专题04 相似三角形中的十字架模型 讲义 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

本讲义聚焦相似三角形中的十字架模型这一核心知识点，系统梳理矩形、等边三角形、直角三角形三种类型的模型条件与结论，配套例题及变式题实现从模型构建到应用的学习支架。 以具体图形案例帮助学生直观理解模型本质，培养几何直观与空间观念（数学眼光），通过例题变式训练推理能力与模型意识（数学思维、数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固模型应用，弥补知识盲点。

专题04相似三角形中的十字架模型(3个知识点+3种模型) 一、模型梳理 类型1.矩形中的十字架模型 矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过 平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边形的性质求得线段间的比例关系。 如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DEL4C,则DE=BC AC AB D D A E E 小 如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EFLAC,则EF-BC AC AB D D F E B A G 如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EFLMN,,则EE=BC MN AB D F D H E B 类型2.等边三角形中的斜十字模型 条件：如图I,已知等边△ABC,BD=EC(或CD=AE), 结论：①AD=BE,②AD和BE夹角为6O°，③△ADB∽△BDF∽△BEC。 D 类型3.直角三角形中的十字模型 (1)等腰直角三角形中的十字模型： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC,AB⊥BC,结论：①D为BC中点，②BF⊥AD,③AF:FC-2:1,④ ∠BDA=∠CDF,⑤∠AFB=∠CFD,⑥∠AEC-I35°，⑦AE=√2EC。 B D B F D G G (2)直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB,AB⊥BC,①D为BC中点，②BF⊥AD,③AF:FC-2:2,④∠BDA= ∠CDF,⑤∠AFB=∠CFD,⑥∠AEC-135°，⑦AE=√2EC。 B D D G G 二、题型突破 类型1.矩形中的十字架模型 例1如图，正方形ABCD中，AB=22,对角线AC与BD交于点O,点P为对角线BD上一个动点，作 射线AP交正方形的边于点F,过点D作DQ⊥AF,垂足为点Q,交直线AC于点M,交正方形的一边于点 E. D A M B B 图1 图2 (I)如图1，当点P在线段BO上时，线段BP与线段AM的数量关系为」 (②)如图2，当点P在线段0D上时，(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 (3)当四边形PQMO的面积与△AB0的面积比为2：5时，直接写出线段BP的长. 【答案】(1)BP=AM(2)依然成立，理由见解析(3)1或3 【分析】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形 的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识是解决本题的关键 (I)先证明△ABP≌aDAM(ASA),然后根据全等三角形的性质即可证明结论； (2)证明△BAP≌△ADM(ASA),然后根据全等三角形的性质即可解答； (3)先证明aA0P≌aD0M(ASA)可得0P=OM，设0P=0M=x,则AM=2-x,AP=VX2+4,再证明 △AQM∽△AOP可得出 贺品治 进而求得OP的长，然后再分点P在线段BO上和OD上两种情况 分别求解即可. 【详解】(1)解：D2⊥AF, .∠ADM+∠DAQ=90°. ,∠BAP+∠DAQ=90°， .∠ADM=∠BAP ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠DAC=∠ABD=45°， .△ABP≌△DAM(ASA, ..BP=AM, 故答案为：BP=AM; (2)解：依然成立，理由如下： 在正方形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°， .LABD=∠BDA=45° 点O是BD的中点 ∠DAM2BAD=45 ..∠ABD=∠DAM DO LAF, .∠ADM+∠DAQ=90°， ,∠BAP+∠DAQ=90°， .LADM=∠BAP 在△ABP和△ADM中， ∠BAP=∠ADM AB=AD ∠ABD=∠DAM .△BAP≌△ADM(ASA, .'BP =AM (3)解：，在正方形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°，点O是BD的中点， :.BD=2AB=4,A0=IBD=BO=DO=2,AOL BD, 2 .∠A0P=∠D0M=90°， .∠AP0+∠0AP=90°， :DQ⊥AP, ∴.∠0DM+∠AP0=90°， ..∠OAP=∠ODM 在△AOP和△D0M中， ∠AOP=∠DOM AO=DO ∠OAP=∠ODM .△AOP≌△DOM(ASA), ..OP=OM 设0P=0M=x,则AM=|2-,AP=Vx2+4, ,∠AQM=∠AOP=90°，∠QAM=∠OAP, ∴.△AQM∽△AOP 5 OP AP A0 OM AM AO 即：x +4.2解得：0M=水-2,40=2r-2 OM x-2 A0 Vx2+4 Vx2+4 ,aAB0的面积为2，四边形PQMO的面积与△AB0的面积比为2：5， ∴.四边形PQMO的面积为 :四边形OPOM的面积=△A0P的面积.AOM的面积=：，：× 老-号w 52 即：OP=1. ①当点P在线段BO上时，BP=B0-OP=1; ②当点P在线段OD上时，BP=BO+OP=3 综上所述，四边形PQMO的面积为 时，线段BP的长为1或3 4 【变式1】综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究. 图(1) 图(2) 图(3 图(4) (1)操作判断 ①如图(I),在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别在边AB,CD,AD,BC上，且EF⊥GH,若EF=5 ,则GH的长为 ②如图(2)，在矩形ABCD中，BC=2AB,点E,F,G,H分别在边AB,CD,AD,BC上，且EF⊥GH, 若EF=8,则GH的长为 (2)迁移探究 如图(3)，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D,E分别在边AC,BC上，且AE⊥BD,试证明： 6 AB BE AD EC (3)拓展应用 如图(4)，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,BE平分∠ABC交AD于点E,点F为AE上一点， AG⊥BF交BE于点H,交矩形ABCD的边于点G,当F为AE的三等分点时，请直接写出AG的长 【答案】(1)①5；②4 (2)见解析 310Wi0 3 或313 【分析】(I)①过点E作EP⊥CD于点P,过点H作HQ⊥AD于点Q,则EP⊥OH,证得四边形 EBCP,HCDQ是矩形，设EF交QH于点O,则∠EOH+∠QHG=90°=∠EOH+∠FEP,证明 △EPF≌aHQG(ASA),即可解答； ②过点E作EP⊥CD于点P,过点H作HQ⊥AD于点Q,则EP⊥OH,证明HCDQ是矩形，设EF交QH于 点O,则∠EOH+∠QHG=90°=∠EOH+∠FEP,证明△EPF∽aHQG,列出比例式，即可解答： (2)过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F,证明△ABD≌ACAF(AAS),△ABE∽△FCE,列出比例式， 即可得证； (3)根据题意得到AE=AB=6,分情况讨论，当AF=AE=2时，如图，点G在CD上，利用勾股定理 求出F,证明△BAFADG,列出比例式求解即可解答；当AF=名4B=4时，如图，点G在BC上，利 3 用勾股定理求出BF,证明△BAF∽△GBA,列出比例式求解即可解答. 【详解】(1)解：①如图，过点E作EP⊥CD于点P,过点H作HQ⊥AD于点Q,则EP⊥QH, G Q O :四边形EBCP,HCDQ是矩形， ∴.EP=BC=CD=HQ, 设EF交QH于点O,则∠EOH+∠QHG=90°=∠EOH+∠FEP, ∴.∠GHQ=∠FEP, 又：∠EPF=∠HQG=90°， △EPF≌△HOG(ASA), :GH=EF=5; 故答案为：5； ②如图，过点E作EP⊥CD于点P,过点H作HQ⊥AD于点Q,则EP⊥QH, 0 四边形EBCP,HCDQ是矩形， B ∴.EP=BC=2CD=2HQ, 设EF交OH于点O,则∠EOH+∠QHG=90°=∠EOH+∠FEP, ∴.∠GHQ=∠FEP, 又：∠EPF=∠HQG=90°， ∴.△EPF∽△HOG, EF EP HG HO =2, GH-EF-4: 2 故答案为：4； (2)证明：如图，过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F, :∠F+LFAC=90°=∠ADB+LFAC, ∠F=∠ADB. 又：∠BAD=∠ACF=90°，BA=AC, △ABD≌△CAF(AAS), :AD =CF, .AB∥CF, △ABE∽△FCE, AB BE CF CE' 又：CF=AD, ABBE AD CE (3)解： 100或33. 3 :在矩形ABCD中，BE平分∠ABC,AD∥BC, LABE=LCBE=∠AEB, :AE AB=6, 当AF=AE=2时，如图，点G在CD上， 3 E H G.BF=V62+22=2V0, B C 9 :∠ABF=∠DAG,∠BAF=∠ADG=90°， △BAF∽△ADG, AGAD5 BF BA 3' 4G=100 3 当AF=2AE=4时，如图，点G在BC上， 3 D :BF=V62+42=213, B GC :∠BAF=∠GBA=90°，∠ABF=∠BGA, △BAF∽△GBA, AG AB 3 FB FA2 AG=3V13. 【变式2】综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究. 下面是他们的探究过程. D NB B 图1 图2 图3 数学思考：(1)如图1，在矩形ABCD中，EF⊥GH,EF分别交AB,CD于点E,F,GH分别交AD,BC于 点G,H.求证： EFAD GH AB 10专题04相似三角形中的十字架模型(3个知识点+3种模型) 一、模型梳理 类型1.矩形中的十字架模型 矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过 平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边形的性质求得线段间的比例关系。 如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DEL4C,则DE=BC AC AB D D A E E 小 如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EFLAC,则EF-BC AC AB D D F E B A G 如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EFLMN,,则EE=BC MN AB D F D H E B 类型2.等边三角形中的斜十字模型 条件：如图I,已知等边△ABC,BD=EC(或CD=AE), 结论：①AD=BE,②AD和BE夹角为6O°，③△ADB∽△BDF∽△BEC。 D 类型3.直角三角形中的十字模型 (1)等腰直角三角形中的十字模型： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC,AB⊥BC,结论：①D为BC中点，②BF⊥AD,③AF:FC-2:1,④ ∠BDA=∠CDF,⑤∠AFB=∠CFD,⑥∠AEC-I35°，⑦AE=√2EC。 B D B F D G G (2)直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB,AB⊥BC,①D为BC中点，②BF⊥AD,③AF:FC-2:2,④∠BDA= ∠CDF,⑤∠AFB=∠CFD,⑥∠AEC-135°，⑦AE=√2EC。 B D D G G 二、题型突破 类型1.矩形中的十字架模型 例1如图，正方形ABCD中，AB=2√2，对角线AC与BD交于点O,点P为对角线BD上一个动点，作 射线AP交正方形的边于点F,过点D作DQ⊥AF,垂足为点Q,交直线AC于点M,交正方形的一边于点 E. (I)如图1，当点P在线段BO上时，线段BP与线段AM的数量关系为 (②)如图2，当点P在线段0D上时，(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. (3)当四边形PQMO的面积与△AB0的面积比为2：5时，直接写出线段BP的长 D A M E B 图1 图2 【变式1】综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究. (1)操作判断 ①如图(I),在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别在边AB,CD,AD,BC上，且EF⊥GH,若EF=5 ,则GH的长为 ②如图(2)，在矩形ABCD中，BC=2AB,点E,F,G,H分别在边AB,CD,AD,BC上，且EF⊥GH, 若EF=8,则GH的长为 (2)迁移探究 如图(3)，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D,E分别在边AC,BC上，且AE⊥BD,试证明： AB BE AD EC (3)拓展应用 如图(4)，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,BE平分∠ABC交AD于点E,点F为AE上一点， AG⊥BF交BE于点H,交矩形ABCD的边于点G,当F为AE的三等分点时，请直接写出AG的长. D 图(1) 图(2) 图(3 图(4 【变式2】综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究： 下面是他们的探究过程 数学思考：(I)如图1，在矩形ABCD中，EF⊥GH,EF分别交AB,CD于点E,F,GH分别交AD,BC于 EF AD 点G,H.求证： GHAB 深入探究：(2)如图2，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10,BC=CD=5,AM⊥DN,点M ，N分别在边BC,AB上，求DN AM 的值， 拓展延伸：(3)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，连接AD,过点C作CE⊥AD于 点E,且CE的延长线交AB边于点F.若4C=3,BC=4,BF-氵，请直接写出CD的长. 图1 图2 图3 类型2.等边三角形中的斜十字模型 例2如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P,若 BD=CE=2,则∠APE=°；则△ABP的周长为一· E B 【变式1】如图1，在等边△ABC中，D,E分别是边BC,AC上点，且BD=CE,AD与BE相交于点P,连 接CP (I)求证：∠APB=120°； ②老肥分求证：CP14D: (3)如图2，连接DE,若LAEB=∠CED,求EC 的值， AE E P p D B 图1 图2 6 【变式2】探索发现：如图l,等边△ABC中，G为BC中点，D、E分别是BC、AC上的两点，BD=CE· (I)求证：LBAD=LCBE; (②H为EF上一点，若LBHG+LAFH=90°，求 ,的值； FH 迁移拓展：(3)如图2，等腰Rt△ABC中，G为斜边BC的中点，D为BG中点，BD=1,E是AC上的点， CE=√2BD,H为EF上一点，若LBHG+∠AFH=90°，直接写出HG的长. C E G H D F H B 图1 图2 类型3.直角三角形中的十字模型 例3.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为边AB上一点，∠ACD=LB. (I)求证：AC2=AD·AB: ②如图2，过点A作AM⊥CD于M,交BC于点E,若AB=4AD,求4的值； ME (S)如图，N为CD延长线上一点，连接BN,且∠NBD=2∠ACD,若an∠ACD=a>1直接写出D的 DC 值（用含的代数式表示）. y A 0 D CB E B 图1 图2 图3 【变式1】如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点D为BC边上一动点（不与点B、C重合）， CE垂直AD交AB于点E,垂足为点H,连接BH并延长交AC于点F,下面结论：①若AD是BC边上的中 线，则DH-2,②若D平分4C8,则品-9，图若5D=200,则4E=38,@H的最小首为 5 √5.正确的是 E 【变式2】如图(I),在ABC中，∠ACB=90°，AC=nBC,D是AC的中点，连接BD,过点C作 CE⊥BD交BD于点E,交AB于点F. (1)当n=1时，如图(2)， ①求C的值： BE 8球絮的， 2如图(1)，请直接写出三的值（用含n的式子表示）. EC NC B 图(1) 图(2) 9