精品解析：新疆克拉玛依市独山子区第一中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

独山子第一中学2025-2026学年上学期一次月考试卷（数学） 一、单选题（共9小题，满分36分，每小题4分） 1. 下列运动形式属于旋转的是( ) A. 在空中上升的氢气球 B. 飞驰的火车 C. 时钟上钟摆的摆动 D. 运动员掷出的标枪 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的定义逐一进行判断即可得到正确的结论. 【详解】解：在空气中上升的氢气球，飞驰的火车，运动员掷出标枪属于平移现象，时钟上钟摆的摆动属于旋转现象. 故选：C. 【点睛】本题主要考查关于旋转的知识，题目比较简单，属于基础题目，大部分学生能够正确完成，熟练掌握旋转的定义是解决本题的关键. 2. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，逐一验证各选项即可． 【详解】A．，分母含，是分式函数而非整式，不符合二次函数定义； B．，若，则变为一次函数，不一定是二次函数； C．展开得，为一次函数； D．展开得，符合（），是二次函数． 故选：D． 3. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式： ，其中，，分别为二次项系数，一次项系数和常数项，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是； 故选：A． 4. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 5. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解，但一定要注意一元二次方程二次项系数不等于0，然后舍去不满足的取值即可． 【详解】解：把 代入， 得到： ∴或 ∵ 方程是一元二次方程， ∴ ， ∴， ∴；   故选：B ． 6. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 7. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 8. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为 C. ，两点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴ ∴ ∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意； 当时， 即 ∴， ∴，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 10. 若是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】方程是关于的一元二次方程， ， 解得． 故答案为：． 11. 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31．若设主干长出x个支干，则可列方程是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程．根据题意找出等量关系即可列出方程，主干+支杆+小分支． 【详解】解：设主干长出x个支干， ，整理得： 故答案为：． 12. 把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________． 【答案】或（答出这两种形式中任意一种均得分） 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2． 故答案为y=2（x+1）2﹣2． 考点：二次函数图象与几何变换． 13. 某市举行中学生足球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，共要比赛66场．若有支球队参赛，则可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，关键要求我们掌握单循环制比赛的特点：如果有支球队参加，那么就有场比赛． 本题可设有支球队参赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，从而可以列出一个一元二次方程． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 14. 已知点，在抛物线上，且，则_________．（填“<”或“>”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：的对称轴为y轴， ∵， ∴开口向上，当时， y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性． 15. 定义新运算：．若方程的两个根为和，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，理解定义新运算的方法，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，由定义新运算得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根为和， ∴， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：0 ． 三、解答题（共9小题，满分90分） 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）0；（2），． 【解析】 【分析】本题考查了立方根、零指数幂、整式的化简求值． （1）分别计算立方根、零指数幂、乘方和绝对值，再求和； （2）先计算整式的乘法，再合并同类项，最后将，代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， 当，时， 原式． 17. （1）解方程： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：（1）移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， ； （2）， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点 的坐标为．请解答下列问题： （1）画出关于 轴对称的，并写出点的坐标． （2）画出绕原点逆时针旋转后得到的 ，并写出点的坐标． 【答案】（1）如图所示， 点的坐标为； （2） 如图所示， 点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查图形的变换与坐标中的轴对称变换与旋转变换．解题的关键是根据要求找出相应变换后对应点的位置，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】（1）k； （2）k=3 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即32-4（k-2）0， 解得k 【小问2详解】 ∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得k=3． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． 20. 如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：点为的中点， ， ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定，熟练掌握全等三角形、平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）由点为的中点可得，由两直线平行，内错角相等，得出，利用即可证明； （2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，从而得到，由点为的中点可得，即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 四边形是平行四边形， ， 点为的中点，， ， ． 21. 如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，求道路的宽为多少米？ 【答案】2米 【解析】 【分析】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程解决问题，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 设道路的宽为x米，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程，解出即可． 【详解】解∶设道路的宽为x米，根据题意得 整理得， 解得：（舍去）， 答∶道路的宽为2米． 22. 已知：二次函数． （1）通过配方，将其写成的形式； （2）求出图象与轴的交点、的坐标； （3）为何值时，； （4）当________时，随的增大而减少． 【答案】（1） （2）点坐标为，点坐标为 （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数顶点解析式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质和解析式之间的转化． （1）利用配方法即可将函数解析式的一般式转化成顶点式； （2）利用二次函数和一元二次方程的关系，当为0时，求出的值，即可求出交点坐标； （3）根据二次函数图象的性质即可判定的取值范围； （4）利用函数图象的性质，开口方向，顶点坐标，即可得出答案． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ∴点坐标为，点坐标为． 【小问3详解】 解：根据二次函数的解析式可知， ，抛物线开口向下， 由（2）得抛物线与轴的交点分别为， 根据图象的性质可得， 当或时，． 【小问4详解】 解：由可知，抛物线的顶点坐标为， ，抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而减少． 23. 某超市以每个元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为元时，超市平均每天可售出个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元． （1）降价后超市平均每天可售出______个玩具； （2）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）售价为元，最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、二次函数的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个”即可获得答案； （2）根据“利润等于单个玩具利润乘以销售量”，即可获得答案； （3）将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可获得答案． 【小问1详解】 解：玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个， 降价后超市平均每天可售出个玩具， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意，可得， 函数关系为， 即， 其中的取值范围是； 【小问3详解】 解：， ， ∵，， 当时，有最大值为， 此时玩具的售价为：（元）， 答：该超市将每个玩具的售价定为元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是元． 24. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过两点，与x轴交于点B． （1）若直线经过B，C两点，求直线解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； （3）设P为对称轴上的一个动点，直接写出为直角三角形的点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等； （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与对称轴的交点为M，根据轴对称性质可知，由此可知，即最小时的值最小，进而求解； （3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过， ∴， 设抛物线的表达式为， 将代入上式得：，解得， ∴抛物线的解析式为：； 把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小， 把代入直线得，故， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为； 【小问3详解】 设， ∵，， ∴， 若点B为直角顶点时，则， 即， 解得； 若点C为直角顶点时，则， 即 解得， 若P为直角顶点时，则， ∴， 解得， 综上，点P的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 独山子第一中学2025-2026学年上学期一次月考试卷（数学） 一、单选题（共9小题，满分36分，每小题4分） 1. 下列运动形式属于旋转的是( ) A. 在空中上升的氢气球 B. 飞驰的火车 C. 时钟上钟摆的摆动 D. 运动员掷出的标枪 2. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 6. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 8. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为 C. ，两点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 9. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 10. 若是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是_____． 11. 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31．若设主干长出x个支干，则可列方程是________________． 12. 把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________． 13. 某市举行中学生足球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，共要比赛66场．若有支球队参赛，则可列方程______． 14. 已知点，在抛物线上，且，则_________．（填“<”或“>”或“=”） 15. 定义新运算：．若方程的两个根为和，则__________． 三、解答题（共9小题，满分90分） 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 17. （1）解方程： （2）解方程： 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点 的坐标为．请解答下列问题： （1）画出关于 轴对称的，并写出点的坐标． （2）画出绕原点逆时针旋转后得到的 ，并写出点的坐标． 19. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 20. 如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，求道路的宽为多少米？ 22. 已知：二次函数． （1）通过配方，将其写成的形式； （2）求出图象与轴的交点、的坐标； （3）为何值时，； （4）当________时，随的增大而减少． 23. 某超市以每个元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为元时，超市平均每天可售出个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元． （1）降价后超市平均每天可售出______个玩具； （2）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 24. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过两点，与x轴交于点B． （1）若直线经过B，C两点，求直线解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； （3）设P为对称轴上的一个动点，直接写出为直角三角形的点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $