专题06方程与不等式（一元一次方程）2026年九年级中考数学复习

一轮复习 一元一次方程 一、一元一次方程的概念 1，一元一次方程；只含有一个未知数（元）并且未知数的次数都是1（次）。像这样的方程，叫做一元一次方程。 （一元一次方程中的“元”是指未知数，“一元”是指只含有一个未知数，“一次”是指所含未知数的项的最高次数是1.） 2，一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a.b是常数，且a≠0）。 一个方程必须具备以下三个条件才可以判定他是一元一次方程： （1）只含有一个未知数。 （2）未知数的次数都是1。 （3）等号两边都是整式（即分母中不含有未知数）。 二、方程的解和解方程 1，方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，如x=2是方程5x-3=7的解，而x=3就不是方程5x-3=7的解。 2解方程：求方程的解的过程叫做解方程 （1）方程的解可能不止一个，也可能无解，如x=1和x=2都是方程x2-3x+2=0的解，而方程│x│=-2,无解。 （2）检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边=右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数不是方程的解。 三、等式的基本性质 1，等式的基本性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 如果a=b，那么a±c=b±c。 2，等式的基本性质2，等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式。 如果a=b,那么ac=bc； 如果a=b（c≠0），那么a/c=b/c。 （1）等式的基本性质1中，等式两边都加上（或减去）的可以是同一个数，也可以是同一个式子，要特别注意“都”和“同一个”。 （2）等式的基本性质2中，等式的两边都除以同一个数时，这个除数不能是0，因为0不能作除数或分母。 （3）等式的基本性质是等式变形的依据，等式两边的变形必须完全相同，等式才成立，否则就会破坏相等关系。 四、一元一次方程应用 1.比例分配问题 比列分配问题中的基本数量关系是：总量=各部分量之和。已知几个量的比，也就知道了各个量所占的份数，可根据它们所占的份数设未知数列出方程求解。 （在比例问题中，通常采用间接设法，设每份为X，如各部分量的比为3:4:5时，可设各部分量分别为3x,4x,5x。） 2.和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2） 寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 3．行程问题 （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　（2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 4.工程问题 工程问题的基本量：工作量、工作效率、工作时间。 工程问题的基本数量关系： 工作量=工作效率×工作时间； 合作的效率=各单独做的效率和。 （1）我们常把总工作量看为1，此时工作效率可以用工作时间的倒数来表示，即工作效率=1/工作时间； （2）多个人（或单位）合作时，合作效率=多个人（或单位）效率之和； （3）有时还会利用“工作量=工作效率×工作时间乘工作人数”的关系列方程 5.调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 6.销售问题 购买商品和销售商品时，经常会遇到进价（成本）、售价、标价、打折等概念，在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下相等关系： 利润率=利润÷进价（成本）×100%； 售价=标价×打折数÷10； 售价=进价（成本）×（1+利润率）； 利润=售价-进价（成本）； 利润=进价（成本）×利润率。 （1）在销售问题中，常常利用“利润=售价-进价”和“利润=进价×利润率”这两种利润计算公式表示同一商品的利润，从而根据相等关系“售价-进价=进价×利润率”列方程。同理，也可以根据相等关系“进价×（1+利润率）=标价×打折数÷10”列方程。 （2）在打折销售问题中，售价=标价（原价）×打折数÷10。 一．方程与一元一次方程的辨别 1．（2025秋•南关区校级期中）下列各式中，是方程的是（　　） A．3﹣2＝1 B．y﹣5＝0 C．3m+5 D．|x|≥0 【分析】含有未知数的等式叫方程，据此进行判断即可． 【解答】解：3﹣2＝1中不含未知数，则A不符合题意， y﹣5＝0是含有未知数的等式，则B符合题意，3m+5不是等式，则C不符合题意， |x|≥0不是等式，则D不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（2025秋•揭阳校级月考）下列各式中：①x＝0；②2x＞3；③x2+x﹣2＝0；④2＝0；⑤3x﹣2；⑥x＝x﹣1；⑦x﹣y＝0；⑧xy＝4，是方程的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】方程就是含有未知数的等式，据次定义可得出正确答案． 【解答】解：（1）根据方程的定义可得①③④⑦⑧是方程； （2）②2x＞3是不等式，不是方程； （3）⑤3x﹣2不是等式，就不是方程； 故有6个式子是方程． 故选：D． 【点评】本题考查了方程的定义，判断一个式子是方程必须同时具备两点，一是等式，二是含有未知数． 3．（2025秋•璧山区校级期中）下列方程中是一元一次方程的是（　　） A．x2+3x＝5 B． C．2﹣y＝0 D．x+3y＝0 【分析】根据一元一次方程的定义判断即可． 【解答】解：A、未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、不是整式方程，故此选项不符合题意； C、是一元一次方程，故此选项符合题意； D、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程． 4．（2024秋•高台县期末）已知方程（5+a）x|a|﹣4+3＝0是一元一次方程，则a的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．±5 D．0 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程，据此可得出关于a的方程，继而可求出a的值． 【解答】解：由题可得|a|﹣4＝1且5+a≠0， 解得a＝5， 故选：A． 【点评】此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 5．（2024秋•河南期末）若方程（|m|﹣1）x2+mx﹣x+2＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A．1 B．1或﹣1 C．﹣1 D．2 【分析】求参数的值，根据一元一次方程的定义，得到|m|﹣1＝0且m﹣1≠0，进行求解即可． 【解答】解：（|m|﹣1）x2+mx﹣x+2＝0，整理得：（|m|﹣1）x2+（m﹣1）x+2＝0， ∵方程为一元一次方程， ∴|m|﹣1＝0且m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1， 所以m的值为﹣1， 综上所述只有C选项符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查非负数的性质，一元一次方程的定义，关键是一元一次方程定义的熟练掌握． 6．（2024秋•临沭县期末）请写出一个同时符合下列条件的一元一次方程：（1）未知数系数是；（2）使它的解为﹣3，那么这个方程可以是　（答案不唯一）　 ． 【分析】未知数系数是，那么含未知数的项就是，解为﹣3时，常数项只要合并起来是即可． 【解答】解：， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握此知识点是解题的关键． 7．（2025春•让胡路区校级期末）（m﹣1）x|m|＝m+2n是关于x的一元一次方程，若n是它的解，则n﹣m＝　　 ． 【分析】根据一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．即可求得m的值，然后把m的值，以及x＝n代入方程求得n的值，进而求得代数式的值． 【解答】解：根据题意得：m﹣1≠0，且|m|＝1， 解得：m＝﹣1． 则方程是：﹣2x＝﹣1+2n， 把x＝n代入方程，得：﹣2n＝﹣1+2n， 解得：n， 则n﹣m1． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 8．（2024秋•富平县期末）已知是关于x的一元一次方程，求k的值并解方程． 【分析】先根据一元一次方程的定义求出k的值，再解方程即可． 【解答】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴4k﹣5＝1，k≠0， 解得k， ∴x1， 解得x． 【点评】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 二．等式的性质 9．（2023秋•武安市校级期末）下列等式变形，错误的是（　　） A．若a＝b，则a+2＝b+2 B．若a＝b，则2a＝2b C．若x+1＝y+1，则x＝y D．若a2＝a，则a＝1 【分析】根据等式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A．a＝b， 等式两边都加2，得a+2＝b+2，故本选项不符合题意； B．a＝b， 等式两边都乘以2，得2a＝2b，故本选项不符合题意； C．x+1＝y+1， 等式两边都减1，得x＝y，故本选项不符合题意； D．当a＝0时，由a2＝a不能推出a＝1，错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了等式的性质，能正确根据等式的基本性质进行变形是解此题的关键，①等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立，②等式的性质：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立． 10．（2025秋•江阳区期中）下列等式变形正确的是（　　） A．如果ax＝ay，那么x＝y B．如果a＝b，那么a﹣5＝5﹣b C．如果﹣5a＝﹣5b，那么a＝b D．如果a+1＝b﹣1，那么a＝b 【分析】等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍相等．根据等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：A．如果ax＝ay（a≠0），所以ax÷a＝ay÷a（a≠0）那么x＝y，故原说法错误，不符合题意； B．如果a＝b，那么a﹣5＝b﹣5，故原说法错误，不符合题意； C．如果﹣5a＝﹣5b，那么a＝b，说法正确，符合题意； D．如果a+1＝b﹣1，那么a＝b﹣2，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 11．（2025秋•江岸区期中）若m＝n，则下列等式中正确的是（　　） A．m+1＝n+2 B．2m＝3n C．﹣2m+4＝﹣2n+4 D． 【分析】根据等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：若m＝n， 两边同时加上1得m+1＝n+1＜n+2，则A不符合题意， 两边同时乘以2得2m＝2n，但与3n不一定相等，则B不符合题意， 两边同时乘以﹣2再同时加上4得﹣2m+4＝﹣2n+4，则C符合题意， 当m＝n＝0时，无意义，则D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 12．（2025•观山湖区校级自主招生）a+1＝b+2＝c+3＝d+4＝a+b+c+d+5，求a+b+c+d的值． 【分析】将已知等式前四个式子相加得到新的等式，整理可得3（a+b+c+d）＝﹣10，即可求解． 【解答】解：∵a+1＝b+2＝c+3＝d+4＝a+b+c+d+5， ∴（a+1）+（b+2）+（c+3）+（d+4）＝4（a+b+c+d+5）， ∴a+b+c+d﹣4（a+b+c+d）＝20﹣10， ∴﹣3（a+b+c+d）＝10， ∴3（a+b+c+d）＝﹣10， ∴． 【点评】本题考查了等式的性质、代数式求值以及整式的加减，利用整体思想进行解答是解题的关键． 三．利用方程的解求值 13．（2025春•威海期末）下列方程中，解为x＝2的为（　　） A．3x＝3+x B．x（x﹣7）＝﹣10 C．（x﹣3）（x﹣1）＝0 D．2x＝10﹣4x 【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，因而可以把x＝2代入下列各式看是否成立． 【解答】解：把x＝2代入x（x﹣7）＝﹣10得：﹣10＝﹣10； 将x＝2代入其他选项均不能满足左边等于右边． 故选：B． 【点评】使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．因此检验一个数是否为相应的方程的解，就是把这个数代替方程中的未知数，看左右两边的值是否相等，如果左边＝右边，那么这个数就是该方程的解；反之，这个数就不是该方程的解． 14．（2025秋•合肥期中）下列方程中，以x＝3为解的方程是（　　） A．4x﹣3＝3x+1 B．x2＝3x C．2（x+3）＝4（x+1）﹣2 D．x+4＝3（2x﹣1） 【分析】通过将x＝3直接代入各方程，验证方程左右两边是否相等，从而判断是否为解． 【解答】解：A、将x＝3代入方程，左边＝4×3﹣3＝9，右边＝3×3+1＝10，9≠10，选项计算错误，不符合题意； B、将x＝3代入方程，左边＝32＝9，右边＝3×3＝9，9＝9，选项计算正确，符合题意； C、将x＝3代入方程，左边＝2×（3+3）＝12，右边＝4×（3+1）﹣2＝14，12≠14，选项计算错误，不符合题意； D、将x＝3代入方程，左边＝3+4＝7，右边＝3×（2×3﹣1）＝15，7≠15，选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了方程的解，掌握方程的解的定义是关键． 15．（2025秋•南关区校级期中）若x＝3是关于x的一元一次方程ax+b＝4的解，则代数式（3a+b）2+3（3a+b）﹣1的值是（　　） A．18 B．19 C．27 D．28 【分析】先把方程的解x＝3代入方程ax+b＝4得3a+b＝4，再代入所求式子计算即可． 【解答】解：把x＝3代入方程ax+b＝4得：3a+b＝4， ∴（3a+b）2+3（3a+b）﹣1 ＝42+3×4﹣1 ＝16+12﹣1 ＝28﹣1 ＝27． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义． 16．（2025秋•新华区校级期中）若关于x的方程（a+1）x＝b（a，b为常数）的解是，则（　　） A．方程ax＝b的解是 B．方程bx＝a的解是 C．方程（a+1）x＝1的解是 D．方程（b+1）x＝1的解是 【分析】根据方程的解的定义知：a+1≠0，据此判断每一选项即可． 【解答】解：∵关于x的方程（a+1）x＝b（a，b为常数）的解是， ∴a+1≠0． A、当a＝0时，该方程无解，故本选项不符合题意； B、当b＝0时，该方程无解，故本选项不符合题意； C、由题意知，a+1≠0，则方程（a+1）x＝1的解是，故本选项符合题意； D、当b+1＝0时，该方程无解，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的解等式的性质以及一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． 17．（2025秋•皇姑区校级月考）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此求得的解为x＝4．方程正确的解为（　　） A．﹣1 B．13 C．4 D．5 【分析】按照小明的步骤去分母，代入小明得出的错误解，可求出a的值，再将a的值代入原方程，解之即可得出结论． 【解答】解：按照小明的步骤去分母得：2（2x﹣1）+1＝5（x+a）， 将x＝4代入该方程得：2×（2×4﹣1）+1＝5×（4+a）， 解得：a＝﹣1， 将a＝﹣1代入原方程得：1， 解得：x＝13， ∴方程正确的解为13． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 18．（2025秋•渝中区校级期中）已知关于x的一元一次方程的解为x＝1，则关于y的一元一次方程的解是y＝　7　 ． 【分析】由关于x的一元一次方程的解为x＝1，方程中的y﹣6＝1，据此可得y的值． 【解答】解：∵关于x的一元一次方程的解为x＝1， ∴在方程中的y﹣6＝1， 解得y＝7， 即关于y的一元一次方程的解是y＝7． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义． 19．（2024秋•靖边县期末）关于x的方程：10kx﹣9＝0的解为﹣1，求k的值． 【分析】根据方程的解满足方程，把方程的解代入方程，可得关于k的一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案． 【解答】解：把x＝﹣1代入10kx﹣9＝0， 得﹣10k﹣9＝0． 移项，得 ﹣10k＝9， 系数化为1，得 k． 【点评】本题考查了方程的解，把方程的解代入方程得出关于k的一元一次方程是解题关键． 20．（2025春•郸城县月考）小艺在解关于m的方程时，误将﹣m看作+m，得方程的解为m＝1． （1）请帮小艺求c的值； （2）请帮小艺求方程正确的解． 【分析】（1）将错就错，把m＝1代入看错的方程中，求出c的值即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【解答】解：（1）∵小艺误将﹣m看作+m，得方程的解为m＝1， ∴把m＝1代入看错的式子中， 得：1+1＝2c+1， 解得：； （2）把代入原方程得：， 2﹣（m﹣3）＝2﹣2m， 2﹣m+3＝2﹣2m， ﹣m+2m＝2﹣2﹣3， 解得：m＝﹣3． 【点评】本题考查了方程的解，掌握解一元一次方程的步骤是关键． 21．（2024秋•锡山区校级期末）已知关于x的方程（1﹣x）＝k+1的解与方程（3x+2）（x﹣1）的解互为相反数，求k的值． 【分析】首先解每个关于x的方程，利用k表示出x，然后根据两个方程的解互为相反数列方程求得k的值． 【解答】解：解方程（1﹣x）＝k+1得， x＝﹣1﹣2k， 解（3x+2）（x﹣1）得x， 根据题意得（﹣1﹣2k）0， 解得：k． 【点评】本题考查了方程的解的定义以及一元一次方程的解法，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是关键． 22．（2025秋•梁溪区期中）定义：如果两个方程的解相差n（n为正整数），则称解较大的方程为另一个方程的“n﹣和谐方程”，例如：方程x﹣2＝0是方程x+3＝0的“5﹣和谐方程”． （1）若方程2x＝5x﹣12是方程3（x﹣1）＝x+1的“n﹣和谐方程”，则n＝　2　 ． （2）若关于x的方程3（x﹣4）＝12是关于x的方程5（x﹣1）﹣2（m﹣x）＝3+2x的“6﹣和谐方程”，求m的值． 【分析】（1）先求出两方程的解，作差后，即可得出结论； （2）由方程3（x﹣4）＝12的解及关于x的方程3（x﹣4）＝12是关于x的方程5（x﹣1）﹣2（m﹣x）＝3+2x的“6﹣和谐方程”，可得出关于x的方程5（x﹣1）﹣2（m﹣x）＝3+2x的解为x＝2， 【解答】解：（1）∵方程2x＝5x﹣12的解为x＝4，方程3（x﹣1）＝x+1的解为x＝2，4﹣2＝2， ∴方程2x＝5x﹣12是方程3（x﹣1）＝x+1的“2﹣和谐方程”． 故答案为：2； （2）∵方程3（x﹣4）＝12的解为x＝8，关于x的方程3（x﹣4）＝12是关于x的方程5（x﹣1）﹣2（m﹣x）＝3+2x的“6﹣和谐方程”， ∴关于x的方程5（x﹣1）﹣2（m﹣x）＝3+2x的解为x＝8﹣6＝2， ∴5×（2﹣1）﹣2（m﹣2）＝3+2×2， 解得：m＝1， ∴m的值为1． 【点评】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 23．（2025秋•锡山区校级期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程4x＝8和x+1＝0为“和一方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与4x﹣2＝x+10是“和一方程”，求m的值； （2）若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的一元一次方程和是“和一方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【分析】（1）分别求出两个方程的解，再根据“和一方程”的定义，列出关于m的方程，即可求解； （2）根据“和一方程”的定义，可得另一个解为1﹣n，再根据两个“和一方程”的解的差为7，即可求解； （3）根据“和一方程”的定义，可得一元一次方程的解为x＝1﹣2025＝﹣2024，把方程变形为，可得y+1＝﹣2024，即可求解． 【解答】解：（1）3x+m＝0，解得：， 4x﹣2＝x+10，解得：x＝4， ∵方程3x+m＝0与4x﹣2＝x+10是“和一方程”， ∴， 解得：m＝9； （2）∵两个“和一方程”的解的差为7， ∴n﹣（1﹣n）＝7或1﹣n﹣n＝7， 解得：n＝4或n＝﹣3； （3），解得：x＝2025， 由条件可知一元一次方程的解为x＝1﹣2025＝﹣2024， ∵方程变形为， ∴方程的解为y+1＝﹣2024， ∴y＝﹣2025． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，理解“和一方程”的定义是解题的关键． 四．解一元一次方程 24．（2024秋•慈利县期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）⊗（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）⊗（4，5）＝2×4﹣1×5． 根据上述规定解决下列问题： （1）有理数对（5，3）⊗（﹣2，1）＝　﹣11　 ； （2）若有理数对（2，3x﹣1）⊗（6，x+2）＝22，则x＝　2　 ； （3）当满足等式（4，k﹣2）⊗（x，2x﹣1）＝6的x是整数时，求整数k的值． 【分析】（1）由定义即可求解； （2）由定义可得一元一次方程6（3x﹣1）﹣2（x+2）＝22，解方程即可； （3）由定义可得x（k﹣2）﹣4（2x﹣1）＝6，解方程得x，再由题意，可得k﹣10＝±1，k﹣10＝±2，求出相应的k值即可． 【解答】解：（1）（5，3）⊗（﹣2，1）＝3×（﹣2）﹣5×1＝﹣6﹣5＝﹣11， 故答案为：﹣11； （2）∵（2，3x﹣1）⊗（6，x+2）＝22， ∴6（3x﹣1）﹣2（x+2）＝22， 18x﹣6﹣2x﹣4＝22， 16x＝32， x＝2， 故答案为：2； （3）∵（4，k﹣2）⊗（x，2x﹣1）＝6 ∴x（k﹣2）﹣4（2x﹣1）＝6， x（k﹣2）﹣8x+4＝6， （k﹣10）x＝2， x， ∵x是整数， ∴k﹣10＝±1，k﹣10＝±2， ∴k的值为8或9或11或12． 【点评】本题考查新定义，理解定义，将所求问题转化为一元一次方程进行求解即可． 25．（2025秋•白云区期中）如果方程ax+1＝b的解为x＝a+b，则称该方程为“和谐方程”． 例如：a＝2，b＝﹣5时2x+1＝﹣5的解是x＝﹣3，且﹣3＝2+（﹣5）成立，所以2x+1＝﹣5是“和谐方程”． （1）判断下列方程是否为“和谐方程”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①3x+1＝﹣5　√　 ； ②x+2＝3　×　 ； ③﹣2x＝3　×　 ； （2）若关于x的方程（n≠1且n为实数）是“和谐方程”，求的值； （3）若关于x的方程（m﹣k）x＝k﹣1（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是“和谐方程”，且关于x的方程有整数解，求整数m的值． 【分析】（1）解方程，根据“和谐方程”定义，方程的解定义，分别判断即可； （2）解方程，根据“和谐方程”定义，方程的解定义，计算即可； （3）解方程，根据“和谐方程”定义，方程的解定义，整数解，计算即可． 【解答】解：（1）①3x+1＝﹣5，解得x＝﹣2， ∵﹣2＝3+（﹣5）， ∴①是“和谐方程”； ②x+2＝3变形为x+1＝2， 解得x＝1， ∵1≠1+2， ∴x+2＝3不是“和谐方程”； ③﹣2x＝3变形为﹣2x+1＝4， 解得， ∵， ∴﹣2x＝3不是“和谐方程”． 故答案为：①√；②×；③×； （2）方程（n≠1且n为实数）， 解得x＝n﹣1， ∵方程是“和谐方程”， ∴， 整理得（n﹣1）2﹣2（n﹣1）﹣1＝0， 解得，或， ∵， ∴当时， 原式： 当时， 原式； 综上，的值为5； （3）解关于x的方程（m﹣k）x＝k﹣1（m≠﹣1且m≠0，k≠1）， 得， ∴变形为（m﹣k）x+1＝k， ∴， ∴， 解关于x的方程， 得， ∴是整数， ∴m+1是2的因数， ∴m+1＝±1或±2， ∴m＝﹣3或﹣2或0或1， ∵k≠1， ∴， ∴m2+1≠m+1， ∴m≠0，且m≠1， ∴m≠0，且m≠±1， ∴m＝﹣3或m＝﹣2． 【点评】本题考查了新定义——“和谐方程”．熟练掌握新定义，解一元一次方程和分式方程，方程的解，整数解，分类讨论，是解题的关键． 五．含绝对值符号的一元一次方程 26．（2025•佛山一模）方程﹣（|x+3|﹣|x﹣2|）＝7满足x+3＞0的解的个数为（　　） A．5 B．3 C．6 D．0 【分析】先求出x＞﹣3，当x＞﹣3时，|x+3|﹣|x﹣2|＝﹣7，求解得出x＝﹣4，可得出答案． 【解答】解：由条件可知x＞﹣3， 当x＞﹣3时，方程变形为：|x+3|﹣|x﹣2|＝﹣7， ∴x+3﹣（2﹣x）＝﹣7， 解得：x＝﹣4， ∴方程﹣（|x+3|﹣|x﹣2|）＝7满足x+3＞0的解的个数为0， 故选：D． 【点评】本题考查一元一次不等式，绝对值方程，熟练掌握以上知识点是关键． 27．（2024•凉州区校级开学）已知方程2x＝|x﹣3|﹣9的解是负数，则值是（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣9 【分析】分两种情况讨论：①x﹣3≥0时，②x﹣3＜0时，解方程2x＝|x﹣3|﹣9，求出方程的解，再把求出的x的值代入进行计算，然后判断即可． 【解答】解：分两种情况讨论： ①x﹣3≥0时， 2x＝|x﹣3|﹣9， 2x＝x﹣3﹣9， x＝﹣12（舍去）； ②x﹣3＜0时， 2x＝|x﹣3|﹣9， 2x＝3﹣x﹣9， 2x+x＝3﹣9， 3x＝﹣6， x＝﹣2； ∴当x＝﹣2时， ＝﹣4， 故选：B． 【点评】本题主要考查了解含有绝对值符号的方程，解题关键是熟练掌握利用分类讨论的思想解方程． 28．（2025秋•江都区期中）已知|x﹣2|＝2x﹣10，则x＝　8　 ． 【分析】根据绝对值的性质，得到x﹣2＝±（2x﹣10），然后解一元一次方程即可． 【解答】解：∵|x﹣2|＝2x﹣10， ∴x﹣2＝2x﹣10或2﹣x＝2x﹣10， 解得x＝8或x＝4， 由题意可知2x﹣10≥0， ∴x≥5， ∴x＝8， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键． 29．（2025春•思明区校级月考）方程|5﹣3x|＝3﹣x的解是x＝1或x＝2　 ． 【分析】先根据绝对值的性质将绝对值方程转化为两个一元一次方程，再根据解一元一次方程的一般步骤解答即可． 【解答】解：|5﹣3x|＝3﹣x， ∴5﹣3x＝3﹣x或3x﹣5＝3﹣x， 解得：x＝1或x＝2． 故答案为：x＝1或x＝2． 【点评】本题考查了解绝对值方程，掌握关于绝对值方程的解的方法是解题的关键． 30．（2024•武汉校级自主招生）解方程：|x|＝|3x﹣2|，则x＝　1或　 ． 【分析】由x＝3x﹣2，得x＝3x﹣2或x＝﹣3x﹣2，然后解一元一次方程即可． 【解答】解：由条件可知x＝3x﹣2或x＝﹣3x﹣2， 解得：x＝1或， 故答案为：1或． 【点评】本题考查了绝对值的意义，绝对值方程，一元一次方程的求解，解题的关键是熟知绝对值的意义和一元一次方程的解法． 六．同解方程 31．（2024秋•沅江市期末）若方程的解与关于x的方程2x﹣3k＝6x+2k﹣1的解相同，则k的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4 【分析】先求出方程的解，即可得出关于x的方程2x﹣3k＝6x+2k﹣1的解，然后代入即可求出k的值． 【解答】解：， 2（x﹣4）+42＝48﹣3（x﹣2）， 2x﹣8+42＝48﹣3x+6， 2x+3x＝48+6+8﹣42， 5x＝20， x＝4， ∵方程的解与关于x的方程2x﹣3k＝6x+2k﹣1的解相同， ∴方程2x﹣3k＝6x+2k﹣1的解为x＝4， ∴2×4﹣3k＝6×4+2k﹣1， 解得k＝﹣3， 故选：C． 【点评】本题考查了同解方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 32．（2024秋•确山县期末）解关于x的一元一次方程a（2x﹣1）＝4x+m时，不论a为何值，x的解都相同，则m的值为（　　） A．﹣2 B．0 C． D．2 【分析】根据已知可得a的系数为0，即2x+1＝0，方程的解为：x，代入原方程可得m的值． 【解答】解：a（2x﹣1）＝4x+m， ∵不论a为何值，x的解都相同， ∴2x﹣1＝0， ∴x， 把x代入4x+m＝0中，得：4m＝0， ∴m＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义：能使一元一次方程左右两边成立的未知数的值是方程的解． 33．（2024秋•舞阳县期末）若关于x的一元一次方程2x＝3x+a与关于x的一元一次方程的解相同，则a的值为（　　） A．﹣9 B．9 C．3 D．﹣3 【分析】先求出方程2x＝3x+a的解，然后代入方程，可解出a的值； 【解答】解：根据题意可知，2x＝3x+a， 2x﹣3x＝a， 解得：x＝﹣a， 将x＝﹣a代入方程可得：， 解得：a＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了同解方程，掌握同解方程的含义是关键． 34．（2025秋•工业园区校级期中）如果关于x的方程2x+k＝3和的解相同，那么k＝　　 ． 【分析】分别求出两个方程的解，根据同解方程的定义得出，即可求出k的值． 【解答】解：解方程2x+k＝3，得， 解方程，得x＝4+k， 根据题意得， 解得k， 故答案为：． 【点评】本题考查了同解方程，熟练掌握同解方程的定义是解题的关键． 35．（2024秋•德阳期末）已知关于x的方程2（x﹣k）+2＝3k﹣4x与的解相同．则k的值为 　　 ． 【分析】先解方程，求得x＝2k，再把x＝2k代入2（x﹣k）+2＝3k﹣4x，解方程即可求解． 【解答】解：解方程， 去分母得4（2x﹣k）＝3（x+2k）， 去括号得8x﹣4k＝3x+6k， 移项合并得5x＝10k， 解得x＝2k， 由题意可得：2（2k﹣k）+2＝3k﹣4×2k， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了同解方程，正确进行计算是解题关键． 36．（2024秋•忠县期末）设a为有理数，已知关于x的一元一次方程3（x﹣a）+1＝x+2a． （1）若方程与已知方程的解相同，求a的值； （2）若关于x的方程的解比已知方程的解大，求已知方程的解． 【分析】（1）将方程1的解代入方程3（x﹣a）+1＝x+2a，得到关于a的一元一次方程并求解即可； （2）分别求出3（x﹣a）+1＝x+2a和2（x﹣3a）＝1解，根据题意列关于a一元一次方程并求解，将a的值代入已知方程的解并计算即可． 【解答】解：（1）解方程1，得x＝4， 将x＝4代入3（x﹣a）+1＝x+2a， 得3（4﹣a）+1＝4+2a， 解得a． （2）解方程3（x﹣a）+1＝x+2a，得x， 解方程2（x﹣3a）＝1，得x， 根据题意，得， 解得a， ∴ ， ∴已知方程的解为x． 【点评】本题考查同解方程，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 37．（2024秋•龙湖区期末）已知关于x的方程5m+2x＝1+x． （1）若该方程与方程7﹣x＝2x+1同解，试求m的值； （2）当m为何值时，该方程的解比关于x的方程的解大2？ 【分析】（1）解方程7﹣x＝2x+1，得x＝2，然后把x＝2代入方程5m+2x＝1+x求解即可； （2）分别求出两个方程的解（都是关于m的代数式），再根据两个方程解的关系得到关于m的方程，求解即可． 【解答】解：（1）解方程7﹣x＝2x+1，得x＝2， 把x＝2代入方程5m+2x＝1+x，得5m+4＝1+2， 解得：； （2）解方程5m+2x＝1+x，得x＝1﹣5m， 解方程，得， ∵方程5m+2x＝1+x的解比关于x的方程的解大2， ∴， 解这个方程，得：． 【点评】本题考查了一元一次方程的求解，正确理解题意、熟练掌握解一元一次方程的方法是关键． 七．一元一次方程的应用 38．（2023•东明县校级开学）资料室打印一份稿件．第一天打印全部稿件的，第二天比第一天多打印了60页，这时已打印的页数与剩下的比是7：8，这份稿件一共有多少页？ 【分析】设这份稿件一共有x页，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：这份稿件一共有x页， x+（60）x， 解得x＝450， 答：这份稿件一共有450页． 【点评】本题主要考查比的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． 39．（2024秋•秀山县期末）小强计划在2025年春节来临前，给街道2024年退伍军人及6位劳动模范每人送一张贺卡，网上购买贺卡的优惠条件是：购买25或25张以上享受团购价．小强发现：零售价与团购价的比是3：2，经过分析，按计划购买贺卡张数只能享受零售价，如果比原计划多购买5张贺卡就能享受团购价，这样正好花100元，而且比原计划还节约20元． （1）贺卡的零售价是多少？ （2）街道2024年退伍军人有多少人？ 【分析】（1）根据题意设零售价为3x元，团购价为2x元，根据等量关系零售价用120元所购买的数量+5＝团购价用100元所购买的数量，列出方程，解方程求得x的值即可； （2）根据（1）中的零售价求出原计划购买贺卡数量，即为退伍军人和劳动模范的总人数，再减去劳动模范的人数即可解答． 【解答】解：（1）根据题意设零售价为3x元，团购价为2x元，则， ， 解得，x＝2， 经检验：x＝2是原分式方程的解， 3x＝6， 答：贺卡的零售价为6元； （2）街道2024年退伍军人为（人）， 答：街道2024年退伍军人有14名． 【点评】本题主要考查了分式方程的应用，解决本题的关键是找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程，注意分式方程必须检验． 40．（2025•香坊区校级开学）甲仓库有粮食560吨，乙仓库有粮食350吨．从甲仓库运送多少粮食到乙仓库后，甲仓库的粮食质量就是乙仓库粮食的？（列方程解） 【分析】设从甲仓库运送x吨多少粮食到乙仓库后，甲仓库的粮食质量就是乙仓库粮食的，根据等量关系列方程求解即可． 【解答】解：设从甲仓库运送x吨多少粮食到乙仓库后，则： ， 解得x＝140， 答：从甲仓库运送140吨粮食到乙仓库后，甲仓库的粮食质量就是乙仓库粮食的． 41．（2025秋•哈尔滨校级期中）在9月份开学初，我校对高一和初一新生军训进行了总结会操表演．初一新生、高一新生及高一教师团队共2000人．其中高一新生占总人数的，高一教师人数比高一新生人数的还多30人，高一教师人数比初一新生人数少． （1）求高一新生有多少人？ （2）高一教师和初一新生各有多少人？ （3）在汇演中，根据造型需要，需抽调出高一新生的，再调入部分初中生，由剩下部分的高中生和调入的初中生组成汇演方阵，此方阵高一新生人数比初一新生人数的4倍还少60人；表演中高一新生道具是扇子，初一新生道具是花束，扇子单价是6元，扇子单价比花束单价的还少2元；由于购买的数量较多，商家给了优惠，都按原价的销售，那么这个造型队伍道具共花费多少钱？ 【分析】（1）利用总数乘占比即可得出部分数据； （2）利用占比求出高一教师人数，总数减去其他部分的数即可求出初一新生人数； （3）根据题意，假设出未知数，列出方程，求出方阵中高一和初一的人数及花束的单价，最后根据单价乘折扣乘数量即可求出花费的总钱数． 【解答】解：（1）（人）， 答：高一新生人数为1200人； （2）依题意得：高一教师人数为：（人）； ∴初一新生人数为：2000﹣1200﹣150＝650（人）， 答：高一教师人数为150人，初一新生人数为650人； （3）方阵中高一新生人数为：（人）， 设方阵中初一新生人数为x人， 依题意得：4x﹣60＝300， 解得：x＝90， ∴方阵中初一新生人数为90人， 设花束的单价为y元， 依题意得：， 解得：y＝10， ∴花费的钱数为：（元）， 答：这个造型队伍道具共花费2025元． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程． 42．（2024秋•杭州期末）甲、乙两车站相距450km，一列慢车从甲站开出，行驶速度为65km/h，一列快车从乙站开出，行驶速度为85km/h． （1）两车同时开出，相向而行，多少小时后相遇？ （2）两车同时开出，同向而行，慢车在前，多少小时后快车追上慢车？ （3）两车同时开出，相向而行，多少小时后两车相距50km？ 【分析】（1）设两车行驶x小时相遇，根据相遇时两车行驶路程之和为450km建立方程求解； （2）设y小时快车追上慢车，快车比慢车多行驶450km建立方程求解； （3）设慢车行驶z小时两车相遇，分两种情况讨论：①两车相遇前；②两车相遇后；建立方程求解． 【解答】解：（1）设两车行驶了x小时相遇， 65x+85x＝450， ∴x＝3， 答：两车行驶了3小时相遇； （2）设两车行驶了y小时快车追上慢车， 85y﹣65y＝450， ∴y＝22.5， 答：22.5小时快车追上慢车； （3）设经过zh后两车相距50km，分两种情况讨论： ①两车相遇前，由题意， 得65z+85z+50＝450， 解得：， ②两车相遇后，由题意， 得65z+85z﹣50＝450， 解得， 答：或后两车相距50km． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握行程问题中的等量关系是解题的关键． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 43．（2024秋•南木林县校级期末）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h，已知水流的速度是3km/h，求甲乙两码头之间的距离． 【分析】设船在静水中的速度为x千米/小时，根据顺流速度＝静水速度+水流速度，逆流速度＝静水速度﹣水流速度，列出方程，求出方程的解即可；再根据路程＝顺流的时间×顺流的速度，列出算式，求得甲乙两码头之间的距离即可． 【解答】解：设船在静水中的速度为x千米/小时，根据题意得： （x+3）×2＝（x﹣3）×2.5， 解得：x＝27， 2（27+3）＝60（千米）； 答：船在静水中的速度是27千米/小时；甲乙两码头间的距离是60千米． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，顺流速度＝静水速度+水流速度，逆流速度＝静水速度﹣水流速度，列出方程求解． 44．（2025秋•邯郸校级期中）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50km/h，水流速度是akm/h． （1）甲船航速＝　（50+a）　 km/h，乙船航速＝　（50﹣a）　 km/h（用含a的代数式表示）． （2）3h后两船相距多远？ （3）4h后甲船比乙船多航行多少千米？ 【分析】（1）根据顺水速度＝船速+水速，逆水速度＝船速﹣水速可得答案； （2）根据行驶路程＝行驶速度×行驶时间分别求得两船的行驶路程，然后求和即可． （3）利用甲船航行的路程减去乙船航行的路程即可求解． 【解答】解：（1）∵两船在静水中的速度都是50km/h，水流速度akm/h， ∴甲船的速度为（50+a）km/h，乙船的速度为（50﹣a）km/h； 故答案为：（50+a）km/h，（50﹣a）km/h； （2）3×（50+a+50﹣a） ＝3×100 ＝300（km）， 所以3h后两船相距300km． （3）由题意得4×[（50+a）﹣（50﹣a）] ＝4×（50+a﹣50+a） ＝4×2a ＝8a（km）． 【点评】本题主要考查列代数式，整式的加减运算的应用，掌握船顺流航行时的速度与逆流航行的速度公式是解题的关键． 45．（2024秋•平阴县校级月考）一题多变 （1）改为根据古代数学问题列方程 《九章算术》中记载了这样一个数学问题，其大意为：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发，问乙出发几日后甲乙相逢？设乙出发x日后甲乙相逢，则可列方程为　　 ． （2）改为不同时的相遇问题 学校组织七年级学生举行了一场“百米击掌”活动，比赛规则为：每班派两位同学分别站在相距300米的A点和B点，一人听到哨声后出发，另一人在第一个人出发3秒后出发，两人相向而行，相遇后立即击掌代表完成比赛，用时最短的班级获胜．小明听到哨声后以4米/秒的平均速度出发，3秒后小晨出发，最终用时35s完成比赛，则小晨的平均速度为　5　 米/秒． （3）改为追及问题 小明和爸爸准备步行去附近的公园，小明先以4千米/时的速度步行前往，20分钟后，爸爸骑共享单车以8千米/时的速度追赶小明，则爸爸追上小明需要多长时间？ 【分析】（1）设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x﹣2）日，根据题意列出方程即可； （2）设小晨的平均速度为x米/秒，列出方程4×35+（35﹣3）x＝300，然后求解即可； （3）设爸爸追上小明所用的时间为x小时，则小明走的路程为米，爸爸走的路程为8x米，列出方程，然后求解即可． 【解答】解：（1）设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x﹣2）日， 可列方程为， 故答案为：； （2）设小晨的平均速度为x米/秒，根据题意得4×35+（35﹣3）x＝300， 解得x＝5， ∴小晨的平均速度为5米/秒． 故答案为：5； （3）设爸爸追上小明的时间为x小时，爸爸走的路程为8x米， 由题意得， 解得， 答：爸爸追上小明需要小时． 【点评】此题考查了一元一次方程和实际应用，解题关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程． 46．（2025•雁塔区校级四模）某市今年进行天然气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要8天完成；若乙队单独做需要12天完成．若甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要几天能够完成任务？ 【分析】设甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，乙队还需要x天能够完成任务，利用甲队完成的工程量+乙队完成的工程量＝总工程量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设乙队还需要x天能够完成任务， ， ∴x＝2， 答：乙队还需要2天能够完成任务． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 47．（2025秋•哈尔滨校级期中）一项工程，如果甲队单独完成需要12天，乙队单独完成所需的时间比甲队多． （1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）现在若甲队先做7天，剩余部分再由甲乙两队合作，求完成这项工程需要多少天？ （3）原计划由乙队单独完成这项工程，乙队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两队合作完成．若甲队工作的天数是乙队工作天数的，乙队单独施工一天需工程款0.2万元，乙队每天工程款比甲队每天工程款的少0.01万元，求完成这项工程共需支付多少元工程款？（注：甲、乙两队施工过程中工作效率始终不变） 【分析】（1）由乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多，可求出乙队单独完成这项工程所需的天数； （2）设完成这项工程需要x天，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量＝总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设乙工程队工作的天数为y天，则甲工程队工作的天数为，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量＝总工程量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，设甲工程队每天施工费为m万元，则乙工程队每天施工费为万元，根据乙队单独施工一天需工程款0.2万元，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）（天），所以乙队单独完成这项工程需要18天． （2）设完成这项工程需要x天，根据题意可列方程为： ， 解得：x＝10， 答：完成这项工程需要10天． （3）设乙工程队工作的天数为y天，则甲工程队工作的天数为天，根据题意可列方程为： ， 解得y＝9， 所以， 设甲工程队每天施工费为m万元，则乙工程队每天施工费为万元， 依题意得， 解得：m＝0.42， ∴完成这项工程共需支付工程款0.42×6+0.2×9＝4.32（万元）． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算．理解题意是关键． 48．（2025秋•沙坪坝区校级期中）列方程解应用题． 某隧道及连接道路工程项目全长约500米，其中隧道（地下路段）长度220米，剩余为连接道路（地上路段）．现有甲、乙两个工程队负责工程项目的修建，已知乙工程队每天修建地上路段的长度是甲工程队每天修建地上路段长度的2.5倍，一期工程甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天． （1）求一期工程中甲、乙两工程队每天分别修建地上道路多少米？ （2）工程二期，由甲、乙两工程队继续负责地下路段的建设，由于建设难度的提升，甲、乙两工程队每天可修建地下道路长度缩减为一期工程的一半．工程二期，甲工程队每天修建道路的费用为3万元，乙工程队每天修建道路的费用为9万元．若安排由甲、乙共同修建该地下路段的一部分，剩下部分由甲工程队单独完成，工程二期总费用为72万元，求甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了多少天？ 【分析】（1）设一期工程中甲工程队每天修建地上道路x米，则乙工程队每天修建地上道路2.5x米，根据一期工程甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了m天，则甲、乙两工程队共同修建了天，根据工程二期总费用为72万元，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设一期工程中甲工程队每天修建地上道路x米，则乙工程队每天修建地上道路2.5x米， 根据题意得：4（x+2.5x）＝280， 解得：x＝20， ∴2.5x＝2.5×20＝50， 答：一期工程中甲工程队每天修建地上道路20米，乙工程队每天修建地上道路50米； （2）由题意可知，工程二期中甲工程队每天修建地下路段：2010（米），乙工程队每天修建地下路段：5025（米）， 设甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了m天，则甲、乙两工程队共同修建了天， 根据题意得：（3+9）+3m＝72， 解得：m＝8， 答：甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了8天． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 49．（2024秋•吉林期末）“机器人”的研发和运用，有效地节省了劳动力．某制造“机器人”的车间有28名工人，每人每天可以生产“机器人”的机壳500个或机脚800个．1个机壳需要配4个机脚，为使每天生产的机壳和机脚刚好配套．应安排生产机壳和机脚的工人各多少名？ 【分析】设安排x名工人生产机壳，则安排（28﹣x）名工人生产机脚，根据1个机壳需要配4个机脚，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设安排x名工人生产机壳，则安排（28﹣x）名工人生产机脚， 依题意，得：4×500x＝800（28﹣x）， 解得：x＝8． 即安排8名工人生产机壳，安排20名工人生产机脚． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 50．（2025秋•思明区校级期中）自上海迪斯尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配2只手套．如果某车间有15名工人，每人一天平均能生产12只手套或9个米老鼠玩具．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ 【分析】设分配x名工人工生产手套，则分配（15﹣x）名工人生产玩具，利用生产手套的总数量是生产玩具总数量的2倍，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即分配生产手套的人数），再将其代入（15﹣x）中，即可求出生产玩具的人数． 【解答】解：设分配x名工人工生产手套，则分配（15﹣x）名工人生产玩具， 根据题意得：12x＝2×9（15﹣x）， 解得：x＝9， ∴15﹣x＝15﹣9＝6（名）． 答：应分配9名工人工生产手套，6名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 51．（2025秋•道里区校级期中）某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件． （1）求某班同学一共带去了多少件礼品？ （2）该车间的工人每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ （3）在（2）的条件下，车间将当天生产的零件配套后出售，有几个销售商想合伙购买全部的成套零件后平分，在决定购买时有5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，在交款时，又有4个销售商临时退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，如果销售商每套零件想获得10元的利润，那么每套零件的售价是多少？ 【分析】（1）工作岗位有y名工人，根据如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件，列方程即可； （2）设生产螺钉a人，则生产螺母为（22﹣a）人，根据题意列方程即可； （3）设x个销售商，根据题意列方程即可． 【解答】解：（1）设工作岗位有y名工人， 根据题意列式，2y+5＝3y﹣17， 解得y＝22， 礼品2×22+5＝49（件）， ∴某班同学一共带去了49件礼品； （2）设生产螺钉a人，则生产螺母为（22﹣a）人， 根据题意列式，2×1200×a＝2000×（22﹣a）， 解得a＝10， 22﹣a＝22﹣10＝12（人）， 答：应安排生产螺钉的工人10名，螺母的工人12名； （3）设x个销售商， ， 解得x＝25， [1200×10÷25×（25﹣5）]÷5÷480+10＝14（元）， 答：零件的售价是14元． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系． 55．（2025秋•西湖区校级期中）随着AI技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及．某快递运营区有40名揽投员和2辆无人配送车，若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的25%，3位揽投员和2辆无人车每天可配送快递共计4400件． （1）求1辆无人车和1位揽投员的日均投递量各为多少件； （2）通过AI预测，今年“双12”购物节活动期间，该运营区每天的投递量至少达到32000件才能不产生快递积压的现象．因此，该运营区准备增加m台无人配送车和n名投递员，且满足m+n＝10，m和n均为正整数．请求出满足条件的所有方案． 【分析】（1）设1辆无人车的日均投递量为x件，则1位投递员的日均投递量为25%x件．根据“3位投递员和2辆无人车每天可配送快递共计4400件”列方程，求解即可； （2）设增加m辆无人车，则增加n＝10﹣m名投递员．根据“运营区每天的投递量至少达到32000件”列不等式，求解即可． 【解答】解：（1）设1辆无人车的日均投递量为x件，则1位投递员的日均投递量为25%x件． 若每位投递员的日均投递量是每辆无人车的25%，3位揽投员和2辆无人车每天可配送快递共计4400件． 由题意得3×25%x+2x＝4400， 整理得2.75x＝4400， 解得x＝1600， 25%x＝400， 答：1辆无人车的日均投递量为1600件，1位投递员的日均投递量为400件； （2）设增加m辆无人车，则增加n＝10﹣m名投递员（m为正整数，n为正整数）． 1600（m+2）+400（10﹣m+40）≥32000， 解得， ∵m为正整数，n为正整数， ∴m＝8，n＝2或m＝9，n＝1， 答：满足条件的方案有2种：①增加8台无人配送车和2名投递员；②增加9台无人配送车和1名投递员． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确进行计算是解题关键． 53．（2024秋•兰州期末）综合与实践：砂糖桔是广西某县传统特产，具有皮薄，汁多，化渣，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务：请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： 材料一：某县批发市场计划运输一批砂糖橘到甲地出售，为保证砂糖桔新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，若A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为75千米/小时，从某县到甲地B型车比A型车少用2小时． 材料二：已知A型车每辆可运8吨，B型车每辆可运7吨，若单独租用A型车，则恰好装完：若单独租用相同数量的B型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，冷柜车运完砂糖桔从某县到甲地时，运输的相关数据如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 1.5元/（千米辆） A型冷柜车 B型冷柜车 10元/（小时•辆） 8元/（小时•辆） （参考公式：冷柜使用费＝冷柜使用单价×使用时间×车辆数目；总费用＝路费+冷柜使用费） （1）请求出A型车从某县到甲地的时间； （2）问这批砂糖桔共有多少吨？ （3）本次砂糖桔从某县到甲地的运输单独安排A型车或B型车，应该选用哪种车型使得总费用较少？较少的总费用是多少元？ 【分析】（1）设A型车从某县到甲地的时间为x小时，则B型车从某县到甲地的时间为（x﹣2）小时，根据从某县到甲地的路程相等列方程求解即可； （2）设这批砂糖橘共有y吨，根据单独租用相同数量的B型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车列方程求解； （3）按照计费方式分别算出两种型号的车所需费用即可求解． 【解答】解：（1）设A型车从某县到甲地的时间为x小时，则B型车从某县到甲地的时间为（x﹣2）小时， 由题意得，60x＝75（x﹣2）， 解得：x＝10． 答：A型车从某县到甲地的时间为10小时； （2）设这批砂糖橘共有y吨， 由题意得，， 解得：y＝32． 答：这批砂糖桔共有32吨； （3）∵A型车为32÷8＝4（辆）； B型车为32÷7＝4（辆）...4（吨），即：4+1＝5（辆）； ∴运输32吨砂糖橘，A型车需要4辆，B型车需要5辆， 某县到甲地的距离为：60×10＝600（千米）． 安排A型车的总费用：1.5×600×4+10×10×4＝4000（元）， 安排B型车的总费用：1.5×600×5+8×8×5＝4820（元）， 因为4000＜4820，所以单独安排A运输能使总费用较少，是4000元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． 54．（2024秋•龙岗区期末）综合与实践 素材1 基本住房户型图如图．（备注：单位：m．户型的平面图可分割成若干个长方形．） 素材2 主卧和次卧的面积一共是35m2，且主卧的面积是次卧的2倍少10m2． 素材3 户主现准备铺设地面，其中主卧、次卧和书房铺设木地板，其他区域铺设地砖． 素材4 按市场价格，木地板单价为500元/m2，地砖单价为400元/m2，装修公司有甲，乙两种活动方案，如下表： 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 甲 8折 8.5折 3000元 乙 9折 9折 免收 问题解决 任务1 表示 ①请用含a，b的代数式直接表示CD的长为 a+3b﹣5　 ； ②请用含a，b的代数式表示住房的总面积．（要求过程且结果保留最简形式） 任务2 求解 请分别求出主卧和次卧的面积（要求列方程解决问题）． 任务3 比较 选择哪种活动方案，铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？请通过计算进行说明． 【分析】（1）①利用CD＝AB﹣EF即可得解；②分成两个长方形即可求解； （2）根据素材二建立方程求解； （3）由（2）求出a和b值，进而把方案甲和方案乙都算出来比较即可得解． 【解答】解：（1）①CD＝AB﹣EF＝b+a+2b﹣5＝a+3b﹣5， 故答案为：a+3b﹣5； ②5（2a+b+5）+10（a+3b﹣5） ＝10a+5b+25+10a+30b﹣50 ＝20a+35b﹣25； （2）设次卧的面积为xm2，则主卧的面积为（2x﹣10）m2，由题意得： 2x﹣10+x＝35， 解得：x＝15， ∴2×15﹣10＝20（m2）， 答：主卧的面积为20m2，次卧的面积为15m2； （3）∵10a＝20，5b＝15， ∴a＝2，b＝3， ∴此住房的总面积为20×2+35×3﹣25＝120（m2）， 铺设木地板的面积为5×2×2+2×5×3＝50（m2）， 铺设地砖的面积为120﹣50＝70（m2）， 方案甲的费用为50×500×0.8+70×400×0.85+3000＝46800（元）， 方案乙的费用为50×500×0.9+70×400×0.9＝47700（元）， ∵46800＜47700， ∴选择甲方案铺设总费用更低． 【点评】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的实际应用等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 55．（2025秋•成都校级期中）师大一中一年一度的“与青春同行，为祖国喝彩”歌咏比赛排练已经拉开序幕．1班在成都实体店购买表演服装，在活动期间店家对顾客实行如下优惠，规定如下： 消费金额a元 优惠办法 0≤a≤1000 不予优惠 1000＜a≤2000 高于1000元且不高于2000元的部分八折优惠 a＞2000 不高于1000元的部分不予优惠 高于1000元且不高于2000元的部分八折优惠 高于2000元的部分六折优惠 （1）若1班在实体店的消费金额是1500元，那么1班实际付款　1400　 元；若1班在实体店付款1860元，那么1班在这家实体店消费金额是　2100　 元； （2）若1班在该实体店消费金额为a元； 当1000＜a≤2000时，他实际付款　（0.8a+200）　 元；（用含a的代数式表示并化简） 当a＞2000时，他实际付款　（0.6a+600）　 元．（用含a的代数式表示并化简） （3）1班家委会又找到了一家淘宝店，该淘宝店家承诺无论消费金额是多少钱，都给予所有消费金额的七折优惠，最后1班在该淘宝店购买比在实体店购买优惠了320元．聪明的你知道这个班级购买服装的原价是多少吗？请计算说明． 【分析】（1）利用1班实际付款金额＝1000+0.8×超过1000元的部分，可求出1班实际付款金额；利用1班在这家实体店消费金额＝1000+800÷0.8+（1班实际付款金额﹣1000﹣800）÷0.6，即可求出1班在这家实体店消费金额； （2）当1000＜a≤2000时，利用他实际付款金额＝1000+0.8×超过1000元的部分，可用含a的代数式表示出他实际付款金额；当a＞2000时，利用他实际付款金额＝1000+0.8×（2000﹣1000）+0.6×超过2000元的部分，即可用含a的代数式表示出他实际付款金额； （3）设这个班级购买服装的原价是x元，分0＜x≤1000，1000＜x≤2000及x＞2000三种情况考虑，根据最后1班在该淘宝店购买比在实体店购买优惠了320元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）1班实际付款1000+（1500﹣1000）×0.8＝1400（元）； ∵当消费金额是2000元时，付款1000+2000×0.8＝1600元， 若1班在实体店付款1860元，那么消费金额大于2000元， 消费金额是1000+800÷0.8+（1860﹣1000﹣800）÷0.6＝2100（元）． 故答案为：1400，2100； （2）根据题意得：当1000＜a≤2000时，他实际付款1000+0.8（a﹣1000）＝（0.8a+200）元； 当a＞2000时，他实际付款1000+（2000﹣1000）×0.8+0.6（a﹣2000）＝（0.6a+600）元． 故答案为：（0.8a+200），（0.6a+600）； （3）该淘宝店家承诺无论消费金额是多少钱，都给予所有消费金额的七折优惠， 设这个班级购买服装的原价是x元， 当0＜x≤1000时，x﹣0.7x＝320， ∴（舍去）； 当1000＜x≤2000时，0.8x+200﹣0.7x＝320， ∴x＝1200； 当x＞2000时，0.6x+600﹣0.7x＝320， ∴x＝2800． 答：这个班级购买服装的原价是1200或2800元． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出他实际付款金额；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 56．（2025秋•广州校级期中）“顺风车”的理念是提倡环保，让大家共享资源．国庆期间，平台施行了如表优惠计费规则：（设乘车里程为a公里） 计费项目 起步费 里程费 高速路费 含起步里程3公里 3＜a≤10的部分 10＜a≤30的部分 30＜a≤50的部分 a＞50（超过3公里的部分一个价） 按照实际产生计入 费用 5元 1.2元/公里 1元/公里 0.8元/公里 0.9元/公里 （打车费由起步费、里程费、高速路费构成，如果没有高速路费，高速路费为0元） 如：小张乘坐“顺风车”15公里，总费用为：5+1.2×（10﹣3）+1×（15﹣10）＝18.4元． 小李乘坐“顺风车”83公里，高速路费为23元，总费用为：5+0.9×（83﹣3）+23＝100元． （1）若小黄乘坐“顺风车”的行车里程为a公里，高速路费为b元． ①当10＜a≤30时，小黄应付车费　（a+b+3.4）　 元；（用含a，b的式子表示并化简） ②当a＝20，b＝10时，小黄应付车费　33.4　 元． （2）甲和乙分别乘坐一辆“顺风车”到达不同的地方，若甲的里程比乙的里程少10公里，且甲、乙的里程均超过30公里，甲没有产生高速路费，乙产生了10元的高速路费，最终乙的打车费比甲多了16.7元，请问甲的乘车里程是多少公里？ 【分析】（1）①利用小黄应付车费＝5+1.2×（10﹣3）+1×超过10公里的部分+高速路费，即可用含a，b的代数式表示出小黄应付车费； ②将a＝20，b＝10代入（a+b+3.4）中，即可求出结论； （2）设甲的乘车里程是x公里，则乙的乘车里程是（x+10）公里，分30＜x≤40，40＜x≤50及x＞50三种情况考虑，根据乙的打车费比甲多了16.7元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）①当10＜a≤30时，小黄应付车费5+1.2×（10﹣3）+1×（a﹣10）+b＝（a+b+3.4）（元）． 故答案为：（a+b+3.4）； ②当a＝20，b＝10时，a+b+3.4＝20+10+3.4＝33.4（元）． 故答案为：33.4； （2）设甲的乘车里程是x公里，则乙的乘车里程是（x+10）公里， 当30＜x≤40时，[5+1.2×（10﹣3）+1×（30﹣10）+0.8（x+10﹣30）+10]﹣[5+1.2×（10﹣3）+1×（30﹣10）+0.8（x﹣30）]＝18≠16.7， ∴不符合题意，舍去； 当40＜x≤50时，[5+0.9（x+10﹣3）+10]﹣[5+1.2×（10﹣3）+1×（30﹣10）+0.8（x﹣30）]＝16.7， 解得：x＝48； 当x＞50时，[5+0.9（x+10﹣3）+10]﹣[5+0.9（x﹣3）]＝19≠16.7， ∴不符合题意，舍去． 答：甲的乘车里程是48公里． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式、有理数的混合运算以及代数式求值，解题的关键是：（1）①根据各数量之间的关系，用含a，b的代数式表示出小黄应付车费；②代入a，b的值，求出（a+b+3.4）的值；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 57．（2025秋•西湖区校级期中）为实现节能减排，同时考虑惠民利民，某地实施阶梯电价．电价分为第一档、第二档和第三档三个标准．具体执行标准如表： 用电标准 阶梯电价 第一档用电量 不超过200千瓦时 0.5元/千瓦时 第二档用电量 超过200千瓦时且不超过400千瓦时 0.6元/千瓦时 第三档用电量 超过400千瓦时 0.8元/千瓦时 （1）某用户某月用电量为200千瓦时，需支付电费是　100　 （元）； （2）某用户某月用电量为a千瓦时（200＜a＜400）用a的代数式表示需支付的电费； （3）某用户某月份支付电费268元，求该用户的用电量． 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可； （3）先判断进第三档，列方程220+0.8（x﹣400）＝268，解得x＝460． 【解答】解：（1）200×0.5＝100（元）， 故答案为：100； （2）第一档200千瓦时的费用：200×0.5＝100元，第二档用电量：（a﹣200）千瓦时，费用：（a﹣200）×0.6元， 总电费为：100+0.6（a﹣200）＝0.6a﹣20（元）； （3）第一档200千瓦时：100元， 第二档（200﹣400千瓦时）：最高费用为100+200×0.6＝220元因268元＞220元，故用电量进入第三档， 设用电量为x千瓦时（x＞400）， 总电费为：220+0.8（x﹣400）＝268， 解得x＝460， 该用户用电量为460千瓦时． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 58．（2024秋•秀山县期末）某商场经销A、B两种商品，A种商品每件进价40元，售价50元；B种商品每件售价80元，利润率为60%． （1）每件A种商品利润率为　25%　 ，每件B种商品进价为　50　 ； （2）若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2300元，则该商场购进A种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 不优惠 超过500元，但不超过800元 按总售价打九折 超过800元 其中800元部分打八折优惠，超过800元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款675元，求小华此次购物打折前的总金额． 【分析】（1）根据题意，每件A种商品利润率为，设每件B种商品进价为x元，根据题意，得80﹣x＝60%x，解方程即可； （2）设购进A种商品y件，B种商品共（50﹣y）件，根据题意，得40y+50（50﹣y）＝2300，解方程即可； （3）根据小华一次性购买A、B商品实际付款675元，说明购物费用超过了500元，设本次购物打折前的费用为m元，当500＜m≤800时，根据题意，得0.9m＝675；当m＞800时，根据题意，得800×0.8+0.7（m﹣800）＝675，解答即可． 【解答】解：（1）根据题意，每件A种商品利润率为， 设每件B种商品进价为x元，80﹣x＝60%x， 解得x＝50； 故答案为：25%；50； （2）设购进A种商品y件，B种商品共（50﹣y）件， ∴40y+50（50﹣y）＝2300， 解得y＝20， 故购进A种商品20件． （3）根据小华一次性购买A、B商品实际付款675元，说明购物费用超过了500元， 设本次购物打折前的费用为m元， 当500＜m≤800时，0.9m＝675， ∴m＝750； 当m＞800时，800×0.8+0.7（m﹣800）＝675， ∴m＝850， 小华此次购物打折前的总金额为750元或850元． 【点评】本题考查了利润率，一元一次方程的应用，打折问题，掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 59．（2025秋•花山区校级期中）综合应用：某商场计划购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件进价70元，售价110元． （1）若全部售出后获利3600元，求甲、乙两种商品分别有多少件？ （2）在第（1）题结论的条件下，该商场开展让利促销活动，若甲种商品每件售价60元，要使得这100件商品利润率为20%，乙种商品每件售价多少元？（商品销售总价＝商品总进价×（1+利润率） 【分析】（1）设甲种商品的数量为x，列方程求出甲商品的数量，再求出乙商品的数量即可； （2）先算出100件商品的总进价，根据利润率求出总售价，再用总售价减去甲商品总售价，最后除以乙商品数量得到乙商品每件售价． 【解答】解：（1）设甲商品x件， （80﹣50）x+（110﹣70）（100﹣x）＝3600， 30x+4000﹣40x＝3600， x＝40， 则乙商品数量为100﹣40＝60（件）， 答：甲商品40件，乙商品60件； （2）总进价＝40×50+60×70＝6200（元）， 总售价＝6200×（1+20%）＝7440（元）， 甲总售价＝40×60＝2400（元）， 乙每件售价＝（7440﹣2400）÷60＝84（元）， 答：乙种商品每件售价84元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． 60．（2025秋•万州区校级期中）十一过后随着天气逐渐变冷．空气净化器使用率增高．已知某超市经销A，B两种品牌的空气净化器，每个进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． （1）该店销售记录显示，10月份A，B两种品牌的空气净化器共售出20个，且销售A，B两种品牌的空气净化器的利润相同．该店10月份A，B两种品牌的空气净化器各售出多少个？ （2）根据实际需求，超市11月份计划购进这两种空气净化器共80个，其中A品牌m个．“双十一”商店为了促销，决定A品牌九五折销售，B品牌降价a元销售，若全部售出所获得的利润与m无关，则a的值应该为多少？ 【分析】（1）设A品牌的空气净化器售出x个，则B品牌的空气净化器售出（20﹣x）个，根据销售A，B两种品牌的空气净化器的利润相同建立方程求解即可； （2）根据利润等于实际售价减去进价后乘以销售量分别求出A、B两个品牌的利润，二者求和求出总利润，再根据总利润与m的值无关列式求解即可． 【解答】解：（1）某超市经销A，B两种品牌的空气净化器，每个进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． 设A品牌的空气净化器售出x个，则B品牌的空气净化器售出（20﹣x）个， 由题意得，（4200﹣3500）x＝（5250﹣4200）（20﹣x）， 解得x＝12， ∴20﹣x＝8， 答：A品牌的空气净化器售出12个，B品牌的空气净化器售出8个； （2）由题意得，总利润为（4200×0.95﹣3500）m+（5250﹣a﹣4200）（80﹣m） ＝490m+84000﹣80a﹣1050m+am ＝（a﹣560）m+84000﹣80a， ∵全部售出所获得的利润与m无关， ∴a﹣560＝0， ∴a＝560， 答：a的值应该为560． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，整式加减中的无关型问题，正确理解题意是解题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $一轮复习 一元一次方程 一、一元一次方程的概念 1，一元一次方程；只含有一个未知数（元）并且未知数的次数都是1（次）。像这样的方程，叫做一元一次方程。 （一元一次方程中的“元”是指未知数，“一元”是指只含有一个未知数，“一次”是指所含未知数的项的最高次数是1.） 2，一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a.b是常数，且a≠0）。 一个方程必须具备以下三个条件才可以判定他是一元一次方程： （1）只含有一个未知数。 （2）未知数的次数都是1。 （3）等号两边都是整式（即分母中不含有未知数）。 二、方程的解和解方程 1，方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，如x=2是方程5x-3=7的解，而x=3就不是方程5x-3=7的解。 2解方程：求方程的解的过程叫做解方程 （1）方程的解可能不止一个，也可能无解，如x=-2和x=2都是方程│x│=2的解，而方程│x│=-2,无解。 （2）检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边=右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数不是方程的解。 三、等式的基本性质 1，等式的基本性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 如果a=b，那么a±c=b±c。 2，等式的基本性质2，等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能是0），所得结果仍是等式。 如果a=b,那么ac=bc； 如果a=b（c≠0），那么a/c=b/c。 （1）等式的基本性质1中，等式两边都加上（或减去）的可以是同一个数，也可以是同一个式子，要特别注意“都”和“同一个”。 （2）等式的基本性质2中，等式的两边都除以同一个数时，这个除数不能是0，因为0不能作除数或分母。 （3）等式的基本性质是等式变形的依据，等式两边的变形必须完全相同，等式才成立，否则就会破坏相等关系。 四、一元一次方程应用 1.比例分配问题 比例分配问题中的基本数量关系是：总量=各部分量之和。已知几个量的比，也就知道了各个量所占的份数，可根据它们所占的份数设未知数列出方程求解。 （在比例问题中，通常采用间接设法，设每份为X，如各部分量的比为3:4:5时，可设各部分量分别为3x,4x,5x。） 2.和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2） 寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 3．行程问题 （1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　（2）基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 4.工程问题 工程问题的基本量：工作量、工作效率、工作时间。 工程问题的基本数量关系： 工作量=工作效率×工作时间； 合作的效率=各单独做的效率和。 （1）我们常把总工作量看为1，此时工作效率可以用工作时间的倒数来表示，即工作效率=1/工作时间； （2）多个人（或单位）合作时，合作效率=多个人（或单位）效率之和； （3）有时还会利用“工作量=工作效率×工作时间乘工作人数”的关系列方程 5.调配问题 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 6.销售问题 购买商品和销售商品时，经常会遇到进价（成本）、售价、标价、打折等概念，在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下相等关系： 利润率=利润÷进价（成本）×100%； 售价=标价×打折数÷10； 售价=进价（成本）×（1+利润率）； 利润=售价-进价（成本）； 利润=进价（成本）×利润率。 （1）在销售问题中，常常利用“利润=售价-进价”和“利润=进价×利润率”这两种利润计算公式表示同一商品的利润，从而根据相等关系“售价-进价=进价×利润率”列方程。同理，也可以根据相等关系“进价×（1+利润率）=标价×打折数÷10”列方程。 （2）在打折销售问题中，售价=标价（原价）×打折数÷10。 一．方程与一元一次方程的辨别 1．（2025秋•南关区校级期中）下列各式中，是方程的是（　　） A．3﹣2＝1 B．y﹣5＝0 C．3m+5 D．|x|≥0 2．（2025秋•揭阳校级月考）下列各式中：①x＝0；②2x＞3；③x2+x﹣2＝0；④2＝0；⑤3x﹣2；⑥x＝x﹣1；⑦x﹣y＝0；⑧xy＝4，是方程的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（2025秋•璧山区校级期中）下列方程中是一元一次方程的是（　　） A．x2+3x＝5 B． C．2﹣y＝0 D．x+3y＝0 4．（2024秋•高台县期末）已知方程（5+a）x|a|﹣4+3＝0是一元一次方程，则a的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．±5 D．0 5．（2024秋•河南期末）若方程（|m|﹣1）x2+mx﹣x+2＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A．1 B．1或﹣1 C．﹣1 D．2 6．（2024秋•临沭县期末）请写出一个同时符合下列条件的一元一次方程：（1）未知数系数是；（2）使它的解为﹣3，那么这个方程可以是　 　 ． 7．（2025春•让胡路区校级期末）（m﹣1）x|m|＝m+2n是关于x的一元一次方程，若n是它的解，则n﹣m＝　 　 ． 8．（2024秋•富平县期末）已知是关于x的一元一次方程，求k的值并解方程． 二．等式的性质 9．（2023秋•武安市校级期末）下列等式变形，错误的是（　　） A．若a＝b，则a+2＝b+2 B．若a＝b，则2a＝2b C．若x+1＝y+1，则x＝y D．若a2＝a，则a＝1 10．（2025秋•江阳区期中）下列等式变形正确的是（　　） A．如果ax＝ay，那么x＝y B．如果a＝b，那么a﹣5＝5﹣b C．如果﹣5a＝﹣5b，那么a＝b D．如果a+1＝b﹣1，那么a＝b 11．（2025秋•江岸区期中）若m＝n，则下列等式中正确的是（　　） A．m+1＝n+2 B．2m＝3n C．﹣2m+4＝﹣2n+4 D． 12．（2025•观山湖区校级自主招生）a+1＝b+2＝c+3＝d+4＝a+b+c+d+5，求a+b+c+d的值． 三．利用方程的解求值 13．（2025春•威海期末）下列方程中，解为x＝2的为（　　） A．3x＝3+x B．x（x﹣7）＝﹣10 C．（x﹣3）（x﹣1）＝0 D．2x＝10﹣4x 14．（2025秋•合肥期中）下列方程中，以x＝3为解的方程是（　　） A．4x﹣3＝3x+1 B．x2＝3x C．2（x+3）＝4（x+1）﹣2 D．x+4＝3（2x﹣1） 15．（2025秋•南关区校级期中）若x＝3是关于x的一元一次方程ax+b＝4的解，则代数式（3a+b）2+3（3a+b）﹣1的值是（　　） A．18 B．19 C．27 D．28 16．（2025秋•新华区校级期中）若关于x的方程（a+1）x＝b（a，b为常数）的解是，则（　　） A．方程ax＝b的解是 B．方程bx＝a的解是 C．方程（a+1）x＝1的解是 D．方程（b+1）x＝1的解是 17．（2025秋•皇姑区校级月考）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此求得的解为x＝4．方程正确的解为（　　） A．﹣1 B．13 C．4 D．5 18．（2025秋•渝中区校级期中）已知关于x的一元一次方程的解为x＝1，则关于y的一元一次方程的解是y＝　 　 ． 19．（2024秋•靖边县期末）关于x的方程：10kx﹣9＝0的解为﹣1，求k的值． 20．（2025春•郸城县月考）小艺在解关于m的方程时，误将﹣m看作+m，得方程的解为m＝1． （1）请帮小艺求c的值； （2）请帮小艺求方程正确的解． 21．（2024秋•锡山区校级期末）已知关于x的方程（1﹣x）＝k+1的解与方程（3x+2）（x﹣1）的解互为相反数，求k的值． 22．（2025秋•梁溪区期中）定义：如果两个方程的解相差n（n为正整数），则称解较大的方程为另一个方程的“n﹣和谐方程”，例如：方程x﹣2＝0是方程x+3＝0的“5﹣和谐方程”． （1）若方程2x＝5x﹣12是方程3（x﹣1）＝x+1的“n﹣和谐方程”，则n＝　 　 ． （2）若关于x的方程3（x﹣4）＝12是关于x的方程5（x﹣1）﹣2（m﹣x）＝3+2x的“6﹣和谐方程”，求m的值． 23．（2025秋•锡山区校级期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程4x＝8和x+1＝0为“和一方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与4x﹣2＝x+10是“和一方程”，求m的值； （2）若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的一元一次方程和是“和一方程”，求关于y的一元一次方程的解． 四．解一元一次方程 24．（2024秋•慈利县期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）⊗（c，d）＝bc﹣ad．例如：（1，2）⊗（4，5）＝2×4﹣1×5． 根据上述规定解决下列问题： （1）有理数对（5，3）⊗（﹣2，1）＝　 　 ； （2）若有理数对（2，3x﹣1）⊗（6，x+2）＝22，则x＝　 　 ； （3）当满足等式（4，k﹣2）⊗（x，2x﹣1）＝6的x是整数时，求整数k的值． 25．（2025秋•白云区期中）如果方程ax+1＝b的解为x＝a+b，则称该方程为“和谐方程”． 例如：a＝2，b＝﹣5时2x+1＝﹣5的解是x＝﹣3，且﹣3＝2+（﹣5）成立，所以2x+1＝﹣5是“和谐方程”． （1）判断下列方程是否为“和谐方程”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①3x+1＝﹣5　 　 ； ②x+2＝3　 　 ； ③﹣2x＝3　 　 ； （2）若关于x的方程（n≠1且n为实数）是“和谐方程”，求的值； （3）若关于x的方程（m﹣k）x＝k﹣1（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是“和谐方程”，且关于x的方程有整数解，求整数m的值． 五．含绝对值符号的一元一次方程 26．（2025•佛山一模）方程﹣（|x+3|﹣|x﹣2|）＝7满足x+3＞0的解的个数为（　　） A．5 B．3 C．6 D．0 27．（2024•凉州区校级开学）已知方程2x＝|x﹣3|﹣9的解是负数，则值是（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣9 28．（2025秋•江都区期中）已知|x﹣2|＝2x﹣10，则x＝　 　 ． 29．（2025春•思明区校级月考）方程|5﹣3x|＝3﹣x的解是　 ． 30．（2024•武汉校级自主招生）解方程：|x|＝|3x﹣2|，则x＝　 ． 六．同解方程 31．（2024秋•沅江市期末）若方程的解与关于x的方程2x﹣3k＝6x+2k﹣1的解相同，则k的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4 32．（2024秋•确山县期末）解关于x的一元一次方程a（2x﹣1）＝4x+m时，不论a为何值，x的解都相同，则m的值为（　　） A．﹣2 B．0 C． D．2 33．（2024秋•舞阳县期末）若关于x的一元一次方程2x＝3x+a与关于x的一元一次方程的解相同，则a的值为（　　） A．﹣9 B．9 C．3 D．﹣3 34．（2025秋•工业园区校级期中）如果关于x的方程2x+k＝3和的解相同，那么k＝　 ． 35．（2024秋•德阳期末）已知关于x的方程2（x﹣k）+2＝3k﹣4x与的解相同．则k的值为 　 ． 36．（2024秋•忠县期末）设a为有理数，已知关于x的一元一次方程3（x﹣a）+1＝x+2a． （1）若方程与已知方程的解相同，求a的值； （2）若关于x的方程的解比已知方程的解大，求已知方程的解． 37．（2024秋•龙湖区期末）已知关于x的方程5m+2x＝1+x． （1）若该方程与方程7﹣x＝2x+1同解，试求m的值； （2）当m为何值时，该方程的解比关于x的方程的解大2？ 七．一元一次方程的应用 38．（2023•东明县校级开学）资料室打印一份稿件．第一天打印全部稿件的，第二天比第一天多打印了60页，这时已打印的页数与剩下的比是7：8，这份稿件一共有多少页？ 39．（2024秋•秀山县期末）小强计划在2025年春节来临前，给街道2024年退伍军人及6位劳动模范每人送一张贺卡，网上购买贺卡的优惠条件是：购买25或25张以上享受团购价．小强发现：零售价与团购价的比是3：2，经过分析，按计划购买贺卡张数只能享受零售价，如果比原计划多购买5张贺卡就能享受团购价，这样正好花100元，而且比原计划还节约20元． （1）贺卡的零售价是多少？ （2）街道2024年退伍军人有多少人？ 40．（2025•香坊区校级开学）甲仓库有粮食560吨，乙仓库有粮食350吨．从甲仓库运送多少粮食到乙仓库后，甲仓库的粮食质量就是乙仓库粮食的？（列方程解） 41．（2025秋•哈尔滨校级期中）在9月份开学初，我校对高一和初一新生军训进行了总结会操表演．初一新生、高一新生及高一教师团队共2000人．其中高一新生占总人数的，高一教师人数比高一新生人数的还多30人，高一教师人数比初一新生人数少． （1）求高一新生有多少人？ （2）高一教师和初一新生各有多少人？ （3）在汇演中，根据造型需要，需抽调出高一新生的，再调入部分初中生，由剩下部分的高中生和调入的初中生组成汇演方阵，此方阵高一新生人数比初一新生人数的4倍还少60人；表演中高一新生道具是扇子，初一新生道具是花束，扇子单价是6元，扇子单价比花束单价的还少2元；由于购买的数量较多，商家给了优惠，都按原价的销售，那么这个造型队伍道具共花费多少钱？ 42．（2024秋•杭州期末）甲、乙两车站相距450km，一列慢车从甲站开出，行驶速度为65km/h，一列快车从乙站开出，行驶速度为85km/h． （1）两车同时开出，相向而行，多少小时后相遇？ （2）两车同时开出，同向而行，慢车在前，多少小时后快车追上慢车？ （3）两车同时开出，相向而行，多少小时后两车相距50km？ 43．（2024秋•南木林县校级期末）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h，已知水流的速度是3km/h，求甲乙两码头之间的距离． 44．（2025秋•邯郸校级期中）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50km/h，水流速度是akm/h． （1）甲船航速＝　 　 km/h，乙船航速＝　 　 km/h（用含a的代数式表示）． （2）3h后两船相距多远？ （3）4h后甲船比乙船多航行多少千米？ 45．（2024秋•平阴县校级月考）一题多变 （1）改为根据古代数学问题列方程 《九章算术》中记载了这样一个数学问题，其大意为：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发，问乙出发几日后甲乙相逢？设乙出发x日后甲乙相逢，则可列方程为　 　 ． （2）改为不同时的相遇问题 学校组织七年级学生举行了一场“百米击掌”活动，比赛规则为：每班派两位同学分别站在相距300米的A点和B点，一人听到哨声后出发，另一人在第一个人出发3秒后出发，两人相向而行，相遇后立即击掌代表完成比赛，用时最短的班级获胜．小明听到哨声后以4米/秒的平均速度出发，3秒后小晨出发，最终用时35s完成比赛，则小晨的平均速度为　 　 米/秒． （3）改为追及问题 小明和爸爸准备步行去附近的公园，小明先以4千米/时的速度步行前往，20分钟后，爸爸骑共享单车以8千米/时的速度追赶小明，则爸爸追上小明需要多长时间？ 46．（2025•雁塔区校级四模）某市今年进行天然气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要8天完成；若乙队单独做需要12天完成．若甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要几天能够完成任务？ 47．（2025秋•哈尔滨校级期中）一项工程，如果甲队单独完成需要12天，乙队单独完成所需的时间比甲队多． （1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？ （2）现在若甲队先做7天，剩余部分再由甲乙两队合作，求完成这项工程需要多少天？ （3）原计划由乙队单独完成这项工程，乙队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两队合作完成．若甲队工作的天数是乙队工作天数的，乙队单独施工一天需工程款0.2万元，乙队每天工程款比甲队每天工程款的少0.01万元，求完成这项工程共需支付多少元工程款？（注：甲、乙两队施工过程中工作效率始终不变） 48．（2025秋•沙坪坝区校级期中）列方程解应用题． 某隧道及连接道路工程项目全长约500米，其中隧道（地下路段）长度220米，剩余为连接道路（地上路段）．现有甲、乙两个工程队负责工程项目的修建，已知乙工程队每天修建地上路段的长度是甲工程队每天修建地上路段长度的2.5倍，一期工程甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天． （1）求一期工程中甲、乙两工程队每天分别修建地上道路多少米？ （2）工程二期，由甲、乙两工程队继续负责地下路段的建设，由于建设难度的提升，甲、乙两工程队每天可修建地下道路长度缩减为一期工程的一半．工程二期，甲工程队每天修建道路的费用为3万元，乙工程队每天修建道路的费用为9万元．若安排由甲、乙共同修建该地下路段的一部分，剩下部分由甲工程队单独完成，工程二期总费用为72万元，求甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了多少天？ 49．（2024秋•吉林期末）“机器人”的研发和运用，有效地节省了劳动力．某制造“机器人”的车间有28名工人，每人每天可以生产“机器人”的机壳500个或机脚800个．1个机壳需要配4个机脚，为使每天生产的机壳和机脚刚好配套．应安排生产机壳和机脚的工人各多少名？ 50．（2025秋•思明区校级期中）自上海迪斯尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配2只手套．如果某车间有15名工人，每人一天平均能生产12只手套或9个米老鼠玩具．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ 51．（2025秋•道里区校级期中）某班同学去慰问在节假日期间还工作在工作岗位的某厂某车间职工，给工人叔叔们带去了一些礼品，如果每人2件，则剩下5件，如果每人3件，则还少17件． （1）求某班同学一共带去了多少件礼品？ （2）该车间的工人每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ （3）在（2）的条件下，车间将当天生产的零件配套后出售，有几个销售商想合伙购买全部的成套零件后平分，在决定购买时有5个销售商退出，剩下的每个销售商都需要多分担480元，在交款时，又有4个销售商临时退出，剩下的每个销售商还需要再多分担600元，如果销售商每套零件想获得10元的利润，那么每套零件的售价是多少？ 52．（2025秋•西湖区校级期中）随着AI技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及．某快递运营区有40名揽投员和2辆无人配送车，若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的25%，3位揽投员和2辆无人车每天可配送快递共计4400件． （1）求1辆无人车和1位揽投员的日均投递量各为多少件； （2）通过AI预测，今年“双12”购物节活动期间，该运营区每天的投递量至少达到32000件才能不产生快递积压的现象．因此，该运营区准备增加m台无人配送车和n名投递员，且满足m+n＝10，m和n均为正整数．请求出满足条件的所有方案． 53．（2024秋•兰州期末）综合与实践：砂糖桔是广西某县传统特产，具有皮薄，汁多，化渣，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务：请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： 材料一：某县批发市场计划运输一批砂糖橘到甲地出售，为保证砂糖桔新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，若A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为75千米/小时，从某县到甲地B型车比A型车少用2小时． 材料二：已知A型车每辆可运8吨，B型车每辆可运7吨，若单独租用A型车，则恰好装完：若单独租用相同数量的B型车，则还剩4吨砂糖桔没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，冷柜车运完砂糖桔从某县到甲地时，运输的相关数据如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 1.5元/（千米辆） A型冷柜车 B型冷柜车 10元/（小时•辆） 8元/（小时•辆） （参考公式：冷柜使用费＝冷柜使用单价×使用时间×车辆数目；总费用＝路费+冷柜使用费） （1）请求出A型车从某县到甲地的时间； （2）问这批砂糖桔共有多少吨？ （3）本次砂糖桔从某县到甲地的运输单独安排A型车或B型车，应该选用哪种车型使得总费用较少？较少的总费用是多少元？ 54．（2024秋•龙岗区期末）综合与实践 素材1 基本住房户型图如图．（备注：单位：m．户型的平面图可分割成若干个长方形．） 素材2 主卧和次卧的面积一共是35m2，且主卧的面积是次卧的2倍少10m2． 素材3 户主现准备铺设地面，其中主卧、次卧和书房铺设木地板，其他区域铺设地砖． 素材4 按市场价格，木地板单价为500元/m2，地砖单价为400元/m2，装修公司有甲，乙两种活动方案，如下表： 活动方案 木地板价格 地砖价格 总安装费 甲 8折 8.5折 3000元 乙 9折 9折 免收 问题解决 任务1 表示 ①请用含a，b的代数式直接表示CD的长为 　 　 ； ②请用含a，b的代数式表示住房的总面积．（要求过程且结果保留最简形式） 任务2 求解 请分别求出主卧和次卧的面积（要求列方程解决问题）． 任务3 比较 选择哪种活动方案，铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低？请通过计算进行说明． 55．（2025秋•成都校级期中）师大一中一年一度的“与青春同行，为祖国喝彩”歌咏比赛排练已经拉开序幕．1班在成都实体店购买表演服装，在活动期间店家对顾客实行如下优惠，规定如下： 消费金额a元 优惠办法 0≤a≤1000 不予优惠 1000＜a≤2000 高于1000元且不高于2000元的部分八折优惠 a＞2000 不高于1000元的部分不予优惠 高于1000元且不高于2000元的部分八折优惠 高于2000元的部分六折优惠 （1）若1班在实体店的消费金额是1500元，那么1班实际付款　 　 元；若1班在实体店付款1860元，那么1班在这家实体店消费金额是　 　 元； （2）若1班在该实体店消费金额为a元； 当1000＜a≤2000时，他实际付款　 　 元；（用含a的代数式表示并化简） 当a＞2000时，他实际付款　 　 元．（用含a的代数式表示并化简） （3）1班家委会又找到了一家淘宝店，该淘宝店家承诺无论消费金额是多少钱，都给予所有消费金额的七折优惠，最后1班在该淘宝店购买比在实体店购买优惠了320元．聪明的你知道这个班级购买服装的原价是多少吗？请计算说明． 56．（2025秋•广州校级期中）“顺风车”的理念是提倡环保，让大家共享资源．国庆期间，平台施行了如表优惠计费规则：（设乘车里程为a公里） 计费项目 起步费 里程费 高速路费 含起步里程3公里 3＜a≤10的部分 10＜a≤30的部分 30＜a≤50的部分 a＞50（超过3公里的部分一个价） 按照实际产生计入 费用 5元 1.2元/公里 1元/公里 0.8元/公里 0.9元/公里 （打车费由起步费、里程费、高速路费构成，如果没有高速路费，高速路费为0元） 如：小张乘坐“顺风车”15公里，总费用为：5+1.2×（10﹣3）+1×（15﹣10）＝18.4元． 小李乘坐“顺风车”83公里，高速路费为23元，总费用为：5+0.9×（83﹣3）+23＝100元． （1）若小黄乘坐“顺风车”的行车里程为a公里，高速路费为b元． ①当10＜a≤30时，小黄应付车费　 　 元；（用含a，b的式子表示并化简） ②当a＝20，b＝10时，小黄应付车费　 　 元． （2）甲和乙分别乘坐一辆“顺风车”到达不同的地方，若甲的里程比乙的里程少10公里，且甲、乙的里程均超过30公里，甲没有产生高速路费，乙产生了10元的高速路费，最终乙的打车费比甲多了16.7元，请问甲的乘车里程是多少公里？ 57．（2025秋•西湖区校级期中）为实现节能减排，同时考虑惠民利民，某地实施阶梯电价．电价分为第一档、第二档和第三档三个标准．具体执行标准如表： 用电标准 阶梯电价 第一档用电量 不超过200千瓦时 0.5元/千瓦时 第二档用电量 超过200千瓦时且不超过400千瓦时 0.6元/千瓦时 第三档用电量 超过400千瓦时 0.8元/千瓦时 （1）某用户某月用电量为200千瓦时，需支付电费是　 　 （元）； （2）某用户某月用电量为a千瓦时（200＜a＜400）用a的代数式表示需支付的电费； （3）某用户某月份支付电费268元，求该用户的用电量． 58．（2024秋•秀山县期末）某商场经销A、B两种商品，A种商品每件进价40元，售价50元；B种商品每件售价80元，利润率为60%． （1）每件A种商品利润率为　 　 ，每件B种商品进价为　 　 ； （2）若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2300元，则该商场购进A种商品多少件？ （3）在“元旦”期间，该商场对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 不优惠 超过500元，但不超过800元 按总售价打九折 超过800元 其中800元部分打八折优惠，超过800元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款675元，求小华此次购物打折前的总金额． 59．（2025秋•花山区校级期中）综合应用：某商场计划购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件进价70元，售价110元． （1）若全部售出后获利3600元，求甲、乙两种商品分别有多少件？ （2）在第（1）题结论的条件下，该商场开展让利促销活动，若甲种商品每件售价60元，要使得这100件商品利润率为20%，乙种商品每件售价多少元？（商品销售总价＝商品总进价×（1+利润率） 60．（2025秋•万州区校级期中）十一过后随着天气逐渐变冷．空气净化器使用率增高．已知某超市经销A，B两种品牌的空气净化器，每个进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． （1）该店销售记录显示，10月份A，B两种品牌的空气净化器共售出20个，且销售A，B两种品牌的空气净化器的利润相同．该店10月份A，B两种品牌的空气净化器各售出多少个？ （2）根据实际需求，超市11月份计划购进这两种空气净化器共80个，其中A品牌m个．“双十一”商店为了促销，决定A品牌九五折销售，B品牌降价a元销售，若全部售出所获得的利润与m无关，则a的值应该为多少？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $