精品解析：重庆市西南大学附属中学校2025-2026学年高三上学期12月定时检测数学试题

西南大学附中高 2026 届高三上 12 月定时检测 数学试题 2025 年 12 月 注意事项: 1. 答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2. 答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写； 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3. 考试结束后， 将答题卡交回 (试题卷学生保存， 以备评讲). 一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 若，则 （ ） A. 1 B. C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，再根据复数除法运算求出，进而求出模长即可． 【详解】， 则， ． 故选：B． 2. 已知幂函数的定义域为，则（ ） A. B. 或3 C. 3 D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的知识求得正确答案. 【详解】是幂函数，所以， 解得或， 当时，，定义域是，不符合题意. 当时，，定义域是，符合题意. 故选：C 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求出角，再根据三角形内角和定理即可得解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以. 故选：D. 4. 已知双曲线 与 轴的非负半轴相交于点 ，过 作 轴的垂线与渐近线交于点 (点 在第一象限)，且 ，则双曲线 的离心率为 （ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先确定交点的坐标，再求出垂线与渐近线的交点，利用的长度求得，最后结合双曲线的、关系计算离心率. 【详解】双曲线中，令，得非负半轴交点. 过的x轴垂线为，双曲线第一象限的渐近线为，将代入得. 由，得. 双曲线中，，即， 故离心率. 故选：B 5. 已知等比数列的公比，记为数列的前项和，若，则 的公比为（ ） A. 2 B. 1 或 2 C. D. 1 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和公式列出关于公比的方程，求解出符合条件的公比值即可. 【详解】当时，等比数列的前项和，此时，，. 代入中得，，整理得，即. 又等比数列中，所以. 当时，等比数列的前项和， 则，，. 代入中得，. 因为， ，可化为， 整理得，又，所以， 解得或，又且，所以. 故选：A. 6. 正六棱台的上、下底面边长分别为2 和 4，侧棱长为 ，则该正六棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将正六棱台还原成正六棱锥，再利用正六棱锥的结构特征及体积公式计算得解. 【详解】将正六棱台还原成正六棱锥，则正六棱锥的下底面是边长为4的正六边形，侧棱长为， 其高，以正六棱台上底面为底面的正六棱锥底面边长为2， 侧棱长为，其高， 因此该正六棱台的体积. 故选：C 7. 已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，且满足 ， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列性质将转化为，再利用求出的值即可. 【详解】等差数列前项和，， 所以， 由等差数列性质知，， 所以. 又， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 令等差数列的公差为，等差数列的公差为， 则①，②，③， 由②得，，由③得，， 代入①中，整理得，，所以，故. 故选：C. 8. 若函数在上有两个极值点，则的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，问题化为导函数在上有两个变号零点，令，与在上有两个交点，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】由题设，令， 又在上有两个极值点，即在上有两个变号零点， 令在上单调递减，且， 根据二次函数性质知只需与在上有两个交点， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，在上，在上， 综上，与有两个交点，则. 故选：B 二、多选题: 本大题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 已知函数 的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称 D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出，再结合正弦函数的图象性质逐项分析判断. 【详解】依题意，，解得， 函数的周期， 解得，则，由，得， 而，则，解得， 因此， 对于A，，A正确； 对于B，的最小正周期为，B错误； 对于C，，， 因此所得到的图象关于点对称，C正确； 对于D，当时，， 因此在上单调递减，D正确. 故选：ACD 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，其长半轴、短半轴、半焦距的长分别为 ，满足 ，过点的动直线与椭圆交于两点，且的周长为，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 当 时，是直角三角形 C. 使得中一角为的直线共有条 D. 当时，直线的斜率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，由椭圆的定义，利用求解；选项B，由，解出，求出，利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形；选项C，设短轴的一个端点为，根据题意可以得到为等边三角形，当点为短轴的一个端点时，为等边三角形，利用数形结合即可得到答案； 选项D，求出椭圆的标准方程，设，由求出用表示的式子，用表示的式子，再将代入椭圆，联立方程组解出和，利用斜率公式求出直线的斜率. 【详解】 选项A，设椭圆的半焦距为，由椭圆的定义得到 ，解得， ，，，， ，选项A正确； 选项B，，，， ，是直角三角形，选项B正确； 选项C，设短轴的一个端点为，如图，此时， 又，为等边三角形， 当点为短轴的一个端点时，为等边三角形，满足题意， 此时这样的直线有条，除此之外，再没有使得中一角为的直线， 故使得中一角为的直线共有条，则选项C正确； 选项D，，，椭圆的标准方程为， 设，，， ，， ，， 在椭圆上，， 将代入， 得到，解得， 直线的斜率为，故选项D错误. 故选：ABC. 11. 已知数列，该数列的特点是:前两个数均为 1，从第三个数起， 每一个数都等于它前面两个数的和. 人们把这样的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列 (当趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618 ). 在现代物理、准晶体结构等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以 4 所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若数列为等比数列，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题中给出的信息，运用列举法分别求出数列中的项，发现数列是周期为6的周期数列，然后利用周期性即可判断选项A、B，利用等比数列的等比中项建立方程即可判断选项C，利用，列举后相加，由数列的定义整理化简后即可判断选项D． 【详解】由题意可知，. 由题意得 所以数列是周期为6的周期数列． ∵，∴，A选项正确； ，， ∴，B选项错误； 数列前3项为， 则，即， 则，则，∵，∴，C选项正确； ∵，，，， ， ， ，D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题: 本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 若向量，满足，，且，则在方向上的投影向量的坐标为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据，求出，再结合投影向量的定义得出答案. 【详解】因为，则，解得， 由于，所以在方向上的投影向量即为， 则在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 13. 已知函数 为奇函数，则 的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数定义得到，再对的取值进行讨论进而得到最小值. 【详解】为奇函数，所以， 代入得，在定义域内， 化简得：， 即，由得：， 因为奇函数的定义域关于原点对称，由可知， 定义域端点为和， 为使定义域关于原点对称，必有，即， 又，， 所以， 当且仅当即，，即时成立； 综上  的最小值为. 故答案为： 14. 已知正四面体的棱长为，则正四面体的内切球的半径为_____，若点是该内切球面上的一动点，则的取值范围为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将正四面体放入正方体内，将内切球半径转化为点到平面的距离，进而建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法求解第一空，先利用空间向量的减法法则得到，再利用球的方程结合空间向量的坐标运算求解第二空即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，将正四面体放入正方体中， 将棱作为正方体的面对角线，以为原点建立空间直角坐标系，连接， 由正四面体性质得正四面体的内切球球心为其几何中心， 由正方体性质得正四面体的几何中心与正方体的几何中心重合， 而正方体的几何中心是体对角线的中点，设正方体边长为， 因为正四面体的棱长为， 所以，解得， 由题意得，，，， 则，，由中点坐标公式得， 设面的法向量为，可得， 令，解得，得到， 而，由题意得点到面的距离即为内切球半径， 设点到面的距离为，， 由点到平面的距离公式得， 由空间向量的减法法则得， 由题意得内切球的方程为， 则， 化简得， 而点是该内切球面上的一动点，则， 可得，， 得到 ， 而点是该内切球面上的一动点，则， 可得， 解得，则， 故答案为：； 四、解答题:本大题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，长方体中，是底面中心，. （1）证明:； （2）若直线与直线所成角的余弦值为，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明两直线的方向向量垂直即可； （2）结合（1）利用向量法求解即可. 【小问1详解】 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 设， 则， 故， 则，所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）得，， 因为直线与直线所成角的余弦值为， 所以， 解得（舍去）， 所以. 16. 在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 . （1）求; （2）若,设中边上的高分别为 ,求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对化简利用和差公式得到，再由三角形三角关系化简得到，结合同角的平方公式求出. （2）先利用锐角三角函数得到，再由正弦定理化简得到，利用余弦定理和基本不等式求出，从而得到，进而求出的最大值为. 【小问1详解】 因为， 所以； 即 即 即得，即 因为，即得到 ； 又因为,所以. 【小问2详解】 因为分别为边上的高，所以, 所以； 由正弦定理,所以，； 所以； 因为,，所以 所以由余弦定理得，即； 即，所以，即 所以，当且仅当时等号成立； 所以； 即当且仅当时，的最大值为 . 17. 赌博是一种违法行为，"十赌九输"在现代科技的加持下几乎是必然的事情. 近年来警方在各类赌博案件中发现了"密码骰子"、"定点骰子"、"可控骰子"等多种作弊骰子， 庄家可以操控骰子点数牟取非法利益. "反赌宣传日"活动中，小明、小宇参与游戏研究一个高科技作弊骰子的特质， 该骰子可以设置某一点数(下称 "作弊点数")的概率更高， 其余五个点数的概率相同. 记 "作弊点数"的概率为常数，点数 "1""2""3"为小点数，点数 "4""5""6"为大点数. （1）游戏一:两人将"作弊点数"设置为"6"，每局游戏中抛掷一次骰子，如果为大点数则小明胜，否则小宇胜. 记3局游戏中小明获胜的次数为随机变量，若，求的分布列与期望; （2）游戏二:每局游戏中，由小明设置"作弊点数"，随后抛掷两次骰子，如果两次均为大点数或均为小点数则小明胜，否则小宇胜. 试证明: 无论设置哪个"作弊点数"，小明获胜的概率均为定值，且大于小宇获胜的概率. 【答案】（1）分布列见解析； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出每个点数出现的概率，进而求出小明胜的概率和小宇胜的概率，然后分别求出的概率即可列出分布列，利用期望公式即可求出期望； （2）分为“小明设置的为大点数中的任意一个”和“小明设置的为小点数中的任意一个”两种情况，分别求出小明胜的概率均为，再证明，即可证明小明获胜的概率大于小宇获胜的概率. 【小问1详解】 记“抛掷一次骰子，出现点数为”为事件，其中， 则，， 则小明胜的概率为，小宇胜的概率为， 的取值有， ， ， ， ， 所以的分布列为： ， 所以的期望为. 【小问2详解】 假设小明设置的为大点数中的任意一个，记“每次抛掷出现大点数”为事件，则“每次抛掷出现小点数”为事件， 则，， 则小明获胜的概率； 假设小明设置的为小点数中的任意一个，记“每次抛掷出现大点数”为事件，则“每次抛掷出现小点数”为事件， 则，， 则小明获胜的概率， 所以无论设置哪个"作弊点数"，小明获胜的概率均为定值. 又， 因为，则，即小明获胜的概率大于， 所以小明获胜的概率大于小宇获胜的概率. 18. 已知函数 . （1）当 时，求 过点 的切线方程； （2）已知函数 有两个极值点 ，且 ，求 的取值范围； （3）若函数 ，且对任意非零实数 ，都有 ，求 的值. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，设出切点坐标，求出切点处的斜率，进而可求得切线方程. （2）对函数求导，令其等于0，然后得到新函数，对其求导判断单调性，求出的范围，然后化简进而根据二次函数的单调性求出范围即可. （3）对函数二次求导，讨论的范围判断函数的单调性，进而可求得使得不等式恒成立的的值. 【小问1详解】 当时，，求导得， 设切点坐标为，则切线斜率， 所以切线方程为，将代入得， 化简得，解得或. 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即 【小问2详解】 因为，令，则. 令，求导得，因为， 所以时；时，；当时，，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为， 因为有两个极值点，即有两个根且， 所以,，由得， 将代入得. 令，求导得， 所以在上单调递增， 而， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 ，求导得. 令，求导得， 当时，即，此时在上单调递增， 当时，；当时，；当时，； 所以当时，；当时，； 此时在上单调递减，在上单调递增，又， 所以在上和在上均大于0，即， 若异号，则，那么不等式不成立，所以. 当时，即，，此时在上单调递增； 当时，即，，此时在上单调递减； 而，令其等于0，则. 此时在上恒成立，当且仅当时取等号， 即在上恒成立，当且仅当时取等号， 所以在上单调递增，又，所以在上小于0，在上大于0， 即时，；时，； 那么对任意非零实数，都有不等式恒成立，故. 19. 平面直角坐标系中，已知点和动点，以线段为直径的圆始终与轴相切，记点的轨迹为曲线 . （1）求曲线 的标准方程； （2）按照如下方法依次构造点列(其中 ):设，过点作斜率为的直线与曲线分别交于点，直线与曲线交于另一点，直线与曲线交于另一点，直线与轴交于点. (i) 求证: 数列 和 均为等比数列; (ii) 记 的面积为 ，当 时，求证: . 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 过且斜率为的直线方程为： 代入得， 由韦达定理：①, 设直线的方程为 ，代入得, 则,可得②， 同理，由 ，可得③, 则直线的斜率 直线的方程为：， 代入化简得（*）， 将②③代入 ，结合①可得 ， 代入（*）式，化简得， 由于，满足， 则，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （ii）证明如下： 由（i）可得，， ， ， ， 代入得， 化简得， 所以是首项为，公比为2的等比数列，. 其中， . , , 由于, ， 所以 综上得证. 【解析】 【分析】（1）设出动点的坐标，得出以线段为直径的圆的圆心与半径，利用圆心到轴的距离等于半径，建立方程化简即可； （2）（i）通过直线与抛物线联立，结合韦达定理得出，再结合题干，来证明等比数列即可； （ii）同（i）推导得出为等比数列以及它们的通项，化简得出的表达式，对于右边可以放缩为等比求和来证明，对于左边可以放缩为裂项求和来证明. 【小问1详解】 设动点的坐标为，则的中点为， 以为直径的圆的半径， 因为该圆与轴相切， 所以， 化简得， 所以曲线的标准方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西南大学附中高 2026 届高三上 12 月定时检测 数学试题 2025 年 12 月 注意事项: 1. 答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2. 答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写； 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3. 考试结束后， 将答题卡交回 (试题卷学生保存， 以备评讲). 一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 若，则 （ ） A. 1 B. C. 2 D. 5 2. 已知幂函数的定义域为，则（ ） A. B. 或3 C. 3 D. 1或 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线 与 轴的非负半轴相交于点 ，过 作 轴的垂线与渐近线交于点 (点 在第一象限)，且 ，则双曲线 的离心率为 （ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 已知等比数列的公比，记为数列的前项和，若，则 的公比为（ ） A. 2 B. 1 或 2 C. D. 1 或 6. 正六棱台的上、下底面边长分别为2 和 4，侧棱长为 ，则该正六棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列，等差数列，其前项和分别为，，且满足 ， 则 （ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上有两个极值点，则的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 二、多选题: 本大题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 已知函数 部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称 D. 在上单调递减 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，其长半轴、短半轴、半焦距的长分别为 ，满足 ，过点的动直线与椭圆交于两点，且的周长为，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 当 时，是直角三角形 C. 使得中一角为的直线共有条 D. 当时，直线的斜率为 11. 已知数列，该数列的特点是:前两个数均为 1，从第三个数起， 每一个数都等于它前面两个数的和. 人们把这样的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列 (当趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618 ). 在现代物理、准晶体结构等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以 4 所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若数列为等比数列，则 D. 三、填空题: 本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 若向量，满足，，且，则在方向上的投影向量的坐标为_____. 13. 已知函数 为奇函数，则 的最小值为_____. 14. 已知正四面体的棱长为，则正四面体的内切球的半径为_____，若点是该内切球面上的一动点，则的取值范围为_____. 四、解答题:本大题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，长方体中，是底面中心，. （1）证明:； （2）若直线与直线所成角余弦值为，求的长. 16. 在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 . （1）求; （2）若,设中边上的高分别为 ,求的最大值. 17. 赌博是一种违法行为，"十赌九输"在现代科技的加持下几乎是必然的事情. 近年来警方在各类赌博案件中发现了"密码骰子"、"定点骰子"、"可控骰子"等多种作弊骰子， 庄家可以操控骰子点数牟取非法利益. "反赌宣传日"活动中，小明、小宇参与游戏研究一个高科技作弊骰子的特质， 该骰子可以设置某一点数(下称 "作弊点数")的概率更高， 其余五个点数的概率相同. 记 "作弊点数"的概率为常数，点数 "1""2""3"为小点数，点数 "4""5""6"为大点数. （1）游戏一:两人将"作弊点数"设置为"6"，每局游戏中抛掷一次骰子，如果为大点数则小明胜，否则小宇胜. 记3局游戏中小明获胜的次数为随机变量，若，求的分布列与期望; （2）游戏二:每局游戏中，由小明设置"作弊点数"，随后抛掷两次骰子，如果两次均为大点数或均为小点数则小明胜，否则小宇胜. 试证明: 无论设置哪个"作弊点数"，小明获胜的概率均为定值，且大于小宇获胜的概率. 18. 已知函数 . （1）当 时，求 过点 的切线方程； （2）已知函数 有两个极值点 ，且 ，求 的取值范围； （3）若函数 ，且对任意非零实数 ，都有 ，求 的值. 19. 平面直角坐标系中，已知点和动点，以线段为直径的圆始终与轴相切，记点的轨迹为曲线 . （1）求曲线 的标准方程； （2）按照如下方法依次构造点列(其中 ):设，过点作斜率为直线与曲线分别交于点，直线与曲线交于另一点，直线与曲线交于另一点，直线与轴交于点. (i) 求证: 数列 和 均为等比数列; (ii) 记 面积为 ，当 时，求证: . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $