专题08 真题百练通关（常考+压轴，期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材青岛版

专题08 真题百练通关 题型1-27常考类 题型28-33压轴类 题型1 利用全等三角形性质求值 题型18 角平分线的性质 题型2 添加条件证明全等 题型19 三线合一 题型3 尺规作图 题型20 等边三角形的性质 题型4分式值为0的条件 题型21 含30的直角三角形 题型5 分式有意义的条件 题型22 平方根和立方根 题型6 分式求值 题型23 实数的估值 题型7 分式值为整数求字母的值 题型24 不等式的性质 题型8 约分 题型25 解不等式 题型9 分式的乘除 题型26 坐标的平移问题 题型10 通分 题型27 坐标的轴对称问题 题型11 分式方程增根和无解 题型28 全等三角形相关综合问题 题型12 分式和比 题型29 动点问题 题型13 轴对称图形 题型30 最值问题 题型14 轴对称和光的反射 题型31 不等式与分式方程综合含参问题 题型15 折叠问题 题型32 不等式组应用题方案类 题型16 最短路径 题型33 几何证明压轴题 题型17 垂直平分线的性质 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用全等三角形性质求值（共3小题） 1．如图，，点在上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质． 由全等三角形的性质，可得，，可得，由三角形外角的性质，等量代换，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图，，若，，则的长度为（　　） A．9 B．6 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：C． 3．如图，已知，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形对应边相等． 根据全等三角形对应边相等即可得解． 【详解】解：，，， ，， ． 故选：． 题型二 添加条件证明全等（共3小题） 4．如图，在和中，已知，则添加以下条件，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．根据三角形全等的判定方法逐项进行判断即可． 【详解】A.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意； B.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意； C.由可得和都是直角三角形，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意； D.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故选项符合题意． 故选：D． 5．如图，已知，要使，不能添加的条件是（   ） A．平分 B．平分 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，全等三角形的判定方法有：、、、、，注意：用判定全等时，角必须是两边的夹角，、不能判定全等；熟练掌握并灵活运用适当的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理逐一判定即可得答案． 【详解】解：A．添加平分，则，利用不能使，故该选项符合题意， B．添加平分，则，利用能使，故该选项不符合题意， C．添加，利用能使，故该选项不符合题意， D．添加，利用能使，故该选项不符合题意． 故选：A． 6．如图，已知点，，，在同一条直线上，，，要使，需添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．根据全等三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A．添加，则，结合，，可根据证明，故符合题意； B．添加，则，结合，，根据无法证明，故不符合题意； C．添加，结合，，根据无法证明，故不符合题意； D．添加，结合，，根据无法证明，故不符合题意； 故选：A． 题型三 尺规作图（共3小题） 7．如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交前弧于点，画射线，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了基本作图知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．根据作图过程可知这是作一个角等于已知角，即可得出结果． 【详解】解：根据作图过程可知：这是作一个角等于已知角， ∴， ∴． 故答案为：． 8．如图，，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于，以为圆心，以为半径画弧，交前弧于点，过作射线，则 【答案】/140度 【分析】本题考查的知识点是尺规作等角的方法及角的和差运算；通过尺规作图得，再利用已知角的度数，结合角的和差关系求出所求角的度数． 【详解】解：由尺规作图可知，(以为圆心画弧，再以为圆心、长为半径画弧得到点，这种作图方法是作角平分线的方法)， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图，在直角中，，，，．按以下步骤作图：以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点；连接交与点；则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂线的基本作图，与三角形的高有关的计算． 根据基本作图，可得，利用三角形的面积计算即可． 【详解】解：根据题意，得， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 题型四 分式值为0的条件（共3小题） 10．当 时，分式的值为0． 【答案】8 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0，则分子为0且分母不为0，是解题的关键．根据分式的值为0的条件，进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：且， 故答案为：8． 11．若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．根据分式的值为0的条件，分子等于0且分母不等于0． 【详解】解：分式的值为0，则分子， 解得或． 当时，分母，分式无意义； 当时，分母，满足条件． 故答案为：． 12．当的值为 时，分式的值为零． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴分子，解得， 且分母，即 ． 当 时，分母，满足条件． 故答案为：2． 题型五 分式有意义的条件（共3小题） 13．写出一个使分式有意义的的值，可以是 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分式的分母不能为零是解题的关键． 先根据分式有意义的条件确定x的取值范围，进而完成解答． 【详解】解：要使分式有意义，则分母，解得， 所以的值可以是 2（答案不唯一）． 故答案为：2（答案不唯一）． 14．若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，即分母不能为零． 根据分式有意义的条件，即分母不能为零，即可解答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 15．若分式有意义，则x应满足的条件是 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，由此求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型六 分式求值（共3小题） 16．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了完全平方公式，分式的求值，由已知方程变形得到的值，再利用完全平方公式即可得解． 【详解】解：由题意知， ， ， ，即． ， ， 故答案为：6． 17．已知且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值．由变形得到，然后代入所求代数式，化简后得到1． 【详解】解：由，两边同乘（），得： ∴ 故答案为：1． 18．已知，的值是 ． 【答案】2049 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据已知条件式可知，，则可求出，进而推出；把所求式子变形为，进一步变形可得，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：2049． 题型七 分式值为整数求字母的值（共3小题） 19．若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查分式的值为整数时求字母的取值．先对分式进行变形，然后根据分式值为整数的条件来确定m的取值． 【详解】解：∵， ∴是3的因数， ∵分式的值为正整数， ∴或， ∴或， ∵时，原分式无意义，舍去， ∴， 故答案为：0． 20．若表示一个整数，则整数可取值的个数是 个． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式得值求参数，根据表示一个整数，则是的约数，即可求解． 【详解】解：因为表示一个整数， ∴是的因数， 故的值为，，，，，，，， ∴，，，，，，，，共个． 故答案为：． 21．若整数m使为正整数，则m的值为 ． 【答案】0，1，2，5 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值，要使为正整数，则应是6的正因数，得到，2，3，6，从而解得m的值，熟练掌握分式的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵为正整数， ∴是6的正因数， 即，2，3，6． 解得，1，2，5， 故答案为：0，1，2，5． 题型八 约分（共3小题） 22．约分： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分． 通过对分子和分母进行因式分解，然后约去公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 23．约分： ． 【答案】 【分析】本题考查了约分，由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．分子、分母的公因式是，通过约分进行化简． 【详解】解：． 故答案为：． 24．约分： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的约分，根据分式的基本性质进行约分即可． 【详解】解：； 故答案为： 题型九 分式的乘除（共3小题） 25．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除及化简．将除法运算转化为乘法运算，对分子和分母进行因式分解后约分． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 26．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．先把除法化为乘法，再根据分式的乘法法则计算． 【详解】解：原式 ． 27．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除，分式的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据分式的运算法则，先算乘方，再算乘除即可解答． 【详解】解： ． 题型十 通分（共3小题） 28．若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了通分，需掌握最简公分母的求法：取各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积．通分的关键是确定最简公分母，分式和的公分母为 ，据此计算即可． 【详解】解：∵最简公分母为：， ∴分式的分子和分母需同乘， ∴分子变为． 故选：A． 29．在计算通分时，分母确定为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将分母因式分解，进而确定公分母即可． 【详解】， 计算通分时，分母确定为． 故选B 【点睛】本题考查了找最简公分母，先将分母因式分解是解题的关键． 30．将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分，确定最简公分母是解题的关键．将分母分解因式后，找到各分母的最简公分母作为公分母，再将各分式化为该公分母的形式即可． 【详解】解：分式的最简公分母为， ∴需要把的分子、分母同时乘以， 故答案为：． 题型十一 分式方程增根和无解（共3小题） 31．若关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解分式方程的增根，根据增根的含义可得，再进一步求解即可. 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， ∴， 故答案为：． 32．若关于的分式方程有增根，则增根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的增根，分式方程的增根是使原分式方程中分母为零的未知数的值，因此令分母，即可求得增根． 【详解】解：∵关于的分式方程有增根， ∴令分母， 解得． 故增根为． 故答案为：． 33．若关于的分式方程无解，则的值是 ． 【答案】 2 【分析】此题考查已知分式方程的解求参数，分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解；二是解出的根使原方程的分母为零（增根），本题需通过化整式方程并讨论增根情况求解 【详解】原方程为 ， 两边同乘 ，得：， 即 ， 若方程无解，则需 为增根，即 ，解得 ； 当 时，原方程化为 ，即 ，矛盾，方程无解， 综上， 时方程无解， 故答案为 2 题型十二 分式和比（共3小题） 34．若3是和6的比例中项，则的值为 【答案】 【分析】本题主要考查了比例中项的定义，若数a是数b和数c的比例中项，那么，据此列出方程并求解即可． 【详解】解：∵3是和6的比例中项， ∴，即， 解得， 故答案为：． 35．已知线段，若线段是线段和的比例中项，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了成比例线段，根据比例中项的定义，线段是线段和的比例中项，则，代入数值计算即可． 【详解】解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∴（线段长度取正值）． 故答案为：4． 36．若，则 ∶ ，如果，则 ． 【答案】 4 5 【分析】本题考查比例的基本性质，掌握相关知识是解决问题的关键．将等式转化为比例式时，根据比例的基本性质，即比例的两个外项的乘积等于两个内项的乘积，确定x与y的比；当已知y的值时，代入等式求解x． 【详解】解：由比例的基本性质，等式可化为比例式， 当时，代入等式得： ， ， ， ． 故答案为：4，5，． 题型十三 轴对称图形（共3小题） 37．下列运动项目图片中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 38．下列图形为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐一判断即可． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意； D．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 39．下列图案中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 题型十四 轴对称和光的反射（共3小题） 40．如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，其反射光线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质的应用，根据入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角即可得到答案．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 设小正方形的边长为个单位长度， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角． 故选：B． 41．如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔所处的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为（两束光线关于过点且垂直于的直线对称），且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，反射角等于入射角，由题意得，，然后通过三角形内角和定理即可求解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵，, ∴， ∴， 故选：． 42．