第二章一元二次方程单元练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程单元练习 一、单选题 1．下列方程一定有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．对于任意实数、，定义新运算：．例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 4．一份摄影作品长7分米，宽5分米，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同，矩形衬纸的面积为照片面积的2倍，设照片四周外露衬纸的宽度为x分米，下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 5．用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．当时，方程的根的情况是（） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．以上结论都不对 7．若是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2022 B． C．2023 D．2027 8．若关于x的一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A．0 B．2 C． D．2或 9．如图，某中学规划修建一个矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最长可用长度为），另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在两个区域中各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长为，且矩形的面积为，请求出的长，设长为，则可以列出方程是（    ） A． B． C． D． 10．国庆放肆嗨，山河万里皆可爱！举国同庆的日子，万州天生天城迎来了全国各地的游客，据了解，10月1日接待游客约1万人次，10月3日接待游客人数达到1.21万人，则这两天接待游客人数的日平均增长率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知关于x的一元二次方程的一个根为1，另一个根为，则的值为 ． 12．若m、n是一元二次方程的两个不相等的实数根，则 ． 13．已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为 ． 14．若关于的一元二次方程有实数根，且直线经过第一、二、三象限，则满足条件的所有整数的和为 ． 15．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为 ． 三、解答题 16．用合适的方法解方程 (1)． (2)． (3)． 17．定义：一元二次方程，若根的判别式是一个完全平方数（或式），则此方程称做“完美方程”． (1)判断下列方程一定是“完美方程”的是 ；（直接填序号） ①； ②； ③； (2)若关于x的一元二次方程， ①证明：此方程一定是“完美方程”； ②设方程的两个实数根分别为，是否存在实数k，使得始终在函数的图象上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根； (2)若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 19．2025年国家消费补贴政策已进入第四批资金冲刺阶段，在政府消费补贴政策推动下，家电市场销售持续升温．某家电商场采购一批扫地机器人进行销售，每台扫地机器人的进货价为1000元．调查发现，当每台的销售价为1500元时，平均每天能售出20台；而当每台扫地机器人的销售价每降低100元时，平均每天就能多售出10台．若设每台扫地机器人的销售价降低元． (1)这种扫地机器人平均每天的销售量为_____台；（用含的代数式表示） (2)该商场要想使这种扫地机器人平均每天的销售利润达到12000元，则每台扫地机器人的销售价应降低多少元？ 20．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 21．有一根长的铁丝，怎样用它围成一个面积为的矩形？请求出这个矩形的长和宽．（用一元二次方程的知识解决） 22．芯片目前是全球紧缺资源，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线．开工第一季度生产万个，第三季度生产万个．试回答下列问题： (1)求前三季度生产量的平均增长率． (2)经调查发现，1条生产线最大产能是万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程单元练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A D D B C C A B 11． 12．4 13． 14． 15． 16．（1）（1）解： ，； （2）（2）解： ，； （3）（3）解：，， ，． 17（1）解：①，，16是一个完全平方数，故符合题意； ②，，，0是一个完全平方数，故符合题意； ③，，不是一个完全平方数，故不符合题意；故答案为：①② （2）解：①证明：∵，，， ∴， ∵， ∴此方程一定是“完美方程”； ②存在，理由如下： ∵， ∴或， 设方程的两个实数根分别为， ∴，， ∵始终在函数的图象上， ∴，即， 当时，，不满足对任意m成立， 当时，即，等式恒成立， 即存在实数k，使得 始终在函数的图象上，k值为1． 18（1） 证明：∵，，， ∴， ∵是非负数， ∴． ∴无论m取何实数时，原方程总个实数根； （2） 解：， 解得，， ∵原方程有一个根不小于5， ∴， ∴． 19．（1）解：销售价降低元，则销量提高台， 即平均每天的销售量为台， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得：，． 答：每台扫地机器人的销售价应降低100元或200元． 20．（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵要尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 21．解：设围成的矩形的长为，则宽为， ∴， 解得：； 此时或； 即：围成的矩形的长为，宽为时，可使得面积为； 22．（1）解：设前三季度生产量的平均增长率为x， 根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：前三季度生产量的平均增长率为． （2）解：设再增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度， 根据题意，得， 整理得， 解得，， 需要增加产能同时要节省投入成本， ． 答：应该再增加4条生产线． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $