24.2 直角三角形的性质 课件 2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦直角三角形性质，通过情景导入回顾定义、锐角关系及勾股定理，结合计算问题（如已知锐角求角、直角边求斜边），搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点是“计算—探索—发现—猜想—证明”的探究过程，自主画图测量、合作证明斜边上中线性质，范例仿例层层递进，课堂小结梳理4个性质。通过几何直观培养推理意识，应用实例发展模型意识，助力学生深化理解，教师教学更高效。

24.2　直角三角形的性质 第24章　解直角三角形 【学习目标】 1．掌握直角三角形的性质，能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明； 2．经历“计算—探索—发现—猜想—证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充； 3．通过“计算—探索—发现—猜想—证明”的过程体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性，激发学生的好奇心和求知欲，培养学习的自信心． 【学习重点】 掌握直角三角形性质，能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明． 【学习难点】 能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明． 情景导入 1.什么是直角三角形？直角三角形中的两锐角有什么关系？两条直角边与斜边有什么关系？ 有一个内角是直角的三角形叫直角三角形． （1）直角三角形的两个锐角_________； 互余 （2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和______斜边的平方. 等于 2．(1)在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另一个锐角度数为____．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝30°，那么∠A＝____，∠B＝____． (2)在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，那么与∠B互余的角有______________，与∠A相等的角有_______，与∠B相等的角有________． (3)在直角三角形中，两条直角边分别为6，8，斜边的长为多少？ 解：斜边的长为10.　 38° 60° 30° ∠A，∠BCD ∠BCD ∠DCA 自学互研 知识模块一　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 (一)自主探究 (1)画一个直角三角形；(2)量一量斜边AB的长度；(3)找到斜边的中点，用字母D表示；(4)画出斜边上的中线；(5)量一量斜边上的中线的长度．猜想：斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？ 经过画图和测量，我们知道：斜边上的中线等于斜边的一半． (二)合作探究 已知，如图在直角三角形ABC中∠ACB＝90°，CD 是斜边AB上的中线， 证明：延长CD至点E，使DE＝CD，连结AE、BE. ∵CD是斜边AB上的中线， ∴AD＝DB.又∵CD＝DE. ∴四边形ACBE是平行四边形． 又∵∠ACB＝90°， ∴四边形ACBE是矩形，∴CE＝AB， 结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 知识模块二　直角三角形性质的应用 范例 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， 证明：作斜边AB上的中线CD， (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)． ∵∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴△CDB是等边三角形． 结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 仿例 如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°， EF垂直平分AB交AB于E，交BC于F. 证明：连结AF.∵AB＝AC，∠A＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， 又∵EF垂直平分AB， ∴BF＝AF. ∴∠BAF＝∠B＝30°， ∴∠FAC＝120°－∠BAF＝90°， 在Rt△AFC中，∠C＝30°， 性质1 直角三角形两个锐角互余 性质2 直角三角形的勾股定理 性质3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 性质4 直角三角形30⁰角所对直角边等于斜边的一半 课堂小结 直角三角形性质 9 一、 选择题 1. 在△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ B ＝2∠ A ，则∠ A 的度数为（　A　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 15° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的 尺寸.如图，∠ ACB ＝90°， D 为边 AB 的中点，点 A 、 B 对应的刻度分 别为“1”和“7”，则 CD 的长为（　B　） A. 3.5cm B. 3cm C. 4.5cm D. 6cm 第2题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 5月26日，2023中国国际大数据产业博览会在贵阳开 幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形 模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上 的高是（　B　） A. 4m B. 6m C. 10m D. 12m 第3题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. ☆如图，在△ ABC 中， BC ＝26，且 BD 、 CE 分别是边 AC 、 AB 上的 高， F 、 G 分别是 BC 、 DE 的中点.若 ED ＝10，则 FG 的长为（　C　） A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 第4题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 二、 填空题 5. 如图，△ ABC 是边长为16的等边三角形， D 是 BC 上一点， BD ＝6， DE ⊥ BC 交 AB 于点 E ，则 AE ＝ ⁠. 第5题 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 如图， CD 为Rt△ ABC 斜边 AB 上的中线， E 为 AC 的中 点.若 AC ＝8， CD ＝5，则 DE ＝ ⁠. 第6题 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝90°， AD ＝3，连结 BD ， BD ⊥ CD ，∠ ADB ＝∠ C ＝60°.若 P 为边 BC 的中点，则 DP 的长为 ⁠. 第7题 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，通过尺规作图得 到的直线 MN 分别交 AB 、 AC 于点 D 、 E ，连结 CD . 若 CE ＝ AE ＝ 1，则 CD ＝ ⁠. 第8题 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 三、 解答题 9. 若学校内有一块三角形的绿地（如图）， AB ＝ BC ＝20m， ∠ A ＝15°，求该三角形绿地（△ ABC ）的面积. 第9题答案 解：如图，过点 C 作 CD ⊥ AB ，交 AB 的延长 线于点 D . ∵ AB ＝ BC ＝20m，∠ A ＝15°， ∴ ∠ A ＝∠ ACB ＝15°.∴ ∠ DBC ＝∠ A ＋ ∠ ACB ＝30°.∵ CD ⊥ AB ，∴ CD ＝ BC ＝10m. ∴ S △ ABC ＝ AB · CD ＝ ×20×10＝100（m2）. ∴ 该三角形绿地（△ ABC ）的面积为100m2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.如图，在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC ， CD ⊥ AD 于点 D ， 过点 D 作 DE ∥ AB ，交 AC 于点 E . 求证： E 为 AC 的中点. 第10题 解：∵ AD 平分∠ BAC ，∴ ∠ BAD ＝∠ CAD . ∵ DE ∥ AB ，∴ ∠ EDA ＝∠ BAD . ∴ ∠ EDA ＝∠ CAD . ∴ EA ＝ ED . ∵ CD ⊥ AD 于点 D ，∴ ∠ ADC ＝90°.∴ ∠ EDA ＋∠ CDE ＝90°，∠ CAD ＋∠ ACD ＝90°.∴ ∠ CDE ＝∠ ACD . ∴ ED ＝ EC . ∴ EA ＝ EC ，即 E 为 AC 的中点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 如图，在Rt△ ACB 中，∠ ACB ＝90°， M 为 边 AB 的中点，点 E 在线段 AM 上， EF ⊥ AC 于点 F ，连结 CM 、 CE . 已知∠ A ＝50°，∠ ACE ＝30°. 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （1） 求证： CE ＝ CM ； 解：（1） ∵ ∠ ACB ＝90°， M 为边 AB 的中点，∴ MC ＝ MA ＝ MB . ∴ ∠ MCA ＝∠ A ，∠ MCB ＝∠ B . ∵ ∠ A ＝ 50°，∴ ∠ MCA ＝50°，∠ MCB ＝∠ B ＝40°.∴ ∠ EMC ＝∠ MCB ＋∠ B ＝80°.∵ ∠ ACE ＝30°，∴ ∠ MEC ＝∠ A ＋∠ ACE ＝80°.∴ ∠ MEC ＝∠ EMC . ∴ CE ＝ CM 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 若 AB ＝4，求线段 FC 的长. 解：（2） ∵ AB ＝4，∴ CE ＝ CM ＝ AB ＝2.∵ EF ⊥ AC ， ∠ ACE ＝30°，∴ EF ＝ CE ＝1.∴ 在Rt△ EFC 中， FC ＝ ＝ 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 求证：CD＝AB. ∴CD＝CE＝AB. 求证：BC＝AB. 则CD＝AD＝BD＝AB ∴BC＝BD＝AB. 求证BF＝FC. ∴AF＝CF，∴BF＝FC. $