专题09 机械能守恒定律及其应用（讲义·模型）物理人教版必修第二册

专题09 机械能守恒定律及其应用 【模型1　机械能守恒定律的判断】 【模型构建】 机械能守恒定律的判断是 “功和能” 板块的基础题型，核心逻辑是分析物体（或系统）的机械能是否与外界发生能量交换，即判断是否只有重力或弹力做功。满足条件时，物体（或系统）的动能与势能（重力势能、弹性势能）相互转化，机械能总量保持不变 【模型剖析】 1.对机械能守恒条件的理解 （1）只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒。 （2）除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。 （3）除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。 2.机械能守恒的判定方法 （1）做功条件分析法：若物体系统内只有重力或弹簧弹力做功，其他力均不做功，则系统的机械能守恒。 （2）能量转化分析法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能（如没有内能增加），则系统的机械能守恒。 【题目示例】 如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　) A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒 B．乙图中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒 C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时A加速下落，B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒 D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒 【推理过程】 【变式探究】 如图是被誉为“豪小子”的华裔球员林书豪在NBA赛场上投二分球时的照片．现假设林书豪准备投二分球前先屈腿下蹲再竖直向上跃起，已知林书豪的质量为m，双脚离开地面时的速度为v，从开始下蹲到跃起过程中重心上升的高度为h，则下列说法正确的是(　　) A．从地面跃起过程中，地面对他所做的功为0 B．从地面跃起过程中，地面对他所做的功为mv2＋mgh C．从下蹲到离开地面上升过程中，他的机械能守恒 D．离开地面后，他在上升过程中处于超重状态，在下落过程中处于失重状态 【模型2　单物体机械能守恒】 【模型构建】 单物体机械能守恒定律是机械能守恒的基础应用场景，核心逻辑是当单个物体只有重力做功时，其动能与重力势能相互转化，机械能总量保持不变。该模型适用于抛体运动、光滑斜面滑行、单摆摆动等场景 【模型剖析】 1.机械能守恒定律表达式 说明：单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行列式。 2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤 【题目示例】 如图所示，一个质量为m的足球，以速度v从A点被踢起，它能达到最高点B点处，A、B两点的高度差为h，h远大于足球的半径，运动过程中不计一切阻力，重力加速度取g，下列说法正确的是（　　） A．以A点所在水平面为参考面，足球在B点处的机械能为 B．以B点所在水平面为参考面，足球在B点处的机械能为 C．以B点所在水平面为参考面，足球在B点处的机械能为 D．不论以哪个面为参考面，足球从A点到B点的过程中机械能增加了mgh 【推理过程】 【变式探究】 如图所示，法国奥运会网球女单决赛中郑钦文正在斜向上拍击质量为m的网球。若网球离拍时距地面的高度为h，速度为，速度与水平方向夹角为θ，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．击球过程，球拍对网球做的功为 B．网球离拍时的机械能一定为 C．当θ为45°时，网球水平射程最远 D．h越小，其最远水平射程对应的θ越接近45° 【模型3　多物体机械能守恒定律】 【模型构建】 多物体机械能守恒定律的核心逻辑是 以 “系统” 为研究对象，判断系统内只有重力或弹簧弹力做功，且系统与外界无机械能交换，此时系统的总机械能（动能 + 重力势能 + 弹性势能）保持不变。该模型适用于连接体、叠加体、含弹簧的物体组等场景 【模型剖析】 1.解决多物体系统机械能守恒的注意点 （1）对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒。 （2）注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 （3）列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。 2.三种实际情景的分析 （1）速率相等情景 注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。 （2）角速度相等情景 两点提醒 ①用杆连接的两个物体，若绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定两物体线速度v的大小关系。 ②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 （3）某一方向分速度相等情景（关联速度情景） 两物体速度的关联实质：沿绳（或沿杆）方向的分速度大小相等。 【题目示例】 如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A，轻质定滑轮下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，重物A、B均处于静止状态，释放后A、B开始运动。已知A、B的质量相等，假设摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为，当A的位移大小为时，下列说法正确的是（　　） A．A物体的重力势能减小了 B．B物体的重力势能减小了 C．B物体运动的速度大小为 D．B物体运动的速度大小为 【推理过程】 【变式探究】 摆动是生活中常见的运动形式。如图甲所示，长为L的轻杆一端绕光滑的轴转动，另一端固定质量为m的小球1。如图乙所示，长为的轻杆一端绕光滑的轴转动，中点处和另一端分别固定质量均为m的小球2、3。三个小球均可视为质点，两杆均从水平位置由静止释放，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　）    A．1、2运动到各自最低点时的动能相等 B．1、2运动到各自最低点时的向心加速度大小之比为5：3 C．在2运动到最低点的过程中，轻杆对2做正功 D．在3运动到最低点的过程中，轻杆对3做的功为 1. 某同学在操场上踢足球，足球质量为m，该同学从地面上的1位置将足球以速度v0踢起，最高可以到达离地面高度为h的2位置，选地面为零势能面，足球可以看成质点，则下列说法中正确的是（　　） A．足球从位置1到位置2的运动过程机械能守恒 B．该同学对足球做的功等于 C．足球在位置2处的机械能为mgh D．若从位置1到位置2足球克服空气阻力做的功为W，足球在位置2处的动能为 2. 有以下物理过程：甲图为跳伞运动员匀速下落；乙图为地面上放置一固定斜面B，物块A从B上匀速下滑；丙图为物体A压缩弹簧的过程；丁图为不计任何阻力和定滑轮与绳子质量，A物体加速下落，B物体加速上升过程。关于这几个物理过程，下列判断正确的是（    ） A．甲图所示过程中跳伞运动员的机械能不守恒 B．乙图所示过程中物块A的机械能守恒 C．丙图所示过程中物体A的机械能守恒 D．丁图所示过程中物体A、B组成的系统机械能守恒 3. 如图，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面顶端安装有一轻质光滑定滑轮。一根轻质细线跨过滑轮与物块A、B相连，A与滑轮间的细线与斜面平行。A的质量为m，B的质量为2m。初始时，A被锁定在斜面，B悬停于空中。解除锁定，两物块开始运动，不计空气阻力，物块B下降h（未着地）的过程，下列说法正确的是（　　） A．物块B的机械能守恒 B．物块B下降h时A的速度大小为 C．此过程轻绳对物块A所做的功为 D．物块B减小的重力势能大于A、B两物块增加的动能之和 4. 低空跳伞是一种危险性比较高的极限运动，人在空中降落过程中所受空气阻力随下落速度的增大而增大。一名质量为70kg的跳伞运动员背有质量为10kg的伞包从某高层建筑顶层跳下，且一直沿竖直方向下落，其整个运动过程的v-t图像如图所示。已知前2.0s图像为直线，2.0s末的速度为18m/s，10s末拉开绳索开启降落伞，16.2s时安全落地，并稳稳地站立在地面上。g取，则关于跳伞运动员（包括其随身携带的全部装备），下列说法正确的是（　　） A．前2s机械能守恒，10s到16.2s机械能减小 B．前2s所受平均阻力大小为720N C．前10s的平均速度大小为20m/s D．开伞后，克服空气阻力做功约为 5. 如图甲所示为建筑行业使用的一种小型打夯机，其原理可简化为一个质量为M的支架（含电动机）上由一根长为l的轻杆带动一个质量为m的铁球（铁球可视为质点），如图乙所示，重力加速度为。若在某次打夯过程中，铁球以角速度ω匀速转动，则（　　） A．铁球转动过程中机械能守恒 B．铁球做圆周运动的向心加速度始终不变 C．铁球转动到最低点时，处于失重状态 D．若铁球转动到最高点时，支架对地面的压力刚好为零，则 6. 如图所示，球员将质量为的篮球以斜向上的初速度抛出，初速度方向与水平方向的夹角为，篮球在空中划出的弧线经过、、三点，与在同一条水平线上，是最高点。到地面的距离为，、到地面的距离均为，重力加速度为，空气阻力不计，以地面为零重力势能面，下列判断正确的是（　　） A．篮球在最高点的机械能为 B．篮球在最高点的动能为 C．篮球从运动到的时间为 D．、之间的距离为 7. 7．2025年8月8日至12日，世界机器人大会在北京举办。如图甲所示，分拣机器人到达指定投递口停住后，翻转托盘使托盘倾角缓慢增大，当托盘倾角增大到时，包裹恰好开始下滑。侧视简化图如图乙，下列说法正确的是（　　） A．倾转过程中，包裹的机械能保持不变 B．包裹滑动前，托盘对包裹的作用力大小随倾角增大而增大 C．包裹滑动后，继续增大托盘倾角，包裹所受摩擦力将减小 D．包裹滑动后，继续增大托盘倾角，包裹所受摩擦力大于托盘所受摩擦力 8. 如图所示一个同学在拍球，已知篮球的质量m=0.6kg，篮球每次与地面碰撞后反弹速率均为碰前速率的。拍球后刚好使得篮球触地反弹后回到h=1m的原高度处（h为篮球下边缘距地面的高度），重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力的影响，以下说法正确的是（　　） A．篮球与地面碰撞后离地瞬间速度的大小为m/s B．篮球与地面碰撞前瞬间速度的大小为m/s C．拍篮球过程手对球做的功为1.5J D．篮球与地面碰撞过程中损失的机械能为2J 9. 如图所示，T形杆固定在竖直面内，AB部分水平，B端固定一光滑小滑轮，轻绳一端固定在竖直杆上C点，另一端D连接质量为m的小球，将轻绳拉直且轻绳刚好与滑轮接触，此时轻绳与水平杆AB的夹角为37°，绳长大于CB间距离，不计小球及滑轮的大小，重力加速度为g，，。由静止释放小球，则在小球运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．释放小球的一瞬间，小球的加速度大小为0.6g B．轻绳对C点的最大拉力为1.8mg C．小球运动到最左端时，轻绳对滑轮的作用力大小等于mg D．仅将绳长变长重新释放小球，轻绳对C点的最大拉力变大 10. 如图所示，置于竖直平面内的AB光滑曲杆，它是按初速度为的平抛运动轨迹制成的，A端为抛出点，B端为落地点，且A、B间的连线与水平方向成角，。现将一质量为m的小圆环套于曲杆上，从A端由静止滑下，重力加速度为g，则（　　） A．A、B两点间的竖直高度差为 B．小圆环经过B点时的速度大小为 C．小圆环到达B点时，重力的瞬时功率为 D．小圆环经过杆上某点P时，小圆环所受弹力沿图中所示方向（垂直于杆向外侧） 11. 可视为质点的甲、乙两小球用铰链与轻杆连接，甲球套在固定的竖直杆上，乙球处于水平地面上，初始时轻杆与水平方向夹角为杆长为L。无初速度释放两球到甲球落地的过程中，两球的速率随时间变化如图所示，其中t₂时刻乙球速率最大。已知甲球质量为2m，乙球质量为m，重力加速度大小为g，不计一切摩擦，则（　　） A．t₁时刻轻杆与水平方向夹角为 B．t₂时刻甲球的加速度等于g C．t₃时刻甲球的速率为 D．0~t₃过程甲、乙两球的速率图线与时间轴所围成的面积之比为 12. 如图所示，O点为固定在光滑水平横杆上的铰链，轻杆OA长度为L，A端铰接一质量为m的小球P，B端铰接一质量也为m的物块Q，物块Q穿过水平光滑横杆，可在横杆上无摩擦滑动。所有铰链均光滑，轻杆质量不计。初始时OA杆与水平方向成α角，系统从静止释放。重力加速度大小为g。当小球P运动到O点正下方时，小球P的速度大小为（    ） A． B． C． D． 13. 如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则错误的是（　　） A．a落地前，轻杆对b一直做正功 B．a落地时速度大小为 C．a下落过程中，其加速度大小始终大于g D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg 14. 如图所示，一根轻质弹簧一端固定于光滑竖直杆上，另一端与质量为m的滑块P连接，P穿在杆上，一根轻绳跨过定滑轮将滑块P和重物Q连接起来，Q的质量为4m。将P从图中A点由静止释放后沿竖直杆上下运动，当它经过A、B两点时弹簧对滑块的弹力大小相等。已知OA与水平面的夹角（，），OB长为3L，与AB垂直，不计滑轮的摩擦，重力加速度为g。则P从A点到B点的过程中（　　） A．P和Q组成的系统机械能守恒 B．P的速度先增大再减小 C．轻绳对P做的功为8mgL D．P运动至B点的速度为 15. 如图所示，大圆环固定在竖直平面内，一根轻绳两端各系一个小球A、B（均可视为质点），轻绳跨过固定在大圆环顶端的小滑轮，A为有孔小球套在光滑的大圆环上。开始时A与大圆环圆心连线和竖直方向夹角为60°，A的质量为4m，B的质量为m，大圆环半径为R，重力加速度为g。由静止释放A、B，则在A球下滑到最低点的过程中（不计一切摩擦）（　　） A．B球所受拉力可能小于重力 B．A球重力的瞬时功率先增大后减小 C．A球与大圆环圆心等高时，A、B两球的速度大小关系为 D．A球到达最低点时的速度大小 16. 如图所示，有一条柔软的质量为m长为L的均匀链条，开始时使链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，并处于静止。若不计一切摩擦，桌子足够高。下列说法中正确的是（　　） A．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 B．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 C．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 D．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 17. 如图所示，粗细均匀的直角杆固定在竖直面内，段水平粗糙，段竖直光滑，两个质量均为的小球分别套在杆上，两球用长为的轻绳连接，球刚好不滑动，此时轻绳与水平方向的夹角为，重力加速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计球的大小及杆的质量，。 (1)求小球与水平杆间的动摩擦因数； (2)若给球施加一个水平向右的拉力，使球缓慢向右移动，从开始至轻绳与水平方向的夹角为的过程中。求、运动的位移大小分别是多少？拉力做的功是多少？ 18. 如图，水平台面右侧有一固定于竖直平面内的光滑圆弧轨道BC，C点切线水平，并与固定在水平地面上的斜面体平滑连接。斜面顶端D固定一轻质弹簧。一小物块从台面右端A点滑出，恰好从B点沿切线方向进入圆弧轨道，再冲上斜面压缩弹簧，运动到斜面中点时速度恰好为0。已知A点、圆心O与顶端D共线，且离地高度均为h=1.2m，OB和OC的夹角θ=60°，斜面倾角α=37°，物块质量m=0.3kg，物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.5，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力，求： (1)物块从A点滑出时的速度大小v0； (2)物块到达C点时受到轨道的支持力大小N； (3)弹簧的最大弹性势能Eₚ。 19. 如图，一段有50个减速带（图中黑点表示，未全部画出）的斜坡，假设斜坡光滑，倾角为，相邻减速带间的距离均为d，减速带的宽度远小于d。一质量为m的无动力小车（可视为质点）从距离第1个减速带L处由静止释放。已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观察发现，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度相同，小车通过第50个减速带后立刻进入水平地面（连接处能量不损失），继续滑行距离s后停下，已知小车与水平地面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，求： (1)小车通过第50个减速带时速度的大小； (2)小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能； (3)小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，则L应满足什么条件？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 机械能守恒定律及其应用 【模型1　机械能守恒定律的判断】 【模型构建】 机械能守恒定律的判断是 “功和能” 板块的基础题型，核心逻辑是分析物体（或系统）的机械能是否与外界发生能量交换，即判断是否只有重力或弹力做功。满足条件时，物体（或系统）的动能与势能（重力势能、弹性势能）相互转化，机械能总量保持不变 【模型剖析】 1.