12.1 分式（基础篇）讲义 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

本讲义聚焦分式核心知识点，从分式的概念（形如A/B，A、B为整式且B含字母）出发，逐步延伸至有意义与无意义的条件（分母不为0或为0），再到约分（基本性质、三步法）及最简分式（分子分母无公因式），构建从定义到应用的完整学习支架。 资料特色在于针对基础薄弱学生设计，含思维导图辅助知识结构化（培养抽象能力），例题分步解析强化推理意识，分类练习题（分式判断、约分等）提升运算能力。课中助教师高效授课，课后助学生针对性查漏补缺，落实数学思维与模型意识培养。

12.1分式 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、分式的概念 形如（(A)、(B)是整式，(B)中含有字母且）的式子叫做分式。其中，(A) 叫做分式的分子，(B) 叫做分式的分母。 二、分式有意义、无意义的条件 1. 分式有意义的条件：分母不等于零，即。 例如：对于分式，当（即）时，分式有意义。 2. 分式无意义的条件：分母等于零，即 。 例如：对于分式，当（即）时，分式无意义。 三、分式的约分 1. 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 分式的基本性质：，（其中 (C) 是不等于零的整式）。 2. 步骤： （1）分解分子、分母的因式（提公因式、平方差公式、完全平方公式等）； （2）找出分子、分母的公因式； （3）约去公因式，化为最简形式。 例如：约分 解：分子，分母，公因式为 (x+2)， 则。 四、最简分式 1. 定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式（或既约分式）。 例如：、是最简分式；而（可约分为 (x)）、（可约分为 (x+y)）不是最简分式。 2. 判断标准：分子和分母的最大公因式为 (1)（或分子、分母不能再分解因式，且没有公共因式）。 型 习 练 题 分式的判断 1．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中：，，，，中，分式的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列各式，0，，中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 5．代数式 中，属于分式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 分式有无意义的条件 6．不论取何值，下列分式总有意义的是（   ） A． B． C． D． 7．使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知，下列等式的变形不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 9．若分式无意义，则实数x的值是（    ） A． B． C． D． 10．当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 分式的求值 11．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．若，则的值为（   ） A．4 B． C． D． 14．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 15．已知（，），则的值为（    ） A． B． C． D． 分式变形成立的条件 16．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 17．下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 18．要使式子从左到右变形成立，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 19．已知，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．5 20．将分式中的、的值同时扩大倍，则分式的值（　　） A．扩大倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定 约分、最简分式 21．下列各项是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 22．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 23．下列分式中，为最简分式的是（    ） A． B． C． D． 24．若，下列分式化简后等于的是（　　） A． B． C． D． 25．已知，则的值是（） A． B．2 C．3 D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.1分式 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、分式的概念 形如（(A)、(B)是整式，(B)中含有字母且）的式子叫做分式。其中，(A) 叫做分式的分子，(B) 叫做分式的分母。 二、分式有意义、无意义的条件 1. 分式有意义的条件：分母不等于零，即。 例如：对于分式，当（即）时，分式有意义。 2. 分式无意义的条件：分母等于零，即 。 例如：对于分式，当（即）时，分式无意义。 三、分式的约分 1. 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 分式的基本性质：，（其中 (C) 是不等于零的整式）。 2. 步骤： （1）分解分子、分母的因式（提公因式、平方差公式、完全平方公式等）； （2）找出分子、分母的公因式； （3）约去公因式，化为最简形式。 例如：约分 解：分子，分母，公因式为 (x+2)， 则。 四、最简分式 1. 定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式（或既约分式）。 例如：、是最简分式；而（可约分为 (x)）、（可约分为 (x+y)）不是最简分式。 2. 判断标准：分子和分母的最大公因式为 (1)（或分子、分母不能再分解因式，且没有公共因式）。 型 习 练 题 分式的判断 1．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分式的定义，分子、分母都为整式，且分母中含有字母的式子是分式．逐一检查即可． 【详解】解： A、分母为2，分母中不含字母，故是整式； B、分母为，π为常数，分母中不含字母，故是整式； C、分母为，分母中含字母x和y，故是分式； D、分母为4，分母中不含字母，故是整式． 故选： C． 2．下列各式中：，，，，中，分式的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，涉及知识点：分式是分母中含有字母的式子（注意π是常数）．根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式．逐一判断每个式子即可． 【详解】∵分式是分母中含有字母的式子， ∴分母含字母，是分式； 分母含字母，是分式； 是整式，不是分式； 分母含字母，是分式； 分母是常数，不是分式． ∴分式有3个． 故选：C． 3．下列各式，0，，中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式． 逐一判断各式中分母是否含有字母． 【详解】解：∵的分母是常数2，不含字母，∴不是分式； ∵0是常数，不是代数式，∴不是分式； ∵的分母是，含有字母，∴是分式； ∵的分母是π（常数），不含字母，∴不是分式； ∴分式有1个． 故选：A． 4．下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义、分式的基本性质、分式值为0的条件和最简分式的概念．根据分式的定义判断A；根据分式的基本性质判断B；根据分式值为0的条件判断C；根据最简分式的定义判断D． 【详解】解：A． ∵ 分母π是常数，不是字母， ∴ 是整式，不是分式，故A错误． B． ∵ x，y都扩大3倍后，分式变为，值扩大3倍，故B错误． C． ∵ 分式值为0， ∴ 分子且分母． 由得，由得， ∴ ，故C正确． D． ∵ （），可约分， ∴ 不是最简分式，故D错误． 因此，正确的是C． 故选：C． 5．代数式 中，属于分式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，正确理解分式的定义是解题的关键．根据分式的定义，分母中含有字母的代数式属于分式。逐一检查各代数式的分母是否含有字母即可． 【详解】∵ 分式是分母中含有字母的代数式， ∴ 分母不含字母，不是分式； 分母是，不含字母，不是分式； 分母含字母，是分式； 分母为3，不含字母，不是分式； 分母含字母x，是分式； 分母含字母x，是分式． ∴ 属于分式的有3个． 故选：B． 分式有无意义的条件 6．不论取何值，下列分式总有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分析各选项分母是否可能为零即可解答． 【详解】解：由分式有意义的条件是分母不为零， A、分母，当时，，分式无意义，不符合题意； B、分母，始终不为零，分式总有意义，符合题意； C、分母，当时，，分式无意义，不符合题意； D、分母，当时，，分式无意义，不符合题意． 故选：B． 7．使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件. 分式有意义的条件是分母不为零，因此需确保分母. 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， 即， ∴. 故的取值范围是 . 故选：B. 8．已知，下列等式的变形不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质成为解题的关键．等式基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，等式仍然成立；等式基本性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数或整式，等式仍然成立．根据等式的性质逐项判定即可． 【详解】解：因为， A．根据等式性质2，两边同时乘以3可得：，故选项A正确，不符合题意； B． 根据等式性质1，两边同时加a可得，故选项B正确，不符合题意； C．根据等式性质2，在 的两边同时乘以 得 ，又因 ，两边再同时除以 得 ，该变形成立，故选项C正确，不符合题意； D． 当时，成立；但当时，分母为零，无意义，∴不一定成立．故选项D错误，符合题意； 故选：D． 9．若分式无意义，则实数x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式无意义的条件，根据分式无意义分母等于零列式求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得， 故选：B． 10．当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键． 根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案． 【详解】解：∵当时，分式没有意义， ∴， 解得：． 故选：D． 分式的求值 11．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的拆分与代数式求值，解题的关键是将所求代数式拆分为已知形式的组合． 将拆分为，代入已知条件计算． 【详解】解：∵，且， ∴． 故选：B． 12．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 根据已知条件，（），再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解:因为 ， 设 ，（） 则 ， 故选C． 13．若，则的值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的性质是解题的关键，设 ，（），即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 设 ，（）， ∴ ． 故选：B． 14．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求分式的值． 将所求分式拆分为两个分式之差，利用已知条件代入计算． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 15．已知（，），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算，倒数定义，将已知方程化简，求出的值，再取倒数得到即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 分式变形成立的条件 16．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质和变形，熟记分式相关性质是解决问题的关键． 根据分式的性质，检查每个选项的等式是否成立，通过化简或代入值验证即可得到答案． 【详解】解：A：右边左边，分式变形错误，不符合题意； B：右边左边，除非或，分式变形错误，不符合题意； C：右边左边，除非，分式变形错误，不符合题意； D：，分式变形正确，符合题意； 故选：D． 17．下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，分式的加减计算解答即可． 本题考查了分式的基本性质，分式的加减，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：A. ，此选项不符合题意；     B. ，此选项不符合题意； C. ，此选项符合题意；     D. ，此选项不符合题意， 故选：C． 18．要使式子从左到右变形成立，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以同一个不为零的整式，分式的值不变．变形中乘以了，因此需满足． 【详解】解：∵左边分式变形为右边分式是通过分子和分母同时乘以得到的， ∴根据分式的基本性质，必须保证，即， 故选：D． 19．已知，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值、分式的基本性质等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先用a表示b，然后代入运用分式的基本性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 20．将分式中的、的值同时扩大倍，则分式的值（　　） A．扩大倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：将分式中的、的值同时扩大倍为， 即分式的值保持不变， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 约分、最简分式 21．下列各项是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查最简分式的定义，解题的关键是判断分子分母是否有公因式． 最简分式是指分子和分母没有公因式的分式,通过检查每个选项是否可约分，即可判断． 【详解】解：选项A：，分子4和分母有公因数4，可约分为，不是最简分式； 选项B：，分子和分母有公因式b，可约分为，不是最简分式； 选项C：，分子y和分母没有公因式，是最简分式。 选项D：， ，与分子有公因式，可约分为，不是最简分式； 故选：C． 22．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式的定义，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查各选项的分子和分母是否有公因式，能否约分，即可判断． 【详解】解： A：，不是最简分式； B：，不是最简分式； C：，不是最简分式； D：，是最简分式， 故选：D． 23．下列分式中，为最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，根据最简分式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握最简分式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、中有公因式，可约分，不是最简分式，不符合题意； B、中分母可因式分解为，故分子和分母有公因式，可约分，不是最简分式，不符合题意； C、中分子和分母无公因式，故是最简分式，符合题意； D、中分子可因式分解为，分母可因式分解为，故有公因式，可约分，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 24．若，下列分式化简后等于的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是明确分式的分子分母需同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值才不变． 【详解】解：A、分式的分子分母同时加2，不符合分式基本性质，此选项不符合题意； B、分式的分子分母同时减3，不符合分式基本性质，此选项不符合题意； C、当、时，（因），此选项不符合题意； D、分式的分子分母同时除以（），得，此选项符合题意． 故选：D． 25．已知，则的值是（） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的性质，由已知条件，用表示后代入所求表达式化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $