12.3分式的加减（基础篇）讲义 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

本讲义聚焦分式的加减运算核心知识点，从同分母分式加减法（分母不变、分子相加减及注意事项）到异分母分式加减法（通分步骤、最简公分母确定），再到混合运算（顺序与技巧），构建递进式学习支架，配套思维导图辅助知识梳理。 资料针对基础薄弱学生提分设计，通过分层练习题（选择、解答、化简求值）和细节强调（如分子多项式用括号、结果化为最简），培养运算能力与推理意识。同分母加减中“分子整体处理”避免符号错误，异分母通分结合因式分解体现逻辑推理，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

12.3分式的加减 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、同分母分式的加减法 1. 法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 2. 字母表示：（其中，(a)、(b)为整式）。 3. 注意事项： · 分子相加减时，要把分子看作一个整体，若分子是多项式，需用括号括起来，再进行加减运算，避免符号错误。 · 计算结果应化为最简分式或整式。 二、异分母分式的加减法 1. 法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。 2. 关键步骤——通分： · 确定最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 · 字母表示通分过程：（其中，，(a)、(c)为整式，(bd)为最简公分母或其倍数）。 3. 注意事项： · 通分时，若分母是多项式，应先分解因式，再确定最简公分母。 · 通分后分子的变形要与分母的变化一致，即分子也要乘以相应的整式。 · 计算结果同样需要化为最简分式或整式。 三、分式加减混合运算 1. 运算顺序：与分数的加减混合运算顺序相同，一般按从左到右的顺序依次进行计算；如果有括号，先算括号里面的。 2. 运算技巧： · 在运算过程中，能化简的分式要先化简，再进行加减运算，可使计算简便。 · 注意运用运算律（如加法交换律、结合律）简化运算，但要确保每一步运算都符合分式的运算法则。 3. 结果要求：最终结果必须是最简分式或整式。 型 习 练 题 同分母分式加减法 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了乘法公式，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案；通过合并同分母分式，并利用平方差公式简化表达式． 【详解】解：∵ 又∵ ∴ （其中 ） 因此，结果为， 故项：C. 2．若已知分式，□，化简后的结果为，则□内的运算符号为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握同分母分式的运算法则是解题关键． 由于两个分式同分母，考虑同分母分式的加减乘除运算，通过计算验证哪个运算符号能使结果为即可． 【详解】解：根据题意得，运算符号为□， 若□为“”，则； 若□为“”，则，符合； 若□为“”，则； 若□为“”，则． ∴□内的运算符号为“”． 故选B． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查分式的运算，熟记相关运算法则是解题关键． 【详解】解：选项A：∵，错误； 选项B：∵，正确； 选项C： ，错误； 选项D： ，错误； 故选：B 4．计算：（   ） A． B．1 C．a D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式化简，掌握通分化简是解题的关键．根据题意化为同分母，再加减求值即可． 【详解】． 故选：B． 5．计算，结果正确的是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，掌握运算法则是关键；直接把分子相减，分母不变即可求解． 【详解】解：原式， 故选：A． 异分母分式加减法 6．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，先通分，再把分子合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：A． 7．化简的结果是（   ） A．m B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的运算是解题的关键． 先将分式进行通分，再进行分式的加减运算即可． 【详解】解： ， 故选A． 8．化简：等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 先通分，然后合并，即可得到答案． 【详解】解： 故选A． 9．计算的结果是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减，解题关键是牢记分式加减的步骤． 先通分，再将分子相加减，最后化简即可． 【详解】解：原式 ． 故选C． 10．化简得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据分式的运算法则，逐步化简即可． 【详解】解： ． 故选B． 分式加减乘除混合运算 11．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据同分母减法运算法则计算括号内的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可； （2）先根据异分母加法运算法则计算括号内的，再根据分式乘法运算法则，进行计算即可； （3）先根据异分母减法运算法则计算括号内的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可； （4）先根据异分母减法运算法则计算括号内的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 【详解】解： ． 13．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握运算法则和正确计算是解题的关键．先计算括号内的分式加法运算，再将除法化为乘法计算． 【详解】解： ． 14．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握方式的运算法则是解题的关键 （1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； （2）先对括号内的因式分解，再把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘； （3）先计算分式乘方，把分子分母分别乘方，再把除法转化为乘法，再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 15．先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】，5 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的四则混合运算法则． 先根据分式的四则混合运算法则化简，再将变形，然后整体代入求值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 分式化简求值 16．先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，关键是在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．首先把分式的分子分母分解因式，再计算括号里面的乘法，然后再变除法为乘法，再约分后相乘即可． 【详解】解：原式， ， 当时， 原式． 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，负整数指数幂，解题的关键是掌握分式化简的法则． 先对分式进行化简，然后代数求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再运算除法，化简，得，最后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式； 当时，原式． 20．先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则以及分式有意义的条件． 先化简分式，通过通分和乘法运算得到最简形式，再根据取值范围选择合适的整数代入求值，注意分母不为零的条件． 【详解】解： ∵ ， ∴整数 的值为 ， 又∵ 且（分母不为零）， ∴ ， ∴原式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.3分式的加减 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、同分母分式的加减法 1. 法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 2. 字母表示：（其中，(a)、(b)为整式）。 3. 注意事项： · 分子相加减时，要把分子看作一个整体，若分子是多项式，需用括号括起来，再进行加减运算，避免符号错误。 · 计算结果应化为最简分式或整式。 二、异分母分式的加减法 1. 法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。 2. 关键步骤——通分： · 确定最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 · 字母表示通分过程：（其中，，(a)、(c)为整式，(bd)为最简公分母或其倍数）。 3. 注意事项： · 通分时，若分母是多项式，应先分解因式，再确定最简公分母。 · 通分后分子的变形要与分母的变化一致，即分子也要乘以相应的整式。 · 计算结果同样需要化为最简分式或整式。 三、分式加减混合运算 1. 运算顺序：与分数的加减混合运算顺序相同，一般按从左到右的顺序依次进行计算；如果有括号，先算括号里面的。 2. 运算技巧： · 在运算过程中，能化简的分式要先化简，再进行加减运算，可使计算简便。 · 注意运用运算律（如加法交换律、结合律）简化运算，但要确保每一步运算都符合分式的运算法则。 3. 结果要求：最终结果必须是最简分式或整式。 型 习 练 题 同分母分式加减法 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．若已知分式，□，化简后的结果为，则□内的运算符号为（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D．4 4．计算：（   ） A． B．1 C．a D． 5．计算，结果正确的是（　　） A．1 B． C． D． 异分母分式加减法 6．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 7．化简的结果是（   ） A．m B． C． D． 8．化简：等于（    ） A． B． C． D． 9．计算的结果是（　　） A．0 B． C． D． 10．化简得（   ） A． B． C． D． 分式加减乘除混合运算 11．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．计算： 13．计算：． 14．计算 (1) (2) (3) 15．先化简，再求值：，其中x满足． 分式化简求值 16．先化简，再求值：，其中． 17．先化简，再求值：，其中． 18．先化简，再求值：，其中． 19．先化简，再求值：，其中． 20．先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 学科网（北京）股份有限公司 $