对机械能守恒条件的理解 （1）只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒。 （2）除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。 （3）除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。 2.机械能守恒的判定方法 （1）做功条件分析法：若物体系统内只有重力或弹簧弹力做功，其他力均不做功，则系统的机械能守恒。 （2）能量转化分析法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能（如没有内能增加），则系统的机械能守恒。 【题目示例】 如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　) A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒 B．乙图中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒 C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时A加速下落，B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒 D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒 【推理过程】 解析　甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错；乙图中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但从能量特点看A、B组成的系统机械能守恒，B错；丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B系统机械能守恒，C对；丁图中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D对． 【变式探究】 如图是被誉为“豪小子”的华裔球员林书豪在NBA赛场上投二分球时的照片．现假设林书豪准备投二分球前先屈腿下蹲再竖直向上跃起，已知林书豪的质量为m，双脚离开地面时的速度为v，从开始下蹲到跃起过程中重心上升的高度为h，则下列说法正确的是(　　) A．从地面跃起过程中，地面对他所做的功为0 B．从地面跃起过程中，地面对他所做的功为mv2＋mgh C．从下蹲到离开地面上升过程中，他的机械能守恒 D．离开地面后，他在上升过程中处于超重状态，在下落过程中处于失重状态 答案　A 解析　林书豪从地面跃起的过程中，地面对脚的支持力作用点位移为零，支持力不做功，A正确，B错误；林书豪从下蹲到离开地面上升过程中，消耗自身能量，其机械能增大，C错误；离开地面后，林书豪上升和下降过程中，加速度均竖直向下，处于失重状态，D错误． 【模型2　单物体机械能守恒】 【模型构建】 单物体机械能守恒定律是机械能守恒的基础应用场景，核心逻辑是当单个物体只有重力做功时，其动能与重力势能相互转化，机械能总量保持不变。该模型适用于抛体运动、光滑斜面滑行、单摆摆动等场景 【模型剖析】 1.机械能守恒定律表达式 说明：单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行列式。 2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤 【题目示例】 如图所示，一个质量为m的足球，以速度v从A点被踢起，它能达到最高点B点处，A、B两点的高度差为h，h远大于足球的半径，运动过程中不计一切阻力，重力加速度取g，下列说法正确的是（　　） A．以A点所在水平面为参考面，足球在B点处的机械能为 B．以B点所在水平面为参考面，足球在B点处的机械能为 C．以B点所在水平面为参考面，足球在B点处的机械能为 D．不论以哪个面为参考面，足球从A点到B点的过程中机械能增加了mgh 【推理过程】 【答案】A 【详解】AD．由于足球在运动过程中只受重力，只有重力做功，所以足球从A点到B点的过程中机械能守恒，若以A点所在水平面为参考面，则初始时足球的机械能为，所以到达B点时机械能仍为，故A正确，D错误； BC．以B点所在水平面为参考面，足球在A处的机械能为，所以到达B点处的机械能也为，故BC错误。 故选A。 【变式探究】 如图所示，法国奥运会网球女单决赛中郑钦文正在斜向上拍击质量为m的网球。若网球离拍时距地面的高度为h，速度为，速度与水平方向夹角为θ，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．击球过程，球拍对网球做的功为 B．网球离拍时的机械能一定为 C．当θ为45°时，网球水平射程最远 D．h越小，其最远水平射程对应的θ越接近45° 【答案】D 【详解】A．击球过程中，由动能定理可以得出球拍对网球做的功为 即 故A错误； B．网球离拍时，其动能为 重力势能因选取得零势能面不同，取值不同，而机械能 故机械能不一定为 故B错误； C．可将击出的网球分解为竖直方向得匀变速直线运动和水平方向得匀速直线运动，则有， 解得， 故最远射程有共同决定，故当θ为45°时，网球水平射程不一定最远，故C错误； D．由上述分析，当时，时水平射程最大，故h越小，其最远水平射程对应的θ越接近45°，故D正确。 故选D。 【模型3　多物体机械能守恒定律】 【模型构建】 多物体机械能守恒定律的核心逻辑是 以 “系统” 为研究对象，判断系统内只有重力或弹簧弹力做功，且系统与外界无机械能交换，此时系统的总机械能（动能 + 重力势能 + 弹性势能）保持不变。该模型适用于连接体、叠加体、含弹簧的物体组等场景 【模型剖析】 1.解决多物体系统机械能守恒的注意点 （1）对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒。 （2）注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 （3）列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。 2.三种实际情景的分析 （1）速率相等情景 注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。 （2）角速度相等情景 两点提醒 ①用杆连接的两个物体，若绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定两物体线速度v的大小关系。 ②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 （3）某一方向分速度相等情景（关联速度情景） 两物体速度的关联实质：沿绳（或沿杆）方向的分速度大小相等。 【题目示例】 如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A，轻质定滑轮下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，重物A、B均处于静止状态，释放后A、B开始运动。已知A、B的质量相等，假设摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为，当A的位移大小为时，下列说法正确的是（　　） A．A物体的重力势能减小了 B．B物体的重力势能减小了 C．B物体运动的速度大小为 D．B物体运动的速度大小为 【推理过程】 【答案】D 【详解】AB．两物体质量相等，释放物体后，A上升，B下降2h，则A物体的重力势能增加，B的重力势能减小，故AB错误； CD．设B的速度为v，则A的速度为，对系统，根据机械能守恒定律有 解得 故C错误，D正确； 故选D。 【变式探究】 摆动是生活中常见的运动形式。如图甲所示，长为L的轻杆一端绕光滑的轴转动，另一端固定质量为m的小球1。如图乙所示，长为的轻杆一端绕光滑的轴转动，中点处和另一端分别固定质量均为m的小球2、3。三个小球均可视为质点，两杆均从水平位置由静止释放，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　）    A．1、2运动到各自最低点时的动能相等 B．1、2运动到各自最低点时的向心加速度大小之比为5：3 C．在2运动到最低点的过程中，轻杆对2做正功 D．在3运动到最低点的过程中，轻杆对3做的功为 【详解】A．对1由机械能守恒定律可得 对2、3组成的系统由机械能守恒定律可得 由同轴转动规律可得 综合解得 故A错误； B．根据 1在A点的向心加速度 2在B点的向心加速度 综合可得 故B正确； C．在2运动到最低点的过程中，对2由动能定理可得 综合解得轻杆对2做的功为 故C错误； D．在3运动到最低点的过程中，轻杆对2、3做的功的代数和为0，则轻杆对3做的功为 故D正确。 故选BD。 1. 某同学在操场上踢足球，足球质量为m，该同学从地面上的1位置将足球以速度v0踢起，最高可以到达离地面高度为h的2位置，选地面为零势能面，足球可以看成质点，则下列说法中正确的是（　　） A．足球从位置1到位置2的运动过程机械能守恒 B．该同学对足球做的功等于 C．足球在位置2处的机械能为mgh D．若从位置1到位置2足球克服空气阻力做的功为W，足球在位置2处的动能为 【答案】B 【详解】A．由图可知足球从1位置到2位置的水平位移与从2位置到3位置的水平位移大小明显不一样，可知足球在运动中空气阻力不能忽略，足球从位置1到位置2的运动过程机械能不守恒，故A错误； B．由动能定理可知该同学对足球做的功为 故B正确； C．足球在位置2处的速度不为零，机械能大于mgh，故C错误； D．足球从位置1到位置2由动能定理得 则足球在位置2处的动能为 故D错误。 故选B。 2. 有以下物理过程：甲图为跳伞运动员匀速下落；乙图为地面上放置一固定斜面B，物块A从B上匀速下滑；丙图为物体A压缩弹簧的过程；丁图为不计任何阻力和定滑轮与绳子质量，A物体加速下落，B物体加速上升过程。关于这几个物理过程，下列判断正确的是（    ） A．甲图所示过程中跳伞运动员的机械能不守恒 B．乙图所示过程中物块A的机械能守恒 C．丙图所示过程中物体A的机械能守恒 D．丁图所示过程中物体A、B组成的系统机械能守恒 【答案】AD 【详解】A．甲图中跳伞运动员的动能不变，重力势能减小，则机械能不守恒，故A正确； B．乙图中A匀速下滑，B表面粗糙，故物块A的机械能不守恒，故B错误； C．丙图为物体A将弹簧压缩的过程中，弹簧对A的弹力做负功，A的机械能减小，即丙图中物体A的机械能不守恒，故C错误； D．丁图为不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落，B加速上升过程中，对A、B构成的系统，只有重力和系统内轻绳的弹力做功，由于系统内轻绳对A与对B做功的代数和为0，可知，丁图中A、B组成的系统机械能守恒，故D正确。 故选AD。 3. 如图，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面顶端安装有一轻质光滑定滑轮。一根轻质细线跨过滑轮与物块A、B相连，A与滑轮间的细线与斜面平行。A的质量为m，B的质量为2m。初始时，A被锁定在斜面，B悬停于空中。解除锁定，两物块开始运动，不计空气阻力，物块B下降h（未着地）的过程，下列说法正确的是（　　） A．物块B的机械能守恒 B．物块B下降h时A的速度大小为 C．此过程轻绳对物块A所做的功为 D．物块B减小的重力势能大于A、B两物块增加的动能之和 【答案】BD 【详解】A．物块B下降过程中，轻绳对B做负功，所以物块B的机械能不守恒，故A错误； B．对A、B两物块组成的系统，根据机械能守恒定律有 解得物块B下降h时A的速度大小为，故B正确； C．设此过程轻绳对物块A所做的功为，对物块A列动能定理方程有 解得，故C错误； D．因为A、B两物块组成的系统机械能守恒，所以物块B减小的重力势能等于物块A增加的重力势能与A、B两物块增加的动能之和，所以物块B减小的重力势能大于A、B两物块增加的动能之和，故D正确。 故选BD。 4. 低空跳伞是一种危险性比较高的极限运动，人在空中降落过程中所受空气阻力随下落速度的增大而增大。一名质量为70kg的跳伞运动员背有质量为10kg的伞包从某高层建筑顶层跳下，且一直沿竖直方向下落，其整个运动过程的v-t图像如图所示。已知前2.0s图像为直线，2.0s末的速度为18m/s，10s末拉开绳索开启降落伞，16.2s时安全落地，并稳稳地站立在地面上。g取，则关于跳伞运动员（包括其随身携带的全部装备），下列说法正确的是（　　） A．前2s机械能守恒，10s到16.2s机械能减小 B．前2s所受平均阻力大小为720N C．前10s的平均速度大小为20m/s D．开伞后，克服空气阻力做功约为 【答案】D 【详解】B.由v-t图可知，起跳后前2s内运动员的运动近似是匀加速运动，其加速度为a==m/s2=9.0m/s2 设运动员受平均阻力为f，总质量为 根据牛顿第二定律有 解得所受平均阻力f=80N，故B错误； A. 在前2s内，运动员做匀加速直线运动，运动员受到了空气阻力作用，空气阻力做负功，机械能不守恒，故A 错误； C. 由v-t图可知，10s末开伞时的速度v=40m/s，若运动员一直做匀加速直线运动，有 但运动员2s~10s做加速度减小的变加速直线运动，则由图像可知平均速度大于20m/s，故C错误； D．从图像可知，10s时的速度v=40m/s，末速度为零，总质量为M = 80kg，开伞后的下落高度为10s到16.2s内v-t图像与时间轴所围的面积；通过数格子估算面积为 由动能定理可知 解得，故D正确。 故选D。 5. 如图甲所示为建筑行业使用的一种小型打夯机，其原理可简化为一个质量为M的支架（含电动机）上由一根长为l的轻杆带动一个质量为m的铁球（铁球可视为质点），如图乙所示，重力加速度为。若在某次打夯过程中，铁球以角速度ω匀速转动，则（　　） A．铁球转动过程中机械能守恒 B．铁球做圆周运动的向心加速度始终不变 C．铁球转动到最低点时，处于失重状态 D．若铁球转动到最高点时，支架对地面的压力刚好为零，则 【答案】D 【详解】A．铁球做匀速圆周运动，动能不变，但重力势能不断变化，所以机械能不守恒，故A错误； B．向心加速度是矢量，铁球做匀速圆周运动时，向心加速度的大小保持不变，但方向始终指向圆心，不断变化，所以向心加速度不是始终不变的，故B错误； C．铁球转动到最低点时，加速度方向向上（向心加速度指向圆心，此时圆心在上方），所以铁球处于超重状态，故C错误； D．铁球转动到最高点时，对铁球进行受力分析可知，铁球受到重力和轻杆的作用力的作用，根据牛顿第二定律有 因为支架对地面的压力刚好为零，说明支架受到铁球的作用力与支架的重力相等，即 则根据牛顿第三定律有 联立解得，故D正确。 故选D。 6. 如图所示，球员将质量为的篮球以斜向上的初速度抛出，初速度方向与水平方向的夹角为，篮球在空中划出的弧线经过、、三点，与在同一条水平线上，是最高点。到地面的距离为，、到地面的距离均为，重力加速度为，空气阻力不计，以地面为零重力势能面，下列判断正确的是（　　） A．篮球在最高点的机械能为 B．篮球在最高点的动能为 C．篮球从运动到的时间为 D．、之间的距离为 【答案】C 【详解】A．不计空气阻力，篮球的机械能守恒，篮球在最高点时有水平速度，此时其机械能大于，故A错误； B．篮球在水平方向做匀速直线运动，在最高点的水平速度 故篮球在最高点的动能，故B错误； C．篮球从到做斜上抛运动，从运动到的时间 从运动到的时间和从运动到的时间相等，故，故C正确； D．、之间的距离，故D错误。 故选C。 7. 7．2025年8月8日至12日，世界机器人大会在北京举办。如图甲所示，分拣机器人到达指定投递口停住后，翻转托盘使托盘倾角缓慢增大，当托盘倾角增大到时，包裹恰好开始下滑。侧视简化图如图乙，下列说法正确的是（　　） A．倾转过程中，包裹的机械能保持不变 B．包裹滑动前，托盘对包裹的作用力大小随倾角增大而增大 C．包裹滑动后，继续增大托盘倾角，包裹所受摩擦力将减小 D．包裹滑动后，继续增大托盘倾角，包裹所受摩擦力大于托盘所受摩擦力 【答案】C 【详解】A．倾转过程中，支持力对包裹做正功，包裹的机械能增大，故A错误； B．包裹滑动前，托盘对包裹的作用力大小始终等于包裹的重力，即保持不变，故B错误； C．包裹滑动后，继续增大托盘倾角，包裹所受摩擦力将减小，故C正确； D．包裹滑动后，包裹所受摩擦力与托盘所受摩擦力是一对相互作用力，一定等大反向，故D错误。 故选C。 8. 如图所示一个同学在拍球，已知篮球的质量m=0.6kg，篮球每次与地面碰撞后反弹速率均为碰前速率的。拍球后刚好使得篮球触地反弹后回到h=1m的原高度处（h为篮球下边缘距地面的高度），重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力的影响，以下说法正确的是（　　） A．篮球与地面碰撞后离地瞬间速度的大小为m/s B．篮球与地面碰撞前瞬间速度的大小为m/s C．拍篮球过程手对球做的功为1.5J D．篮球与地面碰撞过程中损失的机械能为2J 【答案】D 【详解】AB．篮球与地面碰撞前瞬间速度的大小为，篮球与地面碰撞后离地瞬间速度的大小为，根据机械能守恒可得 根据题意有 联立解得，，故AB错误； CD．篮球与地面碰撞过程中损失的机械能为 整个过程，根据动能关系可知拍篮球过程手对球做的功为，故C错误，D正确。 故选D。 9. 如图所示，T形杆固定在竖直面内，AB部分水平，B端固定一光滑小滑轮，轻绳一端固定在竖直杆上C点，另一端D连接质量为m的小球，将轻绳拉直且轻绳刚好与滑轮接触，此时轻绳与水平杆AB的夹角为37°，绳长大于CB间距离，不计小球及滑轮的大小，重力加速度为g，，。由静止释放小球，则在小球运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．释放小球的一瞬间，小球的加速度大小为0.6g B．轻绳对C点的最大拉力为1.8mg C．小球运动到最左端时，轻绳对滑轮的作用力大小等于mg D．仅将绳长变长重新释放小球，轻绳对C点的最大拉力变大 【答案】B 【详解】A．释放小球的一瞬间，设小球的加速度为，则根据牛顿第二定律有 解得，故A错误； B．小球运动到最低点时，轻绳对C点的拉力最大，设BD段轻绳长为L，设小球运动到最低点时速度大小为v，小球由静止运动到最低点的过程中，根据机械能守恒可得 小球运动到最低点时，设绳的拉力为，则根据牛顿第二定律可得 联立，解得，故B正确； D．由B分析可知，绳的拉力与绳长L无关，仅将绳长变长重新释放小球，轻绳对C点的最大拉力不变，故D错误； C．小球运动到最左端时，轻绳上的拉力大小为 则轻绳对滑轮的作用力，故C错误。 故选B。 10. 如图所示，置于竖直平面内的AB光滑曲杆，它是按初速度为的平抛运动轨迹制成的，A端为抛出点，B端为落地点，且A、B间的连线与水平方向成角，。现将一质量为m的小圆环套于曲杆上，从A端由静止滑下，重力加速度为g，则（　　） A．A、B两点间的竖直高度差为 B．小圆环经过B点时的速度大小为 C．小圆环到达B点时，重力的瞬时功率为 D．小圆环经过杆上某点P时，小圆环所受弹力沿图中所示方向（垂直于杆向外侧） 【答案】AD 【详解】A．设物体以初速度做平抛运动到B点时速度方向与水平方向的夹角为，到达B点时竖直方向的分速度为，则由平抛运动规律可得 所以 根据物体竖直方向做自由落体运动 解得，A正确； B．设小圆环经过B点时的速度大小为，根据机械能守恒定律有 解得，B错误； C．平抛运动规律 所以夹角 小圆环到达B点时重力的瞬时功率，C错误； D．如果小圆环的初速度为，则运动过程中与光滑杆没有挤压，由于现在小圆环的初速度为0，则小圆环运动到P点的速度小于有初速度的情况，故小圆环与光滑杆有挤压，且小圆环会受到垂直于杆向外侧的弹力作用，故D正确。 故选AD。 11. 可视为质点的甲、乙两小球用铰链与轻杆连接，甲球套在固定的竖直杆上，乙球处于水平地面上，初始时轻杆与水平方向夹角为杆长为L。无初速度释放两球到甲球落地的过程中，两球的速率随时间变化如图所示，其中t₂时刻乙球速率最大。已知甲球质量为2m，乙球质量为m，重力加速度大小为g，不计一切摩擦，则（　　） A．t₁时刻轻杆与水平方向夹角为 B．t₂时刻甲球的加速度等于g C．t₃时刻甲球的速率为 D．0~t₃过程甲、乙两球的速率图线与时间轴所围成的面积之比为 【答案】BD 【详解】A．设t1时刻轻杆与水平方向夹角为θ，将v甲和v乙沿杆方向和垂直于杆方向正交分解如图： 沿杆方向速度相等，则有v甲sinθ=v乙cosθ 从图像中可以看出此时v甲=v乙 所以sinθ=cosθ，θ=45° 故A错误； B．t2时刻乙球速率最大，此时图像中斜率为0，即加速度为0，则合外力为0，杆对乙球没有力，则杆对甲球也没有力，所以甲球只受重力，加速度为g，故B正确； C．t3时刻甲球落地，乙球速度为0，根据动能定理有 解得，C错误； D．0～t3过程甲、乙两球的速率图线与时间轴所围成的面积为甲和乙的位移，甲球的位移为x甲=Lsin60°=L 乙球的位移为x乙=L- Lcos60°=L 所以x甲：x乙=：1 即0～t3过程甲、乙两球的速率图线与时间轴所围成的面积之比为：1，故D正确。 故选BD。 12. 如图所示，O点为固定在光滑水平横杆上的铰链，轻杆OA长度为L，A端铰接一质量为m的小球P，B端铰接一质量也为m的物块Q，物块Q穿过水平光滑横杆，可在横杆上无摩擦滑动。所有铰链均光滑，轻杆质量不计。初始时OA杆与水平方向成α角，系统从静止释放。重力加速度大小为g。当小球P运动到O点正下方时，小球P的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】从初态到末态系统机械能守恒，可得： 由沿杆方向速度相等可得 （为末态时轻杆AB与水平方向间的夹角） 联立解得 故选A。 13. 如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则错误的是（　　） A．a落地前，轻杆对b一直做正功 B．a落地时速度大小为 C．a下落过程中，其加速度大小始终大于g D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg 【答案】AC 【详解】A．当a到达底端时，b的速度为零，则在a下落过程中，b的速度先增大后减小，动能先增大后减小，所以轻杆对b先做正功，后做负功，故A错误，满足题意要求； B．a落地时，b的速度为零，根据系统机械能守恒可得 解得，故B正确，不满足题意要求； C．在a下落过程中，b的速度先增大后减小，轻杆对b的作用力先是推力后是拉力，在b加速的过程中，轻杆对b是沿杆向下的推力，则轻杆对a是沿杆向上的推力，此时a的加速度小于重力加速度g，故C错误，满足题意要求； D．a、b组成的系统的机械能守恒，当a的机械能最小时，b的速度最大，此时b受到a的推力为零，b只受到重力与支持力的作用，所以b对地面的压力大小为mg，故D正确，不满足题意要求。 故选AC。 14. 如图所示，一根轻质弹簧一端固定于光滑竖直杆上，另一端与质量为m的滑块P连接，P穿在杆上，一根轻绳跨过定滑轮将滑块P和重物Q连接起来，Q的质量为4m。将P从图中A点由静止释放后沿竖直杆上下运动，当它经过A、B两点时弹簧对滑块的弹力大小相等。已知OA与水平面的夹角（，），OB长为3L，与AB垂直，不计滑轮的摩擦，重力加速度为g。则P从A点到B点的过程中（　　） A．P和Q组成的系统机械能守恒 B．P的速度先增大再减小 C．轻绳对P做的功为8mgL D．P运动至B点的速度为 【答案】BC 【详解】A．不计摩擦，只有重力和弹力做功，根据题意可知，滑块P、重物Q与弹簧组成的系统机械能守恒，故A错误； B．P从A点开始加速上升，在B点弹簧对P的弹力向下，受力分析可知，此时P的合力竖直向下，做减速运动，故P的速度先增大再减小，故B正确； C．根据题意可知，滑块P从A点开始运动时，重物Q的速度为0，当滑块P到达B点时，重物Q的速度也为0，根据几何关系可知，重物Q下降的高度为 对重物Q，根据动能定理，有 即得轻绳拉力对重物Q做的功 轻绳拉力对滑块P做的功和对重物Q做的功大小一样，符号相反，为8mgL，故C正确； D．在A、B两点时弹簧对滑块的弹力大小相等，可知A、B两点弹簧的弹性势能相等，又根据几何关系可知，滑块P上升的高度为 对滑块P、重物Q与弹簧组成的系统，根据机械能守恒定律可知 解得滑块P在B点的速度为，故D错误。 故选BC。 15. 如图所示，大圆环固定在竖直平面内，一根轻绳两端各系一个小球A、B（均可视为质点），轻绳跨过固定在大圆环顶端的小滑轮，A为有孔小球套在光滑的大圆环上。开始时A与大圆环圆心连线和竖直方向夹角为60°，A的质量为4m，B的质量为m，大圆环半径为R，重力加速度为g。由静止释放A、B，则在A球下滑到最低点的过程中（不计一切摩擦）（　　） A．B球所受拉力可能小于重力 B．A球重力的瞬时功率先增大后减小 C．A球与大圆环圆心等高时，A、B两球的速度大小关系为 D．A球到达最低点时的速度大小 【答案】ABD 【详解】A．B球的速度等于A球沿绳方向的分速度，最低点时该速度为0，可知B球向上先加速后减速，减速过程B球所受拉力小于重力，故A正确； B．当A滑到最低点时，速度与重力垂直，重力的瞬时功率为0，则在A球下滑到最低点的过程中，A球重力的瞬时功率先增大后减小，故B正确； C．A球与大圆环圆心等高时，根据几何关系可知A、B两球的速度大小关系满足，故C错误； D．A球到达最低点时，B球的速度为0；根据系统机械能守恒可得 解得，故D正确。 故选ABD。 16. 如图所示，有一条柔软的质量为m长为L的均匀链条，开始时使链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，并处于静止。若不计一切摩擦，桌子足够高。下列说法中正确的是（　　） A．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 B．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 C．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 D．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度 【答案】AC 【详解】AB．若要把链条全部拉回桌面上，只要克服垂于桌面外的部分的重力做功即可，至少要克服重力做的功，A正确，B错误； CD．若自由释放链条，只有重力做功整个链条的机械能守恒，取桌面为参考平面，则有 解得，C正确，D错误。 故选AC。 17. 如图所示，粗细均匀的直角杆固定在竖直面内，段水平粗糙，段竖直光滑，两个质量均为的小球分别套在杆上，两球用长为的轻绳连接，球刚好不滑动，此时轻绳与水平方向的夹角为，重力加速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计球的大小及杆的质量，。 (1)求小球与水平杆间的动摩擦因数； (2)若给球施加一个水平向右的拉力，使球缓慢向右移动，从开始至轻绳与水平方向的夹角为的过程中。求、运动的位移大小分别是多少？拉力做的功是多少？ 【答案】(1) (2)0.2L，0.2L， 【详解】（1）以b为研究对象，根据受力平衡可得绳的拉力 对a分析可知，所受的最大静摩擦力 对ab整体分析可知a受OA的弹力为 可得小球与水平杆间的动摩擦因数 （2）根据几何关系可知的位移 的位移 球缓慢向右移动的过程中，因a球对OA的弹力不变，则摩擦力不变，则摩擦力的功 b球克服重力做功为 由能量关系可知拉力做的功 18. 如图，水平台面右侧有一固定于竖直平面内的光滑圆弧轨道BC，C点切线水平，并与固定在水平地面上的斜面体平滑连接。斜面顶端D固定一轻质弹簧。一小物块从台面右端A点滑出，恰好从B点沿切线方向进入圆弧轨道，再冲上斜面压缩弹簧，运动到斜面中点时速度恰好为0。已知A点、圆心O与顶端D共线，且离地高度均为h=1.2m，OB和OC的夹角θ=60°，斜面倾角α=37°，物块质量m=0.3kg，物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.5，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力，求： (1)物块从A点滑出时的速度大小v0； (2)物块到达C点时受到轨道的支持力大小N； (3)弹簧的最大弹性势能Eₚ。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小物块由A点运动到B点的过程中做平抛运动，设运动时间为，由平抛运动规律有 解得 设到达B点时竖直方向的速度为，则 又 解得 （2）设小物块在C点时速度大小为，由机械能守恒定律得 小物块在C点时受到轨道的支持力大小为N，由牛顿第二定律得 解得 （3）斜面CD的长度为 小物块沿斜面上滑的最大距离 小物块沿斜面体运动到最高点过程中，有 解得 19. 如图，一段有50个减速带（图中黑点表示，未全部画出）的斜坡，假设斜坡光滑，倾角为，相邻减速带间的距离均为d，减速带的宽度远小于d。一质量为m的无动力小车（可视为质点）从距离第1个减速带L处由静止释放。已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观察发现，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度相同，小车通过第50个减速带后立刻进入水平地面（连接处能量不损失），继续滑行距离s后停下，已知小车与水平地面间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，求： (1)小车通过第50个减速带时速度的大小； (2)小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能； (3)小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，则L应满足什么条件？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在水平地面上，小车水平方向受到摩擦力即合外力，根据牛顿第二定律有 解得 根据速度位移公式有 解得 （2）由题意可知，通过第30个及后面的减速带时小车的速度相同，所以经过每个减速带损失的机械能即相邻两减速带小车通过时重力势能的减少量。则有 （3）小车从静止起释放到下滑经过第30个减速带过程，有 小车重力势能减少的同时动能增加了，所以机械能损失的 解得 每一个减速带上损失的机械能 解得 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $