专题04 分式（期末复习知识清单，8知识12题型6易错3方法）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

该初中数学分式专题知识清单系统梳理分式核心内容，包含8个知识清单，涵盖分式定义、性质、运算、整数指数幂、分式方程等范畴，搭建从概念理解到运算应用的递进式学习支架。 清单通过知识清单+12类题型+易错提示构建体系，如分式值为0强调“分子为0且分母不为0”双重条件，分式方程标注验根关键步骤，培养运算能力与推理意识。设“名师解读”“易错易混”模块，助力学生自主复习，教师精准教学。

专题04 分式（8知识&12题型&6易错&3方法清单） 【清单01】分式的定义 定义：一般地，如果A、B表示两个整式（B是非0整式），那么式子叫做分式，也称为有理式.分式A叫做分子，B叫做分母. 【名师解读】分式的三个特征：①形如的形式；②A、B都是整式；③分母中必须含有字母，而对分子不作要求，即分子可含字母，也可以不含字母. 【清单02】分式有意义、无意义即分式值为0的条件 分式 条件 示例 总结 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式有意义的条件是x≠-5，x的取值范围为x≥0 1）分式有无意义，取决于分母，与分子无关； 2）分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0.而是表示分母的整式的值不能为0，二者不能混淆. 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 分子等于零且分母不等于零，即A=0且B≠0 使值为0的条件为x=1 1）要使分式的值为0，必须同时满足两个条件： ①分母不为0；②分子为0，两者缺一不可； 2）分式值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义. 3） 【清单03】分式的基本性质 1.文字表述：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：（C≠0），(C≠0)，其中A，B，C是整式. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意： ①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0； ③要注意避免犯只乘分子或只乘分母的错误. 2. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 即：. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 3.分式的约分：根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 4.最简分式：分子与分母没有一次及以上公因式的分式叫做最简分式. 5.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 【注意事项】 1)分式的通分是要使几个分式化为同分母的形式，所以确定公分母是关键，确定公分母时需要先分解因式. 2)确定公分母的方法: ①系数取各分母系数的最小公倍数； ②凡出现的因式都要取，相同因式的次数取最高次幂. 3）化异分母分式为同分母分式时，要保证每个分式都和原分式相等. 6.最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母. 【清单04】分式的运算 1.分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0） 2.分式的加减法法则 分母类别 文字表述 数字语言 同分母分式 分母不变，把分子相加减 异分母分式 先通分，变为同分母的分式，再加减 3.分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【补充说明】 1）结果应化为最简分式或整式. 2）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 3）分式的混合运算要注意各分式中的分子、分母的符号，结果中分子或分母的系数（首项系数）为负数时，要将“－”号提到分式的前面. 【清单05】负整数的指数幂 【清单06】分式方程的相关定义 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为零，因此解分式方程要验根，其方法是把根代人最简公分母中看其是不是为零. 【清单07】解分式方程 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程，即. 【易错点】 1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 【清单08】分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 【题型一】分式有/无意义条件 1．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如果分式无意义，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0； B．当时，有意义； C．无论为何值，的值不可能是正整数 D．无论为何值，总有意义 3．（24-25七年级上·上海青浦·月考）当x 时，分式有意义． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）对于分式： (1)如果，那么y取何值时，分式无意义？ (2)如果，那么x取何值时，分式无意义？ (3)使分式无意义的x，y有多少对？ (4)要使得分式有意义，x，y应有什么关系？ (5)如果，那么y取什么值时，分式的值为零？ 【题型二】判断分式变形是否正确 1．（24-25七年级上·上海普陀·月考）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海闵行·期末）若把的值同时扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海·月考）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【题型三】约分与通分 1．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）下列代数式，，，，中，最简分式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）分式、的最简公分母是 ，通分为 ． 4．（2022八年级上·全国·专题练习）通分 (1)， (2)， (3)， (4)， 【题型四】分式的乘除运算 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（23-24八年级上·山东泰安·月考）计算的结果是（       ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·江西南昌·期末）计算： ． 4．（22-23七年级上·上海闵行·期末）计算： 【题型五】分式的加减运算 1．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 2．（2021·上海·一模）定义：，计算： ． 3．（25-26七年级上·上海普陀·月考）计算： 4．（23-24七年级上·上海·期末）化简：． 【题型六】分式的混合运算 1．（24-25七年级上·上海·月考）下列代数式计算的结果等于的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海普陀·月考）计算： 3．（24-25七年级上·上海·月考）计算： 【题型七】整数的指数幂 1．（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算： ．（结果用不含有负整数指数幂的形式表示） 2．（24-25七年级上·上海·期末）计算： 3．（24-25七年级上·上海·月考）计算： 【题型八】解分式方程 1．（22-23七年级上·上海·期末）下列分式方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·上海·中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期末）通过教材中分式单元的的阅读材料，我们知道了一个分式可以写成几个分式的和， 如：． 观察下列解方程的过程：． ． ． ． 在上述的解方程过程中，应用了，使解方程的过程变得简捷． 类似的，解方程， 这个方程的解是 ． 【题型九】列分式方程 1．（24-25七年级上·上海普陀·期末）现有一杯浓度为的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到，需要加入多少克食盐？如果设要加入克食盐，那么根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）某班组织学生参加植树活动，第一组植树12棵，第二组比第一组多6人，植树36棵，结果两组平均每人植树的棵树相等．设第一组学生有人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·四川广元·期末）中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点．从广元站到重庆北站的距离是353千米，乘坐“复兴号”动车组列车将比乘坐普通快车节省1小时40分钟．已知“复兴号”动车组的平均速度比普通快车速度快80千米时，设“复兴号”动车组的平均速度为x千米时，根据题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）甲安装队为A小区安装78台空调，乙安装队为B小区安装65台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装3台，若设乙队每天安装x台，则根据题意可列方程 ．（无需解方程） 5．（24-25七年级上·上海·阶段练习）、两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从地出发到地，乙车比甲车早到30分钟，求甲车的平均速度．如果设甲车平均速度为千米/小时，那么根据题意列出的分式方程是 ． 【题型十】分式方程与实际问题 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）某区为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120 米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，以后每天铺设管道的长度比原计划增加，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．求路线一的平均车速． 3．（24-25七年级上·上海青浦·期末）2024年4月第七批上海市非物质文化遗产代表性项目名录发布，青浦有2个非遗项目入选，其中一项是“水印版画”．为宣传非遗文化，学校开设了“水印版画”社团，计划采购、两种套装的工具，已知某商店种套装的工具的标价比种套装的工具的标价高，如果用1300元购买种套装的数量比用3000元购买种套装的数量少20套，那么种、种套装的标价分别为多少元？ 4．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）某玩具经销商用万元购进了一批玩具，上市后一周全部售完．该经销商又用万元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每套进价多了10元． (1)该经销商两次共购进这种玩具多少套？ (2)若第一批玩具销售完后总利润率为，购进的第二批玩具仍以第一批的相同售价出售，则第二批玩具全部售完后，这二批玩具经销商共可获利多少元？ 5．（24-25七年级上·上海普陀·期末）某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工． (1)若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程？ 6．（24-25七年级上·上海嘉定·月考）如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的路程为，王老师家到学校的路程为．由于小明脚扭伤，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的平均速度是步行平均速度的2倍，他每天比平时步行上班多用，则王老师步行的平均速度及骑自行车的平均速度各是多少？ 【题型十一】与分式有关的新定义问题 1．（25-26七年级上·上海·期中）定义新运算，若，计算 ． 2．（22-23七年级上·上海松江·阶段练习）我们定义一种新运算：记，如果设为代数式，则 （用含的代数式表示）． 3．（24-25七年级上·上海普陀·期末）定义：如果一个关于的分式方程的解是，那么我们把这样的分式方程称为和解方程．例如方程就是和解方程．已知关于的分式方程是和解方程，那么的值是 ． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 5．（24-25七年级上·上海·期末）定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 【题型十二】比较分式的大小 1．（22-23七年级·上海·假期作业）若，，试比较A与B的大小． 2．（21-22八年级下·江苏南京·期中）已知b＞a＞0． (1)比较大小： （填“＞”、“＜”或“＝”）； (2)若c＞0，比较与的大小； (3)下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）． ①若n＞m＞0，则；②若n＞m＞2，则；③若n＞m＞2，则； ④若n＞m＞2021，则． 3．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）【阅读】我们分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只需要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【运用】(1)若，要比较和的大小，只需要， ∴可得_______．（填“”“”或“”） (2)若，，，试比较与的大小． (3)甲、乙两水果店分别两次采购同一种苹果，第一次采购的价格为元/斤，第二次采购的价格为元/斤（是整数，且）．甲店两次各购买了斤苹果，乙店两次购买苹果均花费了元．试比较甲店和乙店两次采购苹果的平均价格的高低． 【题型一】分式的判断 1．（20-21七年级上·上海浦东新·期末）在下列式子：，，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·上海青浦·期中）在代数式，，，，，中，分式的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级上·上海·期中）不论取何值，下列分式总有意义的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】分式值为0的条件 1．（2024七年级上·上海·专题练习）如果当时，分式的值为0，那么可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河北廊坊·三模）若分式的值为0，则（    ） A． B． C． D．不存在m的值，使得 3．（24-25七年级上·上海·阶段练习）当 时，分式的值为0． 【题型三】最简分式与最简公分母 1．（24-25七年级上·上海普陀·月考）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·月考）下列分式，，，中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（21-22八年级下·陕西咸阳·阶段练习）下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（    ） A．与的最简公分母是 B．与的最简公分母是 C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是 4．（24-25七年级上·上海青浦·期末）分式和的最简公分母是 ． 【题型四】分式的乘方 1．（2023·河北·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·月考）计算： ．（结果只含正整数指数幂） 3．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）计算：． 4．（21-22七年级上·上海·期末）计算： 【题型五】整式与分式的运算 1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 2．（20-21七年级上·上海黄浦·期末）计算：＝ ． 3．（上海市世外中学2025-2026学年七年级上学期期中数学试卷）下面是小明同学在作业计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业     第一步    第二步     第三步    第四步 (1)小明的作业是从第___________步开始出现错误的，错误的原因是___________； (2)已知，求的值． 【题型六】分式方程的判断 1．（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）给出下列关于x的方程：①，②，③，④ ．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（20-21七年级上·上海静安·课后作业）在方程：①，②，③，④，是分式方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【题型一】分式的化简求值 解题思路：分式化简求值是代数式化简求值的常见题型之一，也是中考的固定题型，其基本步骤是先化简，再把字母的值或条件中所含关系代入计算. 分式求值中所含知识覆盖面广，解法灵活，可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化. 1．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 2．（25-26八年级上·山东济宁·月考）先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 34．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）先化简再求值：．其中从中任取一个合适的值． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知． 小宇和小恒在对进行化简后，小宇说不论取何值，的值都比的值大；小恒说不论取何值，的值都比的值大．请你判断谁的说法正确，并说明理由． 【题型二】根据分式方程的解的情况求字母参数 解题思路： 1）分式方程有解，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根. 2）分式方程无解，说明： ①原方程去分母后的整式方程无解； ②原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解. 3）分式方程有增根，说明：①原分式方程中的分母为0；②增根为原方程去分母后的整式方程的根. 1．（25-26七年级上·上海宝山·期中）已知关于x的方程，若方程无解，求m的值． 2．（24-25七年级上·上海闵行·月考）已知关于的方程：，若方程有增根，求的值． 3．（24-25八年级上·全国·假期作业）关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的取值范围． 【题型三】根据分式方程的特殊解确定字母参数的方法 解题思路：已知分式方程的解的情况确定字母参数，需先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表示未知数，再根据解的情况确定字母参数的取值情况.同时要注意原分式方程的最简公分母不为零. 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 2．（24-25七年级上·上海·期末）如果关于x的方程的解为负数，那么a的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·全国·期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 4．（24-25七年级上·上海·月考）如果关于x的方程 的解为非负数，求k的取值范围 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 分式（8知识&12题型&6易错&3方法清单） 【清单01】分式的定义 定义：一般地，如果A、B表示两个整式（B是非0整式），那么式子叫做分式，也称为有理式.分式A叫做分子，B叫做分母. 【名师解读】分式的三个特征：①形如的形式；②A、B都是整式；③分母中必须含有字母，而对分子不作要求，即分子可含字母，也可以不含字母. 【清单02】分式有意义、无意义即分式值为0的条件 分式 条件 示例 总结 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式有意义的条件是x≠-5，x的取值范围为x≥0 1）分式有无意义，取决于分母，与分子无关； 2）分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0.而是表示分母的整式的值不能为0，二者不能混淆. 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 分子等于零且分母不等于零，即A=0且B≠0 使值为0的条件为x=1 1）要使分式的值为0，必须同时满足两个条件： ①分母不为0；②分子为0，两者缺一不可； 2）分式值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义. 3） 【清单03】分式的基本性质 1.文字表述：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：（C≠0），(C≠0)，其中A，B，C是整式. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意： ①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0； ③要注意避免犯只乘分子或只乘分母的错误. 2. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 即：. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 3.分式的约分：根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 4.最简分式：分子与分母没有一次及以上公因式的分式叫做最简分式. 5.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 【注意事项】 1)分式的通分是要使几个分式化为同分母的形式，所以确定公分母是关键，确定公分母时需要先分解因式. 2)确定公分母的方法: ①系数取各分母系数的最小公倍数； ②凡出现的因式都要取，相同因式的次数取最高次幂. 3）化异分母分式为同分母分式时，要保证每个分式都和原分式相等. 6.最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母. 【清单04】分式的运算 1.分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0） 2.分式的加减法法则 分母类别 文字表述 数字语言 同分母分式 分母不变，把分子相加减 异分母分式 先通分，变为同分母的分式，再加减 3.分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【补充说明】 1）结果应化为最简分式或整式. 2）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 3）分式的混合运算要注意各分式中的分子、分母的符号，结果中分子或分母的系数（首项系数）为负数时，要将“－”号提到分式的前面. 【清单05】负整数的指数幂 【清单06】分式方程的相关定义 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为零，因此解分式方程要验根，其方法是把根代人最简公分母中看其是不是为零. 【清单07】解分式方程 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程，即. 【易错点】 1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 【清单08】分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 【题型一】分式有/无意义条件 1．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如果分式无意义，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件为分母为零可得，计算即可得解． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴或， ∴或， 故选：C． 2．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0； B．当时，有意义； C．无论为何值，的值不可能是正整数 D．无论为何值，总有意义 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式值为零的条件，理解这两个条件是关键；根据分式有意义的条件及分式值为零的条件去判断即可． 【详解】解：A、当时，分式无意义，故判断错误； B、当时，有意义，故判断错误； C、当时，的值是正整数3，故判断错误； D、由于，则无论为何值，总有意义，故判断正确； 故选：D． 3．（24-25七年级上·上海青浦·月考）当x 时，分式有意义． 【答案】且 【分析】本题考查了分式有意义的条件：分母不为零；根据分母，解不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：且； 故答案为：且． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）对于分式： (1)如果，那么y取何值时，分式无意义？ (2)如果，那么x取何值时，分式无意义？ (3)使分式无意义的x，y有多少对？ (4)要使得分式有意义，x，y应有什么关系？ (5)如果，那么y取什么值时，分式的值为零？ 【答案】(1) (2) (3)无数对 (4) (5) 【分析】（1）根据分式无意义的条件可得，再把代入可得的值； （2）根据分式无意义的条件可得，再把代入可得的值； （3）根据分式值为零的条件可得当； （4）时，即时，分式有意义； （5）且，即时，分式的值为零． 【详解】（1）解：当时，分式无意义，把代入可得，分式无意义； （2）当时，分式无意义，把代入可得当，即时，分式无意义； （3）当，即时，分式无意义，分式无意义的，有无数对； （4）当时，即时，分式有意义； （5）且时，分式值为0，把代入，当且，即时，分式的值为零． 【点睛】此题主要考查了分式无意义，分式值为零，分式的值的条件，关键是注意分式有意义，分母． 【题型二】判断分式变形是否正确 1．（24-25七年级上·上海普陀·月考）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质举例判断即可． 【详解】解：A、不一定成立，如当时，左边，右边，等式不成立，故此选项不符合题意； B、不一定成立，如当时，左边，右边，等式不成立，故此选项不符合题意； C、分式的分子、分母同时除以，分式的值不变，故此选项符合题意； D、不一定成立，如当时，左边，右边，等式不成立，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·上海闵行·期末）若把的值同时扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：．，故该选项不符合题意； ． ，故该选项符合题意； ． ，故该选项不符合题意； ．，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·上海·月考）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的值不变．根据分式的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以10，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 5．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 【题型三】约分与通分 1．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了约分，约去分式的分子与分母的公因式即可，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． 【详解】解：A、是最简分式，不能化简，不符合题意． B、，不符合题意． C、，符合题意． D、，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海·期中）下列代数式，，，，中，最简分式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题解题关键是理解最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式．把题干中的分式的分子分母通过因式分解的方法找到公因式，然后进行约分．若分子分母没有公因式则为最简分式． 【详解】解：， ， ， 和，都不能化简，所以是最简分式，共2个． 故选：B． 3．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）分式、的最简公分母是 ，通分为 ． 【答案】 、 【分析】本题考查了最简公分母和通分，先对分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义可得出最简公分母，最后根据所得的最简公分母通分即可，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴分式、的最简公分母是， ∴，， 故答案为：；、． 4．（2022八年级上·全国·专题练习）通分 (1)， (2)， (3)， (4)， 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】根据分式的基本性质，把几个异分母分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．根据分式的通分的概念逐个化简即可． 【详解】（1）最简公分母：， ， ； （2）最简公分母：， ， ； （3）最简公分母：， ， ； （4）最简公分母：， ， ． 【点睛】本题考查了分式通分的概念，理解分式通分的概念，会正确求出几个分式的最简公分母是解题的关键． 【题型四】分式的乘除运算 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则分析即可得解，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故其中出现错误的同学是乙， 故选：B． 2．（23-24八年级上·山东泰安·月考）计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式先化除法为乘法，再约分即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 故选：C 3．（21-22八年级上·江西南昌·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 4．（22-23七年级上·上海闵行·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，掌握负整数指数幂的运算法则和分式乘除法混合运算法则是解题关键．根据负整数指数幂进行计算，将除法变为乘法，然后再算乘法即可． 【详解】解：原式 ． 【题型五】分式的加减运算 1．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减运算，先化成同分母，再根据同分母的分式的加法法则进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 2．（2021·上海·一模）定义：，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，负整数指数幂，异分母分式加法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据，得，再进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为： 3．（25-26七年级上·上海普陀·月考）计算： 【答案】0 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可根据分式的加法运算进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 4．（23-24七年级上·上海·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了异分母分式减法及因式分解，正确计算是解题的关键，根据异分母分式减法的计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【题型六】分式的混合运算 1．（24-25七年级上·上海·月考）下列代数式计算的结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的除法法则． 利用分式的乘法法则和除法法则进行计算即可． 【详解】解：A. ，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26七年级上·上海普陀·月考）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可根据分式的混合运算进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 3．（24-25七年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算，能正确进行通分和约分是解此题的关键．先将括号内的部分进行通分，再根据同分母的分式减法法则计算，然后把除法转化为乘法，约分化简即可得到答案． 【详解】解： 【题型七】整数的指数幂 1．（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算： ．（结果用不含有负整数指数幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，先根据乘法的分配律计算，然后根据负整数指数幂的意义化简即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶ ． 2．（24-25七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，整数指数幂的运算，先根据同底数幂的运算计算，结合负整数指数幂的含义，逐步计算即可． 【详解】解： ； 3．（24-25七年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂的计算，分解因式，先利用平方差公式把原式分解因式，再合并同类项并计算即可得到答案． 【详解】解： ． 【题型八】解分式方程 1．（22-23七年级上·上海·期末）下列分式方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程解的意义，使方程左右两边相等的式子值叫方程的解，分别代入判断即可． 【详解】当时， A． 中，左边，右边，A不符合题意； B．中，，分母等于0，分式无意义，B不符合题意； C． 中，左边右边，C符合题意； D． 中，分母，D不符合题意． 故答案是：C 【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是正确理解分式方程解的意义，做题时要考虑分母是否为0的情况． 2．（2023·上海·中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案. 【详解】解：设，则原方程可变形为， 即； 故选：D. 【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程. 3．（24-25七年级上·上海宝山·期末）通过教材中分式单元的的阅读材料，我们知道了一个分式可以写成几个分式的和， 如：． 观察下列解方程的过程：． ． ． ． 在上述的解方程过程中，应用了，使解方程的过程变得简捷． 类似的，解方程， 这个方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，根据题目提供的方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 经检验是原方程的解， 故答案为：． 【题型九】列分式方程 1．（24-25七年级上·上海普陀·期末）现有一杯浓度为的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到，需要加入多少克食盐？如果设要加入克食盐，那么根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．根据溶质质量÷溶液质量=浓度，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 2．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）某班组织学生参加植树活动，第一组植树12棵，第二组比第一组多6人，植树36棵，结果两组平均每人植树的棵树相等．设第一组学生有人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题干中的等量关系列式即可． 【详解】解：根据两组平均每人植树的棵树相等可得，． 故选：B． 3．（21-22八年级上·四川广元·期末）中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点．从广元站到重庆北站的距离是353千米，乘坐“复兴号”动车组列车将比乘坐普通快车节省1小时40分钟．已知“复兴号”动车组的平均速度比普通快车速度快80千米时，设“复兴号”动车组的平均速度为x千米时，根据题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设“复兴号”的速度为x千米//时，则普通快车的速度为(x−80)千米//时，根据乘坐“复兴号”动车组列车比乘坐普通快车节省1小时40分钟，列出方程即可． 【详解】解：设“复兴号”的速度为x千米//时，则普通快车的速度为(x−80)千米//时， 根据题意得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出的分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的等量关系． 4．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）甲安装队为A小区安装78台空调，乙安装队为B小区安装65台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装3台，若设乙队每天安装x台，则根据题意可列方程 ．（无需解方程） 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙队每天安装x台，则甲队每天安装台，根据两队同时开工且恰好同时完工，列出分式方程即可． 【详解】解：设乙队每天安装x台，则甲队每天安装台， 由题意得：， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·上海·阶段练习）、两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从地出发到地，乙车比甲车早到30分钟，求甲车的平均速度．如果设甲车平均速度为千米/小时，那么根据题意列出的分式方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程，正确理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键；由题意得乙车的平均速度为千米/小时，根据等量关系：乙车比甲车早到30分钟，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意得乙车的平均速度为千米/小时， 则：； 故答案为：． 【题型十】分式方程与实际问题 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）某区为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120 米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，以后每天铺设管道的长度比原计划增加，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度． 【答案】原计划每天铺设管道9米． 【分析】本题考查了分式方程的应用，此题涉及的公式：工作时间=工作量工作效率，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．设原计划每天铺设管道的长度为，则增加后每天的工作效率为，找出等量关系：铺设的时间+铺设的时间天，列方程求解即可． 【详解】解：原计划每天铺设管道x米； 列方程：， 解得， 经检验 是原方程的解且符合题意； 答：原计划每天铺设管道9 米． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．求路线一的平均车速． 【答案】千米/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，得路线二的平均车速为千米/小时，又因为路线二比走路线一少用10分钟到达，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设路线一的平均车速为千米/小时， 则路线二的平均车速为千米/小时， 依题意，， ∴， ∴， 解得， 经检验：当时，， 故是原分式方程的解． ∴路线一的平均车速是千米/小时 3．（24-25七年级上·上海青浦·期末）2024年4月第七批上海市非物质文化遗产代表性项目名录发布，青浦有2个非遗项目入选，其中一项是“水印版画”．为宣传非遗文化，学校开设了“水印版画”社团，计划采购、两种套装的工具，已知某商店种套装的工具的标价比种套装的工具的标价高，如果用1300元购买种套装的数量比用3000元购买种套装的数量少20套，那么种、种套装的标价分别为多少元？ 【答案】A款套装的单价是130元，B款套装的单价是100元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是元，利用“用1300元购买的A款套装数量比用3000元购买的B款套装数量少20套”再建立方程求解即可． 【详解】解∶ 设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴， 答∶ A款套装的单价是130元，B款套装的单价是100元． 4．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）某玩具经销商用万元购进了一批玩具，上市后一周全部售完．该经销商又用万元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每套进价多了10元． (1)该经销商两次共购进这种玩具多少套？ (2)若第一批玩具销售完后总利润率为，购进的第二批玩具仍以第一批的相同售价出售，则第二批玩具全部售完后，这二批玩具经销商共可获利多少元？ 【答案】(1)400套 (2)13000元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设该经销商第一次购进这种玩具x套，则第二次购进这种玩具套，根据购进第二批这种玩具的进价比第一批每套进价多了10元，列出分式方程，解方程即可； （2）先求出玩具的进价和售价，再列式计算即可． 【详解】（1）解：设该经销商第一次购进这种玩具x套，则第二次购进这种玩具3x套， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴（套）， 答：该经销商两次共购进这种玩具400套； （2）解：由（1）可知，第一批每套玩具的进价为（元）， 又∵总利润率为， ∴售价为（元）， 第二批玩具的进价为170元，售价也为200元， ∴这二批玩具经销商共可获利： （元）． 答：这二批玩具经销商共可获利13000元． 5．（24-25七年级上·上海普陀·期末）某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工． (1)若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程？ 【答案】(1)90天 (2)不能 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设乙施工队单独施工完成需要天，根据题意列出方程求解即可； （2）先计算甲、乙两支队伍合作施工需要的时间，再与25天比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙施工队单独施工完成需要天， 由题意得，，     解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：乙施工队单独施工，完成整个工程需要90天． （2）解：甲、乙两支队伍合作施工，需要的时间为：（天）， ， 甲、乙两支队伍合作施工，不能在25天内完成工程． 答：不能在25天内完成工程． 6．（24-25七年级上·上海嘉定·月考）如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的路程为，王老师家到学校的路程为．由于小明脚扭伤，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的平均速度是步行平均速度的2倍，他每天比平时步行上班多用，则王老师步行的平均速度及骑自行车的平均速度各是多少？ 【答案】王老师步行速度为，骑自行车的速度为 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 王老师接小明上学后走的总路程为，平时步行去学校的路程为，根据时间路程速度，以及关键语“比平时步行上班多用了”可得出的等量关系是：接小明上学后走的路程骑车的速度平时上班的路程步行的速度，据此列方程求解即可． 【详解】解：设王老师步行速度为，则骑自行车的速度为， 依题意，可得： ， 解得：， 经检验是原分式方程的根， 则， 答：王老师步行速度为，骑自行车的速度为． 【题型十一】与分式有关的新定义问题 1．（25-26七年级上·上海·期中）定义新运算，若，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，分式的混合运算 通过分析新运算的性质，发现 满足 ，其中 ．利用这一性质，将 转化为从 到 的 的乘积，通过约分简化计算． 【详解】解：∵ ∴ ， ∴ ∴ 故答案为：． 2．（22-23七年级上·上海松江·阶段练习）我们定义一种新运算：记，如果设为代数式，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据可得，据此把变形求解即可． 【详解】∵ ， ∴可变形为： ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，以及分式的乘除混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 3．（24-25七年级上·上海普陀·期末）定义：如果一个关于的分式方程的解是，那么我们把这样的分式方程称为和解方程．例如方程就是和解方程．已知关于的分式方程是和解方程，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，解分式方程，先求出分式方程的解，再根据和解方程的定义列出关于的分式方程，解方程即可求解，理解和解方程的定义是解题的关键． 【详解】解：解分式方程得，， ∵关于的分式方程是和解方程， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【答案】(1)真分式 (2)；或或或； (3) 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解； （2）仿照题意可得，则是整数，据此可得或，解之即可得到答案； （3）把原式先变形为，再仿照题意进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，分式是真分式； （2）解：； ∵的值是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或； （3）解： ． 5．（24-25七年级上·上海·期末）定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)， 【分析】本题考查的是新定义的含义，分式的加减运算，乘法运算，分式方程的解法； （1）根据新定义列式计算，再判断即可． （2）设的关联式为，可得，再进一步解答即可． （3）由一个整式与一个最简分式互为“关联式”，当这个整式为，设的关联式为，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴与不互为“关联式”． （2）解：设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵一个整式与一个最简分式互为“关联式”， 当这个整式为，设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴整式为，最简分式为． 【题型十二】比较分式的大小 1．（22-23七年级·上海·假期作业）若，，试比较A与B的大小． 【答案】 【分析】设，利用分式的加减运算法则计算即可比较大小． 【详解】解：设，则，． 则 ． 又，所以． 所以，所以． 【点睛】本题主要考查通过换元法，分式的减法，掌握作减法比较大小是关键． 2．（21-22八年级下·江苏南京·期中）已知b＞a＞0． (1)比较大小： （填“＞”、“＜”或“＝”）； (2)若c＞0，比较与的大小； (3)下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）． ①若n＞m＞0，则； ②若n＞m＞2，则； ③若n＞m＞2，则； ④若n＞m＞2021，则． 【答案】(1)＜ (2) (3)②④ 【分析】（1）利用作差法判断大小即可． （2）利用作差法比较大小即可． （3）利用作差法逐项进行比较判断即可． 【详解】（1）解： ， ， ，， ， ， 即． 故答案为：． （2） ， ，， ，， ， 即； （3）① ， ， ，， ， 则，故①错误； ② ， ， ，， ， 则，故②正确； ③ ， ， ，， ， 则，故③错误； ④ ， ， ，， ， 则，故④正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握作差法以及分式混合运算的运算法则是解答本题的关键． 3．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）【阅读】 我们分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只需要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【运用】 (1)若，要比较和的大小，只需要， ∴可得_______．（填“”“”或“”） (2)若，，，试比较与的大小． (3)甲、乙两水果店分别两次采购同一种苹果，第一次采购的价格为元/斤，第二次采购的价格为元/斤（是整数，且）．甲店两次各购买了斤苹果，乙店两次购买苹果均花费了元．试比较甲店和乙店两次采购苹果的平均价格的高低． 【答案】(1) (2) (3)甲店的平均价格比乙店的平均价格高 【分析】（）根据作差法的比较法则即可求解； （）求出的差，再根据作差法的比较法则即可判断求解； （）根据题意表示出甲店和乙店的平均价格，再利用作差法比较即可判断求解； 本题考查了作差法，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得，甲店的平均价格为元/斤， 乙店的平均价格为元/斤， ∴ ， ∵，，且， ∴，， ∴， 即， ∴甲店的平均价格比乙店的平均价格高． 【题型一】分式的判断 1．（20-21七年级上·上海浦东新·期末）在下列式子：，，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，的分母中含有字母，属于分式，其它的属于整式． 故选：B． 2．（23-24七年级上·上海青浦·期中）在代数式，，，，，中，分式的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式“如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式”，熟记分式的定义是解题关键．根据分式的定义即可得． 【详解】解：代数式，，都是整式， 代数式，，的分母中都含有字母，都是分式，共有3个， 故选：C． 3．（25-26七年级上·上海·期中）不论取何值，下列分式总有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分析各选项分母是否可能为零即可解答． 【详解】解：由分式有意义的条件是分母不为零， A、分母，当时，，分式无意义，不符合题意； B、分母，始终不为零，分式总有意义，符合题意； C、分母，当时，，分式无意义，不符合题意； D、分母，当时，，分式无意义，不符合题意． 故选：B． 【题型二】分式值为0的条件 1．（2024七年级上·上海·专题练习）如果当时，分式的值为0，那么可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关定义是解题关键． 直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案． 【详解】解：A．当时，分式没有意义，故本选项不符合题意； B．当时，分式没有意义，故本选项不符合题意； C．当时，分式的值为0，故本选项符合题意； D．当时，分式没有意义，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（2023·河北廊坊·三模）若分式的值为0，则（    ） A． B． C． D．不存在m的值，使得 【答案】D 【分析】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件为：分子为0，分母不为0，是解题的关键． 根据题意可得，此方程组无解． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得：， 故无解， 故选：D． 3．（24-25七年级上·上海·阶段练习）当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件和分式有意义的条件，根据分式值为0的条件和分式有意义的条件列出关于x的不等式组求解即可得出答案． 【详解】解：， 要使分式值为0，则， 解得： 故当时，分式的值为0， 故答案为： 【题型三】最简分式与最简公分母 1．（24-25七年级上·上海普陀·月考）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，分子和分母不能约分的分式叫做最简分式，据此求解即可． 【详解】解：A、，原分式不是最简分式，不符合题意； B、，原分式不是最简分式，不符合题意； C、，原分式不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·月考）下列分式，，，中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的定义，最简分式就是分子和分母没有可以约分的公因式，运用了平方差公式，熟练掌握并灵活运是解题的关键． 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式和有无互为相反数的因式，分别对各项进行判断即可． 【详解】解：分子分母有公因式， ；；这三个是最简分式． 故选：C． 3．（21-22八年级下·陕西咸阳·阶段练习）下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（    ） A．与的最简公分母是 B．与的最简公分母是 C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是 【答案】B 【分析】本题考查最简公分母，根据找数字的最小公倍数，字母找最高指数即可得到答案； 【详解】解：与的最简公分母是，故A正确，不符合题意， 与的最简公分母是，故B错误，符合题意， 与的最简公分母是，故C正确，不符合题意， 与的最简公分母是，故D正确，不符合题意， 故选：B． 4．（24-25七年级上·上海青浦·期末）分式和的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的最简公分母的确定，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据最简公分母的概念解答即可． 【详解】解∶ 分式和的最简公分母是， 故答案为∶ ． 【题型四】分式的乘方 1．（2023·河北·中考真题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键． 2．（24-25七年级上·上海·月考）计算： ．（结果只含正整数指数幂） 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，分式的乘方运算，根据负整数指数幂，分式的乘方运算以及除法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的乘除法，分式的乘方，负整数指数幂，先根据负整数指数幂，分式的乘方法则进行运算，然后由分式的乘除法即可求解，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 4．（21-22七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【分析】根据即可求解，在根据分式的混合运算计算得出结果即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的分式的混合运算，解题关键在于的运用． 【题型五】整式与分式的运算 1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则． 2．（20-21七年级上·上海黄浦·期末）计算：＝ ． 【答案】/ 【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果． 【详解】解：原式＝﹣ ＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式与分式的加减运算，如果一个分式与一个整式相加减，那么可以把整式的分母看成1，先通分，再进行加减运算． 3．（上海市世外中学2025-2026学年七年级上学期期中数学试卷）下面是小明同学在作业计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业     第一步    第二步     第三步    第四步 (1)小明的作业是从第___________步开始出现错误的，错误的原因是___________； (2)已知，求的值． 【答案】(1)二；漏掉了分母 (2) 【分析】（1）从第二步开始出现错误，错误的原因是通分漏了分母． （2）根据分式的运算，化简代入求值计算即可， 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得第二步出现错误，漏了分母， 故答案为：二；漏掉了分母． （2）解：                 ， 由 得 故原式． 【题型六】分式方程的判断 1．（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中是否含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案． 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中，只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）给出下列关于x的方程：①，②，③，④ ．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的概念，根据分式方程概念对上述方程进行判断，即可解题． 【详解】解：①，③，④ 是整式方程；②的分母中含有未知数x，是关于x的分式方程． 故分式方程有1个， 故选：A． 3．（20-21七年级上·上海静安·课后作业）在方程：①，②，③，④，是分式方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】C 【分析】分母中含有未知数的方程称为分式方程，据此解题即可． 【详解】解:①分母不含未知数，故①不是分式方程； ②分母不含未知数，故②不是分式方程； ③分母含有未知数，故③是分式方程； ④分母含有未知数，故④是分式方程． 故选C． 【点睛】本题考查分式方程的概念，难度容易，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【题型一】分式的化简求值 解题思路：分式化简求值是代数式化简求值的常见题型之一，也是中考的固定题型，其基本步骤是先化简，再把字母的值或条件中所含关系代入计算. 分式求值中所含知识覆盖面广，解法灵活，可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化. 1．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，关键是在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．首先把分式的分子分母分解因式，再计算括号里面的乘法，然后再变除法为乘法，再约分后相乘即可． 【详解】解：原式， ， 当时， 原式． 2．（25-26八年级上·山东济宁·月考）先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将有意义的值代入原式即可求出答案． 【详解】解： ， ∵， ∴整数的值为，，， ∵， ∴， ∴原式． 34．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）先化简再求值：．其中从中任取一个合适的值． 【答案】，时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是正确进行分式的通分、因式分解与约分，并选取使分式有意义的的值． 先对括号内的分式通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分化简，最后选取使分式有意义的代入求值． 【详解】解： ， 由分式有意义的条件：分母不为零，得且，即且． 从中取合适的，代入得： 原式． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知． 小宇和小恒在对进行化简后，小宇说不论取何值，的值都比的值大；小恒说不论取何值，的值都比的值大．请你判断谁的说法正确，并说明理由． 【答案】小宇的说法正确．理由见解析 【分析】分别对和进行化简，然后计算的值，根据其结果的正负来判断和的大小关系． 【详解】解：小宇的说法正确．理由如下： ， ， ， 要使有意义，需， 解得且； ，即； 小宇的说法正确． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握先分别化简和，再通过作差法比较大小是解题的关键． 【题型二】根据分式方程的解的情况求字母参数 解题思路： 1）分式方程有解，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根. 2）分式方程无解，说明： ①原方程去分母后的整式方程无解； ②原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解. 3）分式方程有增根，说明：①原分式方程中的分母为0；②增根为原方程去分母后的整式方程的根. 1．（25-26七年级上·上海宝山·期中）已知关于x的方程，若方程无解，求m的值． 【答案】 m的值为或2或 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键． 分式方程无解有两种情况：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是原方程的增根（使分母为零），首先将原方程化为整式方程，再讨论这些情况． 【详解】解：， 整理得，， 方程两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 分式方程无解时： ∵当整式方程无解，即且， 解得； ∵当整式方程有解但解为增根，即解使分母为零， ∴当，代入整式方程得，即， 解得； 当，代入整式方程得，即， 解得； ∴综上，当或或时，分式方程无解． 2．（24-25七年级上·上海闵行·月考）已知关于的方程：，若方程有增根，求的值． 【答案】或6 【分析】本题考查分式方程有增根问题，将分式方程转化为整式方程，求出使最简公分母为0的未知数的值，代入整式方程中，进行求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 整理得：； ∵方程有增根， ∴或， ∴或； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上：或6． 3．（24-25八年级上·全国·假期作业）关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或或 (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． （）根据分式方程的解法得出，然后将增根代入求解即可； （）分当时原分式方程无解，当或时方程有增根，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； （2）解：∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （3）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 【题型三】根据分式方程的特殊解确定字母参数的方法 解题思路：已知分式方程的解的情况确定字母参数，需先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表示未知数，再根据解的情况确定字母参数的取值情况.同时要注意原分式方程的最简公分母不为零. 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 根据解分式方程的方法求出题目中分式方程的解，然后根据关于x的方程的解为正数且，即可求得m的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘以，得， 解得， ∵关于x的方程的解为正数，且， ∴，且， 即，且， ∴，且， 解得且． 故答案为：且． 2．（24-25七年级上·上海·期末）如果关于x的方程的解为负数，那么a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程方法步骤，根据解的取值范围，确定字母系数的取值范围，是解决问题的关键． 去分母解所得整式方程，根据方程的解为负数与分母不为0，解不等式，即得． 【详解】两边都乘以最简公分母， 得， 解得， ∵方程的解为负数， ∴且 ，， 解得且． 故答案为：且． 3．（24-25八年级上·全国·期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且/且 【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解．再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可． 【详解】解：原分式方程可化为： 去分母得： 解得 又分式方程的解是非负数 且 的取值范围是：且 4．（24-25七年级上·上海·月考）如果关于x的方程 的解为非负数，求k的取值范围 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的前提．将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得， ， 解得， 由于分式方程的解为非负数，即， 所以， 而是分式方程的增根，当时，， 因此k的取值范围为且． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $