第二章 一元二次方程　复习教学设计2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程单元复习，通过课前构建知识框架梳理概念、解法、根的判别式及应用等核心内容，以知识网络串联各模块内在逻辑，形成系统复习体系。 亮点在于“知识梳理-例题分层-应用拓展”模式，如用手机降价问题培养模型意识，几何动点题提升抽象能力与推理能力，作业覆盖选择、应用等题型，助力教师精准教学，学生高效巩固知识。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 一元二次方程（回顾与思考） 教学目标 1. 了解一元二次方程及其相关概念，并在经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一 步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。 2. 在解决富有挑战性的问题的过程中，培养学生敢于直面困难、勇于挑战的良好品质，鼓励学生大胆尝试，体会成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣。 教学重难点 教学重点：一元二次方程的概念及应用 教学难点：一元二次方程的应用 教学过程 （一）课前准备----构建知识结构 1.在授完本章新课知识后，重新回顾本章内容，整理出本章的知识结构网络，理清各板块内容间的联系. 2.展示本章所学的主要知识，让学生对本章的知识点更加清晰，构建自己的知识体系 （2） 复习回顾与例题 1.一元二次方程的概念 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化成 )的形式，这样的方程叫做一元二次方程 关键点： （1）只含有一个未知数 （2）是一个整式方程 （3）未知数的最高次数是2 2.一元二次方程的一般形式：（为常数，且） 例1.已知关于的方程 是一元二次方程，则的值为 解： 设计意图：上述这一组题目主要目的是巩固对一元二次方程定义的理解.加深学生对一元二次方程和一元一次方程定义的理解；. 4.一元二次方程的解法 基本思路：降次，将一元二次方程转化为两个 一元一次方程 基本方法：直接开方法：形如 配方法：建议 公式法： 因式分解法：因式乘积的形式（两个一次因式乘积的形式） 练习：解方程 设计意图：经过观察，这个方程适合用配方法来解答，回顾配方法试用的方程和步骤，进行求解，着重点出配方的关键点是等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方；. 5.一元二次方程根的判别式 （1）△= （2）一元二次方程根的情况 当△＞0 方程有两个不相等的实数根 当△＝0 方程有两个相等的实数根 当△＜0 方程无实数根 当△≥0 方程有两个实数根或方程有实数根 例2.关于 的一元二次方程 (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围 (2)若方程的一个实数根为 -1，求的值及方程的另外一个实数根 分析：（1）由关于 的方程得出是方程中的未知数， 是方程中的常数；由一元二次方程得出二次项前系数不等于0；由两个不相等的实数根得出△＞0；根据条件算出结果。 （2）根据一元二次方程根的概念，代入方程求出的值，再将回代求出另外一个实数根。 小结： （1）已知方程根的情况，确定方程中字母的值或取值范围. （2）一元二次方程根的概念 设计意图：通过第一问，回顾已知方程根的情况，利用二次项系数a和根的判别式列方程或不等式求出方程中字母的值或取值范围，而第二问，体现了根据一元二次方程根的概念，对于给出问题，思考并运用适当方法进行求解的理念。 4.一元二次方程的实际应用 ①增长（降低）率问题 ②几何问题 ③销售问题 ④数字问题、单（双）循环问题等 一般步骤：审、设、列、解、验、答 例3.某种品牌的手机的售价为2500元，连续两次降价到1600元，问：每次降价的百分比是多少呢？ 解：设每次降价的百分比是 解得： (不符合题意，舍去) 答：每次降价的百分比是. 设计意图：应用题本身就是中考的重点，也是学生的难点，所以由简到难，先由一个简单又贴近生活的增长率问题体会一元二次方程的实际应用，最后对于结果要验根，考虑实际意义。 例4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm ,BC=6cm,现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止.连接PQ，设动点运动的时间为s. （1）用含有的代数式表示BQ，PB的长度 （2）当为何值时，△PBQ是等腰三角形 （3）是否存在值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？ 若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由. 设计意图：让学生熟悉一元二次方程应用中的几种主要模型，明确解决各类问题的关键是找寻题目中蕴含的等量关系；另外，这几种问题情景也是在二次函数中频繁出现的实际问题. （3） 课堂小结 （四）布置作业 1.若关于的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.若关于的一元二次方程 ,有一个根为0,则 = . 3.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件. （1）若公司每天的销售价上涨为元，则每天的销售量为多少？ （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $