精品解析：山东省东营市广饶县乐安中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年第一学期九年级数学质量检测 （时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 如图所示的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若是二次函数，则 的值等于（ ） A. B. C. D. 或 3. 盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同，两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 下列语句中，正确的是（　　） ①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形． A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ④ 5. 已知点在反比例函数（ 为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 是的外接圆，，若 的半径 为2，则弦 的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 7. 如图，四边形 内接于 ，若四边形 是平行四边形，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图及相关数据（单位： ）如图所示，则所需铁皮的面积（接缝面积忽略不计）为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴是，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共8小题，11-14每题3分，15-18每题4分，共28分） 11. 若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为______． 12. 在锐角 中，若，则的余弦值是______． 13. 如果抛物线 经过，那么抛物线的对称轴是______． 14. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 ，其中水面的宽 为，则排水管内水的深度为_____ ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，P是经过、、的圆上的一个动点（P与A、B不重合），则_____________． 16. 三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为________cm． 17. 如图，在中，的半径为点 是 边上的动点，过点 作 的一条切线 (其中点为切点)，则线段 长度的最小值为____． 18. 二次函数的图象如图，点位于坐标原点，点在 轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，点在二次函数位于第二象限的图象上，四边形，四边形，四边形…四边形都是正方形，则正方形的周长为__________. 三、解答题（共7小题，共62分） 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：中，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值． 20. 某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A．机器人，B．围棋，C．羽毛球，D．电影配音，每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中A所占扇形的圆心角为 ． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 人；扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为 度． （2）请你将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团； （4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 21. 如图，在 中， ，O是 边上一点，以O为圆心， 为半径的圆与 相交于点D，连接 ，且 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ， 的半径为1，求 的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于点A，与x轴交于点B，线段 ，C为x轴正半轴上一点，且． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求 的面积． 23. 胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔 垂直于桥面 于点B，其中两条斜拉索与桥面 的夹角分别为 和 ，两固定点D、C之间的距离约为，求主塔 的高度（结果保留整数，参考数据：） 24. 某文创公司新设计了一款黄河入海口黄蓝交汇纪念章，其成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价 （元/件）与每天的销售量 （个）的对应值表格如下： 销价 （元/件） …… 52 53 54 55 …… 日销售量 （件） …… 760 740 720 700 …… （1）求出 与 的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）当售价定为多少时，每天的利润可达到6000元？ （3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一款纪念章向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？最大利润是多少？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级数学质量检测 （时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 如图所示的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出从左面看这个几何体所得到的图形即可． 【详解】解：这个几何体的左视图为： 故选：A． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是得出正确答案的前提． 2. 若是二次函数，则 的值等于（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义求解即可，形如的函数为二次函数． 【详解】解：是二次函数，则且 由可得 或 ， 由可得， ， 综上 故答案为：C 【点睛】此题考查了二次函数的定义，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握二次函数的定义． 3. 盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同，两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，通过列举所有可能的抽取结果，再找出两人抽到卡片图案相同的结果，最后根据概率公式计算出相应概率． 【详解】解：记印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案的卡片分别为a，b，c，d，列表如下： a b c d a b c d 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽到的卡片图案相同的结果有4种， ∴所求概率为， 故选：C． 4. 下列语句中，正确的是（　　） ①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形． A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理判断． 【详解】①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本说法错误； ②同弧或等弧所对的圆周角相等，本说法正确； ③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，本说法错误； ④圆内接平行四边形一定是矩形，本说法正确； 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理是解题的关键． 5. 已知点在反比例函数（ 为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的增减性比较大小， 根据反比例函数的性质，由于，函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内 随 的增大而减小，点 在第三象限， 值为负；点和在第一象限， 值为正，且由于 ，故，因此 ． 【详解】∵ ， ∴ 函数 的图象分布在第一、三象限，在每一象限内 随 的增大而减小， ∵ 点的， ∴ ， ∵ 点和的 ， ∴ ， ， 又 ∵ ，且在第一象限内函数递减， ∴ ， ∴ ，即 ． 故选：A． 6. 如图， 是的外接圆，，若 的半径 为2，则弦 的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点 作 ，交 于点 ，根据圆周角定理以及垂径定理可得结果． 【详解】解：过点 作 ，交 于点 ， 是的外接圆，， ， 又 ， ， ， ， 在中，， ，， ， 故选：． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟知相关性质定理是解本题的关键． 7. 如图，四边形 内接于 ，若四边形 是平行四边形，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了圆周角定理及其应用、平行四边形的性质；应牢固掌握相关定理并能灵活运用． 设 的度数， 的度数，由题意可得，求出β再利用平行四边形对边平行，得同旁内角互补即可解决问题． 【详解】解：设 的度数， 的度数； ∵四边形 是平行四边形， ； ；而， ， 解得： ∵平行四边形 中，， , , 故答案为：C． 8. 小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图及相关数据（单位： ）如图所示，则所需铁皮的面积（接缝面积忽略不计）为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的三视图、圆锥侧面积的求法等知识，由该三视图中的数据确定圆锥的底面半径和母线长是解题的关键． 由三视图中数据可知该圆锥的底面半径为，圆锥母线长为，然后根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：由三视图中可知，该圆锥的底面半径为，圆锥母线长为， ∴圆锥侧面积． 故选：B． 9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查了抛物线和直线的图象，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，可先由二次函数 图象得到字母系数的正负，再与一次函数图象相比较看是否一致． 【详解】解：A、由抛物线，可知图象开口向下，交 轴的正半轴，可知 ， ，由直线可知，图象过二，三，四象限， ，故此选项不符合题意； B、由抛物线 ，可知图象开口向下，交 轴的负半轴，可知 ，，由直线可知，图象过一，二，三象限， ， ，故此选项不符合题意； C、由抛物线 ，可知图象开口向上，交 轴的负半轴，可知 ，，由直线可知，图象过一，二，四象限，， ，故此选项符合题意； D、由抛物线 ，可知图象开口向上，交 轴的正半轴，可知 ， ，由直线可知，图象过一，三，四象限， ， ，故此选项不符合题意； 故选：C． 10. 如图，抛物线的对称轴是，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像的开口方向，对称轴，图像与y轴的交点，即可判断①；根据对称轴x= - 2，OA=5OB，可得OA=5，OB＝1，点A（－5，0），点B（1，0），当x＝1时，y＝0即可判断②；根据对称轴x= - 2以及a+b+c=0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最小值是当x＝－2时y＝4a－2b＋c即可判断④. 【详解】解：①观察图像可知a＞0，b＞0，c＜0， ∴abc＜0， 故①错误 ②∵对称轴为直线x= - 2 ，OA＝5OB，可得OA=5 ，OB=1 ∴点A（－5，0），点B（1，0） ∴当x＝1时，y＝0即a＋b＋c= 0 ∴（a＋c）2－b2＝（a＋b＋c）（a＋c－b）＝0 故②正确 ③抛物线的对称轴为直线x=- 2，即 ＝－2 ∴b＝4a ∵a＋b＋c＝0 ∴ 5a＋c＝0 ∴c＝－5a ∴9a＋4c＝－11a＜0， 故③正确 ④ 当x＝－2时函数有最小值y＝4a－2b＋c， 当x=m时，am2＋bm＋c≥4a－2b＋c 整理得，若m为任意实数，则am2＋bm＋2b≥4a， 故④正确 故选C 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图像与系数关系． 二、填空题（共8小题，11-14每题3分，15-18每题4分，共28分） 11. 若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找 ．解决该题型题目时，由点在反比例函数图象上可以得出点的横纵坐标之积为定值，将其代入代数式即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴， 故答案为：． 12. 在锐角 中，若，则的余弦值是______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，非负数的性质，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．先根据非负数的性质得出，，由特殊角的三角函数值得出 及 的度数，再由三角形内角和定理得出的度数，进而得出结论． 【详解】解：， ，， ，， ， 为锐角， ， ， ， 的余弦值是． 故答案为：． 13. 如果抛物线 经过，那么抛物线的对称轴是______． 【答案】直线 【解析】 【分析】二次函数 图象是轴对称图形，经过，为一对对称点，于是得对称轴． 【详解】解：由抛物线 经过，得关于对称轴对称，即对称轴过的中点，， 故答案为：直线 ． 【点睛】本题考查二次函数图象的轴对称性质，中点坐标公式，理解二次函数的轴对称性是解题的关键． 14. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 ，其中水面的宽 为，则排水管内水的深度为_____ ． 【答案】 ## 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，过 作，交 于点，垂径定理可得，进而勾股定理求得 ，进而即可求解． 【详解】过 作，交 于点，可得出， 由直径是 得，半径， 在中，根据勾股定理得． 排水管内水的深度为：． 故答案为： 15. 如图，在平面直角坐标系中，P是经过、、的圆上的一个动点（P与A、B不重合），则_____________． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，等腰直角三角形的性质和判定，分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 根据 、 、的坐标就可以得到 ，则 是等腰三角形，可求出的度数；根据同弧所对的圆周角相等，以及圆内接四边形的对角互补，就可以求出的度数． 【详解】解：∵、、， ∴ ， 是等腰直角三角形． ， 当 在弦 所对的优弧上时，； 当 在弦 所对的劣弧上时，． 故答案是： 或． 16. 三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为________cm． 【答案】． 【解析】 【分析】过点E作EQ⊥FG于点Q，根据三视图可知AB的长即为EQ的长，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点E作EQ⊥FG于点Q， 由题意可得出：EQ=AB． ∵∠EFG=45°， ∴EQ=FQ， ∵EF=8cm， ∴， ∴EQ=FQ=（cm）， 即AB的长 cm． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三棱柱的三视图，得到AB的长即为EQ的长是解题的关键． 17. 如图，在中，的半径为点 是 边上的动点，过点 作 的一条切线 (其中点为切点)，则线段 长度的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接OP、OQ，根据,可得当OP⊥AB时，PQ最短；在中运用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求得AB、AQ的长，然后再运用等面积法求得OP的长，最后运用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图：连接OP、OQ， ∵ 是 的一条切线 ∴PQ⊥OQ ∴ ∴当OP⊥AB时，如图OP′，PQ最短 在Rt△ABC中， ∴AB=2OB=,AO=cos∠A·AB= ∵S△AOB= ∴，即OP=3 在Rt△OPQ中，OP=3,OQ=1 ∴PQ=． 故答案为． 【点睛】本题考查了切线的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，此正确作出辅助线、根据勾股定理确定当PO⊥AB时、线段PQ最短是解答本题的关键． 18. 二次函数的图象如图，点位于坐标原点，点在 轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，点在二次函数位于第二象限的图象上，四边形，四边形，四边形…四边形都是正方形，则正方形的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】因为四边形A0B1A1C1是正方形，所以A0B1=A1B1,又因为∠A0B1A1=90°。所以△A0B1A1是等腰直角三角形,可知点B1的坐标为(1,1),则A0B1 =，所以四边形A0B1A1C1周长为，同理可得四边形A1B2A2C2的周长为8，所以四边形An-1BnAnCn的周长为. 【详解】因为四边形A0B1A1C1是正方形，所以A0B1=A1B1,又因为∠A0B1A1=90°。所以△A0B1A1是等腰直角三角形,可知点B1的坐标为(1,1),则A0B1 =，所以四边形A0B1A1C1周长为，同理可得四边形A1B2A2C2的周长为8…同理可得四边形An-1BnAnCn的周长为. 【点睛】本题的考点是规律探索，方法是列出前面几个图形的结果，根据结果得出规律，最后求出答案即可. 三、解答题（共7小题，共62分） 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：中，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值． 【答案】（1）；（2），5 【解析】 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，立方根和特殊角的三角函数值，分式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算绝对值，负整数指数幂，有理数的乘方，立方根和特殊角的三角函数值，然后计算加减； （2）首先根据分式的混合运算法则化简，然后根据分式有意义的条件得到，然后代入求解即可． 【详解】解：（1） ． （2） ， 根据分式有意义得，即， ∴， 代入得原式． 20. 某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A．机器人，B．围棋，C．羽毛球，D．电影配音，每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中A所占扇形的圆心角为 ． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 人；扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为 度． （2）请你将条形统计图补充完整； （3）若该校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团； （4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1）200，108 （2）见解析 （3）300 （4） 【解析】 【分析】本题考查的是概率，熟练掌握统计图和树状图是解题的关键． （1）由A类有20人，所占扇形的圆心角为 ，即可求得这次被调查的学生数；继而得到C类的人数，进而得到C所占扇形的圆心角； （2）根据题意补全统计图； （3）利用样本估计总体，用该校1000学生数乘以参加了羽毛球社团的人数所占的百分比即可得到结论； （4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 ∵A类有20人，所占扇形的圆心角为 ， ∴这次被调查的学生共有：＝200（人）； C项目对应人数为：（人）； C所占扇形的圆心角是：． 故答案为：200，108； 【小问2详解】 补充如图． 【小问3详解】 （人）． 答：这1000名学生中有300人参加了羽毛球社团； 【小问4详解】 画树状图得： ∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种， ∴概率． 21. 如图，在 中， ，O是 边上一点，以O为圆心， 为半径的圆与 相交于点D，连接 ，且 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ， 的半径为1，求 的长． 【答案】（1） 证明：连接 ，如图所示： ， ． ， ． ∵ ， ∴ ， ， ． ∵ 为半径， ∴ 是 的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质，勾股定理，含30度角的直角三角形特征等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． （1）连接 ，利用圆周角定理可以得到，然后根据切线的判定方法可得结论； （2）利用等腰三角形性质可得 ， ，根据三角形外角性质求出 ，含30度角的直角三角形特征得出 ，利用最后利用勾股定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴ ， ∵， ∴ ∴， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于点A，与x轴交于点B，线段 ，C为x轴正半轴上一点，且． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求 的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为， 一次函数的解析式是 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，正弦的定义等知识，解题的关键是： （1）过点A作轴，在 中，根据正弦定义可求出 ，由勾股定理得 ，故可得点A的坐标为，把分别代入与中可求得m，n的值． （2）根据直线与x轴的交点可求点B的坐标，故 可得，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过A点作轴于点D， ∵， ， ∴ ． 由勾股定理得：． ∵点A在第一象限， ∴点A的坐标为． 将A的坐标为代入，得：， ∴． ∴该反比例函数的解析式为． 将A的坐标为代入得：， ∴． ∴一次函数的解析式是． 【小问2详解】 解：在中，令 ，即， ∴ ． ∴点B的坐标是． ∴． 又， ∴． ∴ 的面积为6． 23. 胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔 垂直于桥面 于点B，其中两条斜拉索与桥面 的夹角分别为 和 ，两固定点D、C之间的距离约为，求主塔 的高度（结果保留整数，参考数据：） 【答案】主塔 的高度约为78m． 【解析】 【分析】在Rt△ABD中，利用正切的定义求出，然后根据∠C＝45°得出AB＝BC，列方程求出BD，即可解决问题． 【详解】解：∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△ABD中，， 在Rt△ABC中，∠C＝45°， ∴AB＝BC， ∴， ∴m， ∴AB＝BC＝m， 答：主塔 的高度约为78m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 24. 某文创公司新设计了一款黄河入海口黄蓝交汇纪念章，其成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价 （元/件）与每天的销售量 （个）的对应值表格如下： 销价 （元/件） …… 52 53 54 55 …… 日销售量 （件） …… 760 740 720 700 …… （1）求出 与 的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）当售价定为多少时，每天的利润可达到6000元？ （3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一款纪念章向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）60 （3）定价75元，最大利润4500元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法确定函数解析式，一元二次方程的应用．解题的关键是根据等量关系列出函数解析式． （1）设 与 函数关系式为 ，根据信息表将和分别代入解析式，得到关于 与 二元一次方程组，求解即可； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可； （3）根据总利润 一个纪念章的纯利润 销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数的最值． 【小问1详解】 解：设 与 函数关系式为 ， 则， 解得， ∴ y与 之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， ∵， ∴应定价60 元； 【小问3详解】 解：设公司每天的利润为W元，根据题意得： ， ，， ∴当时， 有最大值，最大值为， 答：当一个纪念章定为75元时，才能使每天获利最大，最大利润4500元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标． 【答案】（1） （2）（-2，-4） （3）P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），， 【解析】 【分析】（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入，即可求出解析式； （2）先求出直线AB关系式为：，直线AB平移后的关系式为：，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D距AB最大，此时△ABD的面积最大，由此即可求得D点坐标； （3）分三种情况讨论，①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，将A（-4,0）代入得，解得：，此时P点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，将B（0，-4）代入得，，此时P点坐标为：（-1,-5）；③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，由于PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，=-1，则此时P点坐标为：，． 【小问1详解】 解：将B（0，-4），C（2，0）代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为：． 【小问2详解】 向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大， ∵时，，， ∴A点坐标为：（-4,0）， 设直线AB关系式为：， 将A（-4,0），B（0，-4），代入， 得：， 解得：， ∴直线AB关系式为：， 设直线AB平移后的关系式为：， 则方程有两个相等的实数根， 即有两个相等的实数根， ∴， 即的解为：x=-2， 将x=-2代入抛物线解析式得，， ∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大； 【小问3详解】 ①当∠PAB=90°时， 即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：， 将A（-4,0）代入得，， 解得：， ∴PA所在直线解析式为：， ∵抛物线对称轴为：x=-1， ∴当x=-1时，， ∴P点坐标为：（-1，3）； ②当∠PBA=90°时， 即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：， 将B（0，-4）代入得，， ∴PA所在直线解析式为：， ∴当x=-1时，， ∴P点坐标为：（-1，-5）； ③当∠APB=90°时，设P点坐标为：， ∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：， ∵PA⊥PB， ∴=-1， 解得：，， ∴P点坐标为：， 综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，时，△PAB为直角三角形． 【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $