云南省曲靖市宣威市2025-2026学年八年级上学期数学期中试卷

云南省曲靖市宣威市2025-2026学年八年级上学期数学期中试卷 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（　　） A． B． C． D． 2．全等形是指两个图形（　　） A．形状一样 B．能完全重合 C．面积相等 D．以上都不对 3．已知等边△ABC，BC＝6，则其周长为（　　） A．6 B．12 C．18 D．3 4．汉字是世界上最古老的文字之一，已有六千多年的历史．下列汉字中，可以看成是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．已知如图所示的两个三角形全等，则∠1的度数是（　　） A．54°或58° B．58° C．68° D．54° 6．若AD是△ABC的中线，则下列结论错误的是（　　） A．AB＝AC B．BC＝2BD C．S△ABD＝S△ACD D．AD平分BC 7．将三角形裁剪后，剩余部分如图所示，则这个三角形不可能是（　　） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 8．如图，下面是小云同学的折纸示意图，则AD是△ABC的高的图形是（　　） A．① B．② C．③ D．以上都不是 9．下列条件能判定△AOB一定是等腰三角形的是（　　） A．∠O＝∠A+∠B B．OA＝1，AB＝2 C．∠A＝2∠B＝80° D．OA＝5，OB＝2，周长为12 10．在中秋节联欢晚会上，有甲、乙、丙三名同学分别站在一个三角形的三个顶点A，B，C的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应该放的最适当的位置在△ABC的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三边上的高的交点 11．在△ABC中，∠A，∠B的外角分别是145°和110°，则∠C的度数为（　　） A．35° B．65° C．75° D．105° 12．如图，A，B两点分别位于池塘两侧，池塘边上有两棵树C，D（B，C，D在同一条直线上），且∠DAB＝90°，要测量A，B之间的距离，小昆同学是这样做的：从A点出发，沿AC走到E（A，C，E在同一条直线上），使AE＝DB，且测得∠ADE＝90°，测得DE的长就是AB的长．这种做法中全等的依据是（　　） A．SAS B．ASS C．AAS D．HL 13．下列命题的逆命题，成立的是（　　） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等边三角形有一个角等于60° C．对顶角相等 D．全等三角形的对应角相等 14．如图所示，直线m∥n，△ABC的顶点B在直线n上，且AB＝AC，如果∠1＝70°，∠A＝30°，那么∠2的度数为（　　） A．40° B．35° C．30° D．20° 15．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，DE是BC的垂直平分线，P是直线DE上的任意一点，则PA+PB的最小值是（　　） A．7 B．16 C．10 D．8 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。 16．如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了三角形具有的 　 　 ． 17．在△ABC和△PMN中，已知AB＝PM，AC＝PN，请补充一个条件，使△ABC≌△PMN，你补充的条件是：　 　 ．（一个即可） 18．在平面直角坐标系中，点M（2025，2025）关于y轴对称的点的坐标为　 　 ． 19．如图所示是一款可调节绘画平板支架的结构示意图，在小昆同学进行素描创作时，BP恰好平分∠ABC，若点P到水平桌面BC的距离为8cm，则点P到AB的距离为 　 　 ． 三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 20．如图，D是△ABC边BC上的一点，连接AD，． （1）AD是△ABC的 　 　 ；（填“高线”“中线”或“角平分线”） （2）根据图中数据，求∠C的度数． 21．如图，已知线段AD，BC相交于点P，连接AB，CD，BD，AP＝CP，∠A＝∠C．求证：△ABP≌△CDP． 22．已知a，b，c为△ABC的三边长，若a，b满足方程组，且c为偶数，求△ABC的周长． 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣2，4），C（﹣1，2）． （1）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′，点A′，B′，C′的对应点分别是A，B，C； （2）在（1）的条件下，写出点A'的坐标：A′　 　 ，并求出△A′B′C′的面积为：　 　 ． 24．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，EF垂直平分BC，交AB于点E，交BC于点F，且AD＝DE，连接CE． （1）求证：AC＝BE； （2）若△ABC的周长为56cm，BC＝21cm，求BD的长． 25．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A作AE⊥AD，过点D作DE∥AB，DE与AE相交于点E，DE交AC于点F． （1）若∠C＝72°，求∠E的度数； （2）求证：△AEF是等腰三角形． 26．（8分）如图，在△ABC中，点D在边AC上，过点D作DE⊥BC，垂足为E，ED的延长线交BA的延长线于点F，且AF＝AD，∠F＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）连接BD，若BD是△ABC的角平分线，试探究线段CE与BF之间的数量关系，并说明理由． 27．（12分）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“同源三角形”． （1）如图1中，若△OAB和△OCD互为“同源三角形”，OA＝OB，OC＝OD，求证：∠BOD＝∠AOC； （2）如图2中，△OAB和△OCD互为“同源三角形”，OA＝OB，OC＝OD，且∠BOA＝60°，点D在边AB上，连接AC，求证：OA＝AC+AD； （3）如图3中，△OAB和△OCD互为“同源三角形”，OA＝OB，OC＝OD，点C，D均在△OAB外，连接AC，BD相交于点E，连接OE．试探究OE是否平分∠BEC，并说明理由． 云南省曲靖市宣威市2025-2026学年八年级上学期数学期中试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B C B D A C C D A C 题号 12 13 14 15 答案 D A A D 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，判断即可． 【解答】解：观察图形，其中符合三角形概念的图形是D， 故选：D． 2．全等形是指两个图形（　　） A．形状一样 B．能完全重合 C．面积相等 D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形判断即可． 【解答】解：全等形是指两个图形能完全重合． 故选：B． 3．已知等边△ABC，BC＝6，则其周长为（　　） A．6 B．12 C．18 D．3 【答案】C 【分析】等边三角形的三条边相等，据此求得它的周长． 【解答】解：∵等边△ABC的边长是6， ∴它的周长是6×3＝18． 故选：C． 4．汉字是世界上最古老的文字之一，已有六千多年的历史．下列汉字中，可以看成是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项A、C、D的汉字不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项B的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 5．已知如图所示的两个三角形全等，则∠1的度数是（　　） A．54°或58° B．58° C．68° D．54° 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴∠1＝54°， 故选：D． 6．若AD是△ABC的中线，则下列结论错误的是（　　） A．AB＝AC B．BC＝2BD C．S△ABD＝S△ACD D．AD平分BC 【答案】A 【分析】利用三角形中线的性质以及中线的定义分别判断得出即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD，BC＝2BD＝2CD， S△ABD＝S△ACD． AD平分BC边， 但不能确定AB＝AC．所以选项A错误． 故选：A． 7．将三角形裁剪后，剩余部分如图所示，则这个三角形不可能是（　　） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】由等边三角形的性质和等腰三角形额性质，即可判断． 【解答】解：A、40°角可以是等腰三角形的底角或顶角，故A不符合题意； B、如果此三角形另一个内角是30°，则第三个内角是110°，因此此三角形可能是钝角三角形，故B不符合题意； C、等边三角形的三个内角是60度，因此此三角形不可能是等边三角形，故C符合题意； D、如果此三角形的另一个内角是50度，则第三个内角是90度，因此此三角形可能是直角三角形，故D不符合题意． 故选：C． 8．如图，下面是小云同学的折纸示意图，则AD是△ABC的高的图形是（　　） A．① B．② C．③ D．以上都不是 【答案】C 【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，因此即可判断． 【解答】解：图形①：由折叠的性质得到∠EDB＝∠EDC，而∠EDB+∠EDC＝180°，得到∠EDC＝90°，因此ED⊥BC，连接AD，AD与BC不垂直，AD不是△ABC的高，故①不符合题意； 图形②：由折叠的性质得到∠ADC＝∠ADC′，因此∠ACC′＝2∠ADC＜180°，得到∠ADC＜90°，因此AD和BC不垂直，AD不是△ABC的高，故②不符合题意； 图形③：由折叠得到性质得到∠ADC＝∠ADC′，而∠ADC′+ADC＝180°，得到∠ADC＝90°，因此AD⊥BC，AD是△ABC的高，故③符合题意． 故选：C． 9．下列条件能判定△AOB一定是等腰三角形的是（　　） A．∠O＝∠A+∠B B．OA＝1，AB＝2 C．∠A＝2∠B＝80° D．OA＝5，OB＝2，周长为12 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的判定定理，逐一分析每个选项． 【解答】解：A．∵∠O+∠A+∠B＝180°，∠O＝∠A+∠B， ∴∠O＝90°， ∴不能判断三角形是等腰三角形； B．∵OA＝1，AB＝2，无法确定OA，OB，AB三边之间的关系， ∴不能判断三角形是等腰三角形； C．∠A＝2∠B＝80°， ∴∠B＝40°，根据三角形内角和定理∠O＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣40°＝60°，三个角都不相等， ∴不能判断三角形是等腰三角形； D．∵OA＝5，OB＝2，周长为12， 则AB＝12﹣5﹣2＝5，OA＝AB， ∴△AOB是等腰三角形． 故选：D． 10．在中秋节联欢晚会上，有甲、乙、丙三名同学分别站在一个三角形的三个顶点A，B，C的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应该放的最适当的位置在△ABC的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三边上的高的交点 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解． 【解答】解：由题意可得：要使游戏公平，那么凳子到三个人的距离相等才行， ∴凳子应放的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点． 故选：A． 11．在△ABC中，∠A，∠B的外角分别是145°和110°，则∠C的度数为（　　） A．35° B．65° C．75° D．105° 【答案】C 【分析】设∠CAE和∠CBF分别是∠BAC和∠ABC的外角，由∠C+∠ABC＝∠CAE，∠BAC+∠C＝∠CBF，得∠C+∠ABC+∠BAC+∠C＝∠CAE+∠CBF＝255°，因为∠C+∠ABC+∠BAC＝180°，所以180°+∠C＝255°，求得∠C＝75°，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，在△ABC中，∠CAE和∠CBF分别是∠BAC和∠ABC的外角，且∠CAE＝145°，∠CBF＝110°， ∵∠C+∠ABC＝∠CAE，∠BAC+∠C＝∠CBF， ∴∠C+∠ABC+∠BAC+∠C＝∠CAE+∠CBF＝255°， ∵∠C+∠ABC+∠BAC＝180°， ∴180°+∠C＝255°， ∴∠C＝75°， 故选：C． 12．如图，A，B两点分别位于池塘两侧，池塘边上有两棵树C，D（B，C，D在同一条直线上），且∠DAB＝90°，要测量A，B之间的距离，小昆同学是这样做的：从A点出发，沿AC走到E（A，C，E在同一条直线上），使AE＝DB，且测得∠ADE＝90°，测得DE的长就是AB的长．这种做法中全等的依据是（　　） A．SAS B．ASS C．AAS D．HL 【答案】D 【分析】根据直角三角形全等的判定方法解答． 【解答】解：在Rt△DAB和Rt△ADE中， ， ∴Rt△DAB≌Rt△ADE（HL）， 做法中全等的依据是HL， 故选：D． 13．下列命题的逆命题，成立的是（　　） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等边三角形有一个角等于60° C．对顶角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】A 【分析】把原命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，根据直角三角形的判定、等边三角形的判定、对顶角、三角形全等的判定判断即可． 【解答】解：A、直角三角形的两个锐角互余，逆命题是：两个角互余的三角形是直角三角形，逆命题成立，符合题意； B、等边三角形有一个角等于60°，逆命题是：有一个角等于60°的三角形是等边三角形，逆命题不成立，不符合题意； C、对顶角相等，逆命题是：相等的角是对顶角，逆命题不成立，不符合题意； D、全等三角形的对应角相等，逆命题是：对应角相等的三角形全等，逆命题不成立，不符合题意； 故选：A． 14．如图所示，直线m∥n，△ABC的顶点B在直线n上，且AB＝AC，如果∠1＝70°，∠A＝30°，那么∠2的度数为（　　） A．40° B．35° C．30° D．20° 【答案】A 【分析】根据三角形外角性质求解即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2+∠A，∠1＝70°，∠A＝30°， ∴∠2＝40°， 即∠2的度数为40°， 故选：A． 15．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，DE是BC的垂直平分线，P是直线DE上的任意一点，则PA+PB的最小值是（　　） A．7 B．16 C．10 D．8 【答案】D 【分析】连接PC，根据线段的垂直平分线的性质可得BP＝CP，根据两点之间线段最短即可求解． 【解答】解：如图，连接PC． ∵EF是BC的垂直平分线， ∴BP＝CP， 根据两点之间线段最短知，PA+PB＝PA+PC≥AC， 所以PA+PB的最小值即为AC的长，最小值为8． 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。 16．如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了三角形具有的 　稳定性　 ． 【答案】稳定性． 【分析】根据三角形的具有稳定性解答即可． 【解答】解：通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了三角形具有的稳定性， 故答案为：稳定性． 17．在△ABC和△PMN中，已知AB＝PM，AC＝PN，请补充一个条件，使△ABC≌△PMN，你补充的条件是：BC＝MN（答案不唯一）　 ．（一个即可） 【答案】BC＝MN（答案不唯一）． 【分析】利用SSS证明三角形全等即可． 【解答】解：在△ABC和△PMN中， ， ∴△ABC≌△PMN（SSS）． ∴补充的条件是：BC＝MN（答案不唯一）． 18．在平面直角坐标系中，点M（2025，2025）关于y轴对称的点的坐标为　（﹣2025，2025）　 ． 【答案】（﹣2025，2025）． 【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点M（2025，2025）关于y轴对称的点的坐标为（﹣2025，2025）， 故答案为：（﹣2025，2025）． 19．如图所示是一款可调节绘画平板支架的结构示意图，在小昆同学进行素描创作时，BP恰好平分∠ABC，若点P到水平桌面BC的距离为8cm，则点P到AB的距离为 　8cm ． 【答案】8cm． 【分析】作PR⊥AB于点R，PQ⊥BC于点Q，则PQ＝8cm，则BP平分∠ABC，根据角平分线的性质得PR＝PQ＝8cm，于是得到问题的答案． 【解答】解：作PR⊥AB于点R，PQ⊥BC于点Q， ∵点P到水平桌面BC的距离为8cm， ∴PQ＝8cm， ∵BP平分∠ABC，PR⊥AB于点R，PQ⊥BC于点Q， ∴PR＝PQ＝8cm， ∴点P到AB的距离为8cm， 故答案为：8cm． 三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 20．如图，D是△ABC边BC上的一点，连接AD，． （1）AD是△ABC的 　角平分线　 ；（填“高线”“中线”或“角平分线”） （2）根据图中数据，求∠C的度数． 【答案】（1）角平分线； （2）45°． 【分析】（1）求出∠BAD＝∠CAD，得到AD是△ABC的角平分线， （2）由三角形内角和定理求出∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝40°，得到∠CAD＝∠BAD＝40°，由三角形内角和定理即可求出∠C的度数． 【解答】解：（1）∵∠CAD∠BAC， ∴∠BAC＝2∠CAD＝∠BAD+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴AD是△ABC的角平分线， 故答案为：角平分线． （2）∵∠B＝55°，∠ADC＝95°， ∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝40°， 由（1）知∠CAD＝∠BAD＝40°， ∴∠C＝180°﹣∠ADC﹣∠CAD＝45°． 21．如图，已知线段AD，BC相交于点P，连接AB，CD，BD，AP＝CP，∠A＝∠C．求证：△ABP≌△CDP． 【答案】证明：在△ABP和△CDP中， ， ∴△ABP≌△CDP（ASA）． 【分析】根据ASA判定两个三角形相似即可． 【解答】证明：在△ABP和△CDP中， ， ∴△ABP≌△CDP（ASA）． 22．已知a，b，c为△ABC的三边长，若a，b满足方程组，且c为偶数，求△ABC的周长． 【答案】14． 【分析】解方程组，得到，由三角形三边关系定理得到4＜c＜8，得到c＝6，即可求出△ABC的周长． 【解答】解：解方程组，得到：， 由三角形三边关系定理得到：6﹣2＜c＜6+2， ∴4＜c＜8， ∵c为偶数， ∴c＝6， ∴△ABC的周长＝a+b+c＝2+6+6＝14． 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣2，4），C（﹣1，2）． （1）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′，点A′，B′，C′的对应点分别是A，B，C； （2）在（1）的条件下，写出点A'的坐标：A′　（﹣4，﹣1）　 ，并求出△A′B′C′的面积为：　　 ． 【答案】（1） （2）（﹣4，﹣1）；． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由图可得点A'的坐标，利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求． （2）由图可得，A'（﹣4，﹣1）， △A′B′C′的面积为． 故答案为：（﹣4，﹣1）；． 24．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，EF垂直平分BC，交AB于点E，交BC于点F，且AD＝DE，连接CE． （1）求证：AC＝BE； （2）若△ABC的周长为56cm，BC＝21cm，求BD的长． 【答案】（1）证明：∵EF垂直平分BC， ∴BE＝CE， ∵CD⊥AB，AD＝DE， ∴CD垂直平分AE， ∴AC＝CE， ∴AC＝BE； （2）17.5cm． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到BE＝CE，AC＝CE，进而证明AC＝BE； （2）根据三角形的周长公式得AB+AC＝35，再根据等量代换即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分BC， ∴BE＝CE， ∵CD⊥AB，AD＝DE， ∴CD垂直平分AE， ∴AC＝CE， ∴AC＝BE； （2）解：∵△ABC的周长为56cm，BC＝21cm， ∴AB+AC＝35（cm）， ∵AC＝BE，AD＝DE， ∴AB+AC＝AE+BE+AC＝2DE+2BE＝35（cm）， ∴DE+BE＝17.5（cm）， ∴BD＝DE+BE＝17.5（cm）． 25．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A作AE⊥AD，过点D作DE∥AB，DE与AE相交于点E，DE交AC于点F． （1）若∠C＝72°，求∠E的度数； （2）求证：△AEF是等腰三角形． 【答案】（1）63°； （2）∵AD平分∠BAC交BC于点D， ∴设∠BAD＝∠CAD＝α， ∵AE⊥AD， ∴∠DAE＝90°， ∴∠BAE＝∠DAE+∠BAD＝90°+α，∠FAE＝∠DAE﹣∠CAD＝90°﹣α， ∵∵DE∥AB， ∴∠E+∠BAE＝180°， ∴∠E＝180°﹣∠BAE＝180°﹣（90°+α）＝90°﹣α， ∴∠FAE＝∠E＝90°﹣α， ∴FA＝FE， ∴△AEF是等腰三角形． 【分析】（1）在△ABC中，根据AC＝BC，∠C＝72°得∠B＝∠BAC＝54°，由此得∠BAD∠BAC＝27°，进而得∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝2117°，然后根据DE∥AB得∠E+∠BAE＝180°，据此即可得出∠E的度数； （2）根据角平分线定义设∠BAD＝∠CAD＝α，根据AE⊥AD得∠BAE＝90°+α，∠FAE＝90°﹣α，再根据DE∥AB得∠E＝180°﹣∠BAE＝90°﹣α，由此得∠FAE＝∠E，然后根据等腰三角形的判定即可得出结论． 【解答】（1）解：在△ABC中，AC＝BC，∠C＝72°， ∴∠B＝∠BAC（180°﹣∠C）＝54°， ∵AD平分∠BAC交BC于点D， ∴∠BAD∠BAC＝27°， ∵AE⊥AD， ∴∠DAE＝90°， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝27°+90°＝117°， ∵DE∥AB， ∴∠E+∠BAE＝180°， ∴∠E＝180°﹣∠BAE＝180°﹣117°＝63°； （2）证明：∵AD平分∠BAC交BC于点D， ∴设∠BAD＝∠CAD＝α， ∵AE⊥AD， ∴∠DAE＝90°， ∴∠BAE＝∠DAE+∠BAD＝90°+α，∠FAE＝∠DAE﹣∠CAD＝90°﹣α， ∵DE∥AB， ∴∠E+∠BAE＝180°， ∴∠E＝180°﹣∠BAE＝180°﹣（90°+α）＝90°﹣α， ∴∠FAE＝∠E＝90°﹣α， ∴FA＝FE， ∴△AEF是等腰三角形． 26．（8分）如图，在△ABC中，点D在边AC上，过点D作DE⊥BC，垂足为E，ED的延长线交BA的延长线于点F，且AF＝AD，∠F＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）连接BD，若BD是△ABC的角平分线，试探究线段CE与BF之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）∵AF＝AD，∠F＝30°， ∴∠F＝∠FDA＝30°， ∴∠BAC＝∠F+∠FDA＝60°， ∵DE⊥BC， ∴∠BEF＝90°， ∴∠FBE＝180°﹣90°﹣30°＝60°， 又∵∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）∵DE⊥BC， ∴∠CEF＝90°， ∵∠CDE＝∠FDA＝30°， ∴CD＝2CE， ∵△ABC是等边三角形，BD是△ABC的角平分线， ∴AB＝AC＝2CD，AD＝CD， ∴AB＝4CE， ∵AF＝AD， ∴AF＝2CE， ∴BF＝AB+AF＝6CE． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出∠BAC＝60°，根据三角形内角和定理求出∠FBE＝60°，再根据“有两个角是60°的三角形是等边三角形”即可得证； （2）根据含30°角的直角三角形的性质求出CD＝2CE，再结合等边三角形的性质求出AB＝4CE，AF＝2CE，最后根据线段的和差求解即可． 【解答】（1）证明：∵AF＝AD，∠F＝30°， ∴∠F＝∠FDA＝30°， ∴∠BAC＝∠F+∠FDA＝60°， ∵DE⊥BC， ∴∠BEF＝90°， ∴∠FBE＝180°﹣90°﹣30°＝60°， 又∵∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）BF＝6CE，理由如下： ∵DE⊥BC， ∴∠CEF＝90°， ∵∠CDE＝∠FDA＝30°， ∴CD＝2CE， ∵△ABC是等边三角形，BD是△ABC的角平分线， ∴AB＝AC＝2CD，AD＝CD， ∴AB＝4CE， ∵AF＝AD， ∴AF＝2CE， ∴BF＝AB+AF＝6CE． 27．（12分）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“同源三角形”． （1）如图1中，若△OAB和△OCD互为“同源三角形”，OA＝OB，OC＝OD，求证：∠BOD＝∠AOC； （2）如图2中，△OAB和△OCD互为“同源三角形”，OA＝OB，OC＝OD，且∠BOA＝60°，点D在边AB上，连接AC，求证：OA＝AC+AD； （3）如图3中，△OAB和△OCD互为“同源三角形”，OA＝OB，OC＝OD，点C，D均在△OAB外，连接AC，BD相交于点E，连接OE．试探究OE是否平分∠BEC，并说明理由． 【答案】（1）∵△OAB和△OCD互为“同源三角形”， ∴∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB﹣∠AOD＝∠COD﹣∠AOD， 即∠AOC＝∠BOD， （2）∵OA＝OB，∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠OAB＝∠OBA＝60°，OA＝AB， 同理△COD是等边三角形， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC＝BD， ∴OA＝AB＝BD+AD＝AC+AD； （3）OE平分∠BEC． 理由：过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，如图所示： ∴∠OMA＝∠ONB＝90°， 由（2）知△AOC≌△BOD， ∴∠OAC＝∠OBD， 在△OAM和△OBN中， ， ∴△OAM≌△OBN（AAS） ∴OM＝ON， ∵OM⊥AC，ON⊥BD， ∴EO平分∠BEC． 【分析】（1）由题意得出∠AOB＝∠COD，则∠AOB﹣∠AOD＝∠COD﹣∠AOD，可得出结论； （2）证明△AOC≌△BOD（SAS），得出AC＝BD，则可得出结论； （3）过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，证明△OAM≌△OBN（AAS）得出OM＝ON，则可得出结论． 【解答】（1）证明：∵△OAB和△OCD互为“同源三角形”， ∴∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB﹣∠AOD＝∠COD﹣∠AOD， 即∠AOC＝∠BOD， （2）证明：∵OA＝OB，∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠OAB＝∠OBA＝60°，OA＝AB， 同理△COD是等边三角形， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC＝BD， ∴OA＝AB＝BD+AD＝AC+AD； （3）OE平分∠BEC． 理由：过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，如图所示： ∴∠OMA＝∠ONB＝90°， 由（2）知△AOC≌△BOD， ∴∠OAC＝∠OBD， 在△OAM和△OBN中， ， ∴△OAM≌△OBN（AAS） ∴OM＝ON， ∴EO平分∠BEC． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $