精品解析：江苏南通市海安市海陵中学 2025-2026学年上学期期中学业质量测试八年级数学试卷

海陵中学2025~2026学年度第一学期期中学业质量测试 八年级数学 （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 近年来，随着新一代信息技术的广泛应用，智慧城市建设进入崭新阶段．下列四个智能领域的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是完全平方式，则m的值为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 4. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 等边对等角 C. 对顶角相等 D. 如果，那么 5. 若，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A. B. C. D. 7. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点P在内，点P关于、的对称点分别为E、F，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 已知，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ） A. B. 8 C. 6 D. 4 二、填空题（11-12题每小题3分，13-16题每小题4分，共计22分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 12. 计算：______． 13. 已知(x+5)(x+n)=x2+mx﹣5，则m+n=______． 14. 如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是_________． 15. 已知实数、满足，则代数式的最大值是_________． 16. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm，BC=3cm，CD为AB边上的高， （1）若∠ECF=α，则∠CAB=_____________ (用含α的代数式表示）； （2）点E从点B出发，在直线BC上以每秒2cm的速度移动，过点E 作 BC的垂线交直线CD 于点F，当点E运动_________ s时，CF=AB． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17. （1）计算：①； ②． （2）分解因式：①； ②． 18. 有这样一道题：“计算：”，小宇同学在解题时错误地把第一个多项式中的“”写成了“”，得到的结果为． （1）求a，b的值； （2）请你写出这道整式乘法题的正确运算结果． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出关于轴成轴对称的，并写出点的坐标为_________． （2）请在轴上标出点的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）． 20. 如图，点、、、在同一直线上，点、在异侧，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 如图，点在线段上，，，，、在线段同侧，分别连接、交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 已知：如图，在中，平分，且点是的中点．求证：． 23. 将完全平方公式：适当的变形，解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）已知，则的值为_____． （3）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 24. 如图，等边中，、分别在边、上，且，连，点、关于对称，、交于点． （1）求证：； （2）若，求（用表示）； （3）若，，求的长（用，表示）． 25. 全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 （1）构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程： 【类比分析】 （2）通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点为边上一点，点为边延长线上一点，连结与边交于点，若点恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点作与线段的延长线交于点，与边的延长线交于点，已知的面积是30，线段的长为8，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海陵中学2025~2026学年度第一学期期中学业质量测试 八年级数学 （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 近年来，随着新一代信息技术的广泛应用，智慧城市建设进入崭新阶段．下列四个智能领域的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的判定，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可； 【详解】解：根据已知选项可知、、不是轴对称图形，是轴对称图形； 故选：． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方及合并同类项法则逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项运算错误，不合题意； 、，该选项运算正确，符合题意； 、，该选项运算错误，不合题意； 、与不是同类项，不能合并，该选项运算错误，不合题意； 故选：． 3. 若是完全平方式，则m的值为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．完全平方公式：． 4. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 等边对等角 C. 对顶角相等 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了命题与定理，正确得出各命题的逆命题是解题关键． 分别得出各选项的逆命题进而判断得出答案． 【详解】解：A的逆命题：对应角相等的三角形全等，但对应角相等的三角形相似而不一定全等，所以该命题的逆命题不成立； B的逆命题：等角对等边，这是等腰三角形的性质，成立，所以该命题的逆命题成立； C的逆命题：相等的角是对顶角，但相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），所以该命题的逆命题不成立； D的逆命题：则，但时可能，所以该命题的逆命题不成立． 故选：B． 5. 若，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式进行因式分解是解题的关键． 通过计算P与Q的差，并利用完全平方公式判断其非负性，从而得出大小关系． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴，即 故选：A． 6. 如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键． 由三线合一得，进而求出，由得，求出即可求解． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC， 在△AED和△ABD中： ∵，∴△AED≌△ABD(AAS)， ∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确， 又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C， ∴∠EDC=∠BAC，选项C正确， 选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误． 故选：D. 【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键． 8. 如图，点P在内，点P关于、的对称点分别为E、F，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．连接、．根据轴对称的性质，证明是等边三角形，可得结论． 【详解】解：如图，连接、． ∵点P关于、的对称点分别为E、F， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 9. 已知，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，由已知得，即得，进而得到，即得到，再利用完全平方公式即可求解，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 两边除以 ，得， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故选：． 10. 如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ） A. B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形中线等分三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．延长交于点．设交于点，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得.，推出当时，的面积最大，最大面积为． 【详解】解：延长交于点，设交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，△的面积最大，最大面积为． 图中两个阴影部分面积之差的最大值为8， 故选：B． 二、填空题（11-12题每小题3分，13-16题每小题4分，共计22分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点坐标关于坐标轴的变化规律，熟练掌握坐标变化规律是解题的关键．根据点关于轴对称的坐标变换规律为：纵坐标不变，横坐标变为相反数求解． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据多项式除以单项式的运算法则进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的运算，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题关键． 13. 已知(x+5)(x+n)=x2+mx﹣5，则m+n=______． 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析:把式子展开，根据对应项系数相等，列式求解即可得到m、n的值． 解：展开（x+5）（x+n）=x2+（5+n）x+5n ∵（x+5）（x+n）=x2+mx﹣5， ∴5+n=m，5n=﹣5， ∴n=﹣1，m=4． ∴m+n=4﹣1=3． 故答案为3 考点：多项式乘多项式． 14. 如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】考查角平分线的性质以及三角形的面积公式，掌握角平分线的性质是解题的关键． 过D作于F，根据角平分线性质得到，由， ，，代入即可求解． 【详解】解：过D作于F， ∵是中的角平分线，， ∴， ∵ ∵， ∴ 解得：， 故答案为：． 15. 已知实数、满足，则代数式的最大值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值问题．先根据已知条件用含x的式子表示出y，再代入，将其转化为关于x的二次函数，最后根据二次函数的性质求出最大值． 【详解】解： ， ． 代入 ，得： 这是一个二次函数，开口向下，有最大值． 顶点横坐标为 ． 代入得最大值： 故答案为：． 16. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm，BC=3cm，CD为AB边上的高， （1）若∠ECF=α，则∠CAB=_____________ (用含α的代数式表示）； （2）点E从点B出发，在直线BC上以每秒2cm的速度移动，过点E 作 BC的垂线交直线CD 于点F，当点E运动_________ s时，CF=AB． 【答案】 ①. ②. 2或5 【解析】 【分析】（1）根据对顶角相等、余角的性质即可得到结论； （2）如图，分点E在射线BC上移动和点E在射线CB上移动两种情况，证△CEF≌△ACB得CE=AC=7，继而得出BE的长，从而得出答案． 【详解】解：（1）由对顶角的定义，则 ∠BCD=∠ECF=α， ∵∠ACB=90°，CD为AB边上的高， ∴∠CAB+∠CBD=90°，∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠CAB=∠BCD=α； 故答案为：α； （2）如图，当点E在射线BC上移动时， ∵∠A=∠BCD，∠BCD=∠ECF， ∴∠A=∠ECF， 在△CFE与△ABC中， ， ∴△CEF≌△ACB（AAS）， ∴CE=AC=7， ∴BE=BC+CE=10， ∴t=10÷2=5（s）； 当点E在射线CB上移动时， 同理△CF′E′≌△CBA（AAS）， ∴CE′=AC=7， ∴BE′=CE′-CB=4， ∴t=4÷2=2（s） 总之，当点E在射线CB上移动5s或2s时，CF=AB． 故答案为：2或5 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17. （1）计算：①； ②． （2）分解因式：①； ②． 【答案】（1）①；②；（2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、因式分解，熟练掌握幂的运算性质、乘法公式（平方差公式、完全平方公式）以及因式分解的方法是解题的关键． （1）①先分别计算积的乘方，再合并同类项；②先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项； （2）①先提取公因式，再利用完全平方公式分解；②先提取公因式，再利用平方差公式分解． 【详解】解：（1）① ； ② （2）① ； ② 18. 有这样一道题：“计算：”，小宇同学在解题时错误地把第一个多项式中的“”写成了“”，得到的结果为． （1）求a，b的值； （2）请你写出这道整式乘法题的正确运算结果． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解二元一次方程，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解决本题的关键． （1）根据题意可得，应用多项式乘多项式的法则进行计算，可得，由已知常数项相等可得，计算即可得出答案； （2）由（1）可知a、b的值，代入应用多项式乘多项式进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 解： ， 由题意可知，上式， ∴，， 解得：，． 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出关于轴成轴对称的，并写出点的坐标为_________． （2）请在轴上标出点的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）如图所示，即为所求， （2）如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】（）根据轴对称图形的性质画出图形，再根据图形写出点的坐标即可； （）连接交于点，连接，由轴对称的性质得，故，由两点之间线段最短，可知的值最小，即此时周长最小，故点即为所求； 本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，由图可得，点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 20. 如图，点、、、在同一直线上，点、在异侧，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为，则，已知，．易证得，即可得； （2）因为，又已知，则，所以，因为，利用三角形内角和定理则可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ， ∵， ． 21. 如图，点在线段上，，，，、在线段同侧，分别连接、交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中，， ， ； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质． （1）利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； （2）根据三角形内角和定理可得：，根据三角形外角的性质可得：． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 在中，， ， ， ， ∴， 是的外角， ． 22. 已知：如图，在中，平分，且点是的中点．求证：． 【答案】 证明：如图，作于点，于点， 平分， ， 是的中点， ， ，， 在和中， ， ∴， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线性质定理，掌握相关知识是解决问题的关键．作，，根据角平分线性质定理，可得，根据定理，易证，即可证得． 【详解】略 23. 将完全平方公式：适当的变形，解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）已知，则的值为_____． （3）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用完全平方公式计算即可； （）设，则，，可得，再利用完全平方公式求出的值即可求解； （）设，，则，，可得，，再利用完全平方公式求出的值即可求解； 本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，则，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积． 24. 如图，等边中，、分别在边、上，且，连，点、关于对称，、交于点． （1）求证：； （2）若，求（用表示）； （3）若，，求的长（用，表示）． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵、关于对称， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）得到是等边三角形，则，由、关于对称，得到，即可等量代换； （2）可得，则，由对称可得，则，然后由定等腰三角形的性质可得，则再由求解； （3）连接并延长交延长线于点，导角证明为等边三角形，则，然后再证明，那么，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵、关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接并延长交延长线于点， ∴， ∵等边中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、关于对称， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，为等边三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角定理，轴对称的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 25. 全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 （1）构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程： 【类比分析】 （2）通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点为边上一点，点为边延长线上一点，连结与边交于点，若点恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点作与线段的延长线交于点，与边的延长线交于点，已知的面积是30，线段的长为8，求的长． 【答案】（1） 证明：过作于， ． ，， ． ． （2） 解：， 理由：如图，过作交于， ，，． ∵点恰为线段中点， ． ． ． ，， ． ． ． （3）2 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边、三角形面积公式、平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，即可得证； （2）过作交于，利用中点证，得到，最后通过等线段转化即可得证； （3）参考（2）的方法构造全等，设，则，，由的面积是30，即可求出的值，即为的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长交于点，过作， 是角平分线， ． ， ． ， ． ，． ， ，． 是中线， ． ． ， ． ． 设，则，， ． ， 整理得：， ． ， ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $