13.3全等三角形的判定 讲义 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦全等三角形判定核心知识点，系统梳理SSS、SAS、ASA、AAS、HL五大判定定理，结合全等三角形性质形成知识脉络。通过定理定义、数学表达式及注意事项构建学习支架，配套分类型练习题实现从基础应用到综合探究的递进。 资料亮点在于融入现实情境题目，如工人用角尺平分角等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。分类型分层练习设计，助力学生通过推理意识掌握判定方法，规范的数学语言表达提升几何直观。含思维导图辅助知识梳理，课中便于教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺强化应用。

13.3全等三角形的判定 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 边边边（SSS）判定定理 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“SSS”。 数学表达式：在和中，若，，，则（SSS）。 2. 边角边（SAS）判定定理 如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“SAS”。 数学表达式：在和中，若，，，则（SAS）。 注意：必须是两边的“夹角”对应相等，而非“对角”。 3. 角边角（ASA）判定定理 如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“ASA”。 数学表达式：在和中，若，，，则（ASA）。 4. 角角边（AAS）判定定理 如果两个三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“AAS”。 数学表达式：在和中，若，，，则（AAS）。 5. 斜边、直角边（HL）判定定理 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为“HL”。 数学表达式：在和中，，若（斜边），（直角边），则（HL）。 6. 全等三角形判定的注意事项 · 判定两个三角形全等至少需要三组对应元素（边或角）。 · “SSA”和“AAA”不能作为全等三角形的判定方法（“SSA”中角不是两边夹角时不成立；“AAA”只能判定三角形相似）。 · 直角三角形全等的判定可优先考虑“HL”，也可使用一般三角形的判定方法（如SAS、ASA等）。 型 习 练 题 SSS和全等的性质综合 1．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的道理是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 由三边相等得，即由判定三角形全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证． 【详解】解：由图可知，， ∵，， ∴， ∴， 即即是的平分线． 故选：B． 2．如图，四边形是一个平分角的简单仪器，其中．将放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则根据可以得出是的平分线．在这个过程中，的根据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理：、、、、．根据题目所给条件可利用定理判定，进而得到． 【详解】解：在和中， ， ， ， 就是的平分线． 故选：． 3．如图，点、、三点在同一直线上，且；若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质．利用可证明，从而得到，，再利用三角形外角性质即可求出最后结果． 【详解】解：在与中， ， ， ，， ∵， ， ， 故选：B． 4．如图，在四边形中，对角线相交于点．若，则的度数为（ ） A．60° B．65° C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，先证，得出，再根据三角形外角的性质求的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选A． 5．如图，有一个简易平分角的仪器，其中，将点放在角的顶点处，和沿着角的两边张开，沿对角线画线，就是的平分线．这个平分角的仪器的制作原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键；由题意易证，则有，进而问题可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴，即是的平分线； 故选：D． SAS和全等的性质综合 6．如图，已知且，，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定方法．由平行线的性质，得到，再证明，利用证明即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴； 故选：C． 7．如图，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握三角形的内角和定理和外角的性质相结合是本题的关键． 由题意可证，则，再根据三角形内角和定理和外角的性质进行求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选D． 8．如图，P，Q分别为射线，上的动点，，且，已知，，，当的长度为（    ）时，． A．5 B．7 C．12 D．17 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 要使，需要当时，计算得出． 【详解】解：，且 当时， 在和中， 、 ． 故选：B． 9．如图，在由大小相同的小正方形组成的的网格中，都是该网格的格点，连接，则下列关于与的关系中正确的是（    ） A．小于 B．小于 C．等于 D．与互补 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由网格可知，，，所以，然后通过全等三角形的性质即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 由网格可知，，，， ∴， ∴， 故选：． 10．如图所示，，，，，，则（  ） A． B． C． D．无法计算 【答案】B 【分析】此题考查全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角性质．先由，就可以得出，就可以得出，就可以得出，就可以由三角形的外角与内角的关系求出结论． 【详解】解：， ， ． 在和中， ， ， ． ． ． 故选：B． ASA(AAS)和全等的性质综合 11．如图，，，若，，则的长是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．证明，得到，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 12．如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识． 由于，于，得，由，，得，而，即可根据“”证明，进一步即可得出结论． 【详解】解：∵于，于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 13．如图，已知，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图得，由条件得，利用等式的性质得，结合可证；由三角形全等的性质得，则，代入数据计算即可． 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握两角及对边对应相等，三角形全等是解题的关键． 【详解】解：， ， 在与中， ， ， ， ， ． 故选：B． 14．如图，由，，可得，使用的判定定理是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 直接根据证明即可． 【详解】在和中， ， ． 故选：C． 15．如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则的面积为（   ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形． 延长相交于点F，证明，可得，再证明，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，延长相交于点F， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：B 添加全等使三角形全等 16．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理．根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，，不可利用证明，故此选项符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：A． 17．如图，，，添加下列条件，不能判定的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键， 首先得到，然后根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即 A．添加条件，可以根据证明，故A不符合题意； B．添加条件，不可以根据证明，故B符合题意； C．添加条件，可以根据证明，故C不符合题意； D．添加条件，可以根据证明，故D不符合题意； 故选：B． 18．在与中，，，则添加下列选项中的条件仍不一定能证得这两个三角形全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等．已知一组边和一组角，添加条件后判断是否满足，或即可． 【详解】解：A．添加后，结合已知，满足，能判定全等； B．添加后，结合已知，满足，不能判定全等； C．添加后，结合已知，满足，能判定全等； D．添加后，结合已知，满足，能判定全等； 故选：B． 19．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，，，∴，故选项A不符合题意； B、∵，∴，故选项B不符合题意； C、∵，∴，故选项C不符合题意； D、∵，∴不能判定，故选项D符合题意； 故选：D． 20．如图，已知点，，，在同一条直线上，，，要使，需添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．根据全等三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A．添加，则，结合，，可根据证明，故符合题意； B．添加，则，结合，，根据无法证明，故不符合题意； C．添加，结合，，根据无法证明，故不符合题意； D．添加，结合，，根据无法证明，故不符合题意； 故选：A． 全等三角形综合问题 21．如图，在方格纸中，的顶点均在格点上，利用网格线解决问题： (1)在图中找一点D，使得与全等； (2)在图中找一点O，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）取格点D，可证明，据此可证明与全等； （2）如图所示，取格点O，可证明，则． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求； （2）解：如图所示，点O即为所求； 22．如图，现给出三个关系式：①，②，③．请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，真命题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，则如果，那么；或如果，那么．进行证明，即可作答． 【详解】解：真命题：如果，那么． 证明：（已知）， （等角的补角相等）． 在和中， ， （全等三角形的对应角相等）； 或真命题：如果，那么． 证明：（已知）， （等角的补角相等）． 在和中， ， （全等三角形的对应边相等）； 23．如图1，在中，分别是的平分线，相交于点F． (1)请判断与之间的数量关系，并加以证明． (2)如图2，在中，如果，其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． （1）在上截取，连接，先证，得，再证，得，即可得出结论； （2）在上截取，连接，先证，得，，再证，得，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵是的平分线，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）（1）中结论仍然成立， 如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．先证明，再结合证明，即可得到结论． 【详解】解：∵和的夹角为， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：教学楼的高度为． 25．如图，已知点、、、在同一直线上，，且． (1)从图中任找出两组全等的三角形； (2)从（1）中任选一组进行证明． 【答案】(1)①；②；③ (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据题目所给条件可分析出①；②；③； （2）根据已知条件得出，进而根据，即可证明；根据平行线的性质得出，，进而得出，根据，即可证明，得出，，则，结合，即可证明． 【详解】（1）解：①；②；③ （2）选① 证明： 在和中 ②； 证明： ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中 ③ 证明：∵ ∴， ∴即 ∵ ∴ 在和中 ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3全等三角形的判定 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 边边边（SSS）判定定理 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“SSS”。 数学表达式：在和中，若，，，则（SSS）。 2. 边角边（SAS）判定定理 如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“SAS”。 数学表达式：在和中，若，，，则（SAS）。 注意：必须是两边的“夹角”对应相等，而非“对角”。 3. 角边角（ASA）判定定理 如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“ASA”。 数学表达式：在和中，若，，，则（ASA）。 4. 角角边（AAS）判定定理 如果两个三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“AAS”。 数学表达式：在和中，若，，，则（AAS）。 5. 斜边、直角边（HL）判定定理 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为“HL”。 数学表达式：在和中，，若（斜边），（直角边），则（HL）。 6. 全等三角形判定的注意事项 · 判定两个三角形全等至少需要三组对应元素（边或角）。 · “SSA”和“AAA”不能作为全等三角形的判定方法（“SSA”中角不是两边夹角时不成立；“AAA”只能判定三角形相似）。 · 直角三角形全等的判定可优先考虑“HL”，也可使用一般三角形的判定方法（如SAS、ASA等）。 型 习 练 题 SSS和全等的性质综合 1．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合，过角尺顶点的射线即是的平分线．这种作法的道理是（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是一个平分角的简单仪器，其中．将放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则根据可以得出是的平分线．在这个过程中，的根据是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点、、三点在同一直线上，且；若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，对角线相交于点．若，则的度数为（ ） A．60° B．65° C． D． 5．如图，有一个简易平分角的仪器，其中，将点放在角的顶点处，和沿着角的两边张开，沿对角线画线，就是的平分线．这个平分角的仪器的制作原理是（   ） A． B． C． D． SAS和全等的性质综合 6．如图，已知且，，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 7．如图，，则（ ） A． B． C． D． 8．如图，P，Q分别为射线，上的动点，，且，已知，，，当的长度为（    ）时，． A．5 B．7 C．12 D．17 9．如图，在由大小相同的小正方形组成的的网格中，都是该网格的格点，连接，则下列关于与的关系中正确的是（    ） A．小于 B．小于 C．等于 D．与互补 10．如图所示，，，，，，则（  ） A． B． C． D．无法计算 ASA(AAS)和全等的性质综合 11．如图，，，若，，则的长是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 12．如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．如图，已知，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 14．如图，由，，可得，使用的判定定理是（    ） A． B． C． D． 15．如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则的面积为（   ） A．8 B．16 C．24 D．32 添加全等使三角形全等 16．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（    ） A． B． C． D． 17．如图，，，添加下列条件，不能判定的是（    ）． A． B． C． D． 18．在与中，，，则添加下列选项中的条件仍不一定能证得这两个三角形全等的是（    ） A． B． C． D． 19．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A． B． C． D． 20．如图，已知点，，，在同一条直线上，，，要使，需添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 全等三角形综合问题 21．如图，在方格纸中，的顶点均在格点上，利用网格线解决问题： (1)在图中找一点D，使得与全等； (2)在图中找一点O，使得． 22．如图，现给出三个关系式：①，②，③．请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明． 23．如图1，在中，分别是的平分线，相交于点F． (1)请判断与之间的数量关系，并加以证明． (2)如图2，在中，如果，其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 24．如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度． 25．如图，已知点、、、在同一直线上，，且． (1)从图中任找出两组全等的三角形； (2)从（1）中任选一组进行证明． 学科网（北京）股份有限公司 $