精品解析：广东省深圳实验学校初中部2025-2026学年上学期九年级12月月考数学试卷

2025-2026学年度第一学期初三年级12月测试 数学试卷 考试时间90分钟 试卷满分100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．根据题意可得出，解不等式即可得出答案． 【详解】解：整理得：， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 2. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：B． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 任意两个矩形相似 B. 任意两个菱形相似 C. 任意两个正方形相似 D. 以上说法都正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，解题关键是掌握相似多边形的条件是对应角相等且对应边成比例．根据相似多边形的条件，结合矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，逐一分析，即可判断． 【详解】∵ 相似多边形需对应角相等且对应边成比例， 矩形角都相等，但边长比例可能不同，如长宽分别为与的矩形，对应边不成比例，因此不一定相似，故A错误． 菱形边都相等，但角可能不相等，如一个内角为的菱形与一个内角为的菱形，对应角不相等，因此不一定相似，故B错误． 正方形角都相等且边都相等，符合对应角相等且对应边成比例，因此任意两个正方形相似，故C正确． 故选：C． 4. 如图，三角板在手电筒光源照射下形成了投影，三角板与其投影为一对位似图形，其位似比是，若的面积是，则其投影的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查位似图形的面积关系，解题关键掌握位似图形的面积比等于相似比的平方．利用位似图形的面积比等于相似比的平方进行计算即可； 【详解】依题意： 即 解得：（） 故选：B 5. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让绿灯发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让绿灯发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让绿发光的有2种情况， ∴能让绿发光的概率为． 故选：D． 6. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， 由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集为或， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键是正确求出点B的坐标． 7. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法： ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是倍根方程； 其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键． ①解方程即可判断； ②解方程可知，，由题意可知，或，然后依次将其分别代入 可判断； ③由题意可知，，由可转化车，由十字相乘法，可知，解得，，从而判断其符合倍根方程的定义． 【详解】解： 解得， ①错误； 解，可知，，由题意可知，或 当时，，将其代入 可知 当时，，将其代入 可知 可知②正确； 点在反比例函数的图象上 将其代入，整理得，由十字相乘法，可知，解得，，从而判断其符合倍根方程的定义． 故③正确． 所以正确的个数为2个 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点．若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，若与的边垂直，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，折叠性质，坐标与图形，直角三角形斜边上的中线性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 如图2中，设交于点．先利用勾股定理求出，利用相似三角形的性质求出，再求出、，可得结论． 【详解】解： 如图中，设交于点． 在中，，，， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴， 由翻折的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为 故选A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分式有意义的条件是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，根据零次幂有意义的条件是底数不为零，进行求解即可． 【详解】解：∵零次幂有意义的条件是底数不为零， ∴，解得． 故答案为：． 10. 如图，是的弦，，垂足为，将劣弧沿弦折叠交于点，，若，则的半径为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质等知识点，如图，延长交于E，连接，设，则，，利用折叠的性质得，则，再根据垂径定理得到，在中利用勾股定理得，然后求出x即可得到的半径，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，延长交于E，连接，设，则，， ∵劣弧沿弦折叠交于D， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得（负值舍去）， ∴， ∴的半径为5， 故答案为：5． 11. 如图，长方形中，点分别在边上，连接，将沿折叠，点落在点处；将沿折叠，点恰好落在的延长线上点处．若，则的度数是_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，能综合运用折叠性质进行推理和计算是解此题的关键． 由题意得，，因为平角，故，因为，则，即可作答． 【详解】解：由折叠得到：，， 又， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．首先根据题意求出对称轴，然后分两种情况：和，分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴， 当时， ∵当时对应的函数值均为正数， ∴此时抛物线与x轴没有交点， ∴， ∴解得； 当时，， ∵当时对应的函数值均为正数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴解得， ∴， ∴综上所述， 当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或． 故答案为：或． 13. 如图，矩形中，，．若P为矩形内一点，且，则所有符合条件的点P形成的区域的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，在矩形中作出使成立的点P的轨迹，则可得出矩形中空白部分为使成立的点P形成区域，然后求出对应区域面积即可得解． 【详解】解：如图，在上分别截取，使，连接，则四边形是正方形，以与的交点为圆心，以长为半径作圆，则圆为正方形的外接圆． ，， 是等腰直角三角形，， 在中，所对圆周角均等于，， 则所有符合条件的点P形成的区域为矩形中空白部分， 矩形中空白部分的面积为， ，，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同弧所对圆周角相等，矩形的性质，扇形面积的计算等知识，在矩形中作出使成立的点P的轨迹是解题关键． 三、解答题（本题共7小题，其中14题13分，15题6分，16题8分，17题8分，18题6分，19题10分，20题10分，共61分） 14. 解方程与化简求值： （1）； （2）； （3）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，分式的化简求值，特殊角的三角函数值的运算，熟练掌握解一元二次方程的方法，分式的混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）直接开方法解方程即可； （2）公式法解方程即可； （3）先通分，计算括号内，除法变乘法，进行约分化简，利用特殊角的三角函数值，求出的值，再代入化简后的式子中进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 即； 【小问2详解】 ， ， ， ， ∴． 【小问3详解】 原式 ； ∵， ∴原式． 15. 中国人在餐桌上的礼仪文化源远流长，曾因孔子的称赞推崇而成为历朝历代表现大国之貌、礼仪之邦、文明之所的重要方面．某天，张教授宴请自己的5位学生（分别用、、、、表示），如图，根据中国的餐桌礼仪文化，入座时张教授应坐在餐桌上座的位置，五位学生在其余五个座位（分别用①、②、③、④、⑤表示）随机入座．已知学生第一个到，他从五个座位中随机选择一个座位入座，学生第二个到，他在剩下的四个座位中随机选择一个座位入座． （1）学生坐在②号座位的概率为_______； （2）请用列表法或画树状图的方法，求学生和学生入座后相邻的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，熟练掌握并运用相关知识是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有可能的情况，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式求解即可； 【小问1详解】 解：根据题意可得：学生坐在②号座位的概率． 【小问2详解】 解：列表如图： 学生B 学生 ① ② ③ ④ ⑤ ① 相邻 不相邻 不相邻 不相邻 ② 相邻 相邻 不相邻 不相邻 ③ 不相邻 相邻 相邻 不相邻 ④ 不相邻 不相邻 相邻 相邻 ⑤ 不相邻 不相邻 不相邻 相邻 根据表格可得，共有20种情况，其中学生和学生入座后相邻的情况有8种情况， 故学生和学生入座后相邻的概率． 16. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点距地面为0.3米．道闸打开的过程中，边固定，连杆AB、CD分别绕点A、D转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为1.3米，求点到的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.9米，高1.8米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】（1）点到的距离的长为米． （2）解：轿车能驶入小区，理由： 由题意可得：，米， 则，米， 在中，， 米， 米， ， 轿车能驶入小区． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题关键． （1）过点作于点，利用正切值求出米，即可得解； （2）利用正切值求出米，从而得出米，即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 由题意可得：，米，米，米， ，米， 米， 米， 答：点到的距离的长为米． 【小问2详解】 略 17. 如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求四边形是菱形时的长． 【答案】（1） 证明：∵和关于点对称， ，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由中心对称的性质证明，即可证明； （2）利用勾股定理求出，再利用面积法求出，利用勾股定理求即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵和关于点对称，四边形是平行四边形； ∴三点共线， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，ΔABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，5）． （1）请画出△ABC关于x轴的对称图形ΔA1B1C1； （2）以O为位似中心，在第三象限内画出ΔABC的位似图形ΔA2B2C2，且位似比为1； （3）借助网格，利用无刻度直尺画出线段CD，使CD平分ΔABC的面积．（保留确定点D的痕迹）． 【答案】 （1）ΔA1B1C1即为所求； （2）ΔA2B2C2即为所求； （3）连接格点MN，交AB于点D，连接CD 根据矩形性质可得点D即为AB的中点， ∴CD即为所求 【解析】 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标变化作图； （2）根据位似图形的性质及坐标变化作图； （3）利用格点特征以及矩形对角线互相平分且相等的性质取AB的中点D，从而求解 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，位似变换，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 19. 项目式学习：人工智能视觉识别项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，目标矩形是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图像分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图像中目标物体位置和大小的矩形框． 概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴、轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为，我们称常数为图形的纵横比．举例：如图1，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比． 【概念理解】 （1）如图2，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比___________； 【联系实际】 （2）如图3-1和图3-2，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于轴对称，到的距离为米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式； 【应用拓展】 （3）为方便救助溺水者，拟在图3-1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈（从桥头至桥尾的桥拱上，皆可悬挂），如图3-3，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于轴成轴对称分布．求符合悬挂条件的救生圈个数，并在图3-2坐标系下求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）． 【答案】（1） （2） （3），最左侧点 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合应用、用待定系数法求函数解析式、目标矩形与纵横比的概念理解，读懂题意、理解目标矩形和纵横比是解题的关键． （1）圆的目标矩形是外接正方形，长和宽都是圆的直径，可得纵横比； （2）到的距离为米，且抛物线关于轴对称，得抛物线顶点，结合纵横比得出，即可得点、点坐标，设抛物线的表达式为，把，代入求解即可得出； （3）由，，横轴交点，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于轴成轴对称，由得桥面可挂个，进而确定最左侧一个救生圈悬挂点的坐标． 【详解】解：（1）∵足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的长和宽都为圆的直径， ∴目标矩形的纵横比； 故答案为：； （2）最高点到的距离为米，且抛物线关于轴对称， ∴抛物线顶点， ∵抛物线目标矩形的纵横比为， ∴， ∴， ∵抛物线关于轴对称， ∴，， 设抛物线的表达式为，把，代入得 ， 解得， ∴； （3）如图， 相邻两个救生圈悬挂点的水平距离为，且关于轴对称， ∴， ∴左侧挂个，右侧挂个，中间挂个，共个， ∵最左侧位于拱桥上方处， ∴最左侧一个救生圈悬挂点的坐标． 20. 为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC与BD相交于点E． 【特殊情形】 （1）如图①，，过圆心O作，垂足为F．当BD是圆O的直径时，求证：． 【一般情形】 （2）如图②，，过圆心O作，垂足为F．当BD不是圆O的直径时，求证：． 【经验迁移】 （3）如图③， ， ， F为上的一点，，若M为DF的中点，连接AM，则AM长的最小值为___________． 【答案】（1） 证明：在⊙O中，， OF是△ADB的中位线， ∵BD为⊙O的直径，， （2） 证明：作直径DG，连接AG． 在⊙O中， OF是△ADG的中位线， DG是⊙O的直径， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可知F是AD中点，故OF是的中位线，即，再根据垂径定理说明即可； （2）作直径DG并连接AG，根据中位线定理证明，再根据圆周角定理证明，从而证明即可； （3）根据条件分析出当时，AM取最小值，利用含直角三角形的性质与勾股定理即可解出此时AM的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在中，，，M是DF的中点， 如图⑤所示，当AF的长度发生变化时： 点M是DF中点 点M始终保持在平行于AF的直线上 当AM的长度取最小值时， 如图④，此时，取AD中点H，连接MH，则 H、M分别是AD、DF中点 MH是的中位线， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题属于圆的综合题型，主要考查垂径定理、圆周角定理与中位线定理的应用，根据三个小问的变化情况，构造含中位线的三角形，是本题的解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期初三年级12月测试 数学试卷 考试时间90分钟 试卷满分100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 任意两个矩形相似 B. 任意两个菱形相似 C. 任意两个正方形相似 D. 以上说法都正确 4. 如图，三角板在手电筒光源照射下形成了投影，三角板与其投影为一对位似图形，其位似比是，若的面积是，则其投影的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让绿灯发光的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法： ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是倍根方程； 其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点．若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，若与的边垂直，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分式有意义的条件是_________． 10. 如图，是的弦，，垂足为，将劣弧沿弦折叠交于点，，若，则的半径为_________． 11. 如图，长方形中，点分别在边上，连接，将沿折叠，点落在点处；将沿折叠，点恰好落在的延长线上点处．若，则的度数是_________． 12. 已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围是______． 13. 如图，矩形中，，．若P为矩形内一点，且，则所有符合条件的点P形成的区域的面积是______． 三、解答题（本题共7小题，其中14题13分，15题6分，16题8分，17题8分，18题6分，19题10分，20题10分，共61分） 14. 解方程与化简求值： （1）； （2）； （3）先化简，再求代数式的值，其中． 15. 中国人在餐桌上的礼仪文化源远流长，曾因孔子的称赞推崇而成为历朝历代表现大国之貌、礼仪之邦、文明之所的重要方面．某天，张教授宴请自己的5位学生（分别用、、、、表示），如图，根据中国的餐桌礼仪文化，入座时张教授应坐在餐桌上座的位置，五位学生在其余五个座位（分别用①、②、③、④、⑤表示）随机入座．已知学生第一个到，他从五个座位中随机选择一个座位入座，学生第二个到，他在剩下的四个座位中随机选择一个座位入座． （1）学生坐在②号座位的概率为_______； （2）请用列表法或画树状图的方法，求学生和学生入座后相邻的概率． 16. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点距地面为0.3米．道闸打开的过程中，边固定，连杆AB、CD分别绕点A、D转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为1.3米，求点到的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.9米，高1.8米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 17. 如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求四边形是菱形时的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，ΔABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，5）． （1）请画出△ABC关于x轴的对称图形ΔA1B1C1； （2）以O为位似中心，在第三象限内画出ΔABC的位似图形ΔA2B2C2，且位似比为1； （3）借助网格，利用无刻度直尺画出线段CD，使CD平分ΔABC的面积．（保留确定点D的痕迹）． 19. 项目式学习：人工智能视觉识别项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，目标矩形是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图像分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图像中目标物体位置和大小的矩形框． 概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴、轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为，我们称常数为图形的纵横比．举例：如图1，矩形为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比． 【概念理解】 （1）如图2，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比___________； 【联系实际】 （2）如图3-1和图3-2，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于轴对称，到的距离为米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式； 【应用拓展】 （3）为方便救助溺水者，拟在图3-1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈（从桥头至桥尾的桥拱上，皆可悬挂），如图3-3，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于轴成轴对称分布．求符合悬挂条件的救生圈个数，并在图3-2坐标系下求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）． 20. 为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC与BD相交于点E． 【特殊情形】 （1）如图①，，过圆心O作，垂足为F．当BD是圆O的直径时，求证：． 【一般情形】 （2）如图②，，过圆心O作，垂足为F．当BD不是圆O的直径时，求证：． 【经验迁移】 （3）如图③， ， ， F为上的一点，，若M为DF的中点，连接AM，则AM长的最小值为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $