14.1平方根（题型专练）数学冀教版2024八年级上册

14.1平方根 （9大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 平方根概念理解 题型二 求一个数的平方根 题型三 求代数式的平方根 题型四 已知一个数的平方根，求这个数 题型五 由平方根的概念解方程 题型六 求一个数的算术平方根 题型七 由算术平方根的非负性求值 题型八 平方根或算术平方根的应用 题型九 平方根与算术平方根的综合 能力提升题 题型一 算术平方根的规律探究 题型二 平方根中的错题复原题型 题型三 平方根中的新定义题型 题型一 平方根概念理解 1．下列命题中正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．16的负的平方根是 C．任何数的平方根都是正数 D．任何数的算术平方根都是正数 【答案】B 【分析】根据平方根，算术平方根解答即可． 本题考查了平方根，算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 4的平方根是，错误，不符合题意； B. 16的负的平方根是，正确，符合题意； C. 0的平方根是0，错误，不符合题意； D. 0的算术平方根是0，错误，不符合题意； 故选：B． 2．下列式子中表示“9的平方根是”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根的定义及表示方法，解题的关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 即一个非负数的平方根为，据此即可判断． 【详解】解：“9的平方根是”可表示为：， 故选：B． 3．下列各数中，没有平方根的是（   ） A．1 B． C．0 D．7 【答案】B 【分析】本题考查平方根的性质，根据平方根的定义，负数没有平方根，非负数（0和正数）才有平方根即可得出答案． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴四个选项中只有没有平方根； 故选：B． 4．若代数式没有平方根，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方根的定义；根据负数没有平方根得到，计算即可求出． 【详解】解：∵代数式没有平方根， ∴， 解得：； 故选：A． 5．下列各数中，不一定有平方根的是(　　　) A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1 【答案】D 【分析】根据平方根的性质解答即可. 【详解】A、∵x2＋1>0，∴该数有平方根； B、∵|x|＋2>0，∴该数有平方根； C、>0，∴该数有平方根； D、∵，∴|a|－1不一定大于0，故该数不一定有平方根； 故选：D. 【点睛】此题考查了平方根的性质：正数有两个平方根，0有一个平方根是0，负数没有平方根，正确掌握实数的大小估算确定其为正数、负数或是0是解题的关键. 6．下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由． (1)0.36； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)没有平方根，理由见解析 (3)； 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义进行解题． （1）根据正数有两个平方根可得答案； （2）根据负数没有平方根可得答案； （3）根据正数有两个平方根可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴0.36有平方根，平方根为； （2）没有平方根，理由如下： ∵没有实数的平方等于， ∴没有平方根； （3）∵， ∴有平方根，平方根为． 7．已知一个正实数a的两个平方根分别是x和． (1)若，求a的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据平方根求原数，平方根的概念，熟知平方根的相关知识是解题的关键． （1）对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，则，即，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正实数a的两个平方根分别是x和，且， ∴； （2）解：∵一个正实数a的两个平方根分别是x和， ∴，即， ∴． 题型二 求一个数的平方根 8．的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，熟记平方根的定义：如果，那么叫做的平方根是解题的关键．根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 故选：C． 9．的平方根是（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查了求算术平方根和平方根， 先计算的值，再求其平方根．注意区分算术平方根与平方根的概念． 【详解】的平方根是． 故选：C． 10．直接写出下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)； (4)11； (5)361； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方根的性质是解题关键． （1）根据求解即可得； （2）根据求解即可得； （3）根据求解即可得； （4）根据求解即可得； （5）根据求解即可得； （6）根据，求解即可得； （7）根据求解即可得； （8）根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴81的平方根是． （2）解：∵， ∴的平方根是． （3）解：∵， ∴的平方根是． （4）解：∵， ∴的平方根是． （5）解：∵， ∴361的平方根是． （6）解：∵，， ∴的平方根是． （7）解：∵， ∴的平方根是． （8）解：∵， ∴的平方根是． 11．求下列各数的平方根： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）结合一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，进行作答即可． （2）结合一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，进行作答即可． （3）结合一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的平方根是，即． （2）解：∵， ∴的平方根是，即． （3）解：∵， ∴的平方根是，即． 12．若一个数的平方是，则这个数可能是什么？ 【答案】或 【分析】本题考查的是有理数的乘方，设这个数是x，再根据乘方的法则求出x的值即可． 【详解】解：设这个数是x，则， 解得． 故答案为：或． 13．已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根为 【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键； （1）根据题意易得，然后进行求解即可； （2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴4的平方根为， 即的平方根为． 题型三 求代数式的平方根 14．已知，则的平方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查绝对值的非负性，偶次方的非负性，求一个数的平方根，先根据非负性求出a，b的值，代入求出，即可得平方根 【详解】解：因为，而， 所以， 所以且． 所以， 所以8的平方根是， 故选A． 15．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 16．若和的和是单项式，则的平方根是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的定义、合并同类项和平方根．根据单项式的和是单项式，可得已知的两个单项式为同类项，根据同类项的字母相同且相同字母的指数也相同，可得、的值，再代入计算平方根即可． 【详解】解：和的和是单项式， ，， ， 的平方根是． 故选：D ． 17．已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式2a+b的平方根． 【答案】代数式2a+b的平方根是． 【分析】由已知解方程组，解得，将代入中，得，即可求解． 【详解】解：方程组的解和的解相同， 与的解相同， ， ①得，③， ②得，④， ③④得，， 将代入①得，， 方程组的解为， 将代入中，得， 的平方根为． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解同解二元一次方程组的含义，将所给方程组重新组合新的方程组，灵活运用加减消元法和代入消元法求方程组的解是解题的关键，也考查了平方根的性质． 18．（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 【答案】（1），    （2） 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）根据平方根的定义可得，求得的值，进而求得和x； （2）根据被开方数为非负数，可得，求得的值，代入求得的平方根即可． 【详解】解：（1）， 解得， 则， ； （2）， ， ， 则的平方根是． 题型四 已知一个数的平方根，求这个数 19．若一个数的平方根是它本身，则这个数是（    ） A．，0或1 B．0 C．或1 D．0或1 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的概念，注意一个正数的平方根有两个．根据平方根的概念求解即可 【详解】解：若一个数的平方根等于它的本身，则这个数是0， 故选：B． 20．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（    ） A．1 B．4 C．9 D．25 【答案】A 【分析】本题考查平方根的性质，利用性质列方程是解题关键 先根据平方根的性质得出两个平方根互为相反数，再列方程计算，根据平方根的平方是被开方数得出这个正数 【详解】解：由题意可知： 解得： ∴这个正数的两个平方根分别是， ∴这个正数是1 故选：A 21．若和是同一个数的两个不同的平方根，则的值为（　　） A． B．5 C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，同一正数的两个不同平方根互为相反数，故两式之和为0列方程计算即可． 【详解】解：∵和是同一个数的两个不同的平方根， ∴ 解得： 故选B． 22．如果一个正数的正的平方根是，且的平方根是． (1)求的值； (2)求这个正数的值及的平方根． 【答案】(1) (2)，的平方根是 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义． （1）由题意得：，求出，进而得到，推出即可求解； （2）根据求出的值，再根据平方根的定义即可求的平方根． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ， ； （2）， 的平方根是， ，的平方根是． 题型五 由平方根的概念解方程 23．若，则的值为（　　） A． B．0 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根，关键是掌握 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 根据平方根的性质求解即可． 【详解】∵ ∴． 故选：D． 24．已知，则x的值为（   ） A．4 B．2或 C．或4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，根据平方根定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 故选：C． 25．若方程的解分别为a，b，且，下列说法正确的是（   ） A．5的平方根是 B．5的平方根是 C．5的算术平方根是 D．5的算术平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键．根据题意，求出，，再依次进行判断即可． 【详解】解：∵方程的解分别为a，b，且， ∴，， ∴5的平方根是，故A，B错误，5的算术平方根是，故C正确，D错误． 故选：C． 26．求下列各式的值： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了利用平方根的概念解方程，熟练掌握平方根定义，是解题的关键． （1）先移项，然后方程两边同除以3，再开平方即可； （2）方程两边同时开平方，然后求出x的值即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 开平方得：； （2）解：， 开平方得：， 解得：，． 27．求下列各式中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键． （1）根据可得，由此即可得； （2）根据可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， ， 或． （2）解：， ， ， 或． 28．已知一个正数的两个平方根是与． (1)求这个正数的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1)9 (2)或 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，求平方根的方法解方程，熟知平方根的定义是解题的关键． （1）一个正数的两个平方根互为相反数，则，解方程求出a的值即可得到答案； （2）根据（1）所求先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以4后开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是与， ∴， ∴， ∴， ∴这个正数的值为9； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或． 题型六 求一个数的算术平方根 29．下列说法正确的是（    ） A．0.1是0.01的算术平方根 B．0.6是3.6的算术平方根 C．3是的算术平方根 D．是的算术平方根 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义，是解题的关键，根据算术平方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、0.1是0.01的算术平方根，正确，符合题意； B、，故0.6不是3.6的算术平方根，原说法错误，不符合题意； C、的算术平方根是，原说法错误，不符合题意； D、的算术平方根是2，原说法错误，不符合题意； 故选A． 30．“16的算术平方根是4”用式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：“16的算术平方根是4”用式子表示为， 故选：C． 31．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根和平方根的性质； 根据算术平方根和平方根的性质逐项判断即可． 【详解】解：A.，原选项错误； B.，原选项错误； C.，原选项错误； D.，正确； 故选：D． 32．下列语句写成数学式子正确的是（   ） A．9是81的算术平方根： B．5是的算术平方根： C．是36的平方根： D．2是4的负的平方根： 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根和平方根的概念，解题的关键是熟练掌握算术平方根和平方根的概念． 根据定义判断各选项的数学表达式是否正确即可． 【详解】解：A. 9是81的算术平方根，应表示为，而，原式错误，故不符合题意； B. ，5是25的算术平方根，，正确，故符合题意； C. 是36的平方根，应表示为，原式错误（仅表示算术平方根6），故不符合题意； D. 2是4的负的平方根：，原式错误，故不符合题意； 故选：B． 33．下列说法中，正确的个数是（   ） ①；②；③的平方根是；④的算术平方根是；⑤是的平方根 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，根据相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解： ，故①错误； ，故②错误； ，负数无实数平方根，故③错误； ，其算术平方根为，而非，故④错误； ，平方根为，故⑤正确； 故选：A 34．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0.05 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． （1）根据算术平方根的概念即可求解； （2）根据算术平方根的概念即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型七 由算术平方根的非负性求值 35．已知，那么（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 先根据非负数的性质可得，求出，再代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 故选B. 36．已知，则的值为（   ） A．0 B．2025 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式和绝对值的非负性，熟练掌握二次根式和绝对值的非负性是解题的关键． 根据得，，求出、的值，再代入求解即可． 【详解】解：，，且 ，， ，， ，， ． 故选：D． 37．已知：，则的值为（    ） A．0 B．4 C．12 D．16 【答案】C 【分析】此题考查了算术平方根非负数的性质，代数式求值， 根据算术平方根非负数的性质，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0．由此可解出x和y的值，再代入计算． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 38．已知正数a的两个平方根分别是和，与互为相反数，求的值． 【答案】15 【分析】本题考查了平方根，算术平方根的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据正数a的两个平方根分别是和得到，求出x，即可得到，根据相反数的定义结合算术平方根的非负性，求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵正数a的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴， ∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根由意义的条件可得，，即可得到，进而可得； （）把的值代入中求出的值，进而可求出它的平方根； 本题考查了算术平方根、平方根，掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 40．若x，y为实数，且，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了利用算术平方根的非负性解题，求一个数的平方根，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合有意义，得出，求出，再结合，得出，故，即可求出的平方根． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 即的平方根是． 题型八 平方根或算术平方根的应用 41．下列关于的描述正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．8的平方根 C．体积为8的正方体的棱长 D．面积为8的正方形的边长 【答案】D 【分析】本题考查平方根、有理数及几何应用．需逐一分析选项，结合相关定义和公式判断正误即可． 【详解】解：A.化简为，而是无理数，故也是无理数，不是有理数，A错误； B.8的平方根是，但仅表示算术平方根（正根），B未明确“平方根”包含正负，描述不准确，B错误； C.正方体体积公式为，解得棱长，而，C错误； D.正方形面积公式为，解得边长，D正确； 故选：D． 42．电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流I的值是（    ） A．3 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的应用．求将已知数据代入公式，解方程即可求出电流的值． 【详解】解：已知，，，代入公式得：， 化简得：， ∴； 因此，电流的值为， 故选A． 43．如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间（单位：）与钟摆的长度（单位：）之间满足．当一台摆钟的钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是（    ）（取3，取） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，把代入代数式，计算即可． 【详解】解：当时，． 答：当钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是． 故选：D． 44．在做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为，小华将铁块从溢水杯中拿出来后，量得溢水杯的水位下降了，则溢水杯内部的底面半径为（取3）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的应用，弄清题意是解本题的关键．由圆柱的体积公式求出底面半径即可． 【详解】解：设溢水杯内部的底面半径为， 根据题意得：， 即 解得：或（舍）， 答：溢水杯内部的底面半径约为． 故选：D． 45．在美丽乡村建设中，梁子湖区某村湾准备开发一块长为35m，宽为22m的长方形空地．现要在空地上修建一个长是宽的1.8倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间．这个篮球场能用作比赛场地吗？并说明理由． 【答案】符合，见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 设修建的这个篮球场的宽为，则长为，根据长方形的面积公式求出长与宽，再作出判断即可得到答案． 【详解】解：∵要在空地上修建一个长是宽的1.8倍，面积为的篮球场， ∴设修建的这个篮球场的宽为，则长为， 由题意，得， 解得（取正值）， ∴， ∵比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间． ∴这个篮球场符合比赛要求． 46．小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为．但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？ 【答案】不能同意小明的说法，小丽能用这块纸片裁出想要的纸片 【分析】本题考查了算术平方根的应用、利用平方根解方程，理解题意正确列出算式是解题的关键．当面积大的纸片的长小于面积小的纸片的长，则面积大的纸片不能裁出面积小的纸片，故不能同意小明的说法；设长方形纸片的长为，则宽为，根据题意列出方程，求出的值，再比较长方形纸片的长、宽与正方形纸片的边长的大小，即可得出结论． 【详解】解：当面积大的纸片的长小于面积小的纸片的长，则面积大的纸片不能裁出面积小的纸片， ∴不能同意小明的说法； 设长方形纸片的长为，则宽为， 由题意得，， 整理得：， 解得：（负值已舍去）， ∴长方形纸片的长为，宽为， ∵面积为的正方形纸片， ∴正方形纸片的边长为， ∵，， ∴小丽能用这块纸片裁出想要的纸片． ∴综上所述，不能同意小明的说法，小丽能用这块纸片裁出想要的纸片． 题型九 平方根与算术平方根的综合 47．已知的平方根是是最大的负整数． (1)求与的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，平方根、立方根、算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题意得出利用平方根及负数的基本性质即可求解； （2）把（1）中结果代入，再求其的算术平方根，即可作答． 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得； 是最大的负整数． ， 解得． （2）， ， 的算术平方根为． 48．设x是的算术平方根，y是的平方根，求的值． 【答案】的值为或1 【分析】本题考查了算术平方根和平方根的定义； 先根据算术平方根和平方根的定义求出x，y，再进一步计算即可． 【详解】解：∵，，x是的算术平方根，y是的平方根， ∴， ∴或， 即的值为或1． 49．已知的平方根是，的算术平方根是2，求的值． 【答案】 【分析】由“的平方根是，的算术平方根是2”可得，，解方程即可求出、的值，然后将其代入求值即可． 【详解】解：的平方根是，的算术平方根是2， ，， 解得：，， ． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义，算术平方根的定义，解一元一次方程，代数式求值等知识点，熟练掌握平方根的定义及算术平方根的定义是解题的关键． 50．已知的平方根为，的算术平方根为7． (1)求a、b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根，熟练掌握平方根、算术平方根的定义是解此题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义即可得出a、b的值； （2）先求出的值，再求出算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为，的算术平方根为7， ∴，， ∴，； （2）解：， ∴的算术平方根为． 51．已知的平方根为它本身，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，列式得，，再算出，的值，即可作答． （2）由（1）得，即，故得出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的平方根为它本身，的算术平方根是3． ∴， ∴； （2）解：由（1）得， 故， ∴的平方根为． 52．已知2a﹣1的平方根是±，3a﹣2b﹣1的平方根是±3．求：5a﹣3b的平方根． 【答案】±4 【详解】试题分析：根据题意列出2a﹣1等于3，从而求出a的值，3a﹣2b﹣1=9，从而求出b的值，最后代入5a﹣3b即可求出答案． 试题解析：解：由题意可知：2a﹣1=3，3a﹣2b﹣1=9，∴解得：a=2，b=﹣2，∴5a﹣3b=10+6=16 ∴16的平方根为±4． 点睛：本题考查算术平方根，解题的关键是根据题意求出a与b的值，本题属于基础题型． 53．k为正整数，已知关于x，y的二元一次方程组 有整数解，求2k+x+y的平方根． 【答案】±3 【详解】①+② 得  （3+）=10   = ∵为正整数，∴3+=±1,±2,±5,±10 ∴为7或2 当=2时，==2  ==3 当=7时，=1 =  （舍） ∴±=±3 ． 题型一 算术平方根的规律探究 54．以下是一组按规律排列的单项式：其中第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式规律探索、算术平方根，通过已知式子分析得出单项式系数及次数的变化规律，即可求解． 【详解】解：该组单项式可变形为： 因此第n个单项式的系数为，次数为n， 故第n个单项式是， 故选：B． 55．已知，，则（   ） A．14.36 B．143.6 C．45.4 D．454 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的运算，由即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 56．嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 题型二 平方根中的错题复原题型 57．我们经常会听到有人惊叹年轻时尚的妈妈与女儿像同龄人，一位同学声称可以证明母女年龄“的确”会相同，并证明如下： 设母亲的年龄为，女儿的年龄为，母女年龄之和为，则：， 两边同乘，得，① 移项，得， 两边加上，得，② 即，③ 两边开方，得，④ 即，母女年龄相同， 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质、完全平方公式、平方根，熟知一个正数的平方根有两个，且互为相反数是解答的关键．根据等式的性质、完全平方公式和平方根的定义逐步判断即可得到答案． 【详解】解：根据平方根的定义，第④步出现错误，应为或， 即或， 故选：D． 58．数学课上，李老师给大家留了一个题作为课后作业：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 以下是乐乐的解题过程： 解：因为一个数的算术平方根为，平方根为． 所以或． ①当时，解得， 所以，所以这个数为16； ②当时，解得， 所以，所以这个数为． 综上所述，这个数为16或． 李老师检查完作业发现乐乐的答案错了，你知道哪里错了吗？请帮他写出正确的解题过程． 【答案】乐乐的错误在于没有考虑算术平方根的非负性，当时，这个数的算术平方根为，不符合算术平方根为非负数的定义，应舍去；正确过程见解析 【分析】本题考查了算术平方根及平方根，一元一次方程，正确理解算术平方根的意义是解题的关键，根据算术平方根及平方根的意义求解即可得解． 【详解】解：乐乐的错误在于没有考虑算术平方根的非负性，当时，这个数的算术平方根为，不符合算术平方根为非负数的定义，应舍去；正确的解题过程如下： 因为一个数的算术平方根为，平方根为， 所以或． ①当时，解得， 所以，不符合题意，舍去； ②当时，解得， 所以，所以这个数为． 综上所述，这个数为． 59．老师给同学们布置了这样一道练习题：一个数的算术平方根为，它的平方根为，求这个数．小张的解法如下： 解：依据题意可知：是和两个数中的一个． 当时，解得 ………………………………………………① 这个数是…………………………………………………………② 当时，解得 ……………………………………………③ 这个数是………………………………………………………④ 综上可得：这个数为或． (1)王老师看后说小张的解法是错误的，请你指出以上序号标注的步骤中错误的有：__________（填写序号）； (2)请你帮助小张写出正确过程． 【答案】(1)②③④ (2)见解析 【分析】（1）根据平方根，算术平方根与原数的关系解答即可； （2）根据平方根，算术平方根得定义解答即可． 本题考查了平方根，算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，不难发现②③④都是错误的， 故答案为：②③④． （2）解：依据题意可知： 是和两个数中的一个，              当时，解得， ，     这个数为； 当时，解得：，      （不合题意，舍去）；         综上可得：这个数为． 60．在学习平方根这一课后，小明同学提出了一个有趣的问题：一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．小明的解答过程如下： 解：一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个数为16或4． 请判断小明的解答正确吗？如果正确，请把小明的过程抄写一遍；如果不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确，正确过程见解析 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的概念，正确理解平方根与算术平方根的概念是解题的关键．错误的在第②部分，求出后，将x的值代入得，不符合算术平方根的概念，应舍去． 【详解】解：不正确． 一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ， 这个数为16； ②当时，解得， 当时，，舍去； 综上所述，这个数为16． 61．阅读下列材料，完成后面任务： 问题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 解：根据题意，得或……………………………第一步 解得或………………………………第二步 当时，，所以这个数是9………………………第三步 当时，，所以这个数是1…………………第四步 综上所述，这个数是9或1…………………………第五步 任务： (1)上述解法是错误的，错在第___________步； (2)请写出本题正确的解题过程． 【答案】(1)四 (2)这个数是9，过程见解析 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握二者的定义是解答本题的关键．如果一个数x的平方等于a，即，x叫做a的平方根；如果一个正数x的平方等于a，即，那么x叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0． （1）根据平方根和算术平方根的定义分析即可； （2）根据平方根和算术平方根的定义写出正确的过程即可． 【详解】（1）解：∵当时，，不符合算术平方根的定义，舍去， ∴第四步错误． 故答案为：四； （2）解：根据题意，得或， 解得或， 当时，，所以这个数是9， 当时，，不符合算术平方根的定义，舍去． 综上所述，这个数是9． 题型三 平方根中的新定义题型 62．对于x、y，规定一种运算：，其中a、b为常数，已知，，则的平方根是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，平方根；由题中所给新定义运算可得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴，4的平方根是， ∴的平方根是； 故选：B． 63．现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新运算，平方根的应用，理解新运算是关键；由规定的新运算得：，整理后用平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 即， ∴； 故选：C． 64．中国清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．请解决下面问题： 已知一个正数的平方根是和， (1)求这个正数； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)16 (2)2 【分析】此题考查了平方根和算术平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的意义是解题的关键． （1）根据平方根的意义得到，求出即可求出答案； （2）把代入求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，得． 解得． ∴． ∴这个正数是． （2）当时，． ∵ ∴的算术平方根是2． 65．已知实数与互为相反数，y的算术平方根是14，z的绝对值为，且m和n互为倒数，求的平方根． 【答案】 【分析】根据二次根式的非负性和相反数的意义求出x，根据算术平方根的性质求出y，根据绝对值的性质求出z，根据相反数的意义求出mn，然后都代入计算出结果即可． 【详解】∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵y的算术平方根为14， ∴， ∵z的绝对值为， ∴， ∴， ∵m，n互为倒数， ∴， ∴原式， ∴． ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，相反数，绝对值，倒数的性质，算术平方根和平方根的性质．注意算术平方根和平方根的区别：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根．掌握以上知识是解题的关键． 66．先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； 故根据规律可猜测第五个等式为； 故答案为：． （2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）根据规律可化简 ． 67．（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 【答案】（1），；（2）两，向左（或右），一；（3）；（4）①时：；②或时：；③时： 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； （4）分或三种情况作答即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 故答案为：两，向左（或右），一； （3）， ， ． （4）由表格可知，①时：，则； ②或时：； ③时：，则． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.1平方根 （9大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 平方根概念理解 题型二 求一个数的平方根 题型三 求代数式的平方根 题型四 已知一个数的平方根，求这个数 题型五 由平方根的概念解方程 题型六 求一个数的算术平方根 题型七 由算术平方根的非负性求值 题型八 平方根或算术平方根的应用 题型九 平方根与算术平方根的综合 能力提升题 题型一 算术平方根的规律探究 题型二 平方根中的错题复原题型 题型三 平方根中的新定义题型 题型一 平方根概念理解 1．下列命题中正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．16的负的平方根是 C．任何数的平方根都是正数 D．任何数的算术平方根都是正数 2．下列式子中表示“9的平方根是”的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各数中，没有平方根的是（   ） A．1 B． C．0 D．7 4．若代数式没有平方根，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．下列各数中，不一定有平方根的是(　　　) A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1 6．下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由． (1)0.36； (2)； (3)． 7．已知一个正实数a的两个平方根分别是x和． (1)若，求a的值． (2)求代数式的值． 题型二 求一个数的平方根 8．的平方根是（　　） A． B． C． D． 9．的平方根是（   ） A．4 B． C． D．2 10．直接写出下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)； (4)11； (5)361； (6)； (7)； (8)． 11．求下列各数的平方根： (1)． (2)． (3)． 12．若一个数的平方是，则这个数可能是什么？ 13．已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 题型三 求代数式的平方根 14．已知，则的平方根是（   ） A． B． C． D．2 15．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 16．若和的和是单项式，则的平方根是（   ） A．8 B． C． D． 17．已知关于x、y的方程组的解和的解相同，求代数式2a+b的平方根． 18．（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 题型四 已知一个数的平方根，求这个数 19．若一个数的平方根是它本身，则这个数是（    ） A．，0或1 B．0 C．或1 D．0或1 20．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（    ） A．1 B．4 C．9 D．25 21．若和是同一个数的两个不同的平方根，则的值为（　　） A． B．5 C． D．7 22．如果一个正数的正的平方根是，且的平方根是． (1)求的值； (2)求这个正数的值及的平方根． 题型五 由平方根的概念解方程 23．若，则的值为（　　） A． B．0 C．4 D． 24．已知，则x的值为（   ） A．4 B．2或 C．或4 D． 25．若方程的解分别为a，b，且，下列说法正确的是（   ） A．5的平方根是 B．5的平方根是 C．5的算术平方根是 D．5的算术平方根是 26．求下列各式的值： (1)． (2)． 27．求下列各式中x的值： (1)； (2) 28．已知一个正数的两个平方根是与． (1)求这个正数的值； (2)求关于的方程的解． 题型六 求一个数的算术平方根 29．下列说法正确的是（    ） A．0.1是0.01的算术平方根 B．0.6是3.6的算术平方根 C．3是的算术平方根 D．是的算术平方根 30．“16的算术平方根是4”用式子表示为（   ） A． B． C． D． 31．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 32．下列语句写成数学式子正确的是（   ） A．9是81的算术平方根： B．5是的算术平方根： C．是36的平方根： D．2是4的负的平方根： 33．下列说法中，正确的个数是（   ） ①；②；③的平方根是；④的算术平方根是；⑤是的平方根 A．1 B．2 C．3 D．4 34．计算： (1)； (2)． 题型七 由算术平方根的非负性求值 35．已知，那么（    ） A． B． C．6 D．8 36．已知，则的值为（   ） A．0 B．2025 C． D．1 37．已知：，则的值为（    ） A．0 B．4 C．12 D．16 38．已知正数a的两个平方根分别是和，与互为相反数，求的值． 39．已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 40．若x，y为实数，且，求的平方根． 题型八 平方根或算术平方根的应用 41．下列关于的描述正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．8的平方根 C．体积为8的正方体的棱长 D．面积为8的正方形的边长 42．电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流I的值是（    ） A．3 B．9 C． D． 43．如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间（单位：）与钟摆的长度（单位：）之间满足．当一台摆钟的钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是（    ）（取3，取） A． B． C． D． 44．在做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为，小华将铁块从溢水杯中拿出来后，量得溢水杯的水位下降了，则溢水杯内部的底面半径为（取3）（    ） A． B． C． D． 45．在美丽乡村建设中，梁子湖区某村湾准备开发一块长为35m，宽为22m的长方形空地．现要在空地上修建一个长是宽的1.8倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间．这个篮球场能用作比赛场地吗？并说明理由． 46．小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为．但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？ 题型九 平方根与算术平方根的综合 47．已知的平方根是是最大的负整数． (1)求与的值； (2)求的算术平方根． 48．设x是的算术平方根，y是的平方根，求的值．． 49．已知的平方根是，的算术平方根是2，求的值． 50．已知的平方根为，的算术平方根为7． (1)求a、b的值； (2)求的算术平方根． 51．已知的平方根为它本身，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 52．已知2a﹣1的平方根是±，3a﹣2b﹣1的平方根是±3．求：5a﹣3b的平方根． 【答案】±4 【详解】试题分析：根据题意列出2a﹣1等于3，从而求出a的值，3a﹣2b﹣1=9，从而求出b的值，最后代入5a﹣3b即可求出答案． 试题解析：解：由题意可知：2a﹣1=3，3a﹣2b﹣1=9，∴解得：a=2，b=﹣2，∴5a﹣3b=10+6=16 ∴16的平方根为±4． 点睛：本题考查算术平方根，解题的关键是根据题意求出a与b的值，本题属于基础题型． 53．k为正整数，已知关于x，y的二元一次方程组 有整数解，求2k+x+y的平方根． ． 题型一 算术平方根的规律探究 54．以下是一组按规律排列的单项式：其中第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 55．已知，，则（   ） A．14.36 B．143.6 C．45.4 D．454 56．嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 题型二 平方根中的错题复原题型 57．我们经常会听到有人惊叹年轻时尚的妈妈与女儿像同龄人，一位同学声称可以证明母女年龄“的确”会相同，并证明如下： 设母亲的年龄为，女儿的年龄为，母女年龄之和为，则：， 两边同乘，得，① 移项，得， 两边加上，得，② 即，③ 两边开方，得，④ 即，母女年龄相同， 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 58．数学课上，李老师给大家留了一个题作为课后作业：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 以下是乐乐的解题过程： 解：因为一个数的算术平方根为，平方根为． 所以或． ①当时，解得， 所以，所以这个数为16； ②当时，解得， 所以，所以这个数为． 综上所述，这个数为16或． 李老师检查完作业发现乐乐的答案错了，你知道哪里错了吗？请帮他写出正确的解题过程． 59．老师给同学们布置了这样一道练习题：一个数的算术平方根为，它的平方根为，求这个数．小张的解法如下： 解：依据题意可知：是和两个数中的一个． 当时，解得 ………………………………………………① 这个数是…………………………………………………………② 当时，解得 ……………………………………………③ 这个数是………………………………………………………④ 综上可得：这个数为或． (1)王老师看后说小张的解法是错误的，请你指出以上序号标注的步骤中错误的有：__________（填写序号）； (2)请你帮助小张写出正确过程． 60．在学习平方根这一课后，小明同学提出了一个有趣的问题：一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．小明的解答过程如下： 解：一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个数为16或4． 请判断小明的解答正确吗？如果正确，请把小明的过程抄写一遍；如果不正确，请写出正确的解答过程． 61．阅读下列材料，完成后面任务： 问题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 解：根据题意，得或……………………………第一步 解得或………………………………第二步 当时，，所以这个数是9………………………第三步 当时，，所以这个数是1…………………第四步 综上所述，这个数是9或1…………………………第五步 任务： (1)上述解法是错误的，错在第___________步； (2)请写出本题正确的解题过程． 题型三 平方根中的新定义题型 62．对于x、y，规定一种运算：，其中a、b为常数，已知，，则的平方根是（　　） A．2 B． C． D． 63．现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（    ） A． B． C． D． 64．中国清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．请解决下面问题： 已知一个正数的平方根是和， (1)求这个正数； (2)求的算术平方根． 65．已知实数与互为相反数，y的算术平方根是14，z的绝对值为，且m和n互为倒数，求的平方根． 66．先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 67．（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $$