专题05 类平抛运动与斜抛运动模型（讲义·模型）物理人教版必修第二册

本高中物理讲义聚焦类平抛运动、斜抛运动及斜面上的斜抛运动三大核心模型，构建从基础运动分解（初速度与恒力垂直）到复杂斜面约束场景的递进式学习支架，系统梳理曲线运动的分解方法与规律。 资料以模型建构为核心，通过风洞实验、冬奥会滑雪等真实情境题目示例及变式探究，培养学生科学思维与问题解决能力，课中辅助教师实施分层教学，课后助力学生通过实例分析查漏补缺，深化运动与相互作用观念。

专题05 类平抛运动与斜抛运动模型 【模型1　类平抛运动】 【模型构建】 类平抛运动模型是平抛运动的延伸与迁移，核心是 “初速度与恒力垂直，运动分解为‘沿初速度方向匀速直线运动’和‘沿恒力方向匀加速直线运动’”，通过类比平抛运动的分运动规律，结合牛顿第二定律求解速度、位移、轨迹等物理量，适用于电场偏转、斜面滑行、恒力作用下的曲线运动等浙江选考高频场景。 【模型剖析】 （1）模型特点： 物体受到的合力恒定，初速度与恒力垂直，这样的运动叫类平抛运动。如果物体只在重力场中做类平抛运动，则叫重力场中的类平抛运动。学好这类模型，可为电场中或复合场中的类平抛运动打基础。 （2）.类平抛运动与平抛运动的区别 做平抛运动的物体初速度水平，物体只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a＝g； 做类平抛运动的物体初速度不一定水平，但物体所受合力与初速度的方向垂直且为恒力，a＝。 （3）求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动。 (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。 （4）求解类平抛运动问题的关键 (1)对研究对象受力分析，找到物体所受合力的大小、方向，正确求出加速度。 (2)确定是研究速度，还是研究位移。 (3)把握好分解的思想方法，例题中研究位移，把运动分解成沿斜面的匀加速直线运动和水平方向的匀速直线运动，然后将两个方向的运动用时间t联系起来。 【题目示例】 如图甲所示的风洞实验中小球的运动简化为如图乙所示的匀变速曲线运动，虚线AB与水平地面的夹角为 ，质量为m的小球从P点以大小为的初速度沿与AB平行的方向抛出，运动过程中小球始终受到大小，方向水平向右的风力的作用，C是虚线AB上的点，PC与虚线AB垂直，且P、C两点间的距离为，经过一段时间，小球运动到虚线AB上的某点D （图中未标出）点，重力加速度大小为g，，，小球可视为质点。试计算： (1)小球从P点运动到最高点的时间。 (2)若小球的离地高度，，重力加速度，求小球落地时的水平位移。 (3)小球从抛出到落到D点的所用的时间。 【推理过程】 【答案】(1) (2)31m (3) 【详解】（1）小球从P点运动到最高点时竖直方向速度减为0，则有 （2）设小球空中运动时间为，规定向上为正方向，对小球，竖直方向有 代入题中数据，解得 则小球落地时的水平位移 其中 联立解得 （3）把F和mg合成一个力 设与F的夹角为，则有 可知 即恰好沿PC方向，小球从P点到D点做类平抛运动，由类平抛运动的规律有 其中 解得 【变式探究】 2022年2月18日，我国运动员夺得北京冬奥会自由式滑雪女子U形场地技巧赛冠军。比赛场地可简化为如图甲所示的模型：滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道连接而成，轨道的倾角为。某次腾空时，运动员（视为质点）以大小为v的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘AD的夹角为，腾空后沿轨道边缘AD上的N点进入轨道，腾空过程（从M点运动到N点的过程）的左视图如图乙所示。重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．运动员腾空过程中处于超重状态 B．运动员腾空过程中离开AD的最大距离为 C．运动员腾空的时间为 D．M、N两点的距离为 【答案】BD 【详解】A．运动员腾空过程中仅受重力处于完全失重状态，A错误； B．运动员在M点时垂直AD方向的速度大小 设运动员在ABCD面内垂直AD方向的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 设运动员腾空过程中离开AD的最大距离为d，根据匀变速直线运动的规律有 解得 B正确； C．运动员在M点时平行AD方向的速度大小 设运动员在ABCD面内平行AD方向的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 可得运动员从M点到离开AD最远的时间 根据对称性可知，运动员腾空的时间 C错误； D．根据匀变速直线运动的规律可知，M、N两点的距离 D正确； 故选BD。 【模型2　斜抛运动模型】 【模型构建】 斜抛运动模型是抛体运动的重要延伸，核心是将运动分解为 “水平方向匀速直线运动” 和 “竖直方向竖直上抛运动”，结合分运动的独立性、等时性及矢量合成法则，求解射程、射高、运动时间等关键物理量，适用于 “斜向上抛出”“斜向下抛出” 等场景，是物理中曲线运动的高频考点，常与实际情景（如体育赛事）结合考查。 【模型剖析】 1、运动规律 水平方向：不受外力，以为初速度做匀速直线运动 水平位移； 竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动 任意时刻的速度和位移分别是 2、轨迹方程 ，是一条抛物线如图所示： Y V0y V0 X o V0x X 3、对斜抛运动的研究 （1）斜抛物体的飞行时间： 当物体落地时，由 知，飞行时间 （2）斜抛物体的射程： 由轨迹方程 令y=0得落回抛出高度时的水平射程是 （3）斜上抛运动的射高： 斜上抛的物体达到最大高度时 =0，此时 代入即得到抛体所能达到的最大高度 可以看出，当时，射高最大 4、两条结论 ①当抛射角时射程最远， ②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下射程是相等的。 5、另类解法 (1)设抛出经时间t₁时到达最高点，此时速度v水平、高度为 Hm，此时位移三角形、速度三角形如图2所示；速度三角形中 位移三角形中 (2)设抛出经时间t₂时到达水平面即达到水平最大射程 sm，此时位移三角形、速度三角形如图3所示； 速度三角形中 位移三角形中 从此式不难看出，若在初速度大小v₀可变、角度0可调的情况下，当时，有最大射程 【题目示例】 将一物体以某一初速度沿与水平方向成角从点斜向上抛出，经过点时速度与水平方向的夹角为。已知A、B之间的水平距离为，忽略空气阻力的影响，重力加速度为，，则下列说法正确的是（　　） A．从点抛出时的速度大小为 B．从到过程中速度的最小值为 C．从到的时间为 D．A、B之间的高度差为 【推理过程】 【答案】AB 【详解】ABC．物体做斜抛运动，将物体在A，B两点的速度分解如图所示， 可得，，， 取竖直向下为正方向，则有， 联立求得 从到的时间及从点抛出时的速度大小为，，故A正确，C错误。 B．根据斜抛运动规律，可知物体从到过程中，在最高点时速度最小，为，故B正确； D．取竖直向下为正方向，则A、B之间的高度差为 代入数据求得，故D错误。 故选AB。 【变式探究】 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至14日在黑龙江哈尔滨举行。现将大跳台比赛某段过程简化成如图可视为质点小球的运动，小球从倾角为的斜面顶端O点以飞出，已知，且与斜面夹角为。图中虚线为小球在空中的运动轨迹，且A为轨迹上离斜面最远的点，B为小球在斜面上的落点，C是过A作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小球从O运动到A点所用时间t； (2)小球离斜面最远的距离L； (3)O、C两点间距离x。 【答案】(1)2s (2) (3)40m 【详解】（1）垂直斜面方向， 由 得 （2）垂直斜面方向匀减速至0时有 代入数据得小球离斜面最远的距离。 （3）解法1：由垂直斜面方向运动对称性可得小球从O到A与A到B所用时间相等，平行斜面方向， 沿斜面方向 小球在水平方向做匀速直线运动，C为OB中点，则 代入数据解得 解法2：小球在水平方向做匀速直线运动 由几何关系可得 解得 【模型3　斜面上的斜抛运动】 【模型构建】 斜面上的斜抛运动是抛体运动与斜面约束结合的复杂场景，核心是将斜抛运动分解为 “沿斜面方向” 和 “垂直斜面方向” 的正交分运动（或水平、竖直方向），结合斜面的几何约束（落点在斜面上）和分运动的独立性、等时性，联立位移方程求解运动时间、射程、初速度等关键物理量，是浙江选考物理中曲线运动的难点题型，常以综合计算题形式考查。 【模型剖析】 如图所示，倾角为的足够长斜面固定在水平地面上，将一小球（可视为质点）从斜面底端点以初速度斜向上抛出，经过一段时间，小球以垂直于斜面方向的速度打在斜面上的点。已知重力加速度为，不计空气阻力。则两点之间的距离为 【详解】小球抛出后，将小球的速度与重力分别沿斜面与垂直于斜面分解，则小球在这两个方向上均做匀变速直线运动。小球以垂直于斜面方向的速度撞击在斜面上的P点，表明此时沿斜面方向的分速度恰好减为0，根据对称性，小球打在P点时垂直于斜面方向的分速度与抛出时垂直于斜面方向的分速度等大反向。在沿斜面方向上有 在垂直于斜面的方向上有 又 在沿斜面方向上有 在斜面上斜抛一小球，小球与斜面之间为完全弹性碰撞，问满足什么条件时小球能原路返回？ 沿斜面和垂直斜面分解小球的运动。 沿斜面分量， 垂直斜面分量， 设小球B每隔时间与斜面碰撞一次，则 可得第次与斜面碰撞时 ①情形1：小球B第次与斜面碰撞时，速度方向垂直于斜面 解得 解释：小球第N次与斜面碰撞时刚好斜面分速度为0 ②情形2：小球B第次与斜面碰撞后，速度方向竖直向上 解得 解释：小球第N次与斜面碰撞完上升到最高点时斜面分速度为0 【题目示例】 如图所示，小球甲、乙、丙分别从固定斜面上的点先后抛出，甲球沿水平向右抛出，乙、丙两球沿斜向上抛出，甲、乙、丙的初速度大小分别为，分别落在斜面上的点（图中均未画出），与的夹角，斜面倾角，不计空气阻力，。下列说法正确的是（　　） A．甲球在空中运动的时间最长 B．三个球落到斜面上瞬间，速度与斜面之间的夹角均相等 C．落到斜面上瞬间，丙球速率为乙球速率的2倍 D． 【推理过程】 【答案】C 【详解】A．对甲球有 对乙球有 同理对丙球有 可知丙球在空中运动的时间最长，故A错误； B．设甲球落到斜面瞬间沿斜面向下的速度大小为，则 其方向与斜面之间的夹角满足 设乙球落到斜面瞬间沿斜面向下的速度大小为，则 其与斜面之间的夹角满足 设丙球落到斜面瞬间沿斜面向下的速度大小为，则 其与斜面之间的夹角满足 可知仅乙、丙速度同向，故B错误； C．因，且乙、丙落到斜面上时速度方向相同，可知落到斜面上瞬间，丙球速率为乙球速率的2倍，故C正确； D．沿斜面向下，丙球的平均速度为乙球的2倍，且其运动的时间也为乙球的2倍，故，故D错误。 故选C。 【变式探究】 从一倾角θ=30°的斜面顶端抛出一个小球，小球的初速度大小为，方向与水平方向成α=45°，在斜面底端放置一足够长的竖直挡板，小球抛出后直接打到挡板，反弹后垂直打在斜面上。重力加速度为g，不计空气阻力，小球与挡板的碰撞为弹性碰撞，即垂直挡板方向的速度大小不变方向反向，竖直方向速度不变，则与挡板碰撞一次后打在斜面上的落点与抛出点的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小球做斜抛运动，初速度在水平方向分解为 初速度在竖直方向分解为 设挡板位于，碰到挡板时间为 碰到挡板竖直方向位移为 根据题意，水平速度反向，竖直速度不变，有， 设反弹后落到斜面的时间为，反弹后水平位移为 反弹后竖直方向位移为 由 联立解得 落点与抛出点的距离为 联立解得 故选A。 1. 某运动员在一次滑板训练中的运动简化如图所示。段为助滑道和起跳区，段为倾角为的着陆坡，为停止区。运动员从助滑道的起点由静止开始下滑，到达起跳点时，借助设备和技巧，以6m/s的速度起跳，方向与水平成，最后落在着陆坡面上的点。已知运动员和滑板的总质量为60kg，重力加速度取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．运动员在空中运行的最小速度为3m/s B．运动员离开着陆坡面的最大距离为 C．运动员落在点前瞬间重力的功率为5400W D．若起跳时速度大小不变，改变起跳方向，当时，运动员到达斜坡上的落点距离点最远 【答案】BC 【详解】A．将运动员在空中做斜抛运动，在最高点时的竖直分速度为0，此时速度最小，则运动员在空中运行的最小速度为 故A错误； B．将运动员在空中的运动分解为沿斜坡和垂直斜坡两个分运动，当垂直斜坡分速度减为0时，运动员离开着陆坡面的距离最大，则有 故B正确； C．运动员从点到点所用时间为 则运动员落在点时的竖直分速度为 运动员落在点前瞬间重力的功率为 故C正确； D．设，则垂直斜坡方向有 沿斜坡方向有 整理可得 令 可得 即 则 可知若起跳时速度大小不变，改变起跳方向，当时，运动员到达斜坡上的落点距离点最远，故D错误。 故选BC。 2. 如图，质量为m的质点在Oxy平面坐标系上以某一速度运动时（方向如图中箭头所示），受到大小不变、方向为-y方向的合力作用。已知质点在运动过程中的最小速度为v，合力的大小为F。下列说法正确的是（　　） A．在相等的时间内，质点速度的变化大小相等、方向不同 B．当质点速度大小变为2v时，速度方向和+x方向之间的夹角是30° C．质点回到x轴上时，速度和初速度相同 D．质点的速度由v增加到，的过程所用时间为 【答案】D 【详解】A．由题意可知质点受到的合外力不变，因此加速度不变，根据加速度定义可知速度在相等时间变化的大小相等，方向相同，故A错误； B．已知质点最小速度为v，由于合力沿−y方向，可知质点在x方向做匀速直线运动，速度大小为。当速度大小变为2v时，根据速度的合成，y方向分速度 则 可知速度方向和+x方向之间的夹角是60°，故B错误； C．根据斜抛规律，对称性可知，质点回到x轴上时，速度和初速度大小相同，方向不同，故C错误； D．质点的速度由v增加到，可知此时 因为 联立解得 故D正确。 故选D。 3. 如图所示为滑雪运动员进行大跳台训练的示意图，运动员从倾角为的斜面顶端点以的速度飞出，速度方向与斜面的夹角为。图中虚线为运动员在空中的运动轨迹，点为轨迹上离斜面最远的点，点为运动员在斜面上的落点。已知重力加速度取，，，不计空气阻力。求： (1)点到斜面的距离； (2)运动员落在点时的速度方向与斜面夹角的正切值； (3)改变运动员从点飞出时的速度方向，当运动员以相同速率分别沿（）角度方向和水平方向飞出时，运动员落在斜面上的同一点。求角度。 【答案】(1)9m (2) (3)90° 【详解】（1）由题意可知，在O点将运动情况分解，如图所示，从O点到A点过程中，运动员在垂直斜面方向上有，， 又， 联立可得， （2）由对称性可知，从O到B点的时间为 则从O到B过程有，， 设落在B点时的速度方向与斜面的夹角为，则有 解得 （3）①沿角方向飞出至落在斜面上，垂直斜面方向有， 沿斜面方向有， 解得 ②沿水平方向飞出至落在斜面上，有 解得 沿斜面方向的位移 联立解得 4. 在2024年巴黎奥运会中，我国运动员郑钦文获得女子网球单打冠军。决赛中某次回球时，球被斜向上击出，之后依次经过、、三点，如图所示。已知网球经过点时的速度大小为，方向与、连线的夹角为；经过点时的速度与、连线平行；经过点时的速度与、连线成、大小为。已知重力加速度为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．网球由运动到的时间为 B．和的水平距离相等 C．与水平方向的夹角为 D．点到点的竖直高度为 【答案】AB 【详解】A．将网球的运动分解在ac方向与垂直ac方向，则在ac方向， 垂直ac方向， 且 解得 故A正确； B．a到b过程中 b到c过程中 解得， 两段时间相同，水平方向做匀速运动，可知 故B正确； C．假设与水平方向的夹角为，则 解得 故C错误； D．点到点的竖直高度为 故D错误。 故选AB。 5. 如图所示，一固定斜面倾角为，斜面足够长。将小球从斜面顶端以速率垂直于斜面向右抛出，小球最终落在斜面上，不计空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．小球在运动过程中的最小速度为 B．从抛出开始到离斜面最远时，所经历的时间为 C．当小球离斜面最远时，小球的位移大小为 D．小球落到斜面时的位移大小为 【答案】D 【详解】A．小球做斜抛运动，将初速度分解为水平速度和竖直速度，小球的最小速度为 选项A错误； B．将小球的重力分解到垂直斜面和沿斜面方向的两个恒定分力，则小球的运动可分解为垂直斜面方向为竖直上抛运动和沿斜面方向的匀加速运动，当小球垂直斜面方向的速度等于零时，小球离斜面最远，将重力加速度分解，垂直斜面的加速度为和沿斜面的加速度分别为 ， 由速度公式有 选项B错误； C．当小球离斜面最远时，小球垂直斜面方向的位移大小为 沿斜面方向的位移大小为 则小球的总位移大小为 选项C错误； D．由竖直上抛的对称性，小球落到斜面时的位移大小 选项D正确。 6. 图（a）是风洞实验室全景图，风洞实验室是可量度气流对实体作用效果以及观察物理现象的一种管道状实验设备。图（b）为风洞实验室的侧视图，两水平面（虚线）之间的距离为，其间为风洞区域，物体进入该区域会受到水平方向的恒力，自该区域下边界的点将质量为的小球以一定的初速度竖直上抛，从点离开风洞区域，经过最高点后小球再次从点返回风洞区域后做直线运动，最终落在风洞区域的下边界处，与水平方向的夹角为，，，重力加速度大小为，小球在运动过程中不受阻力作用。则下列说法正确的是（　　） A．小球到达最高点的速度为零 B．风洞区域内小球受到水平方向恒力的大小为 C．小球运动过程中离风洞下边界的最大高度为 D．小球运动过程中离风洞下边界的最大高度为 【答案】BD 【详解】A．小球在最高点速度方向沿水平方向，速度不为零，故A错误； B．小球从N点返回风洞区域后做直线运动，所受合力方向沿NP，则 解得 故B正确； CD．设小球在最高点的速度大小为，在M、N点竖直方向的速度大小为，小球由O到M的时间为 在水平方向上，由牛顿第二定律得 解得 由运动学公式得 小球在竖直方向上做竖直上抛运动，由运动的对称性知，小球从N到P的运动时间为，在P点，水平方向速度 由几何关系得 解得 则小球在P点的竖直方向速度为 小球从N到P做直线运动，则 解得 则小球在N点的竖直方向速度为 小球由到，竖直方向 解得 在竖直方向上，，， 解得 小球运动过程中离风洞下边界的最大高度 故C错误，D正确。 故选BD。 7. 一儿童站在斜坡上玩耍，他将石子以一定的初速度抛出。如图甲、乙所示，儿童第一次、第二次均由同一点P将石子以相同的方向抛出，其初速度大小分别为、，石子分别落在斜坡上M、N两点处。设图甲、乙中石子在空中运动时间分别为、，PM、PN的长度分别为，，忽略石子出手时与斜面的距离及空气阻力。下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．石子在M点和在N点速度方向相同 【答案】ACD 【详解】A．设、于斜面之间的夹角为，将重力加速度沿斜面和垂直于斜面方向分解为，，则， 则，故A正确； BC．沿斜面方向有， 整理可得，故B错误，C正确； D．设甲、乙石子落到斜坡上时的速度方向与斜坡的夹角分别为、，由几何关系， 结合 联立可得 故石子在M点和在N点速度方向相同，故D正确。 故选ACD。 8. 如图所示，在一个高出地面的平台上，把两个小球同时从同一位置以大小相等的初速度抛出，一枚小球的初速度方向与水平方向夹角为斜向下，另一枚小球的初速度方向与水平方向夹角为斜向上，两小球分别落到水平地面上的P、Q两点，忽略空气阻力，重力加速度为g，则P、Q两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设斜上抛的球空中运动时间为，抛出点距离地面高度为h，则有 设斜下抛的球空中运动时间为，则有 联立解得 则P、Q两点之间的距离 联立解得 故选C。 9. 如图所示，一个人站在河边以一定的初速度斜向上抛出一石子。已知石子落水时的速度方向与初速度互相垂直，抛出点和落水点之间的距离，，不计空气阻力。则石子在空中的运动时间为（    ） A．1.2s B．1.4s C．1.6s D．1.8s 【答案】B 【详解】如图所示，以垂直于为x轴，以方向为y轴建立平面直角坐标系，设y轴与竖直向下成角，将重力加速度g分解为， 根据速度—时间公式有 根据位移—时间公式有，， 代入数据解得 故选B。 10. 一足够大且光滑的矩形斜面，倾角为，高为h，现有一小球在A处沿平行于底边的初速度滑上斜面，最后从B处离开斜面。已知重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度为 C．小球从A处到达B处所用的时间为 D．小球从A处到达B处的位移大小为 【答案】ABC 【详解】A．小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，与初速度方向垂直，小球做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，故A项正确； B．根据牛顿第二定律知，有 解得 故B项正确； C．由几何关系得，小球沿加速度方向上的位移为 根据公式 解得 故C项正确； D．小球在沿初速度方向的位移为 则小球从A处到达B处的位移为 故D项错误。 故选ABC。 11. 如图所示，在倾角为的足够大的光滑斜面上。将小球a、b同时以相同的速率沿水平面内不同方向抛出。已知a球初速度方向垂直竖直平面PQM向外，b球初速度沿着PQ方向。则（　　） A．若将a球的初速度大小变为之前的2倍，则a球落到斜面上时，其速度大小也将变为之前的2倍 B．a球落到斜面上时，a、b两球的位移大小不相等 C．若将b球的初速度大小变为之前的2倍，则在相同时间内，其速度大小也将变为之前的2倍 D．a球落到斜面上时，a球的速度大小是b球速度大小的2倍 【答案】AB 【详解】A．当a球落到斜面时，有 解得 则a球落到斜面时的速度为 因为，若将a球的初速度大小变为之前的2倍。则a球落到斜面上时，其速度大小也变为之前的2倍，故A项正确； B．由之前的分析可知a球落到斜面上用时为 此时a球的位移为 b球的水平位移为 沿斜面向下的位移为 b球的位移为 故a、b两球的位移大小不相等，故B项正确； C．根据 所以相同时间内，其速度大小不一定变为之前的两倍，故C项错误； D．a球落到斜面上时，a球的速度大小为 此时b球的速度大小为 故D项错误。 故选AB。 12. 质量为m的物体以速度v0在足够大的光滑水平面上运动，从零时刻起，对该物体施加一水平恒力F，在t时刻，物体的速度减小到最小值，此后速度又不断增大。则下列说法正确的是（　　） A．水平恒力F大小为 B．在t=0时刻，水平恒力与初速度间的夹角为127° C．在2t时刻，物体速度大小为为 D．若零时刻起，水平恒力方向不变，大小变为2F，则在t时刻，物体的速度大小仍为v0 【答案】AD 【详解】A．因为物体的最小速度不等于零，所以力F与v0方向是不共线的，根据曲线运动的规律，此最小速度应该是初速度v0在垂直于F方向的分量，初速度的另一个与力F方向相反的分量大小应为 即物体在沿着力F相反的方向的分运动是匀减速运动，经时间t减到零，由运动学公式可知 根据牛顿第二定律可知，水平恒力F大小为 故A正确； B．将初速度分解为与F共线和与F垂直，有由几何知识知，力F与初速度间的夹角为143°故B错误； C．由速度公式可知，在2t时刻，物体沿力F方向的速度大小为 在2t时刻，物体速度大小为 故C错误； D．若零时刻起，水平恒力方向不变，大小变为2F，由牛顿第二定律可知，物体的加速度变为2a，由速度公式可知，在t时刻，物体沿力F方向的速度大小为 在2t时刻，物体速度大小为 故D正确。 故选AD。 13. 如图所示，在竖直平面内坐标系中的第一象限内有沿轴正方向的恒定风力，将质量为小球以初速度从O点竖直向上抛出，到达最高点的位置为M点，落回轴时的位置为N（图中没有画出），若不计空气阻力，坐标格为正方形，取，则（　　） A．小球在M点的速度大小为 B．位置N的坐标为 C．小球到达N点的速度大小为 D．风力大小为 【答案】BC 【详解】A．设正方形的边长为，小球竖直方向做竖直上抛运动有 解得 水平方向做匀加速直线运动有 解得小球在M点的速度大小为 选项A错误； B．由竖直方向运动的对称性可知，小球再经过到达轴，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，位置N的坐标为（12，0），选项B正确； C．到N点时竖直分速度大小为，水平分速度 小球到达N点的速度大小为 选项C正确； D．水平方向上有 解得 所以风力大小 选项D错误。 故选BC。 14. 如图所示，ABCD为离水平地面高h = 0.8m的水平矩形平台，AB边长LAB = 1m，边长LBC = 3.6m，平台表面光滑，某时刻一个质量m1= 0.5kg的小球从A点沿AD边以初速度v0= 4m/s开始运动，同时对小球施加一个沿AB边的水平恒力F = 4N，当小球到达BC边上的P点时撤去外力F。在小球到达P点的同时，C点正下方E点处有一质量为m2= 0.4kg的滑块在一个与水平面呈30°夹角斜向上的外力作用下，以速度v在地面上沿EF开始匀速直线运动，滑块与水平地面动摩擦因数为，结果小球与滑块恰好在EF边上的Q点（未画出）相遇。小球和滑块均可视为质点，不计空气阻力。取g = 10m/s2，求： （1）小球到达P点时速度的大小和方向； （2）小球从开始运动到与滑块相遇经历的时间； （3）外力大小。 【答案】（1），与AB方向成45°夹角；（2）0.9s；（3）F′ = 2N 【详解】（1）小球从A到达P用时t1，平行于AB方向上有 解得 t1= 0.5s 速度 平行于AD方向上的位移 其合速度 ，与AB方向成45°夹角 （2）小球从P到落地用时t2，则有 解得 沿BC方向运动有 恰好等于，故小球落地时恰好到Q点，故小球从开始运动到与滑块相遇经历的时间 （3）滑块运动到Q，经历时间，沿EF方向运动距离 故 由与水平面夹角为，对于滑块，根据平衡条件有 又 联立得 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 类平抛运动与斜抛运动模型 【模型1　类平抛运动】 【模型构建】 类平抛运动模型是平抛运动的延伸与迁移，核心是 “初速度与恒力垂直，运动分解为‘沿初速度方向匀速直线运动’和‘沿恒力方向匀加速直线运动’”，通过类比平抛运动的分运动规律，结合牛顿第二定律求解速度、位移、轨迹等物理量，适用于电场偏转、斜面滑行、恒力作用下的曲线运动等浙江选考高频场景。 【模型剖析】 （1）模型特点： 物体受到的合力恒定，初速度与恒力垂直，这样的运动叫类平抛运动。如果物体只在重力场中做类平抛运动，则叫重力场中的类平抛运动。学好这类模型，可为电场中或复合场中的类平抛运动打基础。 （2）.类平抛运动与平抛运动的区别 做平抛运动的物体初速度水平，物体只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a＝g； 做类平抛运动的物体初速度不一定水平，但物体所受合力与初速度的方向垂直且为恒力，a＝。 （3）求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动。 (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。 （4）求解类平抛运动问题的关键 (1)对研究对象受力分析，找到物体所受合力的大小、方向，正确求出加速度。 (2)确定是研究速度，还是研究位移。 (3)把握好分解的思想方法，例题中研究位移，把运动分解成沿斜面的匀加速直线运动和水平方向的匀速直线运动，然后将两个方向的运动用时间t联系起来。 【题目示例】 如图甲所示的风洞实验中小球的运动简化为如图乙所示的匀变速曲线运动，虚线AB与水平地面的夹角为 ，质量为m的小球从P点以大小为的初速度沿与AB平行的方向抛出，运动过程中小球始终受到大小，方向水平向右的风力的作用，C是虚线AB上的点，PC与虚线AB垂直，且P、C两点间的距离为，经过一段时间，小球运动到虚线AB上的某点D （图中未标出）点，重力加速度大小为g，，，小球可视为质点。试计算： (1)小球从P点运动到最高点的时间。 (2)若小球的离地高度，，重力加速度，求小球落地时的水平位移。 (3)小球从抛出到落到D点的所用的时间。 【推理过程】 【变式探究】 2022年2月18日，我国运动员夺得北京冬奥会自由式滑雪女子U形场地技巧赛冠军。比赛场地可简化为如图甲所示的模型：滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道连接而成，轨道的倾角为。某次腾空时，运动员（视为质点）以大小为v的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘AD的夹角为，腾空后沿轨道边缘AD上的N点进入轨道，腾空过程（从M点运动到N点的过程）的左视图如图乙所示。重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．运动员腾空过程中处于超重状态 B．运动员腾空过程中离开AD的最大距离为 C．运动员腾空的时间为 D．M、N两点的距离为 【模型2　斜抛运动模型】 【模型构建】 斜抛运动模型是抛体运动的重要延伸，核心是将运动分解为 “水平方向匀速直线运动” 和 “竖直方向竖直上抛运动”，结合分运动的独立性、等时性及矢量合成法则，求解射程、射高、运动时间等关键物理量，适用于 “斜向上抛出”“斜向下抛出” 等场景，是物理中曲线运动的高频考点，常与实际情景（如体育赛事）结合考查。 【模型剖析】 1、运动规律 水平方向：不受外力，以为初速度做匀速直线运动 水平位移； 竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动 任意时刻的速度和位移分别是 2、轨迹方程 ，是一条抛物线如图所示： Y V0y V0 X o V0x X 3、对斜抛运动的研究 （1）斜抛物体的飞行时间： 当物体落地时，由 知，飞行时间 （2）斜抛物体的射程： 由轨迹方程 令y=0得落回抛出高度时的水平射程是 （3）斜上抛运动的射高： 斜上抛的物体达到最大高度时 =0，此时 代入即得到抛体所能达到的最大高度 可以看出，当时，射高最大 4、两条结论 ①当抛射角时射程最远， ②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下射程是相等的。 5、另类解法 (1)设抛出经时间t₁时到达最高点，此时速度v水平、高度为 Hm，此时位移三角形、速度三角形如图2所示；速度三角形中 位移三角形中 (2)设抛出经时间t₂时到达水平面即达到水平最大射程 sm，此时位移三角形、速度三角形如图3所示； 速度三角形中 位移三角形中 从此式不难看出，若在初速度大小v₀可变、角度0可调的情况下，当时，有最大射程 【题目示例】 将一物体以某一初速度沿与水平方向成角从点斜向上抛出，经过点时速度与水平方向的夹角为。已知A、B之间的水平距离为，忽略空气阻力的影响，重力加速度为，，则下列说法正确的是（　　） A．从点抛出时的速度大小为 B．从到过程中速度的最小值为 C．从到的时间为 D．A、B之间的高度差为 【推理过程】 【变式探究】 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至14日在黑龙江哈尔滨举行。现将大跳台比赛某段过程简化成如图可视为质点小球的运动，小球从倾角为的斜面顶端O点以飞出，已知，且与斜面夹角为。图中虚线为小球在空中的运动轨迹，且A为轨迹上离斜面最远的点，B为小球在斜面上的落点，C是过A作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小球从O运动到A点所用时间t； (2)小球离斜面最远的距离L； (3)O、C两点间距离x。 【模型3　斜面上的斜抛运动】 【模型构建】 斜面上的斜抛运动是抛体运动与斜面约束结合的复杂场景，核心是将斜抛运动分解为 “沿斜面方向” 和 “垂直斜面方向” 的正交分运动（或水平、竖直方向），结合斜面的几何约束（落点在斜面上）和分运动的独立性、等时性，联立位移方程求解运动时间、射程、初速度等关键物理量，是浙江选考物理中曲线运动的难点题型，常以综合计算题形式考查。 【模型剖析】 如图所示，倾角为的足够长斜面固定在水平地面上，将一小球（可视为质点）从斜面底端点以初速度斜向上抛出，经过一段时间，小球以垂直于斜面方向的速度打在斜面上的点。已知重力加速度为，不计空气阻力。则两点之间的距离为 【详解】小球抛出后，将小球的速度与重力分别沿斜面与垂直于斜面分解，则小球在这两个方向上均做匀变速直线运动。小球以垂直于斜面方向的速度撞击在斜面上的P点，表明此时沿斜面方向的分速度恰好减为0，根据对称性，小球打在P点时垂直于斜面方向的分速度与抛出时垂直于斜面方向的分速度等大反向。在沿斜面方向上有 在垂直于斜面的方向上有 又 在沿斜面方向上有 在斜面上斜抛一小球，小球与斜面之间为完全弹性碰撞，问满足什么条件时小球能原路返回？ 沿斜面和垂直斜面分解小球的运动。 沿斜面分量， 垂直斜面分量， 设小球B每隔时间与斜面碰撞一次，则 可得第次与斜面碰撞时 ①情形1：小球B第次与斜面碰撞时，速度方向垂直于斜面 解得 解释：小球第N次与斜面碰撞时刚好斜面分速度为0 ②情形2：小球B第次与斜面碰撞后，速度方向竖直向上 解得 解释：小球第N次与斜面碰撞完上升到最高点时斜面分速度为0 【题目示例】 如图所示，小球甲、乙、丙分别从固定斜面上的点先后抛出，甲球沿水平向右抛出，乙、丙两球沿斜向上抛出，甲、乙、丙的初速度大小分别为，分别落在斜面上的点（图中均未画出），与的夹角，斜面倾角，不计空气阻力，。下列说法正确的是（　　） A．甲球在空中运动的时间最长 B．三个球落到斜面上瞬间，速度与斜面之间的夹角均相等 C．落到斜面上瞬间，丙球速率为乙球速率的2倍 D． 【推理过程】 【变式探究】 从一倾角θ=30°的斜面顶端抛出一个小球，小球的初速度大小为，方向与水平方向成α=45°，在斜面底端放置一足够长的竖直挡板，小球抛出后直接打到挡板，反弹后垂直打在斜面上。重力加速度为g，不计空气阻力，小球与挡板的碰撞为弹性碰撞，即垂直挡板方向的速度大小不变方向反向，竖直方向速度不变，则与挡板碰撞一次后打在斜面上的落点与抛出点的距离是（　　） A． B． C． D． 1. 某运动员在一次滑板训练中的运动简化如图所示。段为助滑道和起跳区，段为倾角为的着陆坡，为停止区。运动员从助滑道的起点由静止开始下滑，到达起跳点时，借助设备和技巧，以6m/s的速度起跳，方向与水平成，最后落在着陆坡面上的点。已知运动员和滑板的总质量为60kg，重力加速度取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．运动员在空中运行的最小速度为3m/s B．运动员离开着陆坡面的最大距离为 C．运动员落在点前瞬间重力的功率为5400W D．若起跳时速度大小不变，改变起跳方向，当时，运动员到达斜坡上的落点距离点最远 2. 如图，质量为m的质点在Oxy平面坐标系上以某一速度运动时（方向如图中箭头所示），受到大小不变、方向为-y方向的合力作用。已知质点在运动过程中的最小速度为v，合力的大小为F。下列说法正确的是（　　） A．在相等的时间内，质点速度的变化大小相等、方向不同 B．当质点速度大小变为2v时，速度方向和+x方向之间的夹角是30° C．质点回到x轴上时，速度和初速度相同 D．质点的速度由v增加到，的过程所用时间为 3. 如图所示为滑雪运动员进行大跳台训练的示意图，运动员从倾角为的斜面顶端点以的速度飞出，速度方向与斜面的夹角为。图中虚线为运动员在空中的运动轨迹，点为轨迹上离斜面最远的点，点为运动员在斜面上的落点。已知重力加速度取，，，不计空气阻力。求： (1)点到斜面的距离； (2)运动员落在点时的速度方向与斜面夹角的正切值； (3)改变运动员从点飞出时的速度方向，当运动员以相同速率分别沿（）角度方向和水平方向飞出时，运动员落在斜面上的同一点。求角度。 4. 在2024年巴黎奥运会中，我国运动员郑钦文获得女子网球单打冠军。决赛中某次回球时，球被斜向上击出，之后依次经过、、三点，如图所示。已知网球经过点时的速度大小为，方向与、连线的夹角为；经过点时的速度与、连线平行；经过点时的速度与、连线成、大小为。已知重力加速度为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．网球由运动到的时间为 B．和的水平距离相等 C．与水平方向的夹角为 D．点到点的竖直高度为 5. 如图所示，一固定斜面倾角为，斜面足够长。将小球从斜面顶端以速率垂直于斜面向右抛出，小球最终落在斜面上，不计空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．小球在运动过程中的最小速度为 B．从抛出开始到离斜面最远时，所经历的时间为 C．当小球离斜面最远时，小球的位移大小为 D．小球落到斜面时的位移大小为 6. 图（a）是风洞实验室全景图，风洞实验室是可量度气流对实体作用效果以及观察物理现象的一种管道状实验设备。图（b）为风洞实验室的侧视图，两水平面（虚线）之间的距离为，其间为风洞区域，物体进入该区域会受到水平方向的恒力，自该区域下边界的点将质量为的小球以一定的初速度竖直上抛，从点离开风洞区域，经过最高点后小球再次从点返回风洞区域后做直线运动，最终落在风洞区域的下边界处，与水平方向的夹角为，，，重力加速度大小为，小球在运动过程中不受阻力作用。则下列说法正确的是（　　） A．小球到达最高点的速度为零 B．风洞区域内小球受到水平方向恒力的大小为 C．小球运动过程中离风洞下边界的最大高度为 D．小球运动过程中离风洞下边界的最大高度为 7. 一儿童站在斜坡上玩耍，他将石子以一定的初速度抛出。如图甲、乙所示，儿童第一次、第二次均由同一点P将石子以相同的方向抛出，其初速度大小分别为、，石子分别落在斜坡上M、N两点处。设图甲、乙中石子在空中运动时间分别为、，PM、PN的长度分别为，，忽略石子出手时与斜面的距离及空气阻力。下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．石子在M点和在N点速度方向相同 8. 如图所示，在一个高出地面的平台上，把两个小球同时从同一位置以大小相等的初速度抛出，一枚小球的初速度方向与水平方向夹角为斜向下，另一枚小球的初速度方向与水平方向夹角为斜向上，两小球分别落到水平地面上的P、Q两点，忽略空气阻力，重力加速度为g，则P、Q两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 9. 如图所示，一个人站在河边以一定的初速度斜向上抛出一石子。已知石子落水时的速度方向与初速度互相垂直，抛出点和落水点之间的距离，，不计空气阻力。则石子在空中的运动时间为（    ） A．1.2s B．1.4s C．1.6s D．1.8s 10. 一足够大且光滑的矩形斜面，倾角为，高为h，现有一小球在A处沿平行于底边的初速度滑上斜面，最后从B处离开斜面。已知重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度为 C．小球从A处到达B处所用的时间为 D．小球从A处到达B处的位移大小为 11. 如图所示，在倾角为的足够大的光滑斜面上。将小球a、b同时以相同的速率沿水平面内不同方向抛出。已知a球初速度方向垂直竖直平面PQM向外，b球初速度沿着PQ方向。则（　　） A．若将a球的初速度大小变为之前的2倍，则a球落到斜面上时，其速度大小也将变为之前的2倍 B．a球落到斜面上时，a、b两球的位移大小不相等 C．若将b球的初速度大小变为之前的2倍，则在相同时间内，其速度大小也将变为之前的2倍 D．a球落到斜面上时，a球的速度大小是b球速度大小的2倍 12. 质量为m的物体以速度v0在足够大的光滑水平面上运动，从零时刻起，对该物体施加一水平恒力F，在t时刻，物体的速度减小到最小值，此后速度又不断增大。则下列说法正确的是（　　） A．水平恒力F大小为 B．在t=0时刻，水平恒力与初速度间的夹角为127° C．在2t时刻，物体速度大小为为 D．若零时刻起，水平恒力方向不变，大小变为2F，则在t时刻，物体的速度大小仍为v0 13. 如图所示，在竖直平面内坐标系中的第一象限内有沿轴正方向的恒定风力，将质量为小球以初速度从O点竖直向上抛出，到达最高点的位置为M点，落回轴时的位置为N（图中没有画出），若不计空气阻力，坐标格为正方形，取，则（　　） A．小球在M点的速度大小为 B．位置N的坐标为 C．小球到达N点的速度大小为 D．风力大小为 14. 如图所示，ABCD为离水平地面高h = 0.8m的水平矩形平台，AB边长LAB = 1m，边长LBC = 3.6m，平台表面光滑，某时刻一个质量m1= 0.5kg的小球从A点沿AD边以初速度v0= 4m/s开始运动，同时对小球施加一个沿AB边的水平恒力F = 4N，当小球到达BC边上的P点时撤去外力F。在小球到达P点的同时，C点正下方E点处有一质量为m2= 0.4kg的滑块在一个与水平面呈30°夹角斜向上的外力作用下，以速度v在地面上沿EF开始匀速直线运动，滑块与水平地面动摩擦因数为，结果小球与滑块恰好在EF边上的Q点（未画出）相遇。小球和滑块均可视为质点，不计空气阻力。取g = 10m/s2，求： （1）小球到达P点时速度的大小和方向； （2）小球从开始运动到与滑块相遇经历的时间； （3）外力大小。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $