12.1.1 分式及其基本性质 课件- 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦分式的定义、有意义条件、基本性质及应用。课堂导入从回顾分数实例出发，通过长方形面积、行程问题等情境引出含字母的式子，对比分数异同引出分式，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以数学眼光抽象现实情境中的数量关系形成分式概念，通过类比分数性质推导分式基本性质培养推理意识，用表格对比和符号法则口诀规范数学语言。分层练习与易错点辨析巩固知识，结合考试真题提升应用能力，学生能深化理解，教师可高效教学。

冀教（2024）版数学8年级上册 第十二章 分式和分式方程 12.1.1 分式及其基本性质 1.一项工程，甲施工队5天可以完成.甲施工队每天完成的工程量是多少？ 3天完成的工程量又是多少？如果乙施工队a天可以完成这项工程，那么乙施工队每天完成的工程量是多少？ b(b<a)天完成的工程量又是多少？ # 幻灯片分页内容：12.1.1 分式及其基本性质 ## 第1页：导入——从“分数”到“分式”的拓展 - 回顾旧知：展示分数实例（$\frac{2}{3}$、$\frac{5}{7}$、$\frac{-3}{4}$），回顾分数定义（两个整数相除，分母不为0），核心特征：分子、分母均为整数，分母≠0 - 情境引入： 1. 若长方形面积为2，长为$x$，则宽为$\frac{2}{x}$ 2. 小明从家到学校路程为$s$，速度为$v$，则时间为$\frac{s}{v}$ 3. 整式$x+1$与$2x-3$的商为$\frac{x+1}{2x-3}$ - 提问：这些式子（$\frac{2}{x}$、$\frac{s}{v}$、$\frac{x+1}{2x-3}$）与分数有何异同？（形式相似，分子分母为整式，分母含未知数） - 引出主题：今天学习“分式及其基本性质”，核心是理解分式的定义、有意义的条件，掌握分式的基本性质，为后续分式运算奠定基础 ## 第2页：核心概念1——分式的定义与识别 ### 1. 分式的定义 - 定义：一般地，如果$A$、$B$表示两个整式，并且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式 - 三个关键条件： ① 分子$A$是整式（单项式或多项式） ② 分母$B$是整式 ③ 分母$B$中含有字母（区别于分数的核心特征） - 补充：分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含字母 ### 2. 分式与分数、整式的区别 | 类型 | 分子 | 分母 | 示例 | |------|------|------|------| | 分数 | 整数 | 非零整数 | $\frac{3}{5}$、$\frac{-7}{2}$ | | 整式 | 整式 | 无分母（或分母为1） | $x$、$2a-3b$、$\frac{5x}{1}$ | | 分式 | 整式 | 含字母的整式（≠0） | $\frac{1}{x}$、$\frac{x+2}{x-1}$、$\frac{3a}{b^2+1}$ | ### 3. 识别练习：下列式子哪些是分式？ - ① $\frac{x}{3}$（否，分母不含字母） ② $\frac{3}{x}$（是，分母含字母$x$） - ③ $\frac{x+1}{x^2-1}$（是，分母含字母$x$） ④ $\frac{2a+b}{5}$（否，分母不含字母） - ⑤ $\frac{1}{y-3}$（是，分母含字母$y$） ⑥ $\frac{x^2}{π}$（否，$π$是常数，分母不含字母） ## 第3页：核心概念2——分式有意义、无意义、值为0的条件 ### 1. 分式有意义的条件 - 依据：分数的分母不能为0，分式与分数形式一致，因此分式的分母不能为0 - 结论：分式$\frac{A}{B}$有意义的条件是 $B≠0$（分母不为0） ### 2. 分式无意义的条件 - 结论：分式$\frac{A}{B}$无意义的条件是 $B=0$（分母为0） ### 3. 分式值为0的条件 - 核心：分式值为0，需同时满足两个条件（缺一不可） ① 分子为0（$A=0$） ② 分母不为0（$B≠0$）（保证分式有意义） - 易错提醒：仅分子为0不能保证分式值为0，需同时满足分母不为0 ### 例题1：分式有意义、无意义、值为0的判断 - 已知分式$\frac{x-2}{2x+3}$，回答下列问题： 1. 当$x$为何值时，分式有意义？ - 解：$2x+3≠0$ → $x≠-\frac{3}{2}$ 2. 当$x$为何值时，分式无意义？ - 解：$2x+3=0$ → $x=-\frac{3}{2}$ 3. 当$x$为何值时，分式值为0？ - 解：$\begin{cases}x-2=0 \\ 2x+3≠0\end{cases}$ → $x=2$（此时分母$2×2+3=7≠0$，符合条件） ## 第4页：核心性质——分式的基本性质 ### 1. 类比分数的基本性质 - 分数的基本性质：$\frac{a}{b}=\frac{a×c}{b×c}$，$\frac{a}{b}=\frac{a÷c}{b÷c}$（$c≠0$，$a$、$b$、$c$为整数） - 示例：$\frac{2}{3}=\frac{2×4}{3×4}=\frac{8}{12}$，$\frac{6}{8}=\frac{6÷2}{8÷2}=\frac{3}{4}$ ### 2. 分式的基本性质 - 文字表述：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变 - 符号表示：$\frac{A}{B}=\frac{A×C}{B×C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A÷C}{B÷C}$（$C$是不等于0的整式） - 关键提醒： ① 同乘（或除以）的整式$C$必须不等于0（避免分母为0，保证分式有意义） ② 分子与分母要同时乘（或除以）$C$，不能只乘（或除以）分子或分母 ③ 乘（或除以）$C$后，分式的值保持不变 ### 例题2：利用分式基本性质变形 - （1）填空：$\frac{x}{x+1}=\frac{x×()}{(x+1)×x}=\frac{()}{x(x+1)}$（$x≠0$） - 解：分子分母同乘$x$（$x≠0$），括号依次填$x$、$x^2$ - （2）填空：$\frac{3a^2b}{6ab^2}=\frac{3a^2b÷()}{6ab^2÷()}=\frac{a}{2b}$（$a≠0$，$b≠0$） - 解：分子分母同除以$3ab$（$3ab≠0$），括号均填$3ab$ - （3）判断：$\frac{x}{y}=\frac{x+1}{y+1}$（错误，未同乘或除以同一个整式，而是加1） ## 第5页：分式基本性质的应用——符号法则 ### 1. 分式的符号规律 - 依据：分式的基本性质（同乘-1，值不变） - 符号表示： $\frac{A}{B}=\frac{-A}{-B}$，$-\frac{A}{B}=\frac{-A}{B}=\frac{A}{-B}$ - 文字总结：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变 - 口诀：“两变一不变，值不变” ### 例题3：分式符号变形 - （1）将$\frac{-x}{y}$变形为分子不含负号的形式：$\frac{-x}{y}=-\frac{x}{y}$（改变分子和分式本身的符号，值不变） - （2）将$\frac{a}{-b+c}$变形为分母不含负号的形式：$\frac{a}{-b+c}=\frac{a}{-(b-c)}=-\frac{a}{b-c}$（改变分母和分式本身的符号，值不变） - （3）化简符号：$\frac{-m}{-n}=\frac{m}{n}$（改变分子和分母的符号，值不变） - （4）判断：$\frac{-x-y}{x+y}=-\frac{x+y}{x+y}=-1$（正确，分子提取-1，$\frac{-(x+y)}{x+y}=-1$，$x+y≠0$） ## 第6页：例题讲解——综合应用 ### 例题4：分式有意义、值为0的综合计算 - 已知分式$\frac{x^2-4}{x+2}$，求： 1. 当$x$为何值时，分式有意义？ - 解：$x+2≠0$ → $x≠-2$ 2. 当$x$为何值时，分式值为0？ - 解：$\begin{cases}x^2-4=0 \\ x+2≠0\end{cases}$ → $x^2=4$→$x=±2$，且$x≠-2$ → $x=2$ ### 例题5：利用分式基本性质化简（初步约分） - 化简下列分式（后续将详细学习约分，此处仅用基本性质变形）： 1. $\frac{2a^2b}{4ab^2}$（$a≠0$，$b≠0$） - 解：分子分母同除以$2ab$ → $\frac{2a^2b÷2ab}{4ab^2÷2ab}=\frac{a}{2b}$ 2. $\frac{(x-3)(x+2)}{(x+2)(x+1)}$（$x≠-2$，$x≠-1$） - 解：分子分母同除以$(x+2)$（$x+2≠0$）→ $\frac{x-3}{x+1}$ ## 第7页：易错点辨析——分式的“常见误区” - 易错点1：认为分母含字母的式子就是分式（忽略分母是整式） - 错误：$\frac{1}{\sqrt{x}}$是分式（$\sqrt{x}$不是整式，因此不是分式） - 正确：分式的分母必须是整式，$\frac{1}{\sqrt{x}}$是无理式，不是分式 - 易错点2：分式值为0时，只考虑分子为0，忽略分母不为0 - 错误：$\frac{x^2-1}{x-1}$值为0时，$x^2-1=0$→$x=±1$（未排除$x=1$，此时分母为0，分式无意义） - 正确：$x=-1$ - 易错点3：应用分式基本性质时，乘（或除以）的整式为0 - 错误：$\frac{x}{x+1}=\frac{x×(x-1)}{(x+1)×(x-1)}$（未注明$x≠1$，当$x=1$时，乘的整式为0，分式无意义） - 正确：需注明$x≠1$，才能进行变形 - 易错点4：改变分式符号时，只改变分子或分母的一个符号 - 错误：$\frac{a-b}{-a-c}=\frac{a-b}{a-c}$（仅改变分母的一个负号，正确应为$\frac{a-b}{-(a+c)}=-\frac{a-b}{a+c}$） ## 第8页：课堂练习——分层巩固 - 基础题： 1. 下列式子中，是分式的有（ ） A. $\frac{2}{x}$ B. $\frac{x}{2}$ C. $\frac{x+1}{x-1}$ D. $\frac{3}{π}$ 答案：A、C 2. 当$x$为何值时，分式$\frac{3x-6}{2x+5}$有意义？值为0？（答案：有意义$x≠-\frac{5}{2}$；值为0$x=2$） - 提高题： 1. 若分式$\frac{|x|-3}{x^2-2x-3}$的值为0，求$x$的值（答案：$x=3$，提示：$\begin{cases}|x|-3=0 \\ x^2-2x-3≠0\end{cases}$→$x=3$） 2. 利用分式基本性质填空：$\frac{2x}{x+y}=\frac{()}{3(x+y)}$（$x+y≠0$）（答案：$6x$） - 拓展题： 若分式$\frac{1}{x^2-2x+m}$不论$x$取何实数都有意义，求$m$的取值范围（提示：分母$x^2-2x+m≠0$恒成立，$\Delta=(-2)^2-4m<0$→$m>1$） ## 第9页：课堂小结 - 核心概念： - 分式：$\frac{A}{B}$（$A$、$B$为整式，$B$含字母且$B≠0$） - 有意义：$B≠0$；无意义：$B=0$；值为0：$A=0$且$B≠0$ - 核心性质： - 基本性质：$\frac{A}{B}=\frac{A×C}{B×C}=\frac{A÷C}{B÷C}$（$C≠0$的整式） - 符号法则：改变分子、分母、分式本身任意两个的符号，值不变 - 关键提醒： - 分式的核心是“分母含字母且不为0”，所有变形都不能违背这一原则 - 分式值为0的条件是“分子为0且分母不为0”，两者缺一不可 - 核心价值：分式是代数式的重要组成部分，其基本性质是分式约分、通分、运算的基础 - 提问：今天你能准确识别分式了吗？能熟练掌握分式有意义、值为0的条件吗？应用分式基本性质时，如何避免出错？ 情景导入 2.已知甲、乙两地之间的路程为m km.如果A车的速度为 n km/h，B车比A车每小时多行20 km，那么从甲地到乙地，A车和B车所用的时间各为多少？ 探究新知 由上面的问题，我们分别得到下面一些代数式： , ; , ; , 将这些代数式按“分母”含与不含字母来分类，可分成怎样的两类？ 学生活动一 【大家谈谈】 探究新知 定义：一般地，我们把形如 的代数式叫做分式，其中，A，B都是整式，且B含有字母 . A叫做分式的分子，B叫做分式的分母. 探究新知 例1 指出下列各式中，哪些是整式，哪些是分式 . x－2，，5x2 ， ， ， ， . 探究新知 回顾分数有意义的条件，想一想分式 在满足什么条件下具有意义. 1．在分式中，当分母的值不为0时，分式有意义； 当分母的值为0时，分式无意义． 2．分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零． 学生活动二 【一起探究】 探究新知 在什么情况下，下列各分式无意义？ ， ， . 探究新知 类比分数的基本性质，试着猜想分式 会有哪些基本性质？ 学生活动三 【一起探究】 探究新知 分式的基本性质： 分式的分子和分母____乘（或除以）一个 ______的整式，分式的值_____。 即 = ， = .其中，M 是不等于0的整式。 探究新知 做一做： 分式 与 相等吗？还有与它们相等的分式吗？ 如果有，请你写出两个这样的分式. 探究新知 1.下列各式： ① ;② ; ③ ④ ， 其中是分式的是 （填序号）. ①②④ 课堂练习 2.当x取什么值时，分式无意义（ ） A. x = B. x =﹣ C. x = 0 D. x = 1 A 课堂练习 1. ［2025石家庄新华区月考］在，，，， ， 中，分式的个数是( ) B A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 教材P4习题 当 为任意实数时，下列分式一定 有意义的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 14 3. 若把分式的， 同时扩大5倍，分式的值也扩大5倍， 则“ ”可以是( ) B A. 5 B. C. D. 4. 不改变分式 的值，把它的分子与分母中的小数化为 整数，下列式子正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 15 5. ［2025邢台月考］春节游河南，探寻千年古韵，品味地道 年味！有游客人，到龙门石窟游玩，需要住宿，若每 个人 住一间房，结果还有一个人无房住，则客房的间数是( ) A A. B. C. D. 6. 有下列四个代数式：1， ， ， ，请从中任选两个，组成一个分式:_________________ （只需写出一个即可）. （答案不唯一） 返回 考试考法 16 7.如果成立，则 的取值范围是______. 8.当_______时，分式 的值为0. 1或 返回 考试考法 17 9.已知代数式 . （1）当 为何值时，该式无意义？ 【解】由题意，得 ， 解得 当 时，该式无意义. （2）当 为何整数时，该式的值为正整数？ 代数式的值为正整数，且 为整数, 或，解得或 . 当 或0时，该式的值为正整数. 返回 考试考法 18 10. 下面是两名同学对分式 做的两种变 形，请你判断正误，并说明理由. 甲： ； 乙： . 考试考法 19 【解】甲同学的做法正确.理由：是分母， 一 定不等于零.甲同学把分式的分子分母都乘 ，分式的值 不变. 乙同学的做法不正确.理由： 是分子，它可能等于0. 返回 考试考法 20 谢谢观看！ $