第18 讲 构造等腰三角形的技巧培优练习 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第18 讲 构造等腰三角形的技巧 板块一 构等腰(一)作腰(底)的平行线 类型：作腰的平行线 条件:AB=AC,DE∥AC. 结论:DB=DE. 类型：作底边的平行线 条件： 结论： 典 例 精 讲 题型① 内作底的平行线 【例1】如图,在△ABC 中,AB=AC,,D 为AB 上一点,E 为BC 的延长线上一点,DE 与AC交于点 F.若 F 为DE 的中点,求证:AF=AD+CF. 题型② 外作腰的平行线 【例2】如图，在 中，AB=AC,过点 C 作 BC 的垂线，交BA 的延长线于点 D，延长AC 至点E,使CE=DB,,连接DE 交 BC 的延长线于点 F.求 的值. 实 战 演 练 题型③ 内作腰的平行线 1.如图,在△ABC中,AB=AC,点E 在AB上,点 F 在AC的延长线上,且BE=CF,EF 交BC于点N,EM⊥BC 于点M,求 的值. 题型④外作底的平行线 2.如图,在△ABC中,AB=AC,D为AB 的延长线上一点,DE⊥AC交AC 的延长线于点E,若∠DCE=∠ACB,求证:BD=2CE. 3.如图,在△ABC中,AB=AC,D 为BA 的延长线上一点,E 为BC 上一点,DC=DE. (1)求证:∠1=∠2; (2)若 DE 交AC 于点F,DF=EF,求证:BE=CE. 学科网（北京）股份有限公司 板块二 构等腰(二)角平分线遇平行线 类型1：内角平分线+平行线 方法：BD平分 结论:AB=AD 类型2：外角平分线+平行线 方法： 为 的外角,AE∥BC,AE 平分 结论： 典 例 精讲 题型① 内角平分线遇平行线 【例1】如图, BD 与AC 交于点E. O为AC 的中点,连接OD, ，试探究线段CD,AB,BD 之间的数量关系. 题型② 外角平分线遇平行线 【例2】如图,在△ABC 中,AB=8,点 M 是BC 的中点,AD 是∠BAC 的平分线,作MF∥AD 交AC 于点F.若CF=10,求AC 的长. 实 战 演 练 如图,在△ABC 中,∠ABC=2∠ACB,AO,BO分别平分∠BAC,∠ABC,连接OC. (1)求证:CO平分∠ACB; (2)若AB=6,AC=10,求OB 的长. 板块三 构等腰(三)截长补短法 典 例 精 讲 【例】如图,在等腰 Rt△ABC 中,AB=AC,过点 C 作 BC 的垂线CD,E 为BC 上一点,且∠1=∠2.求证:BE+CD=DE. 方法一:(补短法)延长 EB 至点N,使 BN=CD. 方法二:(截长法)在 DE 上取点M,使 DM=CD. 实 战 演 练 1.如图,在△ABC中,∠ACB=2∠ABC,AD 是△ABC 的角平分线,AB=AD+CD.求∠B 的度数. 2.如图,A,E,B 在同一条直线上,∠A=∠DEF=2∠FBE,EF=ED.求证:BE-AD=AE. 板块四 构等腰(四)二倍角处理 条件:∠ABC=2∠C 方法:作 BD 平分∠ABC 结论:BD=CD 条件:∠B=2∠C 方法:截取AE=AB 结论:AE=EC=AB 条件:∠ABC=2∠C 方法:延长CB 至D,使 DB=AB 结论:AD=AC 典 例 精 讲 【例1】如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,AD⊥BC 于点D,且AB+BD=DC,求∠C 的度数.(用两种方法) 方法一:(截长法)在CD 上取点E,使DE=BD. 方法二:(补短法)延长 DB 至F,使 BF=AB. 【例2】如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠B=2∠ADB,求证:AC=AB+CD. 【例3】如图,在四边形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 E,E 为 BD 的中点, 求AB 的长. 实 战 演 练 1.如图,CO平分∠ACB,∠A=2∠B,求证:BC=AC+AO. 2.如图,AC与BD 交于点E,BE=DE,∠BAC=2∠DCE.求证:(CE=AE+AB. C 3.如图，在 中， ,E 是AC上一点, (1)求证:AD 平分 (2)求证:AB=AE+DB. 4.如图, 为等边三角形，D，E分别为CB，AC 的延长线上一点， 求证：(CE=AD+BD. 板块五 构等腰(五)特殊角翻折 条件 AB=AC,BD平分∠ABC 图形 方法 截取 BE=AB. 截取 截取 结论 △CDE 为等腰三角形. 都是等腰三角形. 为等腰三角形. 典 例 精 讲 【例】如图,在△ABC 中,AB=AC,BD 平分∠ABC 交AC 于点D.若 求证：BC=AB+CD. 证法一(截长法)： 证法二(补短法)： 实 战 演 练 如图,在△ABC中,AB=AC,BD 平分∠ABC 交AC 于点D.若∠BAC=100°,求证:BC=BD+AD. 板块六 构等腰(六)倍长中线或作平行线 类型1：中点、等角模型 条件:AC=BC,∠D=∠BEC. 结论:BE=AD. 方法：延长DC 至点F，使CF=DC,连接BF. 类型2：中点、八字模型导角 条件:AC = BE,BC = DE, ∠ACB=∠BED=90°, P 为AD 的中点. 结论:PC⊥PE. 方法:延长CP 至点H,使 PH=PC. 典 例 精 讲 题型① 中线倍长构八字型导角 【例1】如图,AC=BE,BC=DE,∠ACB=∠BED=90°,P 为AD 的中点,求证:PC⊥PE. 题型②中线倍长构对角互补模型导角 【例2】如图,在五边形 ABCDE 中,AB=CD,BC=DE,∠ABC=∠CDE=90°,M 为AE的中点.求证:BM⊥MD. 实 战 演 练 1.如图, ,ED 的延长线交BC 于点 F. (1)求证:BD=CE; (2)若CF=BF,求证:AD⊥BD. 2.如图, ,F 是AE 的中点,写出线段 FD 与线段 FC的关系并说明理由. 3.如图, ,M 为EF 的中点.求证: 第18讲 构造等腰三角形的技巧 板块一 构等腰(一)作腰(底)的平行线 典例精讲 【例1】证明:过点 D 作DN∥BC 交AC 于点N, ∴∠ADN=∠B,∠AND=∠ACB. ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB, ∴∠ADN=∠AND,∴AD=AN. ∵DN∥BC,∴∠DNF=∠FCE. ∵∠DFN=∠EFC,DF=EF, ∴△DFN≌△EFC,∴NF=CF. ∵AF=AN+NF,∴AF=AD+CF. 【例2】解:过点 D 作DH∥AE,交 BF 的延长线于点 H.易证∠H=∠ACB=∠B=∠ECF,DH=DB=EC.又∠CFE=∠HFD,△ECF≌△DHF.∴CF=FH.∵DB=DH,DC⊥BH,∴BC=CH=2CF.∴BCF=2. 实战演练 1.解:过点 E 作EG∥AC交BC于点G,易证∠EGB=∠ACB=∠B,∴EB=EG,又EM⊥BC,∴BM=MG. ∵∠EGN=∠NCF,∠ENG=∠CNF,EG=EB=CF,∴△EGN≌△FCN,∴GN=NC,∴MN=MG+GN=BM+CN,∴MC= 2.证明:过点 D 作DF∥BC交AC的延长线于点 F, ∴∠ABC=∠ADF,∠ACB=∠F. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ADF=∠F, ∴AD=AF.∵AB=AC, ∴AD-AB=AF-AC,即 BD=CF. ∵∠DCE=∠ACB,∴∠F=∠DCE,∴DC=DF. ∵DE⊥CE,∴CE=EF,∴CF=2CE,∴BD=2CE. 3.证明:(1)∵DE=DC,AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB,∠DEC=∠DCE. ∵∠DEC=∠1+∠B,∠DCE=∠ACB+∠2, ∴∠1=∠2; (2)过点 D 作DM∥BC 交CA 的延长线于点M, ∴∠M=∠ACB,∵∠ABC=∠ACB,∴∠M=∠ABC. ∵∠1=∠2,DC=DE,∴△DBE≌△CMD,∴MD=BE. ∵∠M=∠FCE,∠MFD=∠CFE. DF=EF, ∴△MFD≌△CFE,∴MD=EC,∴BE=EC. 板块二 构等腰(二)角平分线遇平行线典例精讲 【例1】解:CD=AB+BD.理由如下:延长DO,AB 交于点 F. ∵AB∥CD,∴∠2=∠F, ∵∠1=∠2,∴∠1=∠F, ∴BD=BF,易证△AOF≌△COD, ∴CD=AF=AB+BF=AB+BD. 【例2】解:延长 FM 到点 N,使 MN=MF,连接BN,延长MF 交BA 延长线于点E,则△BMN≌△CMF, ∴BN=CF,∠N=∠MFC, 又∵∠BAD=∠CAD,MF∥AD, ∴∠E=∠BAD =∠CAD=∠CFM=∠AFE=∠N,∴AE=AF,BN=BE, ∴AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC=BN+FC=2FC, ∵AB=8,CF=10, ∴AC=2FC-AB=20-8=12. 实战演练 解：(1)过点O分别作三边AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为点M,N,E,易得OE=OM=ON,∴CO平分∠ACB; (2)过点 O 作 OD∥BC 交 AC 于点 D.∵BO 平分 ∠ABC,∠ABC = 2∠ACB, ∴ ∠ABO = ∠ACB, ∵OD∥BC,∴∠ADO=∠ACB,∴∠ABO=∠ADO, 又∠BAO=∠DAO,AO=AO,∴△BAO≌△DAO, ∴AD=AB=6,∴DC=AC-AD=10-6=4, ∵OD∥BC,∴∠DOC=∠OCB=∠ACO, ∴OB=OD=DC=4. 板块三 构等腰(一)截长补短法 典例精讲 【例】方法一 证明:连接AN,DN,则△ABN≌△ACD, ∴AN=AD,∠1=∠2=∠ANB, ∵AD=AN,∴∠AND=∠ADN, ∴∠END=∠EDN, ∴ED=EN=BE+BN=BE+CD. 方法二 证明:连接 BM,AM,则△DCA≌△DMA, ∴AM=AC=AB, ∴∠ABM=∠AMB, ∵∠AMD=∠ACD=135°, ∴∠EBM=∠EMB, ∴BE=EM.∴BE+CD=EM+DM=DE. 实战演练 1.解:在 AB 上截取AE=AC,连接DE. ∵AD平分∠BAC,易证△ACD≌△AED, ∴AE=AC,DE=CD,∠AED=∠C=2∠B, ∵∠AED=∠B+∠BDE, ∴∠B=∠BDE,∴BE=DE=CD, ∵AB=AD+CD=AE+BE=AC+CD, ∴AC=AD,∴∠ADC=∠ACD=2∠B, ∴∠B=∠BAD,∠BAC=2∠BAD=2∠B, ∴∠B+2∠B+2∠B=180°,∴∠B=36°. 2.证明:在 BE上截取EM=AD,连接FM. ∵∠A=∠DEF,∠DEB=∠A+∠ADE, ∴∠ADE=∠FEM, ∵ED=EF,∴△ADE≌△MEF, ∴AE=FM,∠A=∠EMF=2∠EBF, ∴∠MBF=∠MFB,∴FM=BM,∴AE=BM, ∴BE-AD=BE-EM=BM=AE. 板块四 构等腰(四)二倍角处理 典例精讲 【例1】方法一 解:连接AE,则CE=AB=AE, ∴∠B=∠AED=∠C+∠CAE=2∠C, ∵∠BAC=120°,∴∠C=20°. 方法二 解:连接AF,则AB+BD=DF=CD,∴AF=AC, 【例2】证明:在 AC上截取AE=AB,连接DE. ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠DAC,在△ABD 和△AED 中,AE=AB,∠BAD=∠DAC,AD=AD, ∴△ABD≌△AED(SAS), ∴∠B=∠AED,∠ADB=∠ADE,BD=DE,又∠B=2∠ADB,∴∠AED=2∠ADB,而∠BDE=∠ADB+∠ADE=2∠ADB,∴∠BDE=∠AED,∴∠CED=∠EDC,∴CD=CE,∴AC=AE+CE=AB+CD. 【例3】解:延长CA 至点 F,使AF=AB,连接BF,则∠F=∠ABF,∴∠BAC=∠F+∠ABF=2∠F. ∵∠BAC=2∠ACD,∴∠F=∠ACD. ∵∠FEB=∠DEC,BE=DE,∴△FEB≌△CED. ∴FE=CE=8,∴AB=AF=EF-AE=8-2=6. 实战演练 1.证明:在 BC上截取CE=CA,连接OE. ∵CO平分∠ACB,∴∠ACO=∠ECO. ∵CO=CO,∴△ACO≌△ECO, ∴OA=OE,∠CAO=∠CEO. ∵∠CAO=2∠CBO,∴∠CEO=2∠CBO. ∵∠CEO=∠CBO+∠EOB, ∴∠CBO=∠EOB,∴EO=EB,∴AO=EB. ∴BC=CE+EB=AC+AO. 2.证明:延长EA 至点 F,使AF=AB,连接BF. ∵AF=AB,∴∠F=∠ABF, ∴∠BAC=∠F+∠ABF=2∠F. ∵∠BAC=2∠DCE,∴∠F=∠DCE. ∵∠FEB=∠CED,BE=DE,∴△EFB≌△ECD, ∴CE=EF=AE+AF=AE+AB. 3.证明:(1)设∠EDC=x,则∠B=2x,∠ADC=45°+x, =45°-x,∴∠CAD=∠DAB,∴AD平分∠CAB; (2)在 AB 上截取 AF=AE,连接 DF,易证△ADE≌△ADF(SAS),得∠ADF=∠ADE=45°, ∴∠FDB=180°-∠ADF-∠ADE-∠EDC=90°-x, ∴∠DFB=∠ADF +∠DAB =90°-x,∴∠DFB =∠FDB,∴FB=DB,∴AB=AF+FB=AE+DB. 4.证明:法一:延长BD 至点M,使DM=AD,连接AM. ∴∠DAM=∠M,∴∠ADC=∠DAM+∠M=2∠M. ∵∠ADC=2∠E,..∠M=∠E. ∵△ABC 为等边三角形, ∴AC=BC,∠ABC=∠ACB=60°, ∴∠ABM=∠BCE=120°, ∴△ABM≌△BCE,∴BM=CE. ∵BM=BD+DM=BD+AD,∴CE=BD+AD. 法二:在CE 上截取CN=BD,连接BN. ∵△ABC 为等边三角形, ∴AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°, ∴∠ABD=∠BCN=120°,∴△ABD≌△BCN, ∴∠BNC=∠ADC,BN=AD. ∵∠ADC=2∠E,∴∠BNC=2∠E. ∵∠BNC=∠E+∠NBE,∴∠E=∠NBE, ∴BN=NE.∵BN=AD,∴AD=NE. ∴CE=CN+NE=BD+AD. 板块五 构等腰(五)特殊角翻折典例精讲 【例】证法一(截长法) 证明:在 BC 上截取BE=BA,连接DE,则△ABD≌△EBD(SAS), ∠DEB=∠BAC=108°,∴∠CED=72°, ∵∠C=36°,∴∠CDE=72°=∠CED, ∴CD=CE,∴BC=BE+CE=AB+CD. 证法二(补短法) 证明:延长 BA 至点E,使 BE=BC,连接DE,则△BDE≌△BDC(SAS), ∴DE=CD,∠E=∠C=36°,∠EAD=72°, .. AE=DE=CD, ∴BC=BE=AB+AE=AB+CD. 实战演练 证明:在 BC 上截取BE=BD,连接DE. ∵∠DBC=20°,则∠BED=80°,∠C=40°, ∴CE=DE, 在 BC上截取BF=BA,连接DF,则△BDA≌△BDF(SAS),AD=DF,∠DFB=∠A=100°, ∴DE=DF,∴CE=AD, ∴BC=BE+CE=BD+AD. 板块六 构等腰(六)倍长中线或作平行线 典例精讲 【例1】证明:过点 D 作DH∥AC,交CP 的延长线于点 H，连接CE,HE, ∴∠A=∠PDH, ∵∠APC=∠DPH,PA=PD,∴△ACP≌△DHP(ASA), ∴PH=PC,DH=AC=BE. 延长CB,HD 交于点G, ∵AC∥DH,∴∠G=∠ACB=90°=∠BED, ∴∠GBE=∠EDG,∴∠CBE=∠EDH, ∵BC=DE,∴△CBE≌△EDH(SAS), ∴EC=EH,∵PC=PH,∴PC⊥PE. 【点睛】延长CB，HD，利用平行线得∠G=90°，构造如图所示的八字型,得∠GBE=∠GDE 是导角的技巧之处. 【例2】证法一(计算导角)：延长 BM至点 N,使 MN =BM,连接NE,ND,BD. ∵M 为AE 的中点, ∴AM=ME. ∵∠AMB=∠NME, ∴△AMB≌△EMN, ∴NE=AB=CD, ∠BAE=∠NEM, ∵∠NED+∠NEM+∠AED=360°, ∴∠NED+∠BAE+∠AED=360°. ∵∠BAE+∠AED+∠EDC+∠ABC+∠BCD=540°,∠ABC=∠EDC=90°, ∴∠BAE+∠AED+∠BCD=360°, ∴∠NED=∠BCD. ∵NE=CD,DE=BC, ∴△NED≌△DCB,∴DN=DB. ∵BM=MN,∴DM⊥BM. 证法二(构互补图导角)：延长 NE，DC 交于点G，设NE 交BC 于点 F. 由(1)知AB∥NG,∴NG⊥BC, ∵∠CDE=90°,∴∠BCG=∠DEG, ∴∠BCD=∠DEN,再证△NED≌△DCB 即可. 【点睛】证法二中延长 NE，CD，构造如图所示的对角互补四边形 EFCD 导角，是简化证角相等的技巧. 实战演练 1.解:(1)∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,即∠BAD=∠CAE,△ABD≌△ACE,∴BD=CE; (2)过点 C 作CH∥BD 交DF 的延长线于点 H,∠H=∠BDF,∠CFH=∠BFD,△CFH≌△BFD, ∴CH=BD=CE, ∴∠H=∠CEH,∴∠CEH=∠BDF, ∵∠BAC=∠DAE,∴∠ADE=∠AED=∠ABC =∠ACB,∠ADF+∠ADE=∠ADF+∠ABC=180°, ∴∠ADB+∠BDF+∠ABC=180°, ..∠ADB+∠AED+∠CEH=180°, ∴∠ADB+∠AEC=180°,由(1)得∠ADB=∠AEC, ..∠ADB=90°,即AD⊥BD. 2.解:FD=FC,FD⊥FC,理由:延长CF 至点M,使MF=CF,连接ME,DM,DC,延长 DE 交AC 于点 N. ∵F为AE 的中点,∴AF=EF. ∵∠AFC=∠MFE, ∴△AFC≌△EFM, .. ME=AC=BC, ∠EMF=∠FCA, .. ME∥AC,∴∠MED=∠AND. ∵∠BDN+∠BCN+∠DBC+∠DNC=360°,∠BDN=90°,∠BCA=90°, ∴∠DBC+∠DNC=180°.∵∠AND+∠DNC=180°, ∴∠DNA=∠DBC,∴∠MED=∠DBC. ∵BD=DE,ME=BC,∴△DBC≌△DEM, ∴∠BDC=∠EDM,DC=DM, ∴∠CDM=∠BDE=90°, ∴∠DCM=∠DMC=45°. ∵DC=DM,MF=CF,∴FD⊥FC, ∴∠CDF=∠DCF,∴FD=FC,故 FD=FC,FD⊥FC. 【点睛】延长 DE 交 AC 于点 N，构造对角互补四边形BDNC,再利用ME∥AC,得出∠MED=∠AND=∠B,是导角的技巧之处. 3.证明:延长 BM 到点 H,使 HM=BM,连接 HF,BD,HD,延长 BE,DF 交于点C. ∵M为EF 的中点,∴FM=EM,∵∠HMF=∠BME, ∴△HFM≌△BEM(SAS), ∴FH=BE,∠FHM=∠EBM,∴HF∥BE, ∴∠CFH=∠C,∵AB=BE,∴FH=AB, ∵∠A+∠C+∠ABC+∠ADC=360°,且∠ABC+∠ADC=180°, ∴∠A+∠C=180°,∴∠CFH+∠A=180°, ∵∠DFH+∠CFH=180°,∴∠DFH=∠A. ∵FD=AD,∴△FHD≌△ABD,∴HD=BD, ∵BM=MH,∴DM⊥BM. 【点睛】延长 BE,DF,构对角互补四边形 ABCD,得出∠A+∠C=180°,再利用平行线 FH∥BC,得出∠C=∠HFC 是导角的技巧之处. $