专题07 特殊三角形中的七大题型 2025-2026学年人教版八年级上册数学重难点培优专题【题型分类+知识梳理+能力提升】

人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题07 特殊三角形中的七大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：直角三角形中两个锐角互余的应用…………………………………… 1 题型2：含30°角的直角三角形的性质综合…………………………………… 5 题型3：等腰三角形中“三线合一”综合……………………………………… 8 题型4：等腰三角形的性质与判定综合………………………………………… 16 题型5：等边三角形的性质与判定综合………………………………………… 56 题型6：等腰三角形中动点问题………………………………………………… 80 题型7：等腰三角形中分类讨论问题…………………………………………… 95 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 109 知识梳理 1、含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2、等腰三角形的性质：① 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； ② 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）． 3、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 4、等边三角形的判定：① 三边都相等的三角形是等边三角形； ② 三个角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 重难点题型分类 【题型1：直角三角形中两个锐角互余的应用】 【例1】对于下列四个条件：①；②，③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】①，推出，得到是直角三角形；②根据勾股定理逆定理，即可推出是直角三角形；③，推出，得到是直角三角形；④，结合三角形的内角和定理，求出三个角的度数，进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形；故①正确； ②∵， 设， ∴， ∴是直角三角形；故②正确； ③∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形；故③正确； ④∵，， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形；故④错误； 综上：能确定是直角三角形的条件有①②③； 故选A． 【点睛】本题考查直角三角形的判定．熟练掌握直角三角形的定义，以及勾股定理逆定理，是解题的关键． 【变式1-1】的三边分别为，，，下列条件能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是直角三角形的判定方法，大约有以下几种，勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数；根据上面两种情况进行判断即可． 【详解】解：、，此时只为等腰角三角形，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 、，， ，， 不能确定为直角三角形，故本选项不符合题意； 、， ， 即为直角三角形，故本选项符合题意； 、，， ， 即为锐角三角形，故本选项不符合题意． 故选：． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形． 【变式1-2】如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC 是 ． 【答案】直角三角形 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可知∠A+∠C=90°,再由∠DEC＝∠A进而可得出结论. 【详解】解: 在Rt△ABC 中， ∵∠B＝90°, ∴∠A+∠C=90°, ∵∠DEC＝∠A, ∴∠DEC+∠C=90°, ∴∠EDC=90°, ∴△EDC 是直角三角形, 故答案为 直角三角形. 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余及有两个角互余的三角形是直角三角形，是基础知识要熟练掌握. 【变式1-3】如图，在中，是高，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若是的角平分线，相交于点F．试说明：． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据在中，是高得到，再利用等角的余角相等得到即可解答； （2）根据角平分线的定义得到，再利用等角的余角相等即可解答． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形． （2）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， 由(1)知， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等角的余角相等，角平分线的定义，对顶角相等，直角三角形的判定，掌握等角的余角相等是解题的关键． 【题型2：含30°角的直角三角形的性质综合】 【例1】如图，在等腰中，，，则的面积是（　　） A．6 B．9 C．18 D．36 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及“直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，掌握相关性质是解题的关键．过点作垂直于的延长线于点，先求出，再根据“直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，求出的长，最后再根据三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作垂直于的延长线于点 在中，， 在中，，       故选：B． 【变式1-1】如图，，，若，则的长度为 （      ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于利用角平分线定理作出辅助线． 过点作，由题意得出，即可得出，再证明为角平分线，则． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∴，即为的角平分线， ， ∴， 故选：B 【变式1-2】如图，在中，，D为的中点，，点E在上，且，则的大小为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由直角三角形斜边中线的性质，得出，再证明，可得结论． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】如图，， 点D在上，， ， ，且．求： 的长度． 【答案】8 【分析】本题考查了角平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质，根据，，且，即可得出平分，再根据在直角三角形中，含角的直角边等于斜边的一半，即可得出的长． 【详解】解：∵，，且， ∴平分， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【题型3：等腰三角形中“三线合一”综合】 【例1】如图，在中，，，平分交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则的周长为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】根据等腰三角形底边三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DE=CE=AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=4， ∴AD⊥BC，CD=BD=BC=2， ∵点E为AC的中点， ∴DE=CE=AC=2.5， ∴△CDE的周长=CD+DE+CE=2+2.5+2.5=7． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形底边三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 【变式1-1】如图，在中，，点D为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解答本题的关键 ． 先由等腰三角形的性质得到，再结合题意和三角形的内角和定理得到． 【详解】解：∵， ∴, ∵D是边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-2】如图，在四边形中，于点E，连接，四边形的面积为．若平分，则四边形（阴影部分）的面积为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形中线等知识点，掌握等腰三角形三线合一的性质成为解题的关键． 由等腰三角形三线合一的性质可得，再根据三角形中线的性质可得，，最后结合图形即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴，， ∴． 故选B． 【变式1-3】中，，，点是边上一点，点是射线上一点，与射线相交于点，点是的中点，若，则 度． 【答案】或 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角和定理，等腰三角形三线合一的性质，以及分类讨论思想．本题无图需分类讨论，因为已知两个角的度数，所以的形状固定．分为两种情况，点F在射线上，点E在线段上，点E在射线上，点F在线段上；即可． 【详解】解：如图1： 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵G是中点， ∴． 如图2： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵G是中点， ∴， ∴∠． 故答案为：或． 【变式1-4】如图，，点是斜边的中点，平分，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质、三角形的中位线定理，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用三角形的中位线定理进行计算即可解答，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及三角形的中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵，点是斜边的中点， ∴， ∵平分， ∴， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：． 【变式1-5】如图，在四边形中，平分，于点E． (1)若，求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，三线合一，掌握本题的辅助线的作法，证得是解题的关键． （1）延长到点M，使．由线段垂直平分线的性质可知，从而可得到，然后由同角的补角相等可知，从而可证明，从而可证得； （2）延长到点M，使．然后证明，由全等三角形的性质可知：． 【详解】（1）如图1．延长到点M，使． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∴，即． （2）如图2所示，延长到点M，使． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． 在△ADC和△MBC中，， ∴． ∴． 【变式1-6】如图，在中，是边上的高，是边上的中线，，于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的斜边上的中线等于斜边一半的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等， （1）连接，根据直角三角形的性质得到，进而证明，根据等腰三角形的三线合一证明结论； （2）根据三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的性质可得，再结合已知和三角形外角性质得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是边上的高， ， 是斜边上的中点， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）的结论可知：， ， ， ， 由外角的性质得：， ， ∵， 又∵， ∴， ∴， ． 【题型4：等腰三角形的性质与判定综合】 【例1】如图，在中，，过点作于点，过点作于点，与相交于点．若，则的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用及等腰直角三角形的性质和判定，熟知性质定理、准确作出辅助线是正确解答此题的关键． 连接并延长，交于，证明，，即可求解． 【详解】解：连接并延长，交于， 为的高， 为的高， ， ， ， ， ， ， ， 同理可求， ， ， 故答案为：B． 【变式1-1】如图，和均为等腰直角三角形，其中点在同一直线上，，连接，则的长为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键，证明即可求出结论． 【详解】解：和均为等腰直角三角形， ， ，即， ， ， 故选：A． 【变式1-2】如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查三角形中线的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 延长到点，使，连接，则，而，即可根据“”证明，得，，因为，，，所以，，推导出，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长到点，使，连接， 在中，为边的中线， ， 在和中， ， ， ，， 为上一点，连接并延长交于点，，，， ，， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-3】如图，是的平分线，，垂足为点交的延长线于点，已知平分．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得出，证明是等腰三角形，根据三线合一得出，证明，得出，即可求解． 【详解】解：， ． 平分， ， ， ，是等腰三角形． 是的平分线， 根据“等腰三角形的三线合一”，． 在与中， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 【变式1-4】如图，在三角形中，过点作交于点，若，求线段的长度． 【答案】3 【分析】证明即可解答．本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质． 【详解】解： 是等腰直角三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 【例2】如图，在中，，点，在上，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 设，根据得，根据得，再根据得，由此得，据此即可得出答案． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 即， ， ， 即． 故选：． 【变式2-1】如图，的两条高，交于E，连接，，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，先证明，得出，再证明，得出，根据等腰三角形的性质求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵的两条高，交于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2-2】在中，，，的平分线交于点，平分交于点，连接，于点，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理，由等腰三角形的性质可得，，，即，作交的延长线于，于，求出，由角平分线的性质定理得出，从而得出平分，即，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，平分交于点， ∴，，， ∴， 如图，作交的延长线于，于， ， ∵， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵的平分线交于点，，， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， ∴， 故答案为：30． 【变式2-3】如图，四边形中，，平分，O为对角线的交点，，，则 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定和性质，关键是由三角形内角和定理得到关于x的方程．由平行线的性质推出，，由角平分线定义得到，因此，推出，得到，推出，由对顶角的性质得到，因此，推出，得到，于是，由三角形外角的性质得到，设，然后可列方程进行求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-4】如图，中，，点在上，连接，过作于，． (1)求的度数； (2)连接，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握并灵活应用各性质定理是解题的关键． （1）设，，根据等边对等角，以及三角形内角和等于，可得到，在中，根据两锐角互余可得，进而根据求解即可； （2）过作于，证明，得到，从而根据三角形面积公式即可得证； （3）在上截取，连接，，则，通过证明，得到，，最后根据 求解即可． 【详解】（1）解：设，， ， ， 在中， ， ， ； （2）证明：如图，过作于， 在和中， ， ， ， ，即； （3）解：如图，在上截取，连接，，则， 在中，， ， 平分， ， ， 易证， ， 延长交于，于， 在中，， ， ， ，， ， ，舍负值，即． 【例3】如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，已知，则的周长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据角平分线的定义和平行线的性质可证是等腰三角形，从而可得，然后利用三角形的周长公式以及等量代换进行计算即可解答． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， 的周长， 故选：C． 【变式3-1】如图，在中，，点D在边上，点E在边上，，若，则的面积为（   ）    A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定义，对顶角相等．掌握知识点是解题的关键． 过点A作于点A，与的延长线交于点F，连接，证明，，可得是等腰直角三角形，继而证明，则，可得，即可解答． 【详解】解：过点A作于点A，与的延长线交于点F，连接，如图    ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式3-2】如图，在中，，点D是边上的动点，点D关于的对称点分别为E，F，连接．点D在从点B向点C运动过程中，的周长（   ） A．一直在变小 B．保持不变 C．先变大再变小 D．先变小再变大 【答案】D 【分析】本题考查求三角形周长最小值的问题，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质．根据轴对称的性质得，，，，等量代换得，，得是等腰直角三角形，再根据垂线段最短得当时，取最小值，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵点D关于的对称点分别为E，F， ∴是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长为：， ∴当最小即取最小值时，的周长最小， ∴当，取最小值， ∴点D在从点B向点C运动过程中，的周长先变小再变大， 故选：D． 【变式3-3】如图，已知在中，平分，，延长，交于点D，连接，若的面积为2，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质，由角平分线的定义可得，由垂直的定义可得，证明得出，由等腰三角形的性质可得，从而可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-4】如图，在中，，垂直平分交于点，点在线段上，点在线段上，连接、，若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质推出．由线段垂直平分线的性质推出，由等腰三角形的性质推出，由三角形的外角性质推出，得到，因此的周长． 【详解】解：垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 的周长 故答案为： 【例4】如图，在和中，，连接BE并延长分别交，于点，，恰好平分，连接，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定、角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识．通过证明三角形全等得到角相等和边相等的关系，再结合等腰三角形的性质及平行线的判定条件来逐一分析各选项． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ∴≌， ∴，， 故选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选项正确，不符合题意； 根据已知条件无法证明， 故A选项不正确，符合题意． 故选：A． 【变式4-1】如图，是等腰直角三角形，将直角三角形的直角顶点放在的中点上，转动，设分别交，的延长线于点，连，有下列结论：①；②若，，则；③；④，其中正确的结论有（   ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．①连接，根据等腰直角三角形得，，先证得，进而得为等腰直角三角形，则，据此可求出的度数，进而可对结论①进行判断；②由得，再由得，然后根据可对结论②进行判断；③在中，不一定是，因此不一定成立，再根据可对结论③进行判断；④根据点D为的中点得，再根据得，然后由，得，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①连接，如图所示： 是等腰直角三角形，点D为底边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，故结论①正确； ， ， ， ， ， ，故结论②正确； 在中，不一定等于， 不一定成立， ， 不一定成立，故结论③不正确； 点D为的中点， ， ， ， 又， ， ， ，故结论④正确． 综上所述：正确的结论是①②④，共3个． 故选：B． 【变式4-2】如图，在中，，，是的角平分线． 过点的直线交线段于点，交线段的延长线于点，作，交的延长线于点，交线段于．在满足以上条件的情况下将绕点旋转，旋转过程中以下保持定值的有（    ）个． ①；②；③四边形的面积；④ A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 根据等腰直角三角形的性质和证明，得到，，从而得到，可推出，再根据线段的和差即可判断①；由可推出，由，，可得，可判断②；可证明，得到，由，可判断③；由，得，根据，可判断④． 【详解】解：，，是的角平分线， ，，， ，，且， ， ， ，，， ， ，，， ， ， 又， ，是确定的， 是定值，故①正确； ， ， 又， ， ，， ， 随的旋转而改变， 不是定值，故②错误； ，，， ， ，且， 是定值， 四边形的面积是定值，故③正确； ， ， ， 随的旋转而改变， 不是定值，故④错误； 保持定值的有①③， 故选：B． 【变式4-3】如图，在和中，，连接交于点，连接，以下结论：①；②；③平分，其中正确的个数为 ． 【答案】2 【分析】由证明得出，，可判断①；由全等三角形性质得，由三角形的外角性质得：，得出，可判断②；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，从而可得，而，可判断③． 【详解】解：∵， ，即， 在和中， ， ∴（）， ∴，，故①正确； ， ∴， 由三角形的外角性质得：， ∴，故②正确； 如图，作于G，于H，则， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴平分， ∵， ∴当时，平分，假设， ∵， ∴，， 又， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 与矛盾，故③错误； 综上所述，正确的有①②，共2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，反证法，角平分线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键． 【例5】在中，，，作等腰，使． (1)如图，若与互余，则 ______用含有的式子表示； (2)如图，若与互补，过点作于点，求证：； (3)若与的面积相等，则的度数为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)若与的面积相等，则的度数为或 【分析】（1）先根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，根据与互余得，再根据即可得出答案； （2）过点作于点，根据等腰三角形性质，先证明，进而依据“”判定和全等得，由此即可得出结论； （3）依题意有以下两种情况：当与都是锐角三角形时，过点作于点，过点作于点，先由与的面积相等得，进而依据“”判定和全等得，即当是锐角三角形，是钝角三角形时，过点作于点，过点作，交的延长线于点，先由与的面积相等得，进而依据“”判定和全等得，再根据得，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，， ， 与互余， ， ， 故答案为：； （2）证明：过点作于点，如图所示： 在中，， ， ， 在中，， 在中，于点， ， 与互补， ， ， 即， ， 于点于点， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （3）若与的面积相等，则的度数为或，理由如下： 依题意有以下两种情况： 当与都是锐角三角形时， 过点作于点，过点作于点，如图所示： ， ， 与的面积相等， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即； 当是锐角三角形，是钝角三角形时， 过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图所示： ， ， 与的面积相等， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即 ， ， 综上所述：若与的面积相等，则的度数为或． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，列代数式，余角和补角，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，余角和补角定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形，分类讨论是解决问题的难点． 【变式5-1】已知和中，，，，与交于点． (1)如图当时求证：； (2)如图，直接写出的度数为______（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用角的和差关系可得，利用证明，然后根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）由已知条件得到，推出，根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和可得，根据平角定义可得． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式5-2】已知在中，，D为的中点． (1)如图，E、F分别是上的动点，且，求证：为等腰直角三角形； (2)在（1）的条件下，四边形的面积是否变化，证明你的结论； (3)若E、F分别为延长线上的点，仍有，其他条件不变，那么是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形面积不变．见解析 (3)仍为等腰直角三角形．见解析 【分析】本题综合考查了等腰三角形的性质及判定、全等三角形的判定和性质等知识，难度较大． （1）连接，可通过证和全等来求本题的结论． （2）可将四边形的面积分成和的面积和求解，由（1）证得和全等，因此四边形的面积可转化为的面积，由此得证． （3）与（1）题的思路和解法一样． 【详解】（1）证明：连接 ∵，D为中点 ∴，平分，，， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ 即： ∴为等腰直角三角形； （2）解：四边形面积不变． 理由：∵由（1）可知， ∴， 而， ∵D为的中点， ∴， ∵面积不变， ∴不会发生变化； （3）解：仍为等腰直角三角形． 理由：连接， ∵，D为中点 ∴，平分，，， ∴， ∴均为等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ 即： ∴为等腰直角三角形． 【变式5-3】如图，平分，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．求证： (1)点D为的中点； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质， 对于（1），作，根据角平分线的性质定理得，再根据平行线的性质得，然后根据角平分线的性质定理得，即可得出答案； 对于（2），先根据“角边角”证明，可得，再说明是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质得出答案. 【详解】（1）证明：过点D作于H， ∵平分，， ∴. ∵， ∴. ∵平分， ∴， ∴， ∴点D为的中点； （2）证明：∵， ∴，且， ∴， ∴. ∵平分， ∴， ∴， ∴，且， ∴． 【变式5-4】【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． (1)【理解】如图1，在中，，，请求出图中三对等角三角形． (2)【尝试】如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． (3)【应用】在中，，是的等角分割线，请求出的度数． 【答案】(1)与，与，与 (2)见解析 (3)或或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等角三角形的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等角三角形的定义解答即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴与，与，与是等角三角形； （2）证明：∵在中，，， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为的等角分割线； （3）解：当是等腰三角形，如图，时，，    ∴， ∴； 当是等腰三角形，如图，时，，    ∴， ∴， ∴； 当是等腰三角形，的情况不存在， 当是等腰三角形，如图，时，    ∴， 当是等腰三角形，如图，时，，    设，则，， 由题意得，， 解得，， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， ∴的度数为或或或． 【变式5-5】在学习等腰三角形的性质时，同学们展开多维度探索： (1)基础应用：在中，的周长为的周长比的周长少12，则的长为______． (2)逆向探究：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成证明． 已知：在中，平分，且点是的中点． 求证：． 方法一：如图2，延长到点，使，连接． 方法二：如图3，过点分别作的垂线，垂足分别为E，F． (3)拓展综合：如图4，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，连接，设的面积分别为，试求的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形中线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，平分，得出设，，，由的周长为40，得出，由的周长比的周长少12，得出，即可求解； （2）方法一，延长到点E，使， 连接，可证明，得出，，再由角平分线的性质得到，进而得到，得出，即可求证；方法二，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F，通过分别证明，，从而得到，，即可求证； （3）延长交的延长线为点，可证明，进而得到，根据题意得到，由于点H到的距离小于等于的长，则当时，有最大值，最大值为． 【详解】（1）解：∵， ∴； 设，，， ∵的周长为40， ∴， ∴， ∵的周长比的周长少12， ∴， ∴． （2）证明：方法一： 如图2， 延长到点E，使， 连接，    ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二： 如图3，过点D分别作的垂线，垂足分别为E，F， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长交的延长线为点，如图：    ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； ∵的面积分别为， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点H到的距离小于等于的长， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为． 【题型5：等边三角形的性质与判定综合】 【例1】如图，在中，，、分别是、的垂直平分线，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定是解题的关键，连接，，易证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，， ∴， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1-1】如图，在中，D是的中点，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使得，连接，先证明，再证明，然后得到为等边三角形，即可求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴, ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：A． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，的坐标分别为，，点从点出发沿向点运动，连接交于点当恰好为中点时，则长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形，过点作轴，交于点，可证是等边三角形，利用可证，根据全等三角形的性质可知，，从而可求，根据线段之间的关系可以求出． 【详解】解：如下图所示，过点作轴，交于点， ，的坐标分别为，， ，， ， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， 点是的中点， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 【变式1-3】如图，在等腰三角形中，，点，在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键是添加辅助线，能洞察到特殊角在求边长中的用法． 延长交于点，延长交于点，可得是等边三角形，，进而知，然后可得，再利用等腰三角形的性质可得，，从而可得，进而在中，利用含30度角直角三角形的性质可得，据此进行计算即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-4】如图，等边中，于，，点P、Q分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称性质、等边三角形的判定和性质. 先由等边三角形的性质求出，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值，求得，再证是等边三角形，得到即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【例2】如图，，，，，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的外角性质．先利用判定，求得，再证明是等边三角形，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2-1】如图，已知射线，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，作，垂足为，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，基本作图． 根据作图可得，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 故选：D． 【变式2-2】如图，在中，，D是的中点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形的性质得到，得到为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：， ， ∵D是的中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2-3】如图，点P是内任意一点，，M，N分别是射线和上的动点，若周长的最小值为5，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了最短路径问题，轴对称和等边三角形性质，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质，分别作点关于的对称点、，分别连、、交、于、，则可证明此时周长的最小，由轴对称性，可证明为等边三角形，． 【详解】解：分别作点关于的对称点、，分别连接、、交、于、， 由轴对称周长等于 ， 由两点之间线段最短可知，此时周长的最小， ， 由对称得， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-4】在中，若，，分别是边，上的点，，，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，如图，延长到点，使，连接，证明为等边三角形，可得，，再证明，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， 而， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式2-5】如图，等腰三角形中，，是边上一点，，连接，那么的大小是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质及等边三角形的性质的综合运用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 以为一边在外侧作正三角形，连接，根据已知可求得的度数，再根据等边三角形的性质可求得的度数，证明≌，由全等三角形的性质及等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质解题即可． 【详解】解：以为一边在外侧作正三角形，连接， ，顶角， ∴， 是正三角形， ， ， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ，，， ， ∵，， ∴， ， ． 故答案为：30． 【例3】如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，然后求得，再求得，然后即可求解； （2）本题根据含角的直角三角形的知识，进行作答，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点F在的垂直平分线上， ∴， ， ， 于点， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：由条件可知， ， ， ， ， ． 【变式3-1】如图，为线段上一点，分别以，为边，在的同侧作等边三角形和等边三角形，交于点，交于点． 求证： (1)； (2)为等边三角形； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，再证出，然后根据定理即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，则可得，再根据全等三角形的性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据等边三角形的判定即可得证； （3）先根据等边三角形的性质可得，，再根据平行线的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形． （3）证明：∵是等边三角形， ∴， 由（2）已证：为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【变式3-2】在中，，点D是射线上的一动点（不与点B，C重合），使，，设，． (1)如图1，当点D在线段上，且时， 度； (2)当： ①如图2，当点D在线段上时，求m与n间的数量关系； ②如图3，当点D在线段的延长线上时，请将图3补充完整，并求出m与n之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②图见解析， 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）根据，得到即，从而证明，根据，，代入计算即可． （2）①根据，得到即，从而证明，得到，根据等腰三角形的性质，进行等量代换计算得即可；②补图后，仿照①的证明求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：120． （2）解：①，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②如图所示， ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， 设线段和线段相交于点F． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式3-3】在等边三角形中，D为射线上一点，连接，点B关于的对称点为点E，连接． (1)如图1；点D在线段上，且，求的度数； (2)直线与直线交于点F，过D作交直线于点G，直线交直线于点H． ①如图2，点D在线段上，求证： ②点D在线段的延长线上，试猜想线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）由轴对称的性质可得，由等边三角形的性质得到，则可证明，据此求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得答案； （2）①证明是等边三角形．则可证明．由轴对称的性质得到，，，则，设，则．则．可证明．再证明，得到，则，据此可证明； ②同理可证明，得到，，再证明是等边三角形．得到．则． 【详解】（1）解：由轴对称的性质可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①是等边三角形， ，． ∵， ，． ． 是等边三角形． ， ∴，        ． 点B关于直线的对称点为E， ，，， ， 设，则． ．    ， ∴， ． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ． ②，证明如下： 是等边三角形， ，． ∵， ，． ． 是等边三角形． ， ∴，        ． 点B关于直线的对称点为E， ，，， ， 设，则． ．    ， ∴， ． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ． ，．     在中，， ∴， ∴是等边三角形． ．     ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键． 【变式3-4】综合与实践 【问题提出】 （1）如图①，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点、于点，且．则猜想并证明，，之间的数量失系． （2）如图②，已知等边三角形及外一点，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，在中，，点为外一点，且，，直接写出的度数． 【答案】（1）（2），证明见解析（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，得出，，根据线段的和差关系即可得出结论； （2）在上截取，连接，证明为等边三角形，得出，，再证明，得出，即可得证； （3）延长至，使，再在上取点，使，连接，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，再证明，得出，即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）结论：， 证明：在上截取，连接， 在等边中，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：延长至，使，再在上取点，使，连接，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 又， ∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【题型6：等腰三角形中动点问题】 【例1】如图，AE//BC，∠A=90°，BC=AC=6 cm，EA上取点D．使得∠1=∠2． （1）求证： BD=DC； （2）若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C点运动，设点P运动的时间为t秒： ①当______时，PD平分∠BDC； ②若点Q以3cm/s的速度由C→A→E运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，______时，△PCQ是等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）①3s；②1.5s或s 【分析】（1）由平行线的性质，即可得到∠DBC=∠DCB，进而得出DB=DC； （2）①依据△DCB是等腰三角形，可得当点P是BC的中点时，DP平分∠BDC，即可得到BP=BC，可得t=×6=3（s）； ②分两种情况讨论：①当点Q在AC上，PC=QC时，②当点Q在AE上，且QP=QC时，依据等腰三角形的性质，即可得到t的值． 【详解】解：（1）∵AE∥BC， ∴∠1=∠DBC，∠2=∠DCB， 又∵∠1=∠2， ∴∠DBC=∠DCB， ∴DB=DC； （2）①由（1）知△DCB是等腰三角形， ∴当点P是BC的中点时，DP平分∠BDC， ∴BP=BC， 即t=×6=3（s）； 故答案为：3s； ②分两种情况讨论： 当点Q在AC上，PC=QC时， 则6-t=3t， 解得t=1.5； 当点Q在AE上，且QP=QC时，AQ=PC， 即3t-6=（6-t）， 解得t=； 综上所述，t为1.5s或s时，△PCQ是等腰三角形． 故答案为：1.5s或s． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质的运用，解题时注意：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 【变式1-1】如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若在某一时刻能使与全等．则点的运动速度为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的性质，设点P、Q的运动时间为，分别表示出，再根据全等三角形对应边相等，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】解：，点D为的中点， ，， 设点P、Q的运动时间为， ， ， 当时．则有：，， ， 解得：， ， 故点Q的运动速度为：； 当时，则，， ， ， ． 故点Q的运动速度为． 所以，点的运动速度为或， 故选：D． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，A（0，1），点P为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC． （1）当AC＝6时，点P的坐标为 　 　． （2）求证：OB∥AC； （3）因为点P在y轴上运动时，所以点C也跟着运动，BC的长在不断的变化，当BC长最小时，直接写出P的坐标． 【答案】（1）（0，6）；（2）见解析；（3）（0，） 【分析】（1）只需要证明△OBP≌△ABC得到OP=AC=6，即可得到答案； （2）由△OBP≌△ABC，可得∠OPB=∠ACB，则可以利用三角形内角和定理和等边三角形的性质推出∠PAC=60°，从而推出∠CAB=∠OBA=60°，由此可证结论； （3）当BC最小时即BP为最小，由垂线段最短可知，此时BP⊥y轴，由此即可得到答案． 【详解】解：（1）∵△AOB和△PBC都是等边三角形， ∴OB=AB，BP=BC，∠OBA=∠PBC=60°， ∴∠OBP=∠OBA+∠ABP=∠ABP+∠PBC=∠ABC， ∴△OBP≌△ABC（SAS）， ∴OP=AC=6， ∴P（0，6）， 故答案为：（0，6）； （2）∵△OBP≌△ABC， ∴∠OPB=∠ACB， ∵△PBC是等边三角形， ∴∠CPB=∠BCP=60°， ∴∠ACB+∠PCA=60°，即∠OPB+∠PCA=60°， ∴∠OPB+∠PCA+∠BPC=120°， 又∵∠OPB+∠PCA+∠BPC+∠PAC=180°， ∴∠PAC=60°， ∵△OAB是等边三角形， ∴∠OAB=∠OBA=60°， ∴∠CAB=∠OBA=60°， ∴AC∥OB； （3）∵△PBC是等边三角形， ∴BP=BC， ∴当BC最小时即BP为最小， ∴此时BP⊥y轴， ∵△OAB为等边三角形，BP⊥y轴， ∴P为OA的中点， ∵A（0，1）， ∴OA=1， ∴， ∴P（0，）． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，平行线的判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 【变式1-3】如图，在等边△ABC中，AB=6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts． （1）当t为何值时，M、N两点重合； （2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．当t为何值时，△AMN是直角三角形； （3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，直接写出t的值． 【答案】（1）6秒；（2）或；（3）8秒 【分析】（1）首先设点、运动秒后，、两点重合，表示出，的运动路程， 的运动路程比的运动路程多，列出方程求解即可； （2）分别就和列方程求解可得； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出，的长，列出方程，可解出未知数的值． 【详解】解：（1）设点、运动秒后，、两点重合， ， 解得：， ∴当、运动6秒时，点追上点，即M、N两点重合； （2）当点在上运动时，如图2， 若， ， ， ， ， ，即， 解得； 如图3，若， 由得， 解得． 综上所述，当为或时， 是直角三角形； （3）当点、在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 由（1）知6秒时、两点重合，恰好在处， 如图4，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ，， ， ， ， ， 解得，符合题意． 所以假设成立，当、运动8秒时，能得到以为底的等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和直角三角形的定义与性质，设出未知数，理清线段之间的数量关系是解题的关键． 【变式1-4】如图，已知是等边三角形中边上一点，将沿直线翻折得到，连接并延长交直线于点． (1)若，则　 　． (2)若，　 　；　 　； (3)当点在运动过程中，设，求． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了翻折的性质，等边对等角，等边三角形的性质，掌握这些性质是解题的关键． （）根据等边三角形的性质得，然后通过折叠性质可得，从而求解； （）根据等边三角形的性质得，则有，又，则，再由三角形的外角定理求解； （）同（）理求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1-5】如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ （2）点M、N运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间； （3）点M、N运动几秒后，可得到直角三角形△AMN？ 【答案】（1）M、N运动6秒时，点N追上点M；（2）存在，8秒或2秒；（3）运动时间为秒或秒或秒 或9秒时，可得到直角三角形△AMN 【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多6cm，列出方程求解即可； （2）分两种情形：当M，N在BC上，假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB的长，列出方程，可解出未知数的值，当M、N分别在AC、AB上时，也存在AM＝AN； （3）分点N在AB，AC，BC上运动的三种情况，再分别就∠AMN＝90°和∠ANM＝90°列方程求解可得． 【详解】（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合， x×1+6＝2x， 解得：x＝6， 即当M、N运动6秒时，点N追上点M； （2）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形， 由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图2，假设△AMN是等腰三角形， ∴AN＝AM， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴∠AMC＝∠ANB， ∵AB＝BC＝AC， ∴△ACB是等边三角形， ∴∠C＝∠B， 在△ACM和△ABN中， ∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB ∴△ACM≌△ABN（AAS）， ∴CM＝BN， ∴t﹣6＝18﹣2t， 解得t＝8，符合题意， 所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形， 当M、N分别在AC、AB上时，可得AM＝AN，t＝6﹣2t， t＝2， 综上所述，满足条件的t的值为8或2； （3）当点N在AB上运动时，如图3， 若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t， ∴AN＝6﹣2t， ∵∠A＝60°， ∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t， 解得：， 如图4，若∠ANM＝90°， 由2AN＝AM得：2（6﹣2t）＝t， 解得：， 当点N在AC上运动时，点M也在AC上，此时A，M，N不能构成三角形； 当点N在BC上运动时， 如图5， 当点N位于BC中点处时，由△ABC时等边三角形知AN⊥BC，即△AMN是直角三角形， 则2t＝6+6+3， 解得：， 如图6， 当点M位于BC中点处时，由△ABC时等边三角形知AM⊥BC，即△AMN是直角三角形， 则t＝6+3＝9， 综上，当或或或9时，可得到直角三角形△AMN． 【点睛】本题是三角形的综合问题，主要考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系． 【变式1-6】综合与实践： 如图，在平面直角坐标系中，点分别是轴、轴上的两个动点，以为直角边作等腰直角三角形交轴于点，斜边交轴于点．    问题解决：（1）如图①，，点的坐标为，求点的坐标 变式探索：（2）如图②，若将沿着折叠，点恰好落在轴的点处，求证：点是的中点． 拓展与应用：（3）如图③，点在轴负半轴上且，分别以为直角边在第二、一象限作等腰直角三角形和，且，连接交轴于点．当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由．若不变化，请求出的长度． 【答案】（1）  （2）见解析   （3）的长度不变， 【分析】（1）由“”可证, 可得，可求解； （2）由折叠的性质可得 ，由“”可证，可得，可得结论； （3）由“”可证，可得，由可证 ，可得 【详解】（1）如图， 过点作轴于点，    ∵点的坐标为， ， ∵， ∴， 轴于点， ， ∴， ， ∴， ∴， 在和中, ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴点的坐标为； （2）证明: ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵将沿着折叠, ∴， ∴， ∴， ， 又 ，， ， ， ∴点是的中点； （3）的长度不会改变，理由如下： 过点作轴于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【题型7：等腰三角形中分类讨论问题】 【例1】如图，在等腰三角形中，，为平面内一点． (1)如图1，当点在的延长线上时，连接，若，交于点，，求的长； (2)如图，当点在的延长线上时，连接，若，在的右侧有一点，连接和，若，且，若为的中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，点在的角平分线上运动（不与点重合），取中点，以为边向左边作等边三角形，连接，，设，当在直线上方时，请用含的式子表示的度数． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)当点在上方时，；当点在与之间时，． 【分析】（1）证即可得解； （2）见中点构造倍长中线，延长至点，使得，连接，，易证，再证，得到是等边三角形，即可得解； （3）分类讨论，当点在上方时，当点在与之间时，当点在下方时，由题易知是等边三角形，在下方作等边，连接，易证，从而得到垂直平分，即可得解． 【详解】（1）解：在 中，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， 如图，延长至点，使得，连接，， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：∵，，点M在的角平分线上 ∴是等边三角形， ∴， 当点在上方时，如图，在下方作等边，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，，则平分， ∴垂直平分，则， ∴，， ∴； 当点在与之间时，如图，在下方作等边，连接， 同理可证， ∴，，则平分， ∴垂直平分，则， ∴，， ∴； 综上，当点在上方时，；当点在与之间时，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式1-1】如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为秒，连接交于点； (1)求证：； (2)点在运动的过程中，变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)当为何值时是直角三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)不变， (3)当第秒或第秒时，为直角三角形 【分析】（）利用等边三角形的性质可知，，结合即可得证； （）由知，再利用三角形外角的性质可证得； （）可用分别表示出和，分和两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于的方程，则可求得的值． 【详解】（1）解：∵是等边三角形 ∴，， 又由条件得， 在和中 ， ∴． （2）的大小不变，， 理由如下： 由（）知， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴． （3）由题意知， ①当时， ∵， ∴，得，解得； ②当时， ∵， ∴，得，解得； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． 【点评】本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、外角的性质、分类讨论思想及方程思想等知识． 【变式1-2】如图，在中，，，D 是 边上的一个动点(不与点 B，C重合)，作，交于点 E． (1)当时， ， ； (2)当 等于多少时，？请说明理由； (3)在点 D的运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)25；110 (2)，见解析 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． （1）由平角的定义求出，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出即可； （2）当时，由“”可证； （3）根据题意，分当时；当时；当时．进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：25，110； （2）解：当时，，理由如下： ，，， ， ， ∴当时， ， ； （3）解：， ， 当是等腰三角形时，分情况讨论： 当时，有， ， 点E和点C重合，不符合题意，舍去； 当时， ， ， ， ∴； 当时，有， ， , 综上所述：的度数为或． 【变式1-3】如图1，等边的边长为8，点D是直线上异于A，B的一动点，连接，以为边长，在左侧作等边，连接． (1)求证：； (2)当点D在线段上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； (3)如图2，当点D在直线上运动时，直线与直线交于点F，能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)的面积存在最大值，； (3)能，的值为4或16 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）利用等边三角形证明，由可证明； （2）证明，要使最大，则需要最小，则可得出答案； （3）分两种情况，①当时，②当时，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ； （2）解：的面积存在最大值， 由（1）得， ， 又， ， 若最大，则需要最小， 当时，CD的长最小，最小， ； （3）解：当点D在直线上运动时，能形成直角三角形，分两种情况， ①当时，如图， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图， ， ， ， ， ． 综上，当点D在直线上运动时，能形成直角三角形，的值为4或． 【变式1-4】在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，，见解析 (3)存在，或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题； （2）当时，与全等，理由为：根据，且度数，求出与度数，再由外角性质得到，根据，利用即可得证； （3）点在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当；；，分别求出夹角的大小即可． 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：当时，；理由如下： ∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴（）； （3）解：存在是等腰三角形；理由如下： ∵是等腰三角形， ，， ①当时， ∴， 即， ∴； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点与点重合，点和重合， ∵点不与，重合， ∴，舍去， 综合所述，存在是等腰三角形；或． 【变式1-5】如图，在中，，，点D为射线上一点，连接． 【初步感知】 （1）如图1，当点D在线段上时，作点B关于直线的对称点，连接，，延长，交于点H，填空：若，则 ； ； 【深入探究】 （2）如图2，当点D在线段上时，在上方作，延长，交于点H，连接，若，求证：； 【拓展延伸】 （3）点D为射线上一点，作点B关于直线的对称点，直线交直线于点H，连接，若，点C到直线的距离为4．求由顶点B，C，A，H围成的四边形的面积． 【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）16或48 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质以及三角形面积，合理构造全等三角形是本题解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和依次求出，，然后根据对称的性质得到以及，进而求得，最后根据三角形内角和求出和即可； （2）延长到F，使得，连接，根据全等三角形的判定与性质得出和全等，然后根据三角形内角和求出，从而得到，从而得证； （3）过C作，根据（2）的结论可以得到是等腰直角三角形，从而可以求出和，再根据三角形全等，可以将四边形的面积转化为和的面积，从而得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由对称的性质可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）证明：延长到F，使得，如图： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过C作， ∴， ①当D在线段上时，如图： 由对称的性质可知，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ②当D在延长线上时，如图： 同理可得，，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，由顶点B，C，A，H围成的四边形的面积为16或48． 能力提升 一、单选题 1．（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、垂线的尺规作图，直角三角形锐角互余，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键．由作图可知，然后根据含30度直角三角形的性质可得，进而问题可求解． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明，再利用可证明得到，利用三角形内角和定理可证明，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 如图所示，设交于O， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 3．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，在延长线上取一点，在延长线上取一点，使，连接，延长交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，于点E．若，则的面积是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作图构造全等三角形是关键． 根据题意得到是等腰三角形，如图所示，过点作于点，过点作延长线于点，由等腰三角形的性质得到，可证得到，由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， 如图所示，过点作于点，过点作延长线于点， ∴，，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 6．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确的结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】解题时，首先针对每个结论，结合已知条件逐步分析： ①利用“是高”得直角三角形两锐角互余，再结合角平分线定义，求出的度数，最后根据三角形内角和定理算出，判断结论①错误． ②根据现有条件，没有足够依据证明三边相等，所以判定不是等边三角形． ③延长构造全等三角形和，得出，将转化为，再利用三角形外角性质和“大角对大边”，得出，从而判断结论③错误． ④证明，得到面积相等关系，再结合和是角平分线的性质，对三角形面积进行转化，得出，判定结论④正确．通过这样逐一分析每个结论，最终确定正确结论的个数． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴，故①错误； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形，条件不足，无法得到为等边三角形，故②错误； 如图，延长交于点， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在和中， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有④，共个， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定（、）及性质，三角形外角性质，“大角对大边”定理，三角形面积的计算与转化．解题思想方法有转化思想（将角的关系、面积的关系进行转化），数形结合思想（结合图形分析角和线段的关系）．解题关键为熟练运用全等三角形的判定与性质，结合角平分线、高的性质，对三角形的角、边、面积进行分析转化．易错点是在分析角的关系时，容易忽略三角形外角性质或“大角对大边”的应用条件；证明三角形全等时，易找错对应角或对应边． 7．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）如图，内角和外角的平分线交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论，①；②；③；④，⑤其中正确的结论是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①根据角平分线定义得出，根据平行线性质得出，从而得出，由等腰三角形的判定定理即可得到结论；②根据已知条件，不能得出全等；③由于E是两条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得出点E到、、的距离相等，从而得出为外角平分线这个重要结论，再利用三角形内角和性质与外角性质进行角度的推导即可轻松得出结论；⑤根据，于是得到，推出，即可得到结论；④由，，于是得到，即可得到结论． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 同理， ②与不含相等的边，所以不能得出全等的结论，故②错误； ③过点E作于N，于D，于M，如图， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， 设，，，如图， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，故③正确； ④∵， ∴， ∴， 即，故⑤正确； ⑤∵，， ∴．故④正确． 综上，①③④⑤正确，一共4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理、三角形外角性质等多个知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 8．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由三角形内角和定理并结合角平分线的定义计算即可判断①；证明，得出，，即可判断②；延长交于点，证明，得出，进而可得，结合，得出，即可判断③；证明，得出，即可判断④． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴， 故①错误； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形，条件不足，无法得到为等边三角形， 故②错误； 如图，延长交于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在和中， ， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有④，共个， 故选：A． 二、填空题 9．（25-26九年级上·辽宁丹东·开学考试）如图，为等边三角形，于D，，点E为边的中点，点P为上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用等边三角形的性质和轴对称，将转化为，根据两点之间线段最短，确定最小时的情况，根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当P、B、E共线时，最小，即最小，最小值为的长． 又∵E是中点，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质（三线合一），线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路径问题及全等三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形三线合一及利用轴对称转化线段是解题的关键． 10．（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）如图，在中，，，平分，P，Q分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三点共线和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，有，则，当三点共线时，的最小值等于的长，即可知的长为5，进一步判定是等边三角形即可． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， 平分． ， ． 在和中， ， ， ， 当三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为5， ∴的长为5， ． ， ∴是等边三角形， ． ． 故答案为：． 11．（2025·湖北武汉·三模）如图，在等边中，，，D，E分别是边上的点，．若，当取最小值时，线段长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、最短路径问题，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 过A作，且，连接，，设与交点为， 先证明得到，则，当B、E、P共线时取等号，此时点E与重合，再证明得到 即可求解． 【详解】解：∵在等边中，，， ∴，， 过A作，且，连接，，设与交点为， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∴，当B、E、P共线时取等号，此时点E与重合， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故当取最小值时，线段长为2． 故答案为：2． 12．（2025·江苏泰州·三模）如图，是等边三角形，，点是一动点，，，交于，连接过点作交于，连接，交相交于当的值最小时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短，由全等判断出是本题解题的关键． 先证明和全等，从而得到，再根据垂线段最短得到，从而得到为中位线，进而得出是中点，从而求得． 【详解】解：为等边三角形， ，， ，， ，， 和为等边三角形，， ，， ≌， ， ， 垂线段最短， 当且时，最短， 是中点(三线合一)， ∴, ． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/95度 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·新疆和田·期末）如图，在直线的同一侧分别作两个等边和，连接，有以下结论：①；②；③平分；④是等边三角形；以上结论正确的有 ． 【答案】①③④ 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，掌握相关知识是解决此题的关键．利用等边三角形的性质得到，，，即可证明，即可判断①；证明，则，即可判断②；过点B作于M，于根据全等三角形的性质和三角形面积得到，即可判断③；根据，，即可证明④． 【详解】解：，都是等边三角形， ，，， ， , 即， 在和中， ， ，故①正确， ， 在和中， ， ， ， 故②错误； 过点B作于，于M， ， ， ，， ， ， 平分，故③正确； ， ， 又， 是等边三角形，故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故答案为：①③④． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，和均为等腰直角三角形，且点，，在同一条直线上，连接，则以下四个结论： ①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（请填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查等边对等角，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是关键． 根据题意可证，结合三角形内角和定理，周角的计算即可判定． 【详解】解：∵和均为等腰直角三角形， ∴，，，， ，即． 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， ，故②正确； ， ，故③正确； ， ，故④正确． 综上所述，正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 16．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，为的中点，于点，其延长线交于点，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； 过点B作交延长线于点G，利用题中条件，先后证明，． ①利用直角三角形的性质，推出，由推出，所以； ②由推出，由推出，再求解即可； ③由推出，由，所以； ④过点B作于点H，证明，推出，又，所以； ⑤利用计算可得结果． 【详解】如图，过点B作交延长线于点G， ，， ， ， ，， ， ， 又， ，， ， 又，， ， ， 又点M为的中点， ， 又，， ， ， 故结论①正确； 由①知，，， 由可得， 由可得， 又， ， 故结论②正确； 由可得， 又， ， 故结论③正确； 过点B作于点H， 则，， 又， ， 又，， ， ， 又， ， 故结论④错误； 由①知，， ， ， 故⑤结论正确； 综上可知，正确的结论是①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 17．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，在中，，平分，于点，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】根据，，可求出，推出，结合，可判断①；结合角平分线、垂直、等腰三角形的性质，分别算出，，利用外角算得，最后利用三角形内角和，算得，可判断②；过作于，平分，，可推出，在中，，从而判断③；连接，先证明，然后算得，从而判断④． 【详解】解：①，， ， ， ， ，故①正确； ②，平分， ， ，， ， ， ， ， ，故②正确； ③过作于，如图所示： 平分，， ， 在中，， ，故③错误； ④如图，连接， ，平分， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 故答案为： ①②④． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及性质，等腰直角三角形判定和性质，同角的余角相等，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键． 三、解答题 18．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据角的和差即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ． ． 在与中， ． （2）解：， ． ， ． ， ． 19．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 【答案】(1)；全等三角形的对应角相等 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，作角平分线，等边对等角，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据作角平分线的方法可得对甲同学和工人师傅的作法其判定全等的方法是，对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等，选取全等三角形的判定方法证明，即可求解； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 【详解】（1）解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等 证明如下：根据作图可得， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； 故答案为：；全等三角形的对应角相等． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 20．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质有关知识． （1）通过全等三角形的判定定理证得，由“全等三角形的对应边相等”推知，所以是等腰三角形； （2）由等腰的性质求得，结合的对应角相等，易求． 【详解】（1）证明：， ， ． 在和中， ． ． 是等腰三角形； （2）解：， ， ． ， ． ． ． 21．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作，使，，连接，，． (1)当是等腰三角形时， ； (2)求证：； (3)求的最小值； (4)当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) (4)的大小为或或 【分析】（1）根据等边三角形性质得到，根据，是等腰三角形，得，得． （2）根据等边三角形性质得，，，得． （3）根据等边三角形性质得到，，根据，得，，根据全等三角形性质得，得当时，最小，值为． （4）根据是等腰三角形，其中，若，则，得；若，则，得；若，则，得． 【详解】（1）解：由题意可知，， 为等边三角形， 又是等边三角形， ． 是边上的高， ， ． 是等腰三角形， ． ． ． 故答案为：； （2）证明：，， 是等边三角形， 是等边三角形， ，，，， ． 在和中， ； （3）解：是等边三角形， ，． ， ，． 由（2）知， ． 当时，最小， 最小值为； （4）解：的大小为或或； 理由如下： 当是等腰三角形时， 分三种情况讨论： 时， ， ， ， 时， 则， ， 时， 则． ． 综上，的大小为或或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形和全等三角形．熟练掌握等边三角形性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，含度直角三角形的判定和性质，分类讨论，是解决问题的关键． 22．（25-26八年级上·全国·阶段练习）是等腰直角三角形，，，过点作交于点，点从点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点．设运动时间为．    (1)当时，求的长； (2)在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图，连接，上是否存在点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)存在， 【分析】（1）证明，可得； （2）证明即可求解； （3）连接，由是钝角，则当与全等时，在中必有一个钝角，只能是是钝角，此时，再根据，即可求的值． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，，， ∴是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在点使得与全等，理由如下： 连接，    ∵， ∴， ∵是钝角， ∴当与全等时，在中必有一个钝角， ∵点在线段上， ∴只能是是钝角， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形的边和角的特征，以及全等三角形的判定方法（如角角边等）是解题的关键． 23．（25-26七年级上·福建福州·开学考试）已知，如果过任意一个顶点的直线能将分割成两个等腰三角形，那么称该直线为的一条“等腰分割线”． (1)如图1，，过点A的“等腰分割线”与交于点D，画出线段，并在图1中标出的度数； (2)如图2，，若过点C能画出的一条“等腰分割线”，则的度数是　　　；（提示：可利用图2试着画一画，算一算） (3)若是等腰三角形，且存在“等腰分割线”，请画出满足条件的任意一种三角形，并标出该三角形三个角的度数． 【答案】(1)见解析； (2) (3)见解析． 【分析】本题考查等腰三角形． （1）以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接即可，根据三角形的内角和，结合等腰三角形的两个底角相等，计算可得的度数； （2）根据“等腰分割线”的定义画图，由三角形的内角和，结合等腰三角形的两个底角相等，计算可得的度数； （3）根据等腰三角形的定义，结合“等腰分割线”画图即可． 【详解】（1）解：如图，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴，都是等腰三角形． （2）解：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则为的一条“等腰分割线”， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则为的一条“等腰分割线”， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：如图，等腰直角三角形，存在“等腰分割线”． 取的中点记为，连接，则和都是等腰三角形，所以是的“等腰分割线”． 24．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，△与△都是等边三角形，和相交于点，连接． (1)求证：； (2)求，的度数； (3)探索，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)，见解析． 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明是解本题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，，由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形内角和定理求出，进而得到，作，全等三角形的性质，推出，得到平分，求出； （3）由全等三角形的性质可得，由“”可证，由全等三角形的性质得出，证明△是等边三角形，可得，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：△与△都是等边三角形， ，，， ， 在△与△中， ， ， ； （2）解：， ， ， ∴； ∴， 作， ∵，， ∴， ∴平分， ， （3）解：， 证明：如图，在线段上截取，连接， ， ， 在△与△中， ， ， ，， ， △是等边三角形， ， ， ． 25．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，的平分线交于点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得． (1)求的度数； (2)当点与点重合时，请仅用圆规在图中确定点的位置（保留作图痕迹），并证明； (3)连接，，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2)图见解析，证明见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）利用等腰三角形性质和三角形内角和定理，设角求解的度数． （2）通过折叠性质得到线段和角的关系，结合等腰三角形判定证明 （3）分、、等情况，依据折叠性质和等腰三角形性质计算的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，点即为所求； ∵， ∴， 连接， ∵将沿翻折得， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当，如图，点与点重合， ∴； 当时，如图， ∵将沿翻折得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， ∵将沿翻折得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，点A与P重合， ∴， 综上所述，的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理以及图形折叠的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 26．（24-25八年级上·河南信阳·期末）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：如图1， ①分别在射线上截取，（点C，E不重合）； ②分别作线段的垂直平分线，，交点为P，垂足分别为点G，H； ③作射线，射线即为的平分线． 简述理由如下： 由作图知，，，，所以，则，即射线是的平分线． 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2， ①分别在射线上截取，（点C，E不重合）； ②连接，交点为P； ③作射线．射线即为的平分线． …… 任务： (1)小明得出的依据是______（填序号）． ①    ②    ③   ④   ⑤ (2)小军作图得到的射线是的平分线吗？请判断并说明理由． (3)如图3，已知，点E，F分别在射线上，且．点C，D分别为射线上的动点，且，连接，交点为P，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)⑤ (2)是，理由见解析 (3) 【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形的外角性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． （1）由即可得出结论； （2）证，得，再证，得，然后证，得，即可得出结论； （3）连接，由可知，平分，，则，再证，然后由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】（1）解：小明得出的依据是， 故答案为：⑤； （2）解：射线是的平分线，理由如下： ，，， ，， ， ，， ， ， ，，， ， ， 即， 射线是的平分线； （3）解：如图3，连接， 由可知，平分，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 27．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知和都是等边三角形． (1)观察发现：如图①，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为 ； ． (2)如图②，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明． (3)深入探究：如图③，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点．中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (4)连接，求证：平分． 【答案】(1) ； (2)，见解析 (3)成立．证明见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理． （1）根据等边三角形的性质得到，证明，即可得到，进而根据三角形内角和计算即可； （2）同（1）可证，得到，进而证明，根据等边三角形的判定和性质求出，得到，即可证明； （3）如图，设与交于点O．根据等边三角形的性质得到，进而得到，证明，得到，进而计算即可； （4）连接，过点C作，垂足分别为M，N， 由（3）得，进而得到，即，得到，根据角平分线的判定定理即可证明． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 在和中，， ∴ ()， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ；； （2）同（1）可证， ∴． 在和中， ， ∴ ()， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）成立．证明：如图，设与交于点O． ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴ ()， ∴． ∵， ∴． （4）证明：连接，过点C作，垂足分别为M，N，如图． 由（3）得， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 28．（2025八年级上·全国·专题练习）已知为等边三角形的角平分线，动点E在直线上（不与点A重合），连接，以为一边在的下方作等边三角形，连接． (1)如图①，若点E在线段上，且，则 ； (2)如图②，若点E在的反向延长线上，且直线相交于点M． ①求的度数； ②若的边长为8，P，Q为直线上的两个动点，且，连接，判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②的面积是定值，定值为20 【分析】（1）利用等边三角形的性质得出角的度数，并判定出为等腰直角三角形，得出，利用角的和差进行求解即可； （2）①根据等边三角形的性质证明，得出，然后利用角的和差进行求解即可； ②过点B作于点H，利用含角的直角三角形的性质求出三角形的高，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形，平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①都是等边三角形， ， ， ， ． ∵为等边三角形，平分， ，， ， ． ， ； ②的面积是定值，定值为20．理由如下： 如图，过点B作于点H． 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 29．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）【问题背景】 如图1，在中，已知，，是的高，，过点C的直线，动点D从点C开始沿射线方向以的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为秒 (1)【思考尝试】请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）： ， 　 (2)当t为多少时，的面积为？ (3)【深入探究】如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由，此时的值为多少？ (4)请利用备用图探究，当点D在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由. 【答案】(1)； (2)当 t 为或时， 的面积为 ； (3)当 时， 与全等；理由见解析，此时， ； (4)，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程，等边对等角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）分点在线段上，点在延长线上两种情况计算即可； （3）由得到，根据得到，再根据得到，得出，即可得到； （4）证明，即可得到． 【详解】（1）解：由题意得， ，； （2）解：由题意得，当点在线段上时，， ， ， ， ； 当点在延长线上时， ， ， ； 当为或时，的面积为. （3）解：，， 理由如下： ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 此时， ∴. （4）解：，理由如下， 如图，， ， ， , ，，， ， ， ， ， ． 30．（2025·重庆·模拟预测）【解决问题】 如图，在中，延长到，使，位于上方，且，连接． （1）求证：； （2）如图2，若，将沿直线翻折得到，连接和，与交于F，若，求证：F是的中点； 【迁移拓展】 （3）如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于，交于，若，，直接写出线段的长度（用含，的式子表示），无需说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）结合条件中角的关系，由三角形外角的性质，得，证出即可； （2）同（1）证出，由翻折得，结合得，即，由三线合一得F是的中点； （3）先利用折叠的性质，证明，得，利用三角形内角和可得，由角的转化得到，最后证明，进而求得． 【详解】（1）证明：，，， ， 在与中， ， ； （2）证明：，，， ， 在与中， ， ， ， ∴， 如图，连接， 将沿直线翻折得到， ， ， ，即． 由三线合一，得：F是的中点； （3）解：如图，连接，延长交于M， 根据折叠的性质，则， ，， ， ∵， ∴， 在与中， ， ， 由（2）知，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形翻折变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，平行线的性质，等腰三角形三线合一，其中能够利用全等三角形的性质与翻折性质得到的边、角相等进行等量代换是解题关键． 31．（24-25八年级上·全国·期末）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点A作，垂足为D，交于点E．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）根据“”证明即可得出结论； （2）先证，再证得出，进而即可得解； （3）如图：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，证出和，然后进行线段的等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：；理由如下： 由（1）得：， ∴， 即， ∵，垂足为D， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）；理由如下： 如图3：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形综合．熟练掌握角平分线有关计算，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线，是解题的关键． 32．（2025·甘肃天水·模拟预测）模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 【答案】（1），（2）见解析，（3） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， ，， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 33．（2025·广东广州·二模）以线段、为底，在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． (1)如图1，当点、、三点共线时，求证： (2)如图2，当点、、三点不共线时，若，连接，点为中点，连接、，求证：； (3)如图3，当点在线段上运动且点在直线的下方时（点与、不重合），请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或． 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，，进而得，得到，即可求证； （）延长至，使，连接，证明可得，，再证明，得到，进而根据等腰三角形的性质即可求证； （）取的中点，连接，由（）知，即得，即可得，得到，再分点在上方和下方两种情况，分别画出图形解答即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长至，使，连接， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：取的中点，连接， 由（）知， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 当点在上方时，如图， ∵， ∴， ∴， 即； 当点在下方时，如图， ∵， ∴， ∴， 即； 综上，或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理和外角性质，线段垂直平分线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 1 / 173 学科网（北京）股份有限公司 $人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题07 特殊三角形中的七大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：直角三角形中两个锐角互余的应用…………………………………… 1 题型2：含30°角的直角三角形的性质综合…………………………………… 2 题型3：等腰三角形中“三线合一”综合……………………………………… 3 题型4：等腰三角形的性质与判定综合………………………………………… 5 题型5：等边三角形的性质与判定综合………………………………………… 13 题型6：等腰三角形中动点问题………………………………………………… 19 题型7：等腰三角形中分类讨论问题…………………………………………… 23 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 27 知识梳理 1、含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2、等腰三角形的性质：① 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； ② 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）． 3、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 4、等边三角形的判定：① 三边都相等的三角形是等边三角形； ② 三个角都相等的三角形是等边三角形； ③ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 重难点题型分类 【题型1：直角三角形中两个锐角互余的应用】 【例1】对于下列四个条件：①；②，③；④，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【变式1-1】的三边分别为，，，下列条件能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC 是 ． 【变式1-3】如图，在中，是高，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若是的角平分线，相交于点F．试说明：． 【题型2：含30°角的直角三角形的性质综合】 【例1】如图，在等腰中，，，则的面积是（　　） A．6 B．9 C．18 D．36 【变式1-1】如图，，，若，则的长度为 （      ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-2】如图，在中，，D为的中点，，点E在上，且，则的大小为 ． 【变式1-3】如图，， 点D在上，， ， ，且．求： 的长度． 【题型3：等腰三角形中“三线合一”综合】 【例1】如图，在中，，，平分交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则的周长为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式1-1】如图，在中，，点D为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在四边形中，于点E，连接，四边形的面积为．若平分，则四边形（阴影部分）的面积为（　　）． A． B． C． D． 【变式1-3】中，，，点是边上一点，点是射线上一点，与射线相交于点，点是的中点，若，则 度． 【变式1-4】如图，，点是斜边的中点，平分，，则的长是 ． 【变式1-5】如图，在四边形中，平分，于点E． (1)若，求证：； (2)若，求证：． 【变式1-6】如图，在中，是边上的高，是边上的中线，，于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型4：等腰三角形的性质与判定综合】 【例1】如图，在中，，过点作于点，过点作于点，与相交于点．若，则的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式1-1】如图，和均为等腰直角三角形，其中点在同一直线上，，连接，则的长为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1-2】如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 【变式1-3】如图，是的平分线，，垂足为点交的延长线于点，已知平分．若，则的长为 ． 【变式1-4】如图，在三角形中，过点作交于点，若，求线段的长度． 【例2】如图，在中，，点，在上，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，的两条高，交于E，连接，，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】在中，，，的平分线交于点，平分交于点，连接，于点，则 ． 【变式2-3】如图，四边形中，，平分，O为对角线的交点，，，则 ． 【变式2-4】如图，中，，点在上，连接，过作于，． (1)求的度数； (2)连接，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【例3】如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，已知，则的周长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-1】如图，在中，，点D在边上，点E在边上，，若，则的面积为（   ）    A．10 B．12 C．14 D．16 【变式3-2】如图，在中，，点D是边上的动点，点D关于的对称点分别为E，F，连接．点D在从点B向点C运动过程中，的周长（   ） A．一直在变小 B．保持不变 C．先变大再变小 D．先变小再变大 【变式3-3】如图，已知在中，平分，，延长，交于点D，连接，若的面积为2，则的面积为 ． 【变式3-4】如图，在中，，垂直平分交于点，点在线段上，点在线段上，连接、，若，，则的周长为 ． 【例4】如图，在和中，，连接BE并延长分别交，于点，，恰好平分，连接，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，是等腰直角三角形，将直角三角形的直角顶点放在的中点上，转动，设分别交，的延长线于点，连，有下列结论：①；②若，，则；③；④，其中正确的结论有（   ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式4-2】如图，在中，，，是的角平分线． 过点的直线交线段于点，交线段的延长线于点，作，交的延长线于点，交线段于．在满足以上条件的情况下将绕点旋转，旋转过程中以下保持定值的有（    ）个． ①；②；③四边形的面积；④ A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在和中，，连接交于点，连接，以下结论：①；②；③平分，其中正确的个数为 ． 【例5】在中，，，作等腰，使． (1)如图，若与互余，则 ______用含有的式子表示； (2)如图，若与互补，过点作于点，求证：； (3)若与的面积相等，则的度数为多少？ 【变式5-1】已知和中，，，，与交于点． (1)如图当时求证：； (2)如图，直接写出的度数为______（用含的式子表示）． 【变式5-2】已知在中，，D为的中点． (1)如图，E、F分别是上的动点，且，求证：为等腰直角三角形； (2)在（1）的条件下，四边形的面积是否变化，证明你的结论； (3)若E、F分别为延长线上的点，仍有，其他条件不变，那么是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 【变式5-3】如图，平分，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．求证： (1)点D为的中点； (2)． 【变式5-4】【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． (1)【理解】如图1，在中，，，请求出图中三对等角三角形． (2)【尝试】如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． (3)【应用】在中，，是的等角分割线，请求出的度数． 【变式5-5】在学习等腰三角形的性质时，同学们展开多维度探索： (1)基础应用：在中，的周长为的周长比的周长少12，则的长为______． (2)逆向探究：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成证明． 已知：在中，平分，且点是的中点． 求证：． 方法一：如图2，延长到点，使，连接． 方法二：如图3，过点分别作的垂线，垂足分别为E，F． (3)拓展综合：如图4，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，连接，设的面积分别为，试求的最大值． 【题型5：等边三角形的性质与判定综合】 【例1】如图，在中，，、分别是、的垂直平分线，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，D是的中点，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，的坐标分别为，，点从点出发沿向点运动，连接交于点当恰好为中点时，则长为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在等腰三角形中，，点，在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，则 ． 【变式1-4】如图，等边中，于，，点P、Q分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 【例2】如图，，，，，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，已知射线，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，作，垂足为，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，，D是的中点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，点P是内任意一点，，M，N分别是射线和上的动点，若周长的最小值为5，则的度数为 ． 【变式2-4】在中，若，，分别是边，上的点，，，，则的度数是 ． 【变式2-5】如图，等腰三角形中，，是边上一点，，连接，那么的大小是 ． 【例3】如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 【变式3-1】如图，为线段上一点，分别以，为边，在的同侧作等边三角形和等边三角形，交于点，交于点． 求证： (1)； (2)为等边三角形； (3)． 【变式3-2】在中，，点D是射线上的一动点（不与点B，C重合），使，，设，． (1)如图1，当点D在线段上，且时， 度； (2)当： ①如图2，当点D在线段上时，求m与n间的数量关系； ②如图3，当点D在线段的延长线上时，请将图3补充完整，并求出m与n之间的数量关系． 【变式3-3】在等边三角形中，D为射线上一点，连接，点B关于的对称点为点E，连接． (1)如图1；点D在线段上，且，求的度数； (2)直线与直线交于点F，过D作交直线于点G，直线交直线于点H． ①如图2，点D在线段上，求证： ②点D在线段的延长线上，试猜想线段之间的数量关系，并证明． 【变式3-4】综合与实践 【问题提出】 （1）如图①，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点、于点，且．则猜想并证明，，之间的数量失系． （2）如图②，已知等边三角形及外一点，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，在中，，点为外一点，且，，直接写出的度数． 【题型6：等腰三角形中动点问题】 【例1】如图，AE//BC，∠A=90°，BC=AC=6 cm，EA上取点D．使得∠1=∠2． （1）求证： BD=DC； （2）若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C点运动，设点P运动的时间为t秒： ①当______时，PD平分∠BDC； ②若点Q以3cm/s的速度由C→A→E运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，______时，△PCQ是等腰三角形． 【变式1-1】如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若在某一时刻能使与全等．则点的运动速度为（ ） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，A（0，1），点P为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC． （1）当AC＝6时，点P的坐标为 　 　． （2）求证：OB∥AC； （3）因为点P在y轴上运动时，所以点C也跟着运动，BC的长在不断的变化，当BC长最小时，直接写出P的坐标． 【变式1-3】如图，在等边△ABC中，AB=6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts． （1）当t为何值时，M、N两点重合； （2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．当t为何值时，△AMN是直角三角形； （3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，直接写出t的值． 【变式1-4】如图，已知是等边三角形中边上一点，将沿直线翻折得到，连接并延长交直线于点． (1)若，则　 　． (2)若，　 　；　 　； (3)当点在运动过程中，设，求． 【变式1-5】如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ （2）点M、N运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间； （3）点M、N运动几秒后，可得到直角三角形△AMN？ 【变式1-6】综合与实践： 如图，在平面直角坐标系中，点分别是轴、轴上的两个动点，以为直角边作等腰直角三角形交轴于点，斜边交轴于点．    问题解决：（1）如图①，，点的坐标为，求点的坐标 变式探索：（2）如图②，若将沿着折叠，点恰好落在轴的点处，求证：点是的中点． 拓展与应用：（3）如图③，点在轴负半轴上且，分别以为直角边在第二、一象限作等腰直角三角形和，且，连接交轴于点．当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由．若不变化，请求出的长度． 【题型7：等腰三角形中分类讨论问题】 【例1】如图，在等腰三角形中，，为平面内一点． (1)如图1，当点在的延长线上时，连接，若，交于点，，求的长； (2)如图，当点在的延长线上时，连接，若，在的右侧有一点，连接和，若，且，若为的中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，点在的角平分线上运动（不与点重合），取中点，以为边向左边作等边三角形，连接，，设，当在直线上方时，请用含的式子表示的度数． 【变式1-1】如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为秒，连接交于点； (1)求证：； (2)点在运动的过程中，变化吗？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)当为何值时是直角三角形？ 【变式1-2】如图，在中，，，D 是 边上的一个动点(不与点 B，C重合)，作，交于点 E． (1)当时， ， ； (2)当 等于多少时，？请说明理由； (3)在点 D的运动过程中，当是等腰三角形时，求的度数． 【变式1-3】如图1，等边的边长为8，点D是直线上异于A，B的一动点，连接，以为边长，在左侧作等边，连接． (1)求证：； (2)当点D在线段上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； (3)如图2，当点D在直线上运动时，直线与直线交于点F，能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由． 【变式1-4】在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【变式1-5】如图，在中，，，点D为射线上一点，连接． 【初步感知】 （1）如图1，当点D在线段上时，作点B关于直线的对称点，连接，，延长，交于点H，填空：若，则 ； ； 【深入探究】 （2）如图2，当点D在线段上时，在上方作，延长，交于点H，连接，若，求证：； 【拓展延伸】 （3）点D为射线上一点，作点B关于直线的对称点，直线交直线于点H，连接，若，点C到直线的距离为4．求由顶点B，C，A，H围成的四边形的面积． 能力提升 一、单选题 1．（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，在延长线上取一点，在延长线上取一点，使，连接，延长交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，于点E．若，则的面积是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确的结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）如图，内角和外角的平分线交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论，①；②；③；④，⑤其中正确的结论是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．（25-26九年级上·辽宁丹东·开学考试）如图，为等边三角形，于D，，点E为边的中点，点P为上一个动点，则的最小值为 ． 10．（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）如图，在中，，，平分，P，Q分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为 ． 11．（2025·湖北武汉·三模）如图，在等边中，，，D，E分别是边上的点，．若，当取最小值时，线段长为 ． 12．（2025·江苏泰州·三模）如图，是等边三角形，，点是一动点，，，交于，连接过点作交于，连接，交相交于当的值最小时，的值为 ． 13．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 14．（24-25八年级上·新疆和田·期末）如图，在直线的同一侧分别作两个等边和，连接，有以下结论：①；②；③平分；④是等边三角形；以上结论正确的有 ． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，和均为等腰直角三角形，且点，，在同一条直线上，连接，则以下四个结论： ①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（请填写序号） 16．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，为的中点，于点，其延长线交于点，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有 （填序号）． 17．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，在中，，平分，于点，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有 ． 三、解答题 18．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 19．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 20．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 21．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作，使，，连接，，． (1)当是等腰三角形时， ； (2)求证：； (3)求的最小值； (4)当是等腰三角形时，直接写出的度数． 22．（25-26八年级上·全国·阶段练习）是等腰直角三角形，，，过点作交于点，点从点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点．设运动时间为．    (1)当时，求的长； (2)在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图，连接，上是否存在点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 23．（25-26七年级上·福建福州·开学考试）已知，如果过任意一个顶点的直线能将分割成两个等腰三角形，那么称该直线为的一条“等腰分割线”． (1)如图1，，过点A的“等腰分割线”与交于点D，画出线段，并在图1中标出的度数； (2)如图2，，若过点C能画出的一条“等腰分割线”，则的度数是　　　；（提示：可利用图2试着画一画，算一算） (3)若是等腰三角形，且存在“等腰分割线”，请画出满足条件的任意一种三角形，并标出该三角形三个角的度数． 24．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，△与△都是等边三角形，和相交于点，连接． (1)求证：； (2)求，的度数； (3)探索，，之间的数量关系，并说明理由． 25．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，的平分线交于点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得． (1)求的度数； (2)当点与点重合时，请仅用圆规在图中确定点的位置（保留作图痕迹），并证明； (3)连接，，当是等腰三角形时，求的度数． 26．（24-25八年级上·河南信阳·期末）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 小明：如图1， ①分别在射线上截取，（点C，E不重合）； ②分别作线段的垂直平分线，，交点为P，垂足分别为点G，H； ③作射线，射线即为的平分线． 简述理由如下： 由作图知，，，，所以，则，即射线是的平分线． 小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2， ①分别在射线上截取，（点C，E不重合）； ②连接，交点为P； ③作射线．射线即为的平分线． …… 任务： (1)小明得出的依据是______（填序号）． ①    ②    ③   ④   ⑤ (2)小军作图得到的射线是的平分线吗？请判断并说明理由． (3)如图3，已知，点E，F分别在射线上，且．点C，D分别为射线上的动点，且，连接，交点为P，当时，直接写出的度数． 27．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知和都是等边三角形． (1)观察发现：如图①，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为 ； ． (2)如图②，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明． (3)深入探究：如图③，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点．中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (4)连接，求证：平分． 28．（2025八年级上·全国·专题练习）已知为等边三角形的角平分线，动点E在直线上（不与点A重合），连接，以为一边在的下方作等边三角形，连接． (1)如图①，若点E在线段上，且，则 ； (2)如图②，若点E在的反向延长线上，且直线相交于点M． ①求的度数； ②若的边长为8，P，Q为直线上的两个动点，且，连接，判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 29．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）【问题背景】 如图1，在中，已知，，是的高，，过点C的直线，动点D从点C开始沿射线方向以的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为秒 (1)【思考尝试】请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）： ， 　 (2)当t为多少时，的面积为？ (3)【深入探究】如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由，此时的值为多少？ (4)请利用备用图探究，当点D在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由. 30．（2025·重庆·模拟预测）【解决问题】 如图，在中，延长到，使，位于上方，且，连接． （1）求证：； （2）如图2，若，将沿直线翻折得到，连接和，与交于F，若，求证：F是的中点； 【迁移拓展】 （3）如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于，交于，若，，直接写出线段的长度（用含，的式子表示），无需说明理由． 31．（24-25八年级上·全国·期末）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点A作，垂足为D，交于点E．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 32．（2025·甘肃天水·模拟预测）模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 33．（2025·广东广州·二模）以线段、为底，在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． (1)如图1，当点、、三点共线时，求证： (2)如图2，当点、、三点不共线时，若，连接，点为中点，连接、，求证：； (3)如图3，当点在线段上运动且点在直线的下方时（点与、不重合），请直接写出与的数量关系． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $