精品解析：湖南省长沙市天心区长沙市长郡中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

长郡中学2025年12月高一学情检测卷 数学 时量:120分仲 满分：150分 (考试范围：必修第一册第1章~第4章4.4) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定形式是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，那么是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数在上是增函数，关于y轴对称，若成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若实数，，满足 ，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若当时，，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知实数都是正数，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值 C. 的最小值为 D. 的最大值为 11. 设函数和是定义在上的非常数函数，.且对任意，都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若为非零函数，则为奇函数 C. 若，则 D. 若为奇函数且在上单调递增，则对任意成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象经过点，则_____. 13. 计算：____. 14. 已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围. 16. 已知关于的不等式. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 17. 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数的定义域为R，且具有如下性质：①为奇函数，为偶函数；② (常数e是自然对数的底数，e=2.71828…).利用上述性质，解决以下问题： （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； （2）设函数，若在R上的最小值为6，求实数a的值. 18. 已知，且恒成立，当时等号成立，. （1）证明： ，并说明取等号的条件； （2）证明，； （3）已知满足，满足，比较与的大小. 19. 给定函数，对于任意.函数表示中的最大者.记为.函数表示中的最小者.记为. （1）用解析式表示，并求出的解集； （2）证明：； （3）设，若对任意.都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长郡中学2025年12月高一学情检测卷 数学 时量:120分仲 满分：150分 (考试范围：必修第一册第1章~第4章4.4) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集运算即可求解. 【详解】由集合，集合， 则， 故选：C 2. 命题“”的否定形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解. 【详解】命题“”， 其否定为：. 故选：D 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数奇偶性和特殊点函数值即可判断. 【详解】函数定义域为， 又， 所以函数为奇函数，排除BC， 又，排除D， 故选：A 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数型函数的真数大于0求解. 【详解】令，得， 所以函数的定义域为. 故选：B 5. 已知，那么是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可得. 【详解】因为，且在上单调递增， 所以， 又在R上单调递减，所以, 所以是的充分条件， 而若，可能，此时不存在， 所以不是的必要条件， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知函数在上是增函数，关于y轴对称，若成立，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的单调性以及对称性将不等式化简，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为关于轴对称，则关于对称， 又函数在是增函数，所以在是减函数， 由可得， 由函数的单调性以及对称性可得， 即，化简可得，解得， 则实数的取值范围是. 故选：C 7. 若实数，，满足 ，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，，的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，， 则，，，. 在同一坐标系中作出函数，，，的图象，如图： 由图可知： 当时，； 当时，； 当时，. 故ACD均有可能，B不可能成立. 故选：B 8. 已知函数，若当时，，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时， ，得，令，得，再利用对勾函数的单调性求解． 【详解】当时， ， 得， 得， 得， 得， 由，得，， 得，又 得， 令，得， 由对勾函数知，在上递增，得， 故， 得或， 故选：A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质，结合作差法逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，D正确. 故选：ACD 10. 已知实数都是正数，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，由求解；对B，由消元法化为二次函数求解；对C，由“1”的代换求解；对D，由求解. 【详解】对于A：，当且仅当时取等号， 即的最大值是，A正确； 对于B：，， 当时，取得最小值，B错误； 对于C：， 当且仅当时取等号，又，所以， 所以的最小值为，C错误； 对于D：，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，D正确. 故选：AD. 11. 设函数和是定义在上的非常数函数，.且对任意，都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若为非零函数，则为奇函数 C. 若，则 D. 若为奇函数且在上单调递增，则对任意成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】合理的进行赋值，结合已知条件以及奇偶性的定义，分别检验各选项即可判断． 【详解】对于A，令，代入得 ， 因为，所以，A正确； 对于B，若为非零函数，令， 代入原式：，， 设，则，故为奇函数，B正确； 对于C，若，令，所以， 令，所以， 令，，所以， 所以，所以，C错误； 对于D，若为奇函数且在上单调递增，结合， 时，；时，； 令，得， 当时，，故； 当时，，故； 当时，，因此对任意成立，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象经过点，则_____. 【答案】2 【解析】 【分析】待定系数法求出的解析式即可. 【详解】设幂函数 ，其中  为常数， 函数图象经过点 ， 因此，有：， 解得：. 所以，幂函数为 . 故. 故答案为：2 13. 计算：____. 【答案】4 【解析】 【分析】根据对数的运算法则求值. 【详解】原式. 故答案为：4 14. 已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____. 【答案】或 【解析】 【分析】先作出函数的图象，再令，则，易得，且关于的方程必有两个不等实根，设为，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】作出函数的图象如图所示， 令，则， 若原方程有6个不相等的实数根， 则，且关于的方程必有两个不等实根，设为， 当时， 代入，则，解得， 此时关于的方程为，解得，满足题意； 当，且时，令， 则函数有两个大于的不等零点， 因为函数的图象过点， 则，解得， 即； 当时，因为函数的图象过点， 则，无解， 综上所述，实数a的取值范围为或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） ，； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，结合集合补集、交集、并集的定义进行求解即可； （2）根据子集的运算性质、结合补集的定义进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， ，或， ， ， ； 【小问2详解】 由（1）可知， 当时，显然成立，此时，解得， 当时，此时，解得， 要想，只需，而，所以， 综上所述：实数a的取值范围为. 16. 已知关于的不等式. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得方程的解为，再利用韦达定理求解即可； （2）分和两种情况讨论结合根的判别式求解即可. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以方程的解为， 则，解得； 【小问2详解】 当，即时，恒成立； 当时， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 17. 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数的定义域为R，且具有如下性质：①为奇函数，为偶函数；② (常数e是自然对数的底数，e=2.71828…).利用上述性质，解决以下问题： （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； （2）设函数，若在R上的最小值为6，求实数a的值. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数、偶函数的定义列出方程组求解即得. （2）由（1）的结论求出，利用换元法，结合二次函数并按分类求出最小值即可. 【小问1详解】 依题意，由，得，而为奇函数，为偶函数， 则，由，解得， 所以双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式分别为. 【小问2详解】 由（1）知，则， 令，当且仅当时取等号，， ， 当时，函数在上单调递增，，则； 当时，，则， 所以实数a的值或. 18. 已知，且恒成立，当时等号成立，. （1）证明： ，并说明取等号的条件； （2）证明，； （3）已知满足，满足，比较与的大小. 【答案】（1） 证明：由题可知恒成立，所以利用替换得； 当时，两边同时取对数得，当时取等号， 故，当等号成立. （2） 证明：由（1）知，当且仅当时等号成立， 令 ,则； 所以； 所以得证. （3） 【解析】 【分析】（1）由恒成立，得到，两边同时取对数得即可证明； （2）由，令 ,则，两侧分别令累加，再利用对数的运算即可证明； （3）先根据条件化简得到和，构造函数，得到再化简得到，则可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，，所以； 又因为，，所以； 即； 令，则； 又因为为增函数，故，即， 代入得到 ； 又因为，所以. 19. 给定函数，对于任意.函数表示中的最大者.记为.函数表示中的最小者.记为. （1）用解析式表示，并求出的解集； （2）证明：； （3）设，若对任意.都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 证明：当函数时， ， ∴成立， 当函数时， ， ∴成立， ∴恒成立. （3） 【解析】 【分析】（1）由函数图象可知的解析式，然后列不等式解得的解集； （2）由函数的定义即可证明； （3）由（2）结论，根据解析式求得函数，使得函数，然后分别由函数单调性求出函数在区间的值域，根据题意列出不等式即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 由函数和的图象可知 ， 当时，；当时，，解得， ∴；当时，. ∴. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， 即，， ∴， 由（2）可知. 当时，在区间上调递增，所以， ∵，∴， ∵对任意.都有，即对任意.都有， ∴恒成立， 令函数 因为函数在上单调递增，且， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $