24.1 测量 课件 2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形”中测量物体高度或宽度的核心知识点，通过复习相似三角形性质导入，以“阴天如何测量旗杆高度”的问题衔接旧知与新知，搭建从理论到实际应用的学习支架。 其亮点在于以真实情境驱动，通过自主探究（按比例画图测算旗杆高度）和合作探究（影子问题、绳子测量旗杆等范例），培养学生数学眼光（几何直观）、数学思维（推理意识）和数学语言（模型意识）。课堂小结强调转化与建模，学生能提升实际问题解决能力，教师可直接利用丰富例题与练习，优化教学效果。

24.1　测　量 第24章　解直角三角形 第24章 解直角三角形 24.1 测量 【学习目标】 1．复习巩固相似三角形知识，掌握测量方法； 2．通过测量旗杆高度的活动，巩固相似三角形有关知识，累积数学活动经验，使学生初步学会数学建模的方法； 3．通过运用相似以及已学过的知识探索解三角形的方法，体验教学研究和发现的过程，逐渐培养学生用数学说理的习惯，激起学生学习后续内容的积极性． 【学习重点】 掌握测量方法． 【学习难点】 理解并掌握测量方法． 情景导入 1.复习相似三角形的主要性质． 2．当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高？我们知道可以利用相似三角形的对应边，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度． 如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？ 自学互研 知识模块　测量物体的高度或宽度 (一)自主探究 如下图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC＝34°，并已知目高AD为1米．现在请你按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A1B1C1，用刻度尺量出纸上B1C1的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？ 解：∵△ABC∽△A1B1C1， ∴AC∶A1C1＝BC∶B1C1＝500∶1， ∴只要用刻度尺量出纸上B1C1的长度，就可以计算出BC的长度，加上AD长即为旗杆的高度．若量得B1C1＝acm，则BC＝500acm＝5am.故旗杆高(1＋5a)m. (二)合作探究 范例 小兵身高160cm，他的影子长度是100cm，如果同时，他朋友的影子比他的影子短5cm，那么他的朋友有多高？ （方法一） 解：设他朋友身高为xcm， 解得：x＝152. 答：他朋友身高为152cm. 仿例1 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶 端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度． 解：设旗杆的高度为xm， 则x2＋52＝(x＋1)2， 解得x＝12. 答：旗杆的高度为12m. 仿例2 如图，小明站在C处看甲乙两楼楼顶上的 点A和点E，点C、E、A在同一条直线上，点B、D分别在点E、A的正下方，且点D、B、C在同一条直线上，点B、C相距20米，点D、C相距40米，乙楼高BE为15米，求甲楼AD的高．(小明的身高忽略不计) 解：由题意知BC＝20，CD＝40，△CBE∽△CDA. ∴AD＝30(米)． 答：甲楼AD高30米． 1、测量物体高度时一般用到的知识点有哪些？ （1）相似三角形　（2）解直角三角形 2、实际测量时，应先设计方案，选择合理方法和测量工具，尽量减少误差. 3、平时的学习中要有转化意识，进行数学建模，灵活运用数学知识解决实际问题. 课堂小结 一、 选择题 1. 如图所示为利用标杆 BE 测量建筑物 CD 的高度的示意图，移动标杆， 使点 A 、 E 、 D 在同一条直线上，且 BE ＝1.2m， AB ＝1.6m， BC ＝ 12m，则建筑物 CD 的高度为（　C　） A. 9m B. 9.6m C. 10.2m D. 11.2m 第1题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上的深度的办法，如图， 在井口 A 处立一根垂直于井口的木杆 AB ，从木杆的顶端 B 观测井水 水岸 D ，视线 BD 与井口的直径 CA 交于点 E . 若测得 AB ＝1m， AC ＝ 1.6m， AE ＝0.4m，则水面以上的深度 CD 为（　B　） A. 4m B. 3m C. 3.2m D. 3.4m 第2题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.如图，数学活动课上，为测量学校旗杆的高度，小菲 在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、平面镜和旗杆底端 在同一直线上），直到她刚好在平面镜中看到旗杆的顶端.已知小菲 的眼睛离地面的高度为1.6m，同时量得小菲与平面镜的水平距离为 2m，平面镜与旗杆的水平距离为10m，则旗杆的高度为（　B　） A. 6.4m B. 8m C. 9.6m D. 12.5m 第3题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二、 填空题 4. 某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆 AB 的高度，把标 杆 DE 直立在同一水平地面上（如图）.同一时刻测得旗杆和标杆在太 阳光下的影长分别是 BC ＝8.72m， EF ＝2.18m.已知点 B 、 C 、 E 、 F 在同一直线上， AB ⊥ BC ， DE ⊥ EF ， DE ＝2.47m，则 AB ＝ ⁠m. 9.88　 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. 如图， A 、 B 两地之间有一湖泊，无法直接测量 A 、 B 两地之间的距 离.已知 CA ＝60m， CD ＝24m， DE ＝32m， DE ∥ AB ，则 AB ＝ ⁠. 第5题 80m　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. ☆如图，高速公路上有 A 、 B 两点相距10km， C 、 D 为两个村庄.已知 DA ＝4km， CB ＝6km， DA ⊥ AB 于点 A ， CB ⊥ AB 于点 B . 现要在 AB 上建一个服务站 E ，使得 C 、 D 两个村庄到服务站 E 的距离相等， 则 EA 的长为 ⁠. 第6题 6km　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 三、 解答题 7. 如图，小明用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树 AB 的高度. 他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，且边 DE 与点 B 在同一 直线上.已知纸板的两条直角边 DE ＝40cm， EF ＝30cm，测得边 DF 离地面的高度 AC ＝1.5m， CD ＝10m，求树 AB 的高度. 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：∵ ∠ DEF ＝∠ BCD ＝90°，∠ D ＝∠ D ，∴ △ DEF ∽△ DCB . ∴ ＝ .设 CB ＝ x m.∵ DE ＝40cm＝0.4m， EF ＝30cm＝0.3m， AC ＝1.5m， CD ＝10m，∴ ＝ ，解得 x ＝7.5. ∴ CB ＝7.5m.∴ AB ＝ AC ＋ CB ＝1.5＋7.5＝9（m）. ∴ 树 AB 的高度为9m 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. 如图，小丽的身高 AB ＝1.6m，在路灯 O 的照射下，影子不 全落在地面上.小丽离路灯的距离 AP ＝6.6m，落在地面上的影长 AC ＝0.9m，落在墙上的影高 CD ＝1m，求路灯 OP 的高度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　第8题答案 第8题答案 解：如图，过点 D 作 DE ⊥ AB ，垂足为 E ，延长 DE 交 OP 于点 F . 由题意，得 DF ⊥ OP ， OP ⊥ PC ，DC ＝ AE ＝ FP ＝1m， DE ＝ AC ＝0.9m， AP ＝ FE ＝6.6m，∴ ∠ OFD ＝∠ BED ＝90°.∵ ∠ BDE ＝∠ ODF ，∴ △ DBE ∽△ DOF . ∴ ＝ .∴ ＝ .设 OF ＝ x m.∴ ＝ ，解得 x ＝5. ∴ OF ＝5m.∴ OP ＝ OF ＋ FP ＝6m.∴ 路灯 OP 的高度为6m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的 高度.如图，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物 OB 的影 长 OC 为16m， OA 的影长 OD 为20m，小明的影长 FG 为2.4m，其中 O 、 C 、 D 、 F 、 G 五点在同一直线上， A 、 B 、 O 三点在同一直线 上，且 AO ⊥ OD ， EF ⊥ FG . 已知小明的身高 EF 为1.8m，求旗杆 AB 的高度. 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解：∵ AD ∥ EG ，∴ ∠ ADO ＝∠ EGF . ∵ ∠ AOD ＝∠ EFG ＝90°， ∴ △ AOD ∽△ EFG . ∴ ＝ .∴ AO ＝ ＝15m. ∵ AD ∥ BC ，∴ △ BOC ∽△ AOD . ∴ ＝ .∴ BO ＝ ＝12m. ∴ AB ＝ AO － BO ＝15－12＝3（m）.∴ 旗杆 AB 的高度为3m 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 则＝， (方法二)＝，解得x＝152 ∴＝即＝， $