，过点F作于点Q， 由可知：，则， ∵， ∴； 故答案为． 题型8 勾股定理与无理数 【精讲】（25-26八年级上·上海·期中）如图，数轴上点、点所表示的数分别为0和，以为边长作正方形．以点为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点，那么点表示的实数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理和实数与数轴，根据勾股定理求出的长，即的长，从而求出点对应的数． 【规范解答】解：由勾股定理知：， ∴， ∴点对应的数是， 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 下面是莉莉同学的学习笔记．请仔细阅读，并完成相应的任务． 在数轴上确定表示无理数的点今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 要在数轴上分别找到表示和的点，关键是在数轴上构造线段． 如图1，点与数轴的原点重合，点表示的数为1，过点作的垂线段，使得，连接，则（依据）． 以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，与数轴分别交于点，则，点对应的数为，点对应的数为． …… 任务： (1)学习笔记中的“依据”是指____________． (2)如图2，利用尺规在数轴上分别画出表示的点和表示的点．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） (3)拓展：在材料的基础上，莉莉同学经过探索，知道了如何在数轴上画出表示数的点，请你在图3的数轴上，利用尺规作图帮助莉莉同学画出点．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【答案】(1)勾股定理 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理可得答案． （2）利用数轴作一个直角边长为，的直角三角形，再进一步画图即可． （3）利用数轴作一个直角边长为，的直角三角形，再进一步画图即可． 【规范解答】（1）解：学习笔记中的“依据”是：勾股定理． （2）解：如图，点P，Q即为所求． （3）解：如图，点即为所求， 题型9 勾股树（数）问题 【精讲】（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知∶满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律∶ (1)设，观察提供勾股数的规律，填空∶ 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9， ， ；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；⑤14， ， ； (2)若，n为正整数，且，求证∶a，b，c是勾股数组． 【答案】(1)40，41；48，50 (2)见解析 【思路引导】本题考查勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键： （1）观察可知a为奇数时，后2个数为连续的整数，得到，列出方程进行求解即可；为偶数时，，列出方程进行求解即可； （2）利用勾股数的定义进行求解即可． 【规范解答】（1）（1）观察可知a为奇数时，， ∴，解得， 故9，40，41是一组勾股数， 为偶数时，， ∴，解得； 故14，48，50是一组勾股数； （2）证明∶，， 则， ∵n为正整数，且， ∴a、b、c都是正整数， ∴a，b，c是勾股数组． 【变式】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）第届数学教育大会（）会标如图所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图验证勾股定理：； 【知识迁移】（2）如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．请证明，，是勾股数； 根据中的结论，写出一组符合条件的勾股数___________； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）． 【答案】（）见解析；（）见解析； ，，（答案不唯一）；（）这块菜园最少需要种植棵青菜． 【思路引导】本题考查了勾股定理及逆定理、以弦图为背景的计算题，完全平方公式，等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）用两种方法求正方形面积即可求证； （）分别求出，，，则有，从而求证； 取，即可求解； （）由是正整数且，则要使勾股数最小则有，，得出最小勾股数为，，，又最短的边长为米，则直角三角形三边为米，米，米，所以这块菜园最少种植青菜（棵），从而求解． 【规范解答】解：（）∵正方形的面积为， 或 ， ∴； （）∵，，， ∴， ∴，，是勾股数； 取，， ∴，，， ∴勾股数为，，， 故答案为：，，（答案不唯一）； （）∵是正整数且， ∴要使勾股数最小则有，， ∴最小勾股数为，，， ∵最短的边长为米， ∴直角三角形三边为米，米，米， 则这块菜园最少种植青菜（棵）， 答：这块菜园最少需要种植棵青菜． 题型10 判断三边能否构成直角三角形 【精讲】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）定义：如图，点M，N把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． (1)如图，已知M，N把线段分割成、、，若，， ，则点M，N是线段的勾股分割点吗？请说明理由． (2)如图，已知点M，N是线段的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．（1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可；（2）分两种情况进行讨论，①当为最大线段时，②当为最大线段时，分别求出的长即可． 【规范解答】（1）解：点、是线段的勾股分割点，理由如下： ∵，，，， ∴， ∴ 以、、为边的三角形是一个直角三角形， ∴ 点、是线段的勾股分割点． （2）解：设，则． ① 当为最大线段时， 根据题意得：， 即， 解得：； ② 当为最大线段时， 根据题意得：， 即， 解得：； 综上所述，的长为或． 【变式】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形： (1)在图甲中，找一个格点，使得，，三点构成的三角形为等腰三角形． (2)在图乙中，找一个格点，使得，，三点构成的三角形是以为直角边的直角三角形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了应用设计与作图，正确理解等腰三角形和直角三角形是解题关键． （1）根据等三角形的定义进行作图即可； （2）根据直角三角形的定义进行作图即可． 【规范解答】（1）解：如图，点D即为所作，（答案不唯一） （2）解：如图，点C即为所作（答案不唯一） 题型11 在网格中判断直角三角形 【精讲】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在的正方形网格中，点，，在格点上． (1)直接写出的度数； (2)画出的角平分线； (3)在此网格中取一个格点，使，并且两个三角形的一个钝角均为．画出这两个三角形． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，邻补角，全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）根据等腰三角形的性质求解即可； （3）根据邻补角，全等三角形的判定求解即可． 【规范解答】（1）解：连接，如图 ∵， 即， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）如图，是的角平分线．理由如下： 由网格，可得, ∴，即点是的中点， ∵，点是的中点， ∴， 即是的角平分线． （3）如图，点D即为所求．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴点D即为所求． 【变式】（25-26八年级上·全国·单元测试）利用无刻度的直尺画图． (1)利用图①中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线． (2)在图②的网格中画一个三角形，满足下列条件：①是直角三角形；②任意两个顶点都不在同一条网格线上；③三角形的顶点都在格点（网格线的交点）上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据作平行线和垂线的方法，利用直尺作图即可； （2）根据勾股定理逆定理判断三条线段的平方分别为：，判断这三条线段能构成直角三角形即可画出图形． 【规范解答】（1）解：如图①，如图所示．利用直尺作：，． 则和直线即为所求． （2）解：如图②，即为所求． 理由：由勾股定理得： ． ． 故是直角三角形． 【考点剖析】本题考查了平行线的作法，垂线的作法，掌握网格结构的特点并熟练应用是解题的关键． 题型12 利用勾股定理的逆定理求解 【精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中线，于点E， (1)求的长； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)垂直平分，见解析 【思路引导】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟记相关性质定理是解题的关键． （1）直接根据勾股定理求解； （2）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，再根据中线的定义可得出结论． 【规范解答】（1）解：在中，由勾股定理得， ； （2）解：与的位置关系是垂直平分， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 又是的中线， ， 与的位置关系是垂直平分 【变式】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）背景材料 平移、轴对称、旋转是初中阶段学习的三种全等变换，它们只改变图形的位置，不改变形状和大小．利用这一性质，我们可以借助一种或多种全等变换，将图中相对“分散”的条件“集中”起来，从而构建新的联系以解决问题． 理解应用 （1）如图1，M是正方形内一点，且，小宁猜想是等边三角形，为了验证猜想，做了如下探究： 正方形中，，． 将进行旋转与翻折得，则，连接． ，， ， 是等边三角形． …… 请继续完成小宁的后续推理，以验证猜想． 迁移创新 （2）如图2，Q是等边内一点，若，，，请尝试借助旋转变换，推算_______°（直接写出答案）． 【答案】（1）见详解（2）150 【思路引导】（1）将进行旋转与翻折得，则，连接．则可证是等边三角形，进而可得，，，则可得．根据可得，进而可得，，则可得，再证，则可得是等边三角形． （2）将绕B点顺时针旋转至，连接，则可得是等边三角形，，．再根据勾股定理逆定理可得，进而可得． 【规范解答】解：（1）正方形中，，． 将进行旋转与翻折得，则， 连接． ，， ， 是等边三角形． ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形． （2）如图，将绕B点顺时针旋转至，连接, 则，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：150 【考点剖析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等．正确的作出旋转变换图形是解题的关键． 题型13 勾股定理逆定理的拓展问题 【精讲】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3)正确，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【规范解答】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 【变式】在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （  ） A．如果那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 【答案】C 【思路引导】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可． 【规范解答】选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项B中如果 a2＝b2+c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项C中如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝45°，∠B=60°，∠C =75°，没有直角，不是直角三角形，故选项C错误， 选项D中如果 a：b：c＝3：4：5，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 故选：C 【考点剖析】考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定义解出此题． 1．（24-25八年级下·陕西安康·期末）“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查“赵爽弦图”的图形特征，对选项中的图形进行判断．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形图案． 【规范解答】解：A、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征； B、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符； C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征； D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征； 故选：A． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）等腰三角形的腰长为，底边长为，它的底边上的高线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，由三线合一可得，再利用勾股定理解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：如图，∵，，， ∴， ∴， 故选：． 3．（23-24八年级上·河北·期末）边长为下列各组数的三角形中，不是直角三角形的是（   ） A． 9、40、41 B．8、15、17 C．36、64、100 D．7、25、24 【答案】C 【思路引导】本题考查了勾股定理逆定理，根据较小两边的平方和等于较长一边的平方，则这个三角形为直角三角形，由此逐项分析即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：A、，故是直角三角形，不符合题意； B、，故是直角三角形，不符合题意； C、，故不是直角三角形，符合题意； D、，故是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 4．（23-24八年级上·江苏·期末）下列各组数中，能构成直角三角形的一组是（   ） A．2，2， B．1，，2 C．4，5，6 D．6，8，12 【答案】B 【思路引导】本题考查勾股定理的逆定理的应用．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【规范解答】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：B． 5．（23-24八年级上·河北·期末）如图，三角形，、、分别是以、、为直径的半圆的面积，若，则三角形是 ． 【答案】直角三角形 【思路引导】本题考查了勾股定理的逆定理，先根据圆的面积公式求出，、、，然后结合可求出，最后根据勾股定理的逆定理判断即可． 【规范解答】解：∵、、分别是以、、为直径的半圆的面积， ∴，，， 又， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 6．（25-26八年级上·湖南·期末）阅读下列内容，设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；若③，则该三角形是锐角三角形． 例如：若一个三角形的三边长分别是，，则最长边是，由于，故由上面③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题． （1）若一个三角形的三条边长分别是，，则该三角形是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； （2）若一个三角形的三条边长分别是，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ． 【答案】 锐角 或 【思路引导】（1）先确定最长边，计算最长边的平方与另外两边平方和的大小，根据材料中的规则判断三角形形状； （2）分 “是最长边” 和 “ 是最长边” 两种情况，利用勾股定理列方程求解． 【规范解答】解：（1）由， 可知， ∴该三角形是锐角三角形； 故答案为：锐角； （2）∵三边长分别为，且这个三角形是直角三角形， ∴或， 解得或. 故答案为：或. 【考点剖析】本题考查三角形形状的判断（勾股定理的拓展），涉及的知识点是勾股定理、三角形三边关系．解题中用到的方法是分类讨论法（第二问需考虑最长边的不同情况）．解题关键是准确确定最长边，避免漏解（第二问易忽略 “ 是最长边” 的情况）．易错点是第二问漏算其中一种情况，导致答案不完整． 7．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，是的角平分线，E是的中点．若，则的长为 ． 【答案】6.5 【思路引导】本题考查的是直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边中线性质解答即可． 【规范解答】解：∵，是的角平分线， ∴，， 由勾股定理得，． ∵E为的中点， ∴． 故答案为：6.5． 8．（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，，D为的中点，将沿翻折，点A落在点处，连接，若，则的长度为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查翻折变换，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．如图，连接，证明是等边三角形，，利用勾股定理求解． 【规范解答】解：如图，连接， 由翻折变换的性质可知，，， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ，， ， ，即， ． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ． 【答案】24 【思路引导】本题考查了勾股定理，根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，即四个直角三角形的面积和，从而不难求得的值． 【规范解答】解：由题意得，， ∴， ∴． 故答案为：24． 10．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，已知，垂足为C， ，将线段绕点A按逆时针方向旋转，得到线段，连接． (1)线段　　 ； (2)求线段的长度． 【答案】(1)4 (2) 【思路引导】本题考查了旋转的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证明是等边三角形，据此求解； （2）过点D作于点E，首先在中求得和的长，然后在中利用勾股定理求解，即可得到线段的长度． 【规范解答】（1）解：由旋转可得：，， 是等边三角形， ∴； 故答案为： （2）解：过点D作于点． 是等边三角形， ， 又， ， ， 中，， ∴， ． ∴在中，． 11．（23-24八年级上·河北·期末）如图，长方形，，，，且四个角都是直角．如果将沿翻折，构成如图形状． (1)判断的形状，并说明理由； (2)如果恰好平分，且，试求此时对角线的长．（精确到个位，） 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析； (2) 【思路引导】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理以及含30度的直角三角形性质，熟练掌握基本定义是解题关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由图形折叠的性质可得到，继而可得出，这即可判断出的形状； （2）根据角平分线和折叠性质，可知，再根据30度的直角三角形和勾股定理可求出，然后在中再30度直角三角形的性质计算出即可． 【规范解答】（1）解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 由图形折叠的性质可知：， ∴． ∴是等腰三角形； （2）∵平分， ∴， 又∵由图形折叠的性质可知：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 12．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知，的斜边在射线上，沿着射线平移，，．连接，在左侧作等腰直角三角形，，连接交于点F，连接． (1)如图1，当点D在上时，求证：； (2)如图2，当时，若， ①求 ； ②连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①2；② 【思路引导】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识，作辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）根据等腰直角三角形的性质，易证，即可得出结论； （2）①过点C作于H，利用30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，再证明，即可得出； ②根据等腰直角三角形判定得到，根据平行线间的距离相等，得到，从而推出，再利用等边对等角的性质求解即可 【规范解答】（1）解：∵是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①如图2，过点C作于H， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：2； ②如图2，∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 由①可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，分别求出和的面积，相加即可得出答案，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接， 在中，∵，，， ∴， ， 在中，∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积． 14．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺按要求作图．（注意先用铅笔画，再用水笔描，求作的图形用实线，辅助的线条用虚线） (1)在图1中，画出边上的高； (2)在图2中，画出边上的中线； (3)在图3中，画，使与全等（F不与C重合，画出一个即可）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解（答案不唯一） 【思路引导】本题主要考查了基本作图． （1）根据三角形高的定义作图即可． （2）根据三角形中线的定义作图即可． （3）根据全等三角形的性质作图即可． 【规范解答】（1）解：如图1，即为所求． ∵,,,, ∴是直角三角形，, 即. （2）解：如图2，取的中点E，连接，则即为所求． （3）解：如图3，即为所求(答案不唯一)． ∵,,. ∴. 15．（24-25八年级下·江西上饶·期末）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长； (3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________． 【答案】(1)是 (2)5 (3)2或1或 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，以及等直三角形的定义，解题关键是读懂题目中给的等直三角形定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质． （1）根据等直分割线的定义判断即可； （2）根据等直三角形可得：，，，，结合等腰三角形的判定和性质即可解答； （3）根据等直三角形的定义，分是直角三角形和等腰三角形时，画出图形，分别求解即可. 【规范解答】（1）解：直角三角形一定是等直三角形 证明：如图：是的垂直平分线， ，则是等腰三角形， 是直角三角形 是的一条等直分割线段； ∴直角三角形一定是等直三角形， 故答案为：是； （2）是的等直分割线段 是等腰三角形 设：，则 在中，根据勾股定理得 解得 ； （3）在中，，，是的等直分割线段， ①若，时，如图1， ∴， ∴， ∴， ②若，时，如图2， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ③若，时，如图3， ∴ ④若，时，如图4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长可以为或或. 故答案为：或或. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破06 勾股定理的探究 （知识回顾+13种重难点培优题型+真题演练 共41题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 错误！未定义书签。 知识点梳理01：勾股定理 1 知识点梳理02：勾股定理的验证 2 知识点梳理03：勾股定理的逆定理 3 知识点梳理04：勾股数 3 重点难点 考点讲练 3 题型1 用勾股定理解三角形 3 题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积 4 题型3 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 5 题型4 利用勾股定理证明线段平方关系 5 题型5 勾股定理的证明方法 6 题型6 以弦图为背景的计算题 8 题型7 用勾股定理构造图形解决问题 8 题型8 勾股定理与无理数 10 题型9 勾股树（数）问题 11 题型10 判断三边能否构成直角三角形 13 题型11 在网格中判断直角三角形 14 题型12 利用勾股定理的逆定理求解 15 题型13 勾股定理逆定理的拓展问题 16 期末真题 实战演练 17 知识点梳理01：勾股定理 文字语言 符号语言 变式 直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即 在Rt∆ABC中， 的对边分别为a、b、c，则有 特别注意： （1） 使用勾股定理时切记不能忽视前提条件是在直角三角形中； （2） 运用勾股定理时要注意：在∆ABC中，的对边分别为a，b，c，若，； 知识点梳理02：勾股定理的验证 【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角 边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长 分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样 拼成两个正方形，如右图： 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即 ， 整理得 . 【证法2】以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD +∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB +∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于. ∵ EF = FG =GH =HE = b-a , ∠HEF = 90º. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于. ∴ . ∴ . 知识点梳理03：勾股定理的逆定理 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且那么这个三角形是直角三角形. 2、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤 （1）“找”：找出三角形三边中的最长边； （2）“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； （3）“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则，不是。 3、勾股定理的逆定理的延伸与拓展 设三角形的三边长分别为a、b、c（c为最长边的长） 知识点梳理04：勾股数 1、勾股数： 2、常见的勾股数：①3、4、5；②6、8、10；③8、15、17；④7、24、25；⑤5、12、13； ⑥9、12、15. 题型1 用勾股定理解三角形 【精讲】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，数轴上点表示的数为，轴，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为4，，且，以点为圆心，为半径作半圆，与数轴相交于点和点，点表示的数记为，点表示的数记为． (1)________，________； (2)求的值. 题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积 【精讲】（25-26八年级上·河南郑州·期中）意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·陕西西安·期中）勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，点M，G，E，D，Q，P均在长方形的边上．若，，则长方形内空白部分的面积之和是 ． 题型3 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【精讲】（25-26八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则 ． 【变式】（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 题型4 利用勾股定理证明线段平方关系 【精讲】（25-26八年级上·福建福州·期中）借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 【变式】如图，在中，于点D，，分别交，于点E、F． (1)如图1，若，求的长度； (2)如图2，若，求证：． 题型5 勾股定理的证明方法 【精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）请你根据图形及提示证明勾股定理图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形 (1)毕达哥拉斯的证法图： 补充完整以下证明过程 证明：正方形①的面积______ 正方形②的面积______． 又正方形①与正方形②的边长相等， ____________． ； (2)请你写出弦图图的另一种证法． 【变式】（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知：如图，，，，E是线段上一个动点，且，交于点． (1)求证：； (2)八（1）班小明同学在学习了课本中我国古代数学家赵爽通过“弦图”对勾股定理的验证方法后，受此启发，利用第（1）题的图形，连接，设，，，通过用不同方法计算四边形的面积，也验证了勾股定理．请你帮助小明同学完成验证过程． (3)连接，若，则线段的最小值为__________．（直接写出答案） 题型6 以弦图为背景的计算题 【精讲】（25-26八年级上·江苏南京·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ． 【变式】（25-26八年级上·江苏常州·期中）公元三世纪，我国数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图）中的两个正方形和八个直角三角形按图方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，则下列四个结论： ； ；若，则；若点是线段的中点，则，其中正确的序号是（    ） A． B． C． D． 题型7 用勾股定理构造图形解决问题 【精讲】（25-26八年级上·山西运城·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为：在直立于地面的一根木杆的顶端处，系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺（如图1）．在距木杆底端处8尺的地面上点处拉绳索，整根绳索恰好被拉直（如图2）．问绳索有多长？ (1)请通过已学知识解决这个实际问题； (2)将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长（较短的直角边）为，弦长（斜边）与股长（较长的直角边）的差为，弦长为，请用，表示，其结果为 ． 【变式】（25-26八年级上·河北保定·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则 线段 线段 ； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【模型应用】 （2）应用数形结合思想，已知，求的最小值为 ； 【拓展应用】 （3）应用数形结合思想，已知正数m满足，则m的值为 ． 题型8 勾股定理与无理数 【精讲】（25-26八年级上·上海·期中）如图，数轴上点、点所表示的数分别为0和，以为边长作正方形．以点为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点，那么点表示的实数是 ． 【变式】（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 下面是莉莉同学的学习笔记．请仔细阅读，并完成相应的任务． 在数轴上确定表示无理数的点今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 要在数轴上分别找到表示和的点，关键是在数轴上构造线段． 如图1，点与数轴的原点重合，点表示的数为1，过点作的垂线段，使得，连接，则（依据）． 以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，与数轴分别交于点，则，点对应的数为，点对应的数为． …… 任务： (1)学习笔记中的“依据”是指____________． (2)如图2，利用尺规在数轴上分别画出表示的点和表示的点．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） (3)拓展：在材料的基础上，莉莉同学经过探索，知道了如何在数轴上画出表示数的点，请你在图3的数轴上，利用尺规作图帮助莉莉同学画出点．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 题型9 勾股树（数）问题 【精讲】（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知∶满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律∶ (1)设，观察提供勾股数的规律，填空∶ 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9， ， ；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；⑤14， ， ； (2)若，n为正整数，且，求证∶a，b，c是勾股数组． 【变式】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）第届数学教育大会（）会标如图所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图验证勾股定理：； 【知识迁移】（2）如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．请证明，，是勾股数； 根据中的结论，写出一组符合条件的勾股数___________； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）． 题型10 判断三边能否构成直角三角形 【精讲】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）定义：如图，点M，N把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． (1)如图，已知M，N把线段分割成、、，若，， ，则点M，N是线段的勾股分割点吗？请说明理由． (2)如图，已知点M，N是线段的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求的长． 【变式】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形： (1)在图甲中，找一个格点，使得，，三点构成的三角形为等腰三角形． (2)在图乙中，找一个格点，使得，，三点构成的三角形是以为直角边的直角三角形； 题型11 在网格中判断直角三角形 【精讲】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在的正方形网格中，点，，在格点上． (1)直接写出的度数； (2)画出的角平分线； (3)在此网格中取一个格点，使，并且两个三角形的一个钝角均为．画出这两个三角形． 【变式】（25-26八年级上·全国·单元测试）利用无刻度的直尺画图． (1)利用图①中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线． (2)在图②的网格中画一个三角形，满足下列条件：①是直角三角形；②任意两个顶点都不在同一条网格线上；③三角形的顶点都在格点（网格线的交点）上． 题型12 利用勾股定理的逆定理求解 【精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中线，于点E， (1)求的长； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【变式】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）背景材料 平移、轴对称、旋转是初中阶段学习的三种全等变换，它们只改变图形的位置，不改变形状和大小．利用这一性质，我们可以借助一种或多种全等变换，将图中相对“分散”的条件“集中”起来，从而构建新的联系以解决问题． 理解应用 （1）如图1，M是正方形内一点，且，小宁猜想是等边三角形，为了验证猜想，做了如下探究： 正方形中，，． 将进行旋转与翻折得，则，连接． ，， ， 是等边三角形． …… 请继续完成小宁的后续推理，以验证猜想． 迁移创新 （2）如图2，Q是等边内一点，若，，，请尝试借助旋转变换，推算_______°（直接写出答案）． 题型13 勾股定理逆定理的拓展问题 【精讲】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【变式】在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （  ） A．如果那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 1．（24-25八年级下·陕西安康·期末）“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期末）等腰三角形的腰长为，底边长为，它的底边上的高线长为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河北·期末）边长为下列各组数的三角形中，不是直角三角形的是（   ） A． 9、40、41 B．8、15、17 C．36、64、100 D．7、25、24 4．（23-24八年级上·江苏·期末）下列各组数中，能构成直角三角形的一组是（   ） A．2，2， B．1，，2 C．4，5，6 D．6，8，12 5．（23-24八年级上·河北·期末）如图，三角形，、、分别是以、、为直径的半圆的面积，若，则三角形是 ． 6．（25-26八年级上·湖南·期末）阅读下列内容，设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；若③，则该三角形是锐角三角形． 例如：若一个三角形的三边长分别是，，则最长边是，由于，故由上面③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题． （1）若一个三角形的三条边长分别是，，则该三角形是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； （2）若一个三角形的三条边长分别是，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ． 7．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，是的角平分线，E是的中点．若，则的长为 ． 8．（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，，D为的中点，将沿翻折，点A落在点处，连接，若，则的长度为 ． 9．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ． 10．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，已知，垂足为C， ，将线段绕点A按逆时针方向旋转，得到线段，连接． (1)线段　　 ； (2)求线段的长度． 11．（23-24八年级上·河北·期末）如图，长方形，，，，且四个角都是直角．如果将沿翻折，构成如图形状． (1)判断的形状，并说明理由； (2)如果恰好平分，且，试求此时对角线的长．（精确到个位，） 12．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知，的斜边在射线上，沿着射线平移，，．连接，在左侧作等腰直角三角形，，连接交于点F，连接． (1)如图1，当点D在上时，求证：； (2)如图2，当时，若， ①求 ； ②连接，求的度数． 13．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 14．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺按要求作图．（注意先用铅笔画，再用水笔描，求作的图形用实线，辅助的线条用虚线） (1)在图1中，画出边上的高； (2)在图2中，画出边上的中线； (3)在图3中，画，使与全等（F不与C重合，画出一个即可）． 15．（24-25八年级下·江西上饶·期末）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长； (3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $