2026年山东省青岛市西海岸新区自主招生考试数学-专题十七、矩形

2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题十七、矩形（适中版） 一、单选题 1．如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   )    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 【答案】C 【分析】过点作，交的延长线于点，的延长线于点，易得：，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得，再根据，得到，即可得出结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，的延长线于点，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴只需要知道的面积即可求出的值； 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，求三角形的面积．解题的关键是得到 2．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ） A．20 B．12 C．14 D．13 【答案】C 【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8， ∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4， ∵点E为AC的中点， ∴DE=CE=AC=5， ∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14． 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 3．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E， 若∠CAE=15°则∠BOE=（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】D 【详解】∵矩形ABCD， ∴AD//BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°， ∴OA=OB，∠DAE=∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB， ∴AB=BE， ∵∠CAE=15°， ∴∠DAC=45°-15°=30°， ∠BAC=60°， ∴△BAO是等边三角形， ∴AB=OB，∠ABO=60°， ∴∠OBC=90°-60°=30°， ∵AB=OB=BE， ∴∠BOE=∠BEO=（180°-30°）=75°． 故选D． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出∠OBC的度数和求OB=BE 4．如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片中，，，将上面的矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，点的对应点为，连接，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】由于AF=CF，则在Rt△ABF中由勾股定理求得AF的值，证得△ABF≌△AGE，有AE=AF，即ED=AD-AE，再由直角三角形的面积公式求得Rt△AGE中边AE上的高的值，即可计算阴影部分的面积． 【详解】由题意知，AF=FC，AB=CD=AG=4，BC=AD=8， 在Rt△ABF中，由勾股定理知AB2+BF2=AF2，即42+（8-AF）2=AF2， 解得AF=5， ∵∠BAF+∠FAE=∠FAE+∠EAG=90°， ∴∠BAF=∠EAG， ∵∠B=∠AGE=90°，AB=AG， ∴△BAF≌△GAE， ∴AE=AF=5，ED=GE=3， ∵S△GAE=AG•GE=AE•AE边上的高， ∴AE边上的高=， ∴S△GED=ED•AE边上的高=×3×=， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 5．已知：a、b是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，将的最小值转化为求的最小值问题，利用轴对称的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，代入 ， 得：， 构造如下图形，如图，其中，，，在上取一点使，可得， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， 则， ∴当的值最小时，的值最小， 作点关于直线的对称点，连接，则：， ∴当三点共线时，的值最小，即为的长， 延长，过作垂直于的延长线，垂足为，则，四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得：； ∴的最小值为． 故选A． 【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，矩形的判定和性质．解题的关键，是将代数问题转化为几何模型，利用轴对称的性质，解决线段和最小问题． 6．如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；    上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】如图，过作于，则四边形是矩形，则，由，可得，进而可判断①的正误；由，可得，，，，则，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，进而可判断②的正误；由勾股定理得，即，则，进而可判断③的正误． 【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形，    ∴， ∵， ∴，①正确，故符合要求； ∵， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得，， ∵， ∴，②正确，故符合要求； 由勾股定理得，即， ∴，③正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 7．如图，在矩形中，，点P为边上的一个动点，线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，将线段绕点顺时针旋转，点D落在点，连接，设交于点，得到是等边三角形，证明，得，推出点在直线上运动，当时，有最小值，求出，设，，结合含30度角直角三角形的性质得到是等腰直角三角形，求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，将线段绕点顺时针旋转，点D落在点，连接，设交于点， ∵线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当时，有最小值， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质，矩形的性质，垂线段最短等知识点，通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 8．如图，在矩形中，，，点，分别在，上且有，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键，设，分两种情况：当时，作于，于；当时，作于，于；分别利用矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理计算即可得解． 【详解】解：设， 如图，当时，作于，于， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， ∴当时，有最小值， ∴此时的最小值为； 如图，当时，作于，于， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， ∴当时，有最小值1， 故此时的最小值为； 综上所述，的最小值为， 故选：B． 9．点P是直线上一动点，O为原点，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数图像上点的坐标特征，勾股定理，垂线段最短，利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 首先求出，，得为等腰直角三角形，当时，最小，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此求得线段的长度． 【详解】解：如图所示：    ∵直线，即， 令，则； 令，则， 解得， ，， ，， 是等腰直角三角形， 当时，最小， ∴． 故选：C． 10．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图甲所示，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）。将三种颜色的图形进行重组，得到如图乙所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论．如图丙所示，设为斜边的中点，作的内接正方形的对角线，过点作于点，则下列推理不正确的是（    ）． A．由图甲和图乙面积相等，可得 B．由，可得 C．由，可得 D．由，可得 【答案】A 【分析】分析图形，利用等面积法，以及直角三角形的性质，可得，，，结合不等式的性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：由图甲和图乙面积相等，可得， ∴， ∴选项A推理不正确，符合题意， 根据题意可得：，， ∵于点， ∴， ∴， 由，可得， ∴， ∴， ∴选项B推理正确，不符合题意， ∵在中，为斜边的中点， ∴， 由，可得， ∴， ∴， ∴选项C推理正确，不符合题意， 由，可得， ∴， ∴选项D推理正确，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查等面积转换，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，不等式的基本性质． 二、填空题 11．如图，将矩形纸片折叠，两点恰好重合落在边上点处，已知，PM=3,，那么矩形纸片的面积为 . 【答案】28.8 【分析】由折叠的性质可知BC=PM+MN+PN,且AB与Rt△PMN中边MN上的高相等,在Rt△PMN中可求得MN及MN边上的高,则可求得答案 【详解】∵∠MPN=90°,且PM=3,PN=4 ∴MN=5,边MN上的高= 又由折叠的性质可知 BC=PM+MN+PN=3+5+4=12 AB= ∴S=12×=28.8 【点睛】此题考查翻折变换(折叠问题)和矩形的性质，解题关键在于利用折叠的性质可知BC=PM+MN+PN 12．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，M、N分别为AB、CD的中点，点P为线段MN上一动点，以线段BP为边，Q在BP左侧作等边三角形BPQ，连接QM，则QM的最小值为 ． 【答案】 【分析】点P在线段MN上运动时，以BP为边的等边三角形BPQ的顶点Q的轨迹是线段Q1Q2所在的直线，当MQ⊥Q1Q2时值最小由题意可得MA=MQ1=1，∠Q1MA=120°，然后由直角三角形求MQ即可． 【详解】解：由题意可知，当点P与点M重合时，以BP为边在左侧所做的等边三角形BMQ1， 当BP等于BA时所做的等边三角形BPA，此时Q和A重合， 当P运动到点N时，以BP为边所做的等边三角形BNQ2， ∴点P在线段MN上运动时，以BP为边的等边三角形BPQ的顶点Q的轨迹是线段Q1Q2所在的直线， 当MQ⊥Q1Q2时值最小，如图所示： ∵ABCD是矩形，AB=2，AD=2，M是AB边的中点， ∴AM=BM=1， ∵是等边三角形， ∴MQ1=AM=BM=1，∠BMQ1=60°， ∴∠Q1MA=120°， ∴∠MQ1Q=30°， 又∵MQ⊥Q1Q2， ∴MQ=． 故答案为： 【点睛】本题主要考查垂线段最短，矩形的性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，关键是根据题意分析出当M在BP的垂直平分线上时QM最短． 13．在矩形中，，对角线相交于点，点是对角线上关于点对称的两点，点关于的对称点分别为点，点关于的对称点分别为点，若由点构成的四边形为菱形，则的长度为 ． 【答案】28 【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形面积公式、勾股定理，由题意易得，由轴对称的性质得出点在线段上，点分别在线段上，点为线段的中点，点为线段的中点，证明为等腰三角形，过点作，垂足为点，由等面积法得出，由勾股定理得出，即可得出，从而得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：四边形为矩形，， ， 如图，由对称性知，， ， 点在线段上， 同理，点分别在线段上， 由轴对称的性质可得， 点为线段的中点， 同理，点为线段的中点， 四边形为菱形， ，且，即，且， 四边形为平行四边形， ， ， ， 为等腰三角形， 过点作，垂足为点，则由， 得， ， ， ， 故答案为：． 14．如图所示，矩形，，，为矩形内一动点，为边上一动点，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，绕点顺时针旋转得到，连结，过点作于点，交于点，得到是等边三角形，由此可得，根据点到直线垂线段最短可得，当时，最短，即位置时，运用勾股定理，含角的直角三角形的性质可得的值，即可求解． 【详解】解：如图所示，绕点顺时针旋转得到，连结，过点作于点，交于点， 则， ，又， 为等边三角形， ， 当四点、、、共线时，其和最小， 又点为上一动点， 当时，最短，即位置时， 在中，，， ∴， ∴， ，， ， 即所求的最小值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，垂线段最短的综合运用，掌握旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理计算线段长短的方法是解题的关键． 15．三角形三个外角的度数比为，则它的最短边的长与最长边上的中线长之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形，三角形的外角和等知识，根据题意及三角形的外角和为求出这三个外角的度数，从而得到三角形的三个内角的度数，再根据直角三角形的性质即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵三角形三个外角的度数比为， 则设这三个外角的度数分别为：， ∴， 解得：， ∴这三个外角的度数分别为： ∴这个三角形的三个内角的度数分别为： 如图，，点为的中点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 16．在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接． (1)如图1，求的大小； (2)如图2，已知点和边上的点满足．求证：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查邻补角，等腰三角形的性质，三角形的内角和，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线间的线段成比例，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，得到，继而推导出 ，则，即可解答． （2）延长、，交于点， ，证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，继而推导出是菱形，得到，再推导出，则，可推导出 ，即点是斜边的中点，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置， ∴， ， 在中，， ∴ ． （2）证明：如图，延长、，交于点，则 ， ， ． 又， 四边形是平行四边形． ∴． 是的中点，， ． ． 四边形是平行四边形． ， 是菱形． ． ， ． ． ，即， ，即点是斜边的中点． ． 17．如图1，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，使得点E落在上，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点H，取的中点I，连接，探究和的数量关系，说明理由； (3)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了旋转与矩形、全等三角形的判定及性质、勾股定理： （1）根据矩形及旋转的性质得，，进而可得，在根据角的数量关系即可求证结论； （2）过点B作交于点M，连接，利用可得，进而可得，可得，再利用得，可得，可得，进可求解； （3）根据矩形及旋转的性质得，由（2）得，在中和在中，利用勾股定理可求得，再根据即可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：矩形是由矩形旋转得到， ，， ， ， ， ， 即． （2）解：，理由见解析： 如图，过点B作交于点M，连接， 则，由（1）知， 在和中， ， ， ， 矩形是由矩形旋转得到， ，， ， 又，， ． ， 是的中点， 为的中位线， ， ． ． （3）矩形是由矩形旋转得到，， ， 由（2）得：， ， 在中，，，， ， 由（2）得：， ，， 在中，，，， ， ． 18．如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E． (1)当点P是的中点时，求证：； (2)将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F． ①证明，并求出在（1）条件下的值； ②连接，求周长的最小值； ③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；；②12,；③，见解析 【分析】（1）根据矩形的性质得到，再结合P是的中点证明； （2）①设，在中，表示出三角形的其他两边，再由勾股定理列方程计算即可； ②当点恰好位于对角线上时，最小，利用勾股定理计算即可； ③过点作，交于点M，证明，再由即可得到． 【详解】（1）解：如图，在矩形中，， 即， ∴． ∵点P是的中点， ∴． ∴． （2）①证明：如图，在矩形中，， ∴． 由折叠可知， ∴． ∴． 在矩形中，， ∵点P是的中点， ∴． 由折叠可知，． 设，则． ∴． 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 即． ②解：如图，由折叠可知，． ∴． 由两点之间线段最短可知， 当点恰好位于对角线上时，最小． 连接，在中，， ∴， ∴， ∴． ③解：与的数量关系是． 理由是：如图，由折叠可知． 过点作，交于点M， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴点H是中点． ∵，即， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵点G为中点，点H是中点， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质、折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，根据等腰三角形的性质证明． 19．综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质． 已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究： 独立思考：小明：“当点落在上时，．” 小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长．” 实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：    问题1：在等腰中，由翻折得到． （1）如图1，当点落在上时，求证：； （2）如图2，若点为中点，，求的长． 问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展． 问题2：如图3，在等腰中，．若，则求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；问题2： 【分析】（1）根据等边对等角可得，根据折叠以及三角形内角和定理，可得，根据邻补角互补可得，即可得证； （2）连接，交于点，则是的中位线，勾股定理求得，根据即可求解； 问题2：连接，过点作于点，过点作于点，根据已知条件可得，则四边形是矩形，勾股定理求得，根据三线合一得出，根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】（1）∵等腰中，由翻折得到 ∴，， ∵， ∴； （2）如图所示，连接，交于点，    ∵折叠， ∴，，，， ∵是的中点， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 问题2：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， 则， 在中，，,， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20．综合与实践 (1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______． (2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为______． ②证明：四边形为平行四边形． (3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)①1；②见详解 (3)见详解 【分析】（1）由“角角边”即可证明； （2）①由操作知，将四边形绕点E旋转得到四边形，故，因此；②由两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明； （3）取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， 由题意得为中点，‘ ∴’， ∵， ∴ 故答案为：； （2）解：①如图，由操作知，点E为中点，将四边形绕点E旋转得到四边形， ∴， ∴， 故答案为：1； ②如图， 由题意得，是的中点，操作为将四边形绕点E旋转得到四边形，将四边形绕点H旋转得到四边形，将四边形放在左上方空出， 则，， ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴三点共线，同理三点共线， 由操作得，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）解：如图，     如图，取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形． 由题意得，，， ∴， ∴， 由操作得，， ∵， ∴， ∴三点共线， 同理三点共线， ∵， ∴四边形为矩形， 如图，连接， ∵为中点， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由操作得，，而， ∴， 同理，， ∵，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形能放置左上方空出， ∴按照以上操作可以拼成一个矩形． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，三角形的中位线，正确理解题意是解题的关键． 试卷第18页，共32页 试卷第17页，共32页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题十七、矩形（适中版） 一、单选题 1．如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   )    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 2．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ） A．20 B．12 C．14 D．13 3．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E， 若∠CAE=15°则∠BOE=（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 4．如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片中，，，将上面的矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，点的对应点为，连接，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B．6 C． D． 5．已知：a、b是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，，，，连接DE，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；    上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 7．如图，在矩形中，，点P为边上的一个动点，线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的度数为（  ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，，点，分别在，上且有，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（   ）． A． B． C． D． 9．点P是直线上一动点，O为原点，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 10．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图甲所示，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）。将三种颜色的图形进行重组，得到如图乙所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论．如图丙所示，设为斜边的中点，作的内接正方形的对角线，过点作于点，则下列推理不正确的是（    ）． A．由图甲和图乙面积相等，可得 B．由，可得 C．由，可得 D．由，可得 二、填空题 11．如图，将矩形纸片折叠，两点恰好重合落在边上点处，已知，PM=3,，那么矩形纸片的面积为 . 12．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，M、N分别为AB、CD的中点，点P为线段MN上一动点，以线段BP为边，Q在BP左侧作等边三角形BPQ，连接QM，则QM的最小值为 ． 13．在矩形中，，对角线相交于点，点是对角线上关于点对称的两点，点关于的对称点分别为点，点关于的对称点分别为点，若由点构成的四边形为菱形，则的长度为 ． 14．如图所示，矩形，，，为矩形内一动点，为边上一动点，若，则的最小值为 ． 15．三角形三个外角的度数比为，则它的最短边的长与最长边上的中线长之比为 ． 三、解答题 16．在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接． (1)如图1，求的大小； (2)如图2，已知点和边上的点满足．求证：； 17．如图1，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，使得点E落在上，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点H，取的中点I，连接，探究和的数量关系，说明理由； (3)如果，求的长． 18．如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E． (1)当点P是的中点时，求证：； (2)将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F． ①证明，并求出在（1）条件下的值； ②连接，求周长的最小值； ③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由． 19．综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质． 已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究： 独立思考：小明：“当点落在上时，．” 小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长．” 实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：    问题1：在等腰中，由翻折得到． （1）如图1，当点落在上时，求证：； （2）如图2，若点为中点，，求的长． 问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展． 问题2：如图3，在等腰中，．若，则求的长． 20．综合与实践 (1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______． (2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为______． ②证明：四边形为平行四边形． (3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $