14.1平方根 讲义 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

14.1平方根 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 平方根的定义 如果一个数( x )的平方等于( a )，即，那么这个数( x )叫做( a )的平方根（也叫做二次方根）。 2. 平方根的表示方法 一个正数( a )的平方根记为，其中表示( a )的正平方根（也叫算术平方根），表示( a )的负平方根。 3. 平方根的性质 · 正数的平方根：正数有两个平方根，它们互为相反数。 · 零的平方根：0的平方根是0，即。 · 负数的平方根：在实数范围内，负数没有平方根。 4. 算术平方根 · 定义：正数( a )的正的平方根叫做( a )的算术平方根，0的算术平方根是0。 · 性质：算术平方根具有非负性，即（）。 5. 开平方运算 求一个数( a )的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。 6. 平方根的计算 · 若（），则。 · 例如：因为和，所以9的平方根是，即。 型 习 练 题 求平方根 1．下面的说法：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根与平方根的概念，解题的关键是明确算术平方根的非负性及负数无实数平方根． 根据算术平方根、平方根的定义，逐一判断4个说法的正确性，统计正确的个数． 【详解】解：（1）计算，故，错误； （2）表示算术平方根，结果为2，而非，错误； （3）因为负数无实数平方根，无意义，错误； （4）因为，所以，进而，正确． 综上，只有1个说法正确． 故选：D． 2．若，则下列说法正确的是（   ） A．是5的算术平方根 B．是5的平方根 C．5是的算术平方根 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根及算术平方根，根据平方根的定义及算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】∵， ∴是5的平方根（平方根定义）． 选项A：算术平方根特指非负平方根，但可能为，故A错误． 选项B：正确，符合平方根定义． 选项C：若5是的算术平方根，则，即，与矛盾，故C错误． 选项D：仅表示正平方根，但可能为负，故D错误． 故选：B． 3．下列式子中表示“9的平方根是”的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路是根据平方根的定义与表示方法，逐一分析每个选项的式子所表达的含义，匹配9的平方根是的正确表示．本题考查平方根的表示方法，涉及的知识点是平方根与算术平方根的定义及符号表示．解题中用到的方法是概念辨析法，通过区分平方根、算术平方根、立方根的符号与含义来判断．解题关键是明确表示算术平方根， 表示平方根．易错点是混淆平方根与算术平方根的符号表示，或误将立方根与平方根混淆． 【详解】选项A：表示的是的算术平方根是，不是平方根，不符合题意； 选项B：，符合的平方根是的表示方法； 选项C：是的立方根，与平方根无关，不符合题意； 选项D：表示的是的算术平方根的相反数是，不符合题意． 故选B． 4．若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【详解】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 5． 的平方根是（   ） A． B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的关键．根据平方根、算术平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：C． 已知平方根求这个数 6．若一个正数的两个不同的平方根分别为与，则这个正数为（　　） A．9 B．8 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，进行求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 则平方根为：和， ∴ 这个正数为． 故选：A． 7．中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（    ） A．25 B．9 C．16 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可列出关于m的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得， ∴平方根为 和， ∴这个正数为 ． 故选：A． 8．若一个正整数的正平方根是 ，则比这个正整数大 1 的数的正平方根是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，由正整数的正平方根为，可得该正整数为，则比它大1的数为，其正平方根为 ，即可得出结果． 【详解】解：设这个正整数为， ∵的正平方根是， ∴． ∴比大1的数为， ∴ 的正平方根为． 故选C． 9．婺江是金华的母亲河，其水面宽度在不同地段有所差异．某段婺江的宽度是一个正数（单位：米），它的平方根是和，那么这段婺江的宽度是（   ） A．4米 B．16米 C．25米 D．36米 【答案】B 【分析】本题考查平方根的性质，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． 根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于的方程，求出后再计算这个正数（即婺江的宽度）． 【详解】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以， 解方程可得：， 那么这个正数（婺江的宽度）为． 故选：B． 10．如果一个正数的两个平方根为与，则与的值分别为（   ） A．－9，1 B．9，3 C．3，1 D．9，1 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，相反数， 先根据正数的平方根互为相反数求出a，再根据平方根的定义求出答案即可. 【详解】解：∵一个正数x的两个平方根是与， ∴， 解得， ∴. ∵9的平方根是， ∴. 故选：D. 求算术平方根 11．下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，零指数幂的意义． 根据求算术平方根，零指数幂的意义逐一计算后判断即可． 【详解】A．，原计算错误； B．，原计算错误； C．在实数范围内，负数没有平方根，无意义，原计算错误； D．，原计算正确； 故选：D． 12．下列说法正确的是（   ） A．4是8的算术平方根 B．4的平方根是 C．的平方根是 D．16的算术平方根是 【答案】B 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．算术平方根是非负的平方根，平方根包括正负两个值，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是8的算术平方根，故本选项错误，不符合题意； B、4的平方根是，故本选项正确，符合题意； C、的平方根是，故本选项错误，不符合题意； D、16的算术平方根是4，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 13．根式的值为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，先计算平方再开方，根据算术平方根的定义即可解答． 【详解】解：． 故选：C． 14．下列说法正确的是（   ） A． B．0的平方根是0 C． D．的平方根是2 【答案】B 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念.算术平方根是非负的，平方根有两个值（0除外）. 选项A混淆了平方根与算术平方根；选项C算术平方根结果应为正；选项D忽略了负平方根；选项B正确. 【详解】解：∵ 算术平方根表示非负值，平方根有正负两个值（时）或0（时）. 对于A：表示算术平方根，应为8，而非，所以此项错误； 对于B：0的平方根是0，正确，所以此项正确； 对于C：，而非，所以此项错误； 对于D：，4的平方根是，选项说“是2”不完整，所以此项错误. 故选：B. 15．下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．4是2的算术平方根 D．的算术平方根是2 【答案】D 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．根据定义，正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根是非负的；负数没有实数平方根，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵ 4的平方根是，A只给出2，故A错误； ∵ 负数没有平方根，故B错误； ∵ 2的算术平方根是，不是4，故C错误； ∵，4的算术平方根是2，故D正确． 故选：D． 估计取值范围 16．一个正方形的面积是11，估计它的边长大小在（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根取值范围的估算，掌握算术平方根取值范围的估算方法是解题的关键． 根据正方形的面积公式，边长是面积的平方根，即．再通过比较邻近的完全平方数，估算的范围即可解答． 【详解】解：∵正方形的面积是11， ∴边长为． ∵，且， ∴，即， ∴边长在3和4之间． 故选C． 17．估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的估算能力， 通过比较平方数确定 的取值范围，然后计算 的区间． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 因此值在2和3之间 故选：C． 18．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算，先求出正方形花坛的边长为，再通过比较平方数确定其范围． 【详解】解：设正方形边长为， 正方形花坛的面积为， ， ， ，，且， ， 正方形边长介于和之间， 故选：B． 19．下列整数中，最接近的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查无理数的估算，解题的关键是熟知实数的性质． 根据无理数的估算方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴与最接近的整数是4． 故选C． 20．如果一个正方形的面积为，那么它的边长在哪两个相邻的整数之间（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的估算，掌握估算方式是解题的关键．根据正方形面积公式求出边长后进行估算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， 故选：B． 利用非负性解题 21．若，求的值（   ） A． B． C．7 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了算术平方根的非负性，代数式求值， 根据被开方数必须非负，从而确定x的值，再代入求y，最后计算． 【详解】∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：C． 22．若x，y为实数，且，则的值是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2025 【答案】C 【分析】本题考查绝对值与算术平方根的非负性，解题的关键是利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”． 根据绝对值和算术平方根的非负性，由和为0推出每个部分为0，求出、后计算代数式的值． 【详解】解：∵且， 又∵， ∴且， ∴且， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 23．已知，那么的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值、绝对值的非负性，算术平方根的非负性．根据绝对值的非负性和算术平方根求得x、y的值，然后代入求解即可． 【详解】解：， ， 解得：， ∴， 故选：B． 24．已知，则的值是（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值，平方和二次根式的非负性，解题的关键是掌握． 根据非负数的性质，绝对值、平方和平方根均为非负数，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出a、b、c的值． 【详解】∵ , , ，且， ∴ , , ， ∴ , , ， ∴ , , ， ∴ ， 故选：B． 25．已知，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，根据算术平方根的非负性，得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴； 故选D． 利用平方根解方程 26．解方程：． 【答案】 或 【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得或． 27．解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了根据平方根的定义解方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开方，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：或． 28．解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，由题意得，推出，即可求解. 【详解】解： 或 或 所以原方程的解为或. 29．求满足下列各式的未知数x： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）方程整理后根据平方根的定义求解可得； （2）根据平方根的定义求解可得． 【详解】（1）解：， 方程整理得， 开方得； （2）解：， 开方得：， 解得或． 30．解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了平方根的定义，利用平方根的定义解方程即可得解，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.1平方根 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 平方根的定义 如果一个数( x )的平方等于( a )，即，那么这个数( x )叫做( a )的平方根（也叫做二次方根）。 2. 平方根的表示方法 一个正数( a )的平方根记为，其中表示( a )的正平方根（也叫算术平方根），表示( a )的负平方根。 3. 平方根的性质 · 正数的平方根：正数有两个平方根，它们互为相反数。 · 零的平方根：0的平方根是0，即。 · 负数的平方根：在实数范围内，负数没有平方根。 4. 算术平方根 · 定义：正数( a )的正的平方根叫做( a )的算术平方根，0的算术平方根是0。 · 性质：算术平方根具有非负性，即（）。 5. 开平方运算 求一个数( a )的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。 6. 平方根的计算 · 若（），则。 · 例如：因为和，所以9的平方根是，即。 型 习 练 题 求平方根 1．下面的说法：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．若，则下列说法正确的是（   ） A．是5的算术平方根 B．是5的平方根 C．5是的算术平方根 D． 3．下列式子中表示“9的平方根是”的是（） A． B． C． D． 4．若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 5． 的平方根是（   ） A． B．2025 C． D． 已知平方根求这个数 6．若一个正数的两个不同的平方根分别为与，则这个正数为（　　） A．9 B．8 C．3 D．1 7．中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（    ） A．25 B．9 C．16 D．5 8．若一个正整数的正平方根是 ，则比这个正整数大 1 的数的正平方根是 （     ） A． B． C． D． 9．婺江是金华的母亲河，其水面宽度在不同地段有所差异．某段婺江的宽度是一个正数（单位：米），它的平方根是和，那么这段婺江的宽度是（   ） A．4米 B．16米 C．25米 D．36米 10．如果一个正数的两个平方根为与，则与的值分别为（   ） A．－9，1 B．9，3 C．3，1 D．9，1 求算术平方根 11．下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 12．下列说法正确的是（   ） A．4是8的算术平方根 B．4的平方根是 C．的平方根是 D．16的算术平方根是 13．根式的值为（    ） A． B．9 C． D． 14．下列说法正确的是（   ） A． B．0的平方根是0 C． D．的平方根是2 15．下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．4是2的算术平方根 D．的算术平方根是2 估计取值范围 16．一个正方形的面积是11，估计它的边长大小在（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 17．估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3间 D．3和4之间 18．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 19．下列整数中，最接近的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．如果一个正方形的面积为，那么它的边长在哪两个相邻的整数之间（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 利用非负性解题 21．若，求的值（   ） A． B． C．7 D．5 22．若x，y为实数，且，则的值是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2025 23．已知，那么的值为（   ） A．1 B． C． D． 24．已知，则的值是（    ） A．6 B．4 C． D． 25．已知，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 利用平方根解方程 26．解方程：． 27．解方程：． 28．解方程： 29．求满足下列各式的未知数x： (1) (2) 30．解方程：． 学科网（北京）股份有限公司 $