13.2全等图形（题型专练）数学新教材冀教版八年级上册

13.2全等图形 （8大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 全等图形的概念 题型二 辨别全等图形 题型三 分成全等图形 题型四 全等三角形的概念 题型五 由全等三角形的性质求线段长度 题型六 由全等三角形的性质求角度 题型七 由全等三角形的性质求周长 题型八 由全等三角形的性质求面积 能力提升题 题型一 由全等三角形的性质探究线段或角度之间的数量关系 题型二 由全等三角形的性质探究线段之间的位置关系 题型一 全等图形的概念 1．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 2.下列叙述中错误的是（    ） A．能够完全重合的两个图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同 C．所有正方形都是全等图形 D．平移、翻折、旋转前后的图形全等 3.下列关于全等图形的说法：①两个正方形一定是全等图形；②所有半径相等的圆都是全等图形；③所有的长方形都是全等图形；④如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定都相同．其中，正确的是（    ） A．①② B．②③④ C．①②④ D．②④ 4．如图，四边形中，．若四边形四边形，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型二 辨别全等图形 5．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A．B． C． D． 6．下列图标中，不是由全等形组合成的是（   ） A． B． C． D． 7.下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 8．用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等腰三角形，一定可以拼成的图形是    （    ） A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3） 9.找出下列各组图中的全等图形（　　） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 10.请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是 ． 题型三 分成全等图形 11.知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．” 理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法． 请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来． 12.沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）：    13.沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    题型四 全等三角形的概念 14．下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 15．下列几种说法：全等三角形的对应边和对应角相等；面积相等的两个三角形全等；周长相等的两个三角形全等；全等的两个三角形一定重合．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 16.如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 17．如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 18．如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 19．如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为（    ）；②的对应角为（    ）；③的对应角为（    ）；④的对应边为（    ）；⑤的对应边为（    ）． 20．如图，与全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．    21．如下图，与全等．用符号“”表示这两个三角形全等．已知与是对应角，写出其余的对应角和各对对应边． 题型五 由全等三角形的性质求线段长度 22．图中的两个三角形全等，则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 23．如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，则的长为（　　） A． B．6 C． D．7 24．如图，将绕着点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点，，恰好在一条直线上，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 25．如图，，B、C、D在同一直线上，且，．求长． 26．如图，已知，，，，． (1)求的度数及的长； (2)与平行吗？说明理由． 27．如图所示，已知于 D． (1)已知，求的长． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 题型六 由全等三角形的性质求角度 28．如图，这两个三角形全等，若图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（   ） A．50° B．60° C．70° D．80° 29．如图，已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 30．如图，，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 31．已知：如图，，，，、相交于点F， (1)求的度数； (2)求的度数． 32．如图，已知，点E在上，与相交于点F，，． (1)的度数为________； (2)求的度数． 33．如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 34．如图，已知，点在上，与相交于点． (1)若，，则 ， ． (2)若． ①求的度数； ②求的度数． 题型七 由全等三角形的性质求周长 35．如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．24 B．23 C．22 D．26 36．如图，，， (1)求的度数 (2)若，，求四边形的周长 37．如图，，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和； 题型八 由全等三角形的性质求面积 38．如图，，若的面积为3，的面积为2，则的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 39．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为3，则阴影部分面积为（   ） A．30 B．27 C．24 D．21 40．如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 41．如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． ． 题型一 由全等三角形的性质探究线段或角度之间的数量关系 42．如图，，和和是对应边，和相等吗？为什么？ 43．如图，、相交于点，．求证：． 44．如图，A，D，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)请你猜想满足什么条件时，． 45．如图，A，D，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)若，求证：是等腰直角三角形； (3)在图中，你能通过平移、翻折、旋转等方式使与完全重合吗？ 题型二 由全等三角形的性质探究线段之间的位置关系 46．如图，已知，和是对应角，和是对应边，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的长． 47．如图，已知在同一直线上，试探究当时，与的位置关系，并证明． 48.如图，为线段上一点，，，判断与的关系，并证明． 49．如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 50．【操作发现】（1）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．用两种不同方法表示图2中阴影部分面积：方法1：____________，方法2：____________；（用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出，，之间的等量关系是 ； 【灵活应用】（2）运用所得到的公式计算：若，为实数，且，，求的值； 【拓展迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板，按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接AC，BD．若，，求阴影部分的面积． 51．在中，，，，，动点从点出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点停止，设运动时间为． (1)如图1，当时，___________，当时，___________（用含的式子表示）； (2)如图1，当___________s时，的周长被线段平分为相等的两部分； (3)如图1，若的面积等于面积的一半，求的值； (4)如图3，在中，，，，．如图2，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和可以完全重合，直接写出点的运动速度． 52．阅读与思考 下面是先锋小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 关于“全等四边形”的研究报告 【研究对象】全等四边形 【研究思路】类比研究全等三角形，按“概念-性质-判定-应用”的路径，利用转化和类比思想． 【概念理解】能够完全重合的两个四边形叫做全等四边形．如图1，四边形与四边形能够完全重合，它们是全等四边形，其中顶点与重合，它们是全等四边形的对应点，与重合，它们是全等四边形的对应边，与重合，它们是全等四边形的对应角． 【性质探索】类比全等三角形的性质，可以得到全等四边形的性质如下： 关于边：全等四边形的__________________； 关于角：全等四边形的__________________； 关于对角线：全等四边形的对应对角线相等． 【判定探索】根据定义，探索全等四边形的判定条件，善思小组认为连接一条对角线可以将四边形全等的问题转化为三角形全等的问题，通过三角形全等可得到两个四边形中“四条边对应相等和四个角对应相等”，进而得到两个四边形全等． 如图2，在四边形和四边形中，，则四边形四边形． 解：如图2，分别连接和． 在和中， 因为， 所以 根据“全等三角形的对应边相等，对应角相等”， …… 任务： (1)填空：材料中“性质探索”空缺的部分：_______，________． (2)补全材料中“判定探索”的推理过程 ． (3)在图2中，若，添加两个条件（不与阅读材料中相同）使得四边形四边形，你添加的条件分别是_______，__________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.2全等图形 （8大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 全等图形的概念 题型二 辨别全等图形 题型三 分成全等图形 题型四 全等三角形的概念 题型五 由全等三角形的性质求线段长度 题型六 由全等三角形的性质求角度 题型七 由全等三角形的性质求周长 题型八 由全等三角形的性质求面积 能力提升题 题型一 由全等三角形的性质探究线段或角度之间的数量关系 题型二 由全等三角形的性质探究线段之间的位置关系 题型一 全等图形的概念 1．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等图形、全等三角形的定义等知识点，掌握全等形的概念是解题的关键． 根据全等形的概念以及全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个图形不一定全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、完全重合的两个图形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个图形全等，说法错误，不符合题意； D、所有的等边三角形全等，说法错误，不符合题意． 故选：B． 2.下列叙述中错误的是（    ） A．能够完全重合的两个图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同 C．所有正方形都是全等图形 D．平移、翻折、旋转前后的图形全等 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，全等形的性质，由全等图形的性质和平移，折叠，旋转的性质依次判断可求解． 【详解】解：A、能够完全重合的两个图形称为全等形，故A选项不符合题意； B、全等形的形状和大小都相同，故B选项不符合题意； C、所有正方形不一定是全等形，故D选项符合题意； D、平移、翻折、旋转前后的图形全等，故D选项不符合题意； 故选：C． 3.下列关于全等图形的说法：①两个正方形一定是全等图形；②所有半径相等的圆都是全等图形；③所有的长方形都是全等图形；④如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定都相同．其中，正确的是（    ） A．①② B．②③④ C．①②④ D．②④ 【答案】D 【分析】要根据全等形的概念进行判定，与之相符合的是正确的． 【详解】解：①两个正方形的边长不一定相等，故不一定是全等图形，说法错误； ②所有半径相等的圆都是全等图形，说法正确； ③所有的长方形的边长不一定相等，故不一定都是全等图形，说法错误； ④如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定都相同，说法正确． 综上所述正确说法是②④，故选：D． 【点睛】本题考查了全等形的概念和特点，做题时要根据定义进行判断． 4．如图，四边形中，．若四边形四边形，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查全等多边形的性质，由全等多边形的对应边相等，得出，即可求解． 【详解】解：四边形四边形， ， ， ， 故选：B． 题型二 辨别全等图形 5．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等形的识别、利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【详解】解：解：A、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：C． 6．下列图标中，不是由全等形组合成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等图形的概念分析即可． 本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键． 【详解】解：A、该图像是由四个全等的图形构成，故该选项不符合题意； B、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意； C、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意； D、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意； 故选：C． 7.下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等图形的定义，根据能够完全重合的两个图形称为全等图形进行逐项判断即可． 【详解】解：A中两个图形不是全等图形，故不符合题意； B中两个图形不是全等图形，故不符合题意； C中两个图形是全等图形，故符合题意； D中两个图形不是全等图形，故不符合题意； 故选：C． 8．用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等腰三角形，一定可以拼成的图形是    （    ） A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3） 【答案】A 【详解】试题分析：根据全等的直角三角形的性质依次分析各小题即可判断. 用两个全等的直角三角形一定可以拼成平行四边形、矩形、等腰三角形 故选A. 考点：图形的拼接 点评：图形的拼接是初中数学平面图形中比较基础的知识，，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般. 9.找出下列各组图中的全等图形（　　） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形的定义，直接根据全等图形的定义判断即可． 【详解】解：∵图形②和图形⑥不能够完全重合， 故A选项不符合题意； ∵图形②和图形⑦不能够完全重合， 故B选项不符合题意； ∵图形③和图形④能够完全重合， 故C选项符合题意； ∵图形⑥和图形⑦不能够完全重合， 故D选项不符合题意； 故选：C． 10.请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是 ． 【答案】（4）（5）（6）． 【分析】根据全等的性质：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可． 【详解】解：（5）是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的，（4）是将其中一个图形翻折后得到另一个图形的，（6）是将其中一个图形旋转180°再平移得到的，（2）（3）形状相同，但大小不等． 故答案是：（4）（5）（6）． 【点睛】本题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是掌握全等图形的定义． 题型三 分成全等图形 11.知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．” 理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法． 请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来． 【答案】见解析 【分析】根据网格的特点和全等形的定义进行作图即可． 【详解】依题意，如图 【点睛】本题考查了全等图形的定义，熟练掌握网格特点作图和全等图形的概念是解题的关键． 12.沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）：    【答案】见解析 【分析】本题考查了查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可． 【详解】解：如图所示：    13.沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    【答案】见解析 【分析】如图所示，按图中实线部分即可将原图形划分为4个全等的图形，且能拼成一个正方形．（答案不唯一） 【详解】    【点睛】本题考查全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 题型四 全等三角形的概念 14．下列说法正确的是（   ） A．周长相等的三角形是全等三角形 B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形 C．面积相等的三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，牢记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题的关键． 根据全等三角形的定义“能够完全重合的两个三角形”对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，原说法错误，故选项不符合题意； B. 形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，原说法正确，故选项符合题意； C. 面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，原说法错误，故选项不符合题意； D. 所有的等边三角形形状相同，但是大小和边长有关，边长不相等，则不能够重合，原说法错误，故选项不符合题意； 故选：． 15．下列几种说法：全等三角形的对应边和对应角相等；面积相等的两个三角形全等；周长相等的两个三角形全等；全等的两个三角形一定重合．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的定义，全等是指形状相同，大小相同，两个方面必须同时满足． 本题主要考查全等三角形的定义，根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形，全等三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】解：①全等三角形的对应边相等，①正确； ②、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故②错误； ③、全等三角形的周长相等，但周长的两个三角形不一定能重合，不一定是全等三角形，故③错误； ④、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故④正确； 故正确的是①④． 故选：D． 16.如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 17．如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可． 【详解】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 18．如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 【答案】(1) (2)与，与，与；与，与，与 【分析】本题主要考查全等三角形的对应边，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据题意写出全等三角形即可； （2）根据全等三角形的表示找出对应边与对应角． 【详解】（1）解：点与点，点与点是对应顶点， ； （2）解：， 故与，与，与为对应边；与，与，与为对应角． 19．如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为（    ）；②的对应角为（    ）；③的对应角为（    ）；④的对应边为（    ）；⑤的对应边为（    ）． 【答案】，，，， 【分析】根据全等三角形的定义可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴①的对应角为； ②的对应角为； ③的对应角为； ④的对应边为； ⑤的对应边为； 故答案为：，，，，． 【点睛】本题考查了全等三角形，找准对应边、对应角是解题的关键． 20．如图，与全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．    【答案】；相等的边为，，；相等的角为，， 【分析】根据图形可得出对应点并可确定对应关系，然后用全等符号表示这两个三角形全等，然后根据全等的性质即可得出相等的边和角． 【详解】解：∵如图，与全等， ∴点与点，点与点，点与点是对应顶点， ∴； 相等的边为，，； 相等的角为，，． 【点睛】本题考查全等三角形表示及性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 21．如下图，与全等．用符号“”表示这两个三角形全等．已知与是对应角，写出其余的对应角和各对对应边． 【答案】．对应角是：与，与； 对应边是；OA与OB，OC与OD，AC与BD． 【分析】根据全等三角形的表示法以及全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】解  ． 因为与是对应角，所以其余的对应角是： 与，与； 对应边是；OA与OB，OC与OD，AC与BD． 【点睛】本题主要考查全等三角形的表示法和性质，准确找到全等三角形的对应角和对应边是关键． 题型五 由全等三角形的性质求线段长度 22．图中的两个三角形全等，则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形对应边相等，根据对应角准确确定出对应边是解题的关键．先利用三角形内角和是求得三角形内角的度数，再根据全等三角形对应角相等找到对应点，进而确定的对应边，即可求得的长． 【详解】解：由图可知：边的对角度数为：，边的对角度数为：， ∴边对角度数为：， ∵两个三角形全等，第一个三角形中的对边长是22， ∴的值为． 故选：B． 23．如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，则的长为（　　） A． B．6 C． D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形对应边相等易得，然后求出的长度，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 24．如图，将绕着点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点，，恰好在一条直线上，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质得，再根据可得结论．解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等． 【详解】解：∵将绕着点顺时针旋转得到，， ∴， ∴， ∵点，，恰好在一条直线上，， ∴， 即的长为． 故选：A． 25．如图，，B、C、D在同一直线上，且，．求长． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的性质内容，全等三角形对应边相等，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，得，，即可得的长． 【详解】解：因为，，． 所以，， 则． 26．如图，已知，，，，． (1)求的度数及的长； (2)与平行吗？说明理由． 【答案】(1)，6 (2)平行，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （2）由全等得到，即可得到． 【详解】（1）， ，， 在中，， ， ， ； （2）， 理由：， ， ． 27．如图所示，已知于 D． (1)已知，求的长． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)3 (2)；理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，结合线段的和差关系进行求解即可； （2）根据全等三角形的性质，推出，进而得到，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． 题型六 由全等三角形的性质求角度 28．如图，这两个三角形全等，若图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（   ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】B 【分析】本题考查了全等的性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 由图可知：是的对角，根据全等三角形对应角相等可得，计算求解即可． 【详解】解：由全等的性质可知，， 故选：B． 29．如图，已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，利用三角形内角和定理解答即可． 本题考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 30．如图，，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质得到，，可知，则，根据对顶角相等得到，进而得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 故选：C 31．已知：如图，，，，、相交于点F， (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，求出，即可求解； （2）根据三角形内角和得， ，又由于，， 即可由求解． 【详解】（1）解：， ， 即：， ， ，， ， ． （2）解：在中：， 在中：， ，， ． 32．如图，已知，点E在上，与相交于点F，，． (1)的度数为________； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是： （1）根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据全等三角形的性质求出的度数，根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 33．如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）先根据全等三角形的性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得； （2）先根据平行线的性质可得，，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴． 34．如图，已知，点在上，与相交于点． (1)若，，则 ， ． (2)若． ①求的度数； ②求的度数． 【答案】(1)5，3 (2)①；② 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，即可得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可求得． 【详解】（1）解：，，， ，， ； （2）解：① ≌， ∴， ∵ ∴ ∴ ②∵是的外角， ∴ ∵是外角， ∴. 题型七 由全等三角形的性质求周长 35．如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．24 B．23 C．22 D．26 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故选：A． 36．如图，，， (1)求的度数 (2)若，，求四边形的周长 【答案】(1) (2)20 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解答本题的关键． （1）由全等三角形的性质得，求出，，然后根据三角形内角和即可求出的度数． （2）由全等三角形的性质得，，然后根据周长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴四边形的周长． 37．如图，，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和； 【答案】(1) (2)33.5 【分析】本题考查了全等三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 题型八 由全等三角形的性质求面积 38．如图，，若的面积为3，的面积为2，则的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形中线的性质，先计算出，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得到接着根据全等三角形的性质得到，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 39．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为3，则阴影部分面积为（   ） A．30 B．27 C．24 D．21 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等形的面积相等是解题的关键．根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质知，，， ， ， ， ， 故选：D． 40．如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)96 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：：， ． 又， ． 又， ． ； （2）解：． 理由：， ， ， ， ， ． ． ． 41．如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可知，，结合，即可证明； （2）根据题意可知，再由全等三角形的性质可得到，最后由四边形的面积即可求得答案． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：，， ， ， ， 四边形的面积． ． 题型一 由全等三角形的性质探究线段或角度之间的数量关系 42．如图，，和和是对应边，和相等吗？为什么？ 【答案】相等，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．根据全等三角形对应角相等可得，再根据等式的性质两边同时减去可得结论． 【详解】解：，理由如下， ∵， ∴， ∴， 即． 43．如图，、相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质的运用，根据，可得到：和，根据角的和与差求出． 【详解】证明：， ，， ， ． 44．如图，A，D，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)请你猜想满足什么条件时，． 【答案】(1)见解析 (2)满足时，． 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应边相等、对应角相等． （1）利用全等三角形的性质可得，，然后再等量代换即可； （2）利用平行线的判定方法和全等三角形的性质进行推理即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵A，D，E三点在同一直线上， ∴， ∴； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∴ ∴． 45．如图，A，D，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)若，求证：是等腰直角三角形； (3)在图中，你能通过平移、翻折、旋转等方式使与完全重合吗？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的性质，旋转和平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据全等三角形的性质得出，然后根据线段和差关系即可得证； （2）根据全等三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理可求出，等量代换可求出，根据三角形的内角和定理可求出，最后根据等腰直角三角形的定义判断即可； （3）根据旋转和平移的性质即可解答． 【详解】（1）证明：， ， 又，D，E三点在同一条直线上， ， ． （2）证明：， ， ， ， 即． 是等腰直角三角形； （3）解：答案不唯一，如：将先绕点D顺时针旋转与相同的度数，再向下平移与线段相同的长度，即可与完全重合． 题型二 由全等三角形的性质探究线段之间的位置关系 46．如图，已知，和是对应角，和是对应边，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)5 【分析】此题考查了全等三角形的性质． （1）根据全等三角形的性质得到，即可判定； （2）根据全等三角形的对应边相等得到，进而得出，根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 47．如图，已知在同一直线上，试探究当时，与的位置关系，并证明． 【答案】．证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线性质，根据，得出结合平行线的性质得，则因为，得，即可作答． 【详解】解：．证明如下： ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 48.如图，为线段上一点，，，判断与的关系，并证明． 【答案】，证明见解析． 【分析】根据全等三角形的性质可求得，结合，可求得，进而可求得的度数，由此可得出结论． 【详解】，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形，牢记全等三角形的性质是解题的关键． 49．如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)直线与直线垂直，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证； （）延长交于点，根据全等三角形的性质得出，最后由三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴ ∴， ∴； （3）解：直线与直线垂直，理由： 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴． 50．【操作发现】（1）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．用两种不同方法表示图2中阴影部分面积：方法1：____________，方法2：____________；（用a，b的代数式表示）；观察图2，请你写出，，之间的等量关系是 ； 【灵活应用】（2）运用所得到的公式计算：若，为实数，且，，求的值； 【拓展迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板，按如图3所示的方式放置，A，O，D在同一直线上，连接AC，BD．若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；； （2） （3） 【分析】本题主要考查的是完全平方公式及其变形的应用、全等三角形的性质等知识点，熟练地运用完全平方公式的几何变形是解答本题的关键． （1）图2中阴影部分的面积可以用两种方法得到，先表示阴影部分的边长，再表示面积，二是图2大正方形面积减去图1的面积，然后再化简即可得出三个代数式之间的关系； （2）利用（1）中关系，整体代入求值即可； （3）根据两块全等的特制直角三角板可得，进而得到，设，根据已知条件、列方程求得y，进而求得影音部分的面积即可． 【详解】解：（1）图2中，方法1：阴影部分的边长为的正方形，因此面积为， 方法2：从边长为的正方形面积减去图1的面积，即 ∴ 故答案为：；；； （2）由（1）可得， ∴， 解得：； （3）∵两块直角三角板全等， ∴， ∵点A，O、D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上， ∴， 设， ∴， ∵，即 ∴ ∵， ∴，解得：， ∴, ∴阴影部分的面积为． 51．在中，，，，，动点从点出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点停止，设运动时间为． (1)如图1，当时，___________，当时，___________（用含的式子表示）； (2)如图1，当___________s时，的周长被线段平分为相等的两部分； (3)如图1，若的面积等于面积的一半，求的值； (4)如图3，在中，，，，．如图2，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和可以完全重合，直接写出点的运动速度． 【答案】(1)6， (2)6 (3)5.5或9.5 (4)或或或 【分析】本题考查三角形中的动点问题，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）根据题意，易得，即点的路程等于三角形周长的一半，列出方程进行计算即可； （3）分点为的中点和点为的中点两种情况，进行求解即可； （4）分，两种情况，再分点在上和点在上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，； ， 当时，此时点在边上，； 故答案为：，； （2）解：由题意，得：， ∴， 解得：； 故答案为：6； （3）解：①当点为的中点时，为的中线，则：， ； ②当点为的中点时，为的中线，则：， ； 综上：或； （4）解：①当，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； ②当时，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； 综上：点的速度为或或或． 52．阅读与思考 下面是先锋小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 关于“全等四边形”的研究报告 【研究对象】全等四边形 【研究思路】类比研究全等三角形，按“概念-性质-判定-应用”的路径，利用转化和类比思想． 【概念理解】能够完全重合的两个四边形叫做全等四边形．如图1，四边形与四边形能够完全重合，它们是全等四边形，其中顶点与重合，它们是全等四边形的对应点，与重合，它们是全等四边形的对应边，与重合，它们是全等四边形的对应角． 【性质探索】类比全等三角形的性质，可以得到全等四边形的性质如下： 关于边：全等四边形的__________________； 关于角：全等四边形的__________________； 关于对角线：全等四边形的对应对角线相等． 【判定探索】根据定义，探索全等四边形的判定条件，善思小组认为连接一条对角线可以将四边形全等的问题转化为三角形全等的问题，通过三角形全等可得到两个四边形中“四条边对应相等和四个角对应相等”，进而得到两个四边形全等． 如图2，在四边形和四边形中，，则四边形四边形． 解：如图2，分别连接和． 在和中， 因为， 所以 根据“全等三角形的对应边相等，对应角相等”， …… 任务： (1)填空：材料中“性质探索”空缺的部分：_______，________． (2)补全材料中“判定探索”的推理过程 ． (3)在图2中，若，添加两个条件（不与阅读材料中相同）使得四边形四边形，你添加的条件分别是_______，__________． 【答案】(1)对应边相等，对应角相等； (2)见解析； (3)答案不唯一，如． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，四边形全等的判定； （1）类比全等三角形的性质可得答案； （2）由全等三角形的性质可得；，，再证明，结合全等三角形的性质可得结论； （3）添加，连接，，证明，，进而可得结论． 【详解】（1）解：类比全等三角形的性质，可以得到全等四边形的性质如下： 关于边：全等四边形的对应边相等； 关于角：全等四边形的对应角相等； 故答案为：对应边相等，对应角相等； （2）证明：如图2，分别连接和． 在和中， ∵， ∴ ∴；，， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，； ∴四边形四边形． （3）解：添加的条件是：，理由如下： 连接，， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴四边形四边形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$