光线照射到平面镜上时会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线(垂直于平面镜的直线叫法线)的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，且，在上有一点，从点射出一束光线(入射光线)，经平面镜点处反射后，反射光线刚好与平行，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，解答本题的关键是作出辅助线，在直角三角形中解决问题．过点作交于点．根据题意知，是的角平分线，故；然后又由两直线推知内错角；最后由三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】解：从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，如图，过点作交于点． 入射角等于反射角， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， 故选：B． 题型十五 折叠问题（共3小题） 43．如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，连接交于F，再将三角形沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是角的运算及角平分线的定义，正确掌握折叠的性质是解决此题的关键． 根据折叠的性质可得，由角平分线的定义可得，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案． 【详解】解：由折叠可知，， ∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 44．如图的三角形纸片中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质与三角形周长计算，运用折叠全等思想，关键是利用折叠后对应边相等转化线段，易错点是折叠后线段对应关系混淆；思路是根据折叠性质得、，将的周长转化为，代入边长计算． 【详解】解：沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为， ∵，，， ∴，， （）， 的周长（）， 故选：B． 45．如图，在中，，，，将点与点分别沿和折叠，使点与点重合，则的周长为（　　） A．12 B．13 C．16 D．17 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，根据折叠可得，进而可得的周长等于的长，即可求解． 【详解】解：∵点与点分别沿和折叠，使点与点重合， ∴， ∴的周长为． 故选：A． 题型十六 最短路径（共3小题） 46．如图，直线是一条河，点是两个村庄．欲在直线上的某处修建一个水泵站，向C，D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于． 根据两点之间，线段最短，可知选项铺设的管道，所需管道最短． 故选：D． 47．如图，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．要使牧民所走的路径最短，这个饮马的地点是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称 - 最短路径问题，其理论依据是两点之间线段最短以及轴对称的性质．解题关键在于利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点，把求折线的最短长度问题转化为求线段的长度问题，即运用“化折为直”的思想也是“将军饮马”模型的典型运用．作出点关于直线的对称点．连接，与直线交点即是所求饮马点． 【详解】 作出点关于直线的对称点（在图中可通过网格的对称性直观地确定) 的位置）．此时直线上的点到点，点距离都相等，将同侧折线段，转化为异侧折线段（折线中间点为动点），连接，可以发现与直线相交于点（通过观察网格中线段的位置关系得出）．此时最短路劲为（两点之间线段最短）． 所以，要使牧民所走的路径最短，这个饮马的地点是点， 答案为：B． 48．如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上架一座桥，若河岸平行，与河岸垂直，要想使路径最短，下面有四种设计方案，你认为最合适的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，两点之间线段最短的应用，解题的关键是掌握两点之间线段最短． 根据平行线的性质得出内错角相等，证明，得出，然后根据两点之间线段最短进行求解即可． 【详解】解：选项D符合题意，利用如下： 如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，且为定值，此时，值最小， 即此时路径最短， 故选：D． 题型十七 垂直平分线的性质（共3小题） 49．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，则的周长是（   ） A．16 B．19 C．23 D．29 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由垂直平分线的性质可知，，，再根据的周长，得到，即可得解． 【详解】解：是的垂直平分线，， ，， 的周长为13， ， 的周长， 故选：B． 50．如图，中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键是熟练应用知识点解题； 由垂直平分线可得，则周长可求． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于点、， ∴ ∵， ∴的周长为：． 故选：C ． 51．如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，若分别为线段上的动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．10 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、垂线段最短、三角形的面积等知识点，掌握相关性质定理是解题的关键． 如图：过点A作交于一点，再连接，得，则的最小值为，再运用三角形的面积公式列式求得的长即可． 【详解】解：如图：过点A作交于一点，再连接， ∵的垂直平分线分别交于点， ∴， ∵分别为线段上的动点， ∴的最小值为， ∵， ∴，即，解得：， ∴的最小值为10． 故选C． 题型十八 角平分线的性质（共3小题） 52．如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点作、、的垂线，垂足分别为、、，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作、、的垂线，垂足分别为、、， 、、是的三条角平分线， ， ，的面积为， ， ， 的面积 ， 故选：D 53．如图，在中，，平分交于点D，若，则点D到的距离为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，点到直线的距离，作于，由角平分线的性质定理可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ∵在中，，平分，， ∴， ∴点D到的距离为， 故选：B． 54．如图，在中，平分，交于点，于，，则长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的性质，掌握角平分线性质是解题的关键． 由平分，且，根据角平分线的性质，可得． 【详解】解：在中，平分，且， ． 故选：C． 题型十九 三线合一（共3小题） 55．如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角和三线合一定理，根据等边对等角可判断A，根据三线合一定理可判断B、D，根据现有条件无法推出C中的结论，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴； ∵是中点， ∴，平分， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中只有C选项中的结论不一定成立， 故选：C． 56．如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，已知的面积为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，过点作于，由等腰三角形的性质得，进而由角平分线的性质得到，再根据三角形的面积求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵是等腰底边上的中线， ∴， 又∵平分， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，是底边， ∴， 故选：． 57．如图，在中，，，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一性质是解决问题的关键．根据等腰三角三线合一的性质即可得到，进而可得的长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：A． 题型二十 等边三角形的性质（共3小题） 58．如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、轴对称的性质及线段最短问题，熟练掌握等边三角形的对称性与线段最短模型的应用是解题的关键． 利用等边三角形的对称性，将转化为与相关的线段，结合“两点之间线段最短”确定取最小值的位置，再通过等边三角形的性质推导的度数． 【详解】解：由题意可知，当点、、共线，且时，取得最小值， 过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 59．已知等边中，，，若点在线段上运动，当的值最小时，的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质是解题的关键．根据题意易得，则，过点P作于点E，进而可得，当取最小时，即最小，则有当点B、P、E三点共线时最小，进而可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 过点P作于点E，如图所示：则， ∴， ∴当取最小时，即为最小， ∴当点B、P、E三点共线时最小，此时，如图所示： ∴， ∴，， ∵， ∴； 故选：C． 60．如图，为等边三角形，，、相交于点，于，，．则的长是（   ） A．6 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．证明，可得，，结合三角形外角的性质可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 题型二十一 含30度的直角三角形（共3小题） 61．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则等于（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等边对等角，含的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线的性质可得到，可求得，再根据直角三角形的性质可求得，可得答案． 【详解】解：∵为线段垂直平分线， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故选：C． 62．如图，在中，，点为边的中点，于，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．先根据等边三角形的判定和性质得出，再根据直角三角形中两锐角互余得出，根据角的直角三角形性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， 故． 故选：C． 63．如图，在中，，点D为上一点，连接，过点D作于点E；若，则（   ） A．12 B．10 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定及含角的直角三角形的性质，解题的关键是由判定BD为角平分线，结合角的性质计算边长． 由及垂直条件得平分；结合、得，在中求；再由得，进而求． 【详解】解：∵ ，，， ∴平分， ∵ 在中，，， ∴ ，则， 在中，， ∴ ， ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 题型二十二 平方根和立方根（共3小题） 64．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根和算术平方根．根据平方根和算术平方根的定义逐一判断即可得． 【详解】解：A、，此选项错误，不符合题意； B、，此选项错误，不符合题意； C、，此选项正确，符合题意； D、无意义，此选项错误，不符合题意； 故选：C． 65．下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．1是1的平方根 D．1的平方根是1 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是明确负数没有平方根，一个正数的平方根有两个且互为相反数． 【详解】解：A、负数没有平方根，无平方根，此选项不符合题意； B、，的平方根是，此选项不符合题意； C、，故是的平方根，此选项符合题意； D、的平方根是，此选项不符合题意． 故选：C． 66．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根和立方根的定义及性质，根据算术平方根的定义、立方根的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，本选项错误，不合题意； B、，本选项错误，不合题意； C、，本选项正确，符合题意， D、，本选项错误，不合题意； 故选：C． 题型二十三 实数的估值（共3小题） 67．估计的值应在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查数的估值，二次根式的化简．根据题意可知，再给估值，继而得到本题答案． 【详解】解:∵ ∵， ∴， ∴， ∴是介于和之间的数， ∴是介于和之间的数， 故选：B． 68．如图，估计的值所对应的点可能落在（   ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】C 【分析】首先估算的范围，进而得到答案． 【详解】解：∵9＜10＜16， ∴3＜＜4， ∴的值所对应的点可能落在点C处， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，解题的关键是明确估算无理数大小要用逼近法． 69．如图，估计的值所对应的点可能落在（     ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算、无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先利用乘法分配律化简，然后再估算无理数的大小即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∵由点的位置可得：D点符合． 故选：D． 题型二十四 不等式的性质（共3小题） 70．若，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐项分析，可得答案． 【详解】解：A、两边都加2，不等式成立，正确，故A不符合题意； B、两边都减2，不等式成立，正确，故B不符合题意； C、两边都乘以，不等号的方向改变，不等式成立，正确，故C不符合题意； D、两边都除以，不等号的方向改变，选项的不等式不成立，故D符合题意； 故选：D． 71．若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，故选项不成立，不符合题意； B．若，则，故选项不成立，不符合题意； C．若，则，故选项成立，符合题意； D．若，则，故选项不成立，不符合题意． 故选：C． 72．若，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．根据不等式的性质，逐一判断选项即可得． 【详解】解：A、不等式两边同时减去3，不等号方向不改变，即，选项说法正确，符合题意； B、不等式两边同时加3，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意； C、不等式两边同时乘，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意； D、当，时，满足，此时，，，故选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 题型二十五 解不等式（共3小题） 73．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法进行求解是解决本题的关键． 先解一元一次不等式，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可得出答案． 【详解】解：解不等式， 解得． 所以不等式的解集在数轴上表示为： 故选：C． 74．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式、将不等式的解集表示在数轴上，先求出一元一次不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 解得：， 将解集表示在数轴上如图所示： 故选：B． 75．不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元一次不等式及在数轴上表示不等式解集的能力，先移项合并同类项，再将不等式系数化为1求得其解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可判断答案． 【详解】解： ， 解集在数轴上表示如下： 故选C 题型二十六 坐标的平移问题（共3小题） 76．将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中的平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．根据平移时点的坐标变化规律，表示出点的坐标，再根据点的横坐标和纵坐标相等建立关于的方程即可解决问题． 【详解】解：将点向右平移个单位长度到达点， ， 点的横坐标和纵坐标相等， ，解得． 故选：D ． 77．把平面直角坐标系上一点向上平移个单位，这时它恰好在轴的正半轴上，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点坐标平移的规律，坐标轴上的点坐标特征．解题的关键是掌握：点坐标平移的规律：左减右加，上加下减；轴上的点的纵坐标为零． 【详解】解：∵将点向上平移个单位后的点的坐标为， 此时它恰好在轴的正半轴上， ∴， ∴． 故选：D． 78．在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，坐标与图形变化—平移，判断点所在的象限，根据“上加下减，左减右加”的平移规律求出的坐标，再结合，即可得到答案． 【详解】解：∵将点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴， ∴点， ∵， ∴点在第三象限， 故选：C 题型二十七 坐标的轴对称问题（共3小题） 79．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，掌握 “关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数” 这一性质是解题的关键．根据关于轴对称的点的坐标特点，横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】∵点关于轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴点关于轴的对称点的坐标为． 故选：A． 80．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于轴、轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律． 根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】解：点关于轴的对称点坐标为． 故选：D． 81．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标的对称，利用关于轴的对称点的坐标特点可得答案，解题的关键是熟知关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为， 故选：． 题型二十八 全等三角形相关综合问题（共3小题） 82．如图，在中，P，Q分别是上的点，作，垂足分别为R，S，若，则以下四个结论：①平分；②；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据已知条件利用证明，再利用全等三角形的性质可得，，从而可证①②正确；根据已知条件可知与只有一角和一边对应相等，故不能证明两三角形全等，故③错误． 【详解】解：在和中， ， ， ，， 平分， 故①②正确； 在和中， 只有两个条件， 与不一定全等， 故③错误， 综上所述，正确的有①②，共2个， 故选：C． 83．如图，在中，，，分别为边，上的点，平分，于点，为的中点，延长交于点，则下列结论：①线段是的高；②与面积相等；③；④．其中正确的结论有． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．①根据于点及三角形高的定义可对结论①进行判断；②根据点为的中点得，再根据的边上的高与的边上的高相同，则可对结论②进行判断；③先证明，再根据平分得，则，然后根据于点得，则，由此可对结论③进行判断；④根据平分得，根据于点得，由此可依据“”判定和全等，则，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①于点， 线段为的高， 故结论①不正确； ②点为的中点， ， 的边上的高与的边上的高相同， 与面积相等， 故结论②正确； ③，， ， 平分， ， ， 于点， ， ， 故结论③正确； ④平分， ， 于点， ， 在和中， ， ， ， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是②③④，共3个． 故选：D． 84．如图，点 D，E 在上，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论的个数为（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 由证明，再根据全等三角形的性质判断即可． 【详解】解：， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故①②正确，对于③，现有条件不足以证明，故错误， ∴正确的有2个， 故选：C． 题型二十九 动点问题（共3小题） 85．已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，和全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．分和两种情况，证明和全等，进而可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知， 分两种情况讨论， ①当时，如图， ∵， ∴， 由题意得，解得（秒）； ②当时，如图， ∵， ∴， 由题意得，解得（秒）． 综上所述，当的值为1或7秒时，和全等． 故答案为：或． 86．如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当 秒时，与全等． 【答案】2或或12 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论的数学思想以及全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图1，分点Q在上，点P在上， 由题意得，，， ∵，， ，， ∵，， ， ， ， 当时，则， ∴，解得：． ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，，， ∵，， ，， 当，则， ，解得：． ③如图3，当Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ，， ， ∴， 当，则，即，解得：． 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 故答案为：2或或12． 87．如图，在中，，，，在中，，，，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．根据题意画出图形，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，，， ∴， 假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则， ， ； 若， 则， ， ； 当时，即点在上， 若， 则， ， ； 若， 则， ， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述，点的运动速度为：或或， 故答案为：或或． 题型三十 最值问题（共3小题） 88．在中，，，，点在线段上从点向点移动，同时，点在线段上由点向点移动，当点与点重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余等知识，先证为直角三角形，则，作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，然后证明，所以，，根据等面积法求得，由勾股定理得，则有，所以，证明，所以，故有，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，则， 作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，， 则，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点，点运动速度相同， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，当点在上时，取等号， ∴的最小值为， 故答案为：． 89．如图，中，，，，若D是边上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，两点间线段最短，解直角三角形，作辅助线是解题的关键． 过点作，过点作交于，并延长至，且，连接，先计算，再得到为等边三角形，结合，，最后求得最小值即可． 【详解】过点作，过点作交于，并延长至，且，连接， ，，， ，， 又且， ，， ，， ，则为等边三角形， ， 又，当时取得最小值， 此时，， ， 所以的最小值是6． 90．如图，已知和是两个全等的等边三角形，点是内部一点，连接、，点为直线上一动点，连接、，将沿直线翻折得到，连接，，若，，当的长度为最小时，则线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】依据题意，可证得，从而得出点在上，从而当时，最小，从而得出，，取的中点，连接，，作于，可得出，从而得出当点在上时，即可求出得解． 【详解】解：由题意，如图所示，取的中点，连接，，作于，   和是等边三角形， ． ， 由折叠知，，． 四边形是菱形， ， ． ， 点在上， 当时，最小， ， ． ，． ， ． ， ． ， 当点在上时， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 题型三十一 不等式与分式方程综合含参问题（共3小题） 91．若整数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的整数有 （写出所有符合条件的a）． 【答案】，，， 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，根据分式方程的解为非负数结合不等式组的解集为，找出的取值范围是解题的关键．先求解分式方程，得到解用 表示，根据解为非负数且分母不为零，得到 且 ；再解不等式组，第一个不等式解为 ，第二个不等式解为 ，根据解集为 ，得到 ；综合可得整数 为，，，． 【详解】解：分式方程 可化为 ，即 ， 两边乘 （），得 ， 解得 ， 又解为非负数，故 ，即 ， 且 ，故 ，即 ． 在不等式组中， 第一个不等式去分母得，，化简得 ； 第二个不等式解得 ，， 解集为 ， ． 综上，整数 满足 且 ，即 ． 故答案为：，，，． 92．若不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，分式方程的求解及正整数解的应用．首先解不等式组，根据解集确定a的取值范围为，然后解分式方程，得到，要求y为正整数且，结合a的取值范围，得到满足条件的整数a为3 和5，求和即可． 【详解】解：解不等式组 ， 由得， ①当时，第二不等式解为，解集为，需，解得，故， ②当时，第二不等式为，恒成立，解集为， ③当时，解集不能为， 因此a的取值范围为， 解分式方程，化简得，解得， 要求y为正整数，故且为整数，即，结合，需为正整数且， 代入a值验证： ，，非整数； ，，正整数； ，，非整数； ，，正整数； ，，非整数； ，，为增根， ∴满足条件的整数a为3和5，和为8． 故答案为：8． 93．若关于x的分式方程的解为正整数，且关于y的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的所有整数a的和是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了分式方程，不等式组，整数解的分析及代数运算与逻辑推理．首先解分式方程，得到解为正整数的整数a值，注意排除使分母为零的情况；再解不等式组，根据有且仅有4个整数解的条件确定a的取值范围；最后取交集得到满足条件的整数a，并求它们的和． 【详解】解：分式方程，去分母得，整理得， 当 时方程无解，故，解得， 解为正整数且，则为正整数且（即）， 8的正因数为1、2、4、8，对应 ，得， 排除， 故， 不等式组， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组解集为，有且仅有4个整数解， 则整数解为0、1、2、3， 故， 解得， ∴整数a为， 取交集，满足条件的整数a为， 和为． 故答案为：4． 题型三十二 不等式组应用题方案类（共3小题） 94．发奋识遍天下字，立志读尽人间书．年4月日是第个“世界读书日”，某校为提高学生的阅读种类，进一步建设书香校园，准备购买A，B两种图书，若购买3本A种图书比2本B种图书多元；购买2本A种图书和5本B种图书共需元． (1)求这两种图书的单价； (2)现决定购买A，B两种图书共本，若购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过元．请问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A种图书的单价是元，B种图书的单价是元； (2)共有2种购买方案，方案1：购买本A种图书，本B种图书；方案2：购买本A种图书，本B种图书． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A种图书的单价是x元，B种图书的单价是y元，根据“购买3本A种图书比2本B种图书多元；购买2本A种图书和5本B种图书共需元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m本A种图书，则购买本B种图书，根据“购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设A种图书的单价是x元，B种图书的单价是y元， 根据题意得： 解得： 答：A种图书的单价是元，B种图书的单价是元； （2）解：设购买m本A种图书，则购买本B种图书， 根据题意得： 解得： ， 又为正整数， 可以为或， 共有2种购买方案， 方案1：购买本A种图书，本B种图书； 方案2：购买本A种图书，本B种图书． 95．重庆豌杂面以其劲道的面条、软糯的豌豆和香浓的杂酱，成为重庆小吃中极具代表性的美食．某超市计划试销两种包装规格的预包装重庆豌杂面（简装版、精装版），已知精装版豌杂面每箱售价比简装版贵45元，购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元． (1)求精装版和简装版豌杂面每箱的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每箱进价为165元，简装版豌杂面每箱进价为135元，超市计划购进两种包装共28箱，且进货总资金不超过4020元，同时要求试销总利润不低于790元． ①求超市可行的进货方案有哪些？ ②哪种进货方案能让超市获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)精装版豌杂面每箱的售价是205元，简装版豌杂面每箱的售价是160元 (2)①超市共有3种进货方案， 方案1：购进6箱精装版豌杂面，22箱简装版豌杂面； 方案2：购进7箱精装版豌杂面，21箱简装版豌杂面； 方案3：购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面． ②当购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面时，超市获得最大利润，最大利润是820元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设精装版豌杂面每箱的售价是元，则简装版豌杂面每箱的售价是元，利用总价＝单价×数量，结合购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即精装版豌杂面每箱的售价），再将其代入中，即可求出简装版豌杂面每箱的售价； （2）①设购进箱精装版豌杂面，则购进箱简装版豌杂面，根据“进货总资金不超过4020元，且试销总利润不低于790元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案； ②求出选择各方案超市可获得的总利润，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设精装版豌杂面每箱的售价是元，则简装版豌杂面每箱的售价是元， 根据题意得：，解得， 则． 答：精装版豌杂面每箱的售价是205元，简装版豌杂面每箱的售价是160元． （2）①设购进箱精装版豌杂面，则购进箱简装版豌杂面， 根据题意得：， 解得：． 又为正整数， 可以为6，7，8． ∴超市共有3种进货方案． 方案1：购进6箱精装版豌杂面，22箱简装版豌杂面； 方案2：购进7箱精装版豌杂面，21箱简装版豌杂面； 方案3：购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面． ②选择方案1获得的总利润为：（元）； 选择方案2获得的总利润为：（元）； 选择方案3获得的总利润为（元）； ， ∴当购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面时，超市获得最大利润，最大利润是820元． 96．为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元． (1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？ (2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？ (3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？ 【答案】(1)改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元 (2)要改造的小学有12所 (3)四种改造方案∶方案一∶改造2所中学，8所小学；方案二∶改造3所中学，7所小学；方案三∶改造4所中学，6所小学；方案四∶改造5所中学，5所小学 【分析】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元，列出方程组进行求解即可； （2）设要改造的小学有m所，根据要改造的乡镇中学不超过8所，列出不等式进行求解即可； （3）设改造中学a所，则改造小学所，由今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据题意，得，解得， 答∶改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元． （2）设要改造的小学有m所，根据题意，得， 解得． ∵m为正整数，且在范围内，使为整数的值只有， ∴． 答∶要改造的小学有12所． （3）设改造中学a所，则改造小学所，根据题意， 得，解得． ∵a取整数， ∴a的值为2，3，4，5． ∴对应的值分别为8，7，6，5， ∴有以下四种改造方案∶ 方案一∶改造2所中学，8所小学； 方案二∶改造3所中学，7所小学； 方案三∶改造4所中学，6所小学； 方案四∶改造5所中学，5所小学． 【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键． 题型三十三 几何证明压轴题（共3小题） 97．已知是等边三角形，点是的中点，，两边分别交直线、于点、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当的两边分别交线段、延长线于点、时，作垂直于，求证： (3)如图3，当的两边分别交线段、延长线于点、时，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）取的中点，连接，可得是等边三角形，进而证明，即可得证； （2）取的中点，连接，同理可得，则，即可得证； （3）取的中点，连接，得出，设，则，，，得出，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，取的中点，连接， 同（1）可得是等边三角形， ∵ ∴ 同理可得， ∴， ∴ ∴ （3）解：如图，取的中点，连接， 同理可得， ∴， ∵，， 设，则，，， ∴ ∴ 解得： ∴ 98．已知：在中，，点D在的延长线上，交的延长线于点E． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，作的高，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点B作于点G，交于点H，连接，若，，求三角形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)20 【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线的性质和等腰三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的内角和解答即可； （3）过点G作交于M，得出，作于N，证明，再根据全等三角形的性质求出，，解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：设， ∵平分， ∴，， ∵是的高． ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，过点G作交于M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， 作于N， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积． 99．如图，在中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线，相交于，连接，当取得最大值时，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据角平分线的性质证得，进而证得，根据全等三角形的性质证得，进而证得，； （2）在上截取，连接，则，证得，是等边三角形，进而证得； （3）根据、证得、，进而证得，当、、三点共线时，，取得最大值， 延长、交于点，证得，进而证得． 【详解】（1）解：平分 、 、 ； （2）证明：如图， 由（1）知、 在上截取，连接，则， 、、 、 、 ； （3）解：的值为，理由如下： 、 、 、 、 当、、三点共线时，，取得最大值 延长、交于点， 、 、、 ． 1．如图，中，，，为的中点，，且，与相交于点，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点E作于F，先证明得到，，进而证明得到，再根据线段之间的关系即可得到答案． 【详解】解；如图所示，过点E作于F， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴． 故选：B 2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式化简求值．由已知条件可得，即．将所求表达式的分子和分母分别用表示，并代入化简． 【详解】解：∵， ∴，即 ， 所求表达式为 ， 分子：， 分母：， ∴， 故选：A． 3．如图，在等边中，，，是的中点，是上的一点，则的最小值是 ； 【答案】6 【分析】本题考查等边三角形的性质，中垂线的性质，根据三线合一，得到垂直平分，进而得到，得到，等积法得到，即可得出结果． 【详解】解：∵等边，， ∴垂直平分，， ∵是上的一点， ∴， ∴， 当B、M、E三点共线时，最小， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是6； 故答案为：6． 4．如图，在中，，是边的中点，点在的延长线上，连接，，当，时，则的长为 ． 【答案】 【分析】作交的延长线于点，由，，推导出，由，是边的中点，，得，，则，所以，，可证明，得，，求得，由勾股定理得，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点，如图所示： 则， ， ， ， ，即， ，是边的中点，，， ，， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ，且， ， 解得， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查直角三角形两锐角互余、等腰三角形的“三线合一”、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 6．解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 【答案】数轴见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解以及数轴表示不等式的解集，解题的关键是正确求得每个不等式的解集． 先求得每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小取不到”，确定不等式的解集，最后用数轴表示即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 在数轴表示如图所示： ， 则不等式组的解集为． 7．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元 (2)共有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩；方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； (3) 【分析】（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要1万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据“该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案； （3）分别求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积，结合“在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择”，即可确定a的取值范围． 【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据题意得： ， 解得：； 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意得： ， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为20，21，22，23， ∴共有4种建造方案， 方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； 方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩； 方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩； 方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； （3）解：选择方案1时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案2时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案3时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案4时新建充电桩的总占地面积为． ∵在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择， ∴． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积． 8．如图，在和中，，，，的延长线交于点． (1)若，请求出的度数； (2)过点作于点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）证明，得，即得，进而得到，再根据补角性质即可求解； （）连接，过点作于点，由得，，得到，再证明，得到，进而可证，得到，即得到，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，补角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，连接，过点作于点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． $专题08 真题百练通关 题型1-27常考类 题型28-33压轴类 题型1 利用全等三角形性质求值 题型18 角平分线的性质 题型2 添加条件证明全等 题型19 三线合一 题型3 尺规作图 题型20 等边三角形的性质 题型4分式值为0的条件 题型21 含30的直角三角形 题型5 分式有意义的条件 题型22 平方根和立方根 题型6 分式求值 题型23 实数的估值 题型7 分式值为整数求字母的值 题型24 不等式的性质 题型8 约分 题型25 解不等式 题型9 分式的乘除 题型26 坐标的平移问题 题型10 通分 题型27 坐标的轴对称问题 题型11 分式方程增根和无解 题型28 全等三角形相关综合问题 题型12 分式和比 题型29 动点问题 题型13 轴对称图形 题型30 最值问题 题型14 轴对称和光的反射 题型31 不等式与分式方程综合含参问题 题型15 折叠问题 题型32 不等式组应用题方案类 题型16 最短路径 题型33 几何证明压轴题 题型17 垂直平分线的性质 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用全等三角形性质求值（共3小题） 1．如图，，点在上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，若，，则的长度为（　　） A．9 B．6 C．3 D．2 3．如图，已知，点，，在同一条直线上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型二 添加条件证明全等（共3小题） 4．如图，在和中，已知，则添加以下条件，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知，要使，不能添加的条件是（   ） A．平分 B．平分 C． D． 6．如图，已知点，，，在同一条直线上，，，要使，需添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 题型三 尺规作图（共3小题） 7．如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交前弧于点，画射线，若，则的度数为 ． 8．如图，，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于，以为圆心，以为半径画弧，交前弧于点，过作射线，则 9．如图，在直角中，，，，．按以下步骤作图：以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点；连接交与点；则 ． 题型四 分式值为0的条件（共3小题） 10．当 时，分式的值为0． 11．若分式的值为0，则x的值为 ． 12．当的值为 时，分式的值为零． 题型五 分式有意义的条件（共3小题） 13．写出一个使分式有意义的的值，可以是 ． 14．若分式有意义，则x的取值范围是 ． 15．若分式有意义，则x应满足的条件是 题型六 分式求值（共3小题） 16．若，则 ． 17．已知且，则 ． 18．已知，的值是 ． 题型七 分式值为整数求字母的值（共3小题） 19．若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是 ． 20．若表示一个整数，则整数可取值的个数是 个． 21．若整数m使为正整数，则m的值为 ． 题型八 约分（共3小题） 22．约分： ． 23．约分： ． 24．约分： ． 题型九 分式的乘除（共3小题） 25．化简： ． 26．计算： ． 27．计算： ． 题型十 通分（共3小题） 28．若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 29．在计算通分时，分母确定为（    ） A． B． C． D． 30．将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以 ． 题型十一 分式方程增根和无解（共3小题） 31．若关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为 ． 32．若关于的分式方程有增根，则增根是 ． 33．若关于的分式方程无解，则的值是 ． 题型十二 分式和比（共3小题） 34．若3是和6的比例中项，则的值为 35．已知线段，若线段是线段和的比例中项，则线段的长为 ． 36．若，则 ∶ ，如果，则 ． 题型十三 轴对称图形（共3小题） 37．下列运动项目图片中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 38．下列图形为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 39．下列图案中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型十四 轴对称和光的反射（共3小题） 40．如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，其反射光线为（   ） A． B． C． D． 41．如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔所处的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为（两束光线关于过点且垂直于的直线对称），且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 42．光线照射到平面镜上时会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线(垂直于平面镜的直线叫法线)的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，且，在上有一点，从点射出一束光线(入射光线)，经平面镜点处反射后，反射光线刚好与平行，则的度数为(　　) A． B． C． D． 题型十五 折叠问题（共3小题） 43．如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，连接交于F，再将三角形沿折叠后，点E落在点G处，若刚好平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 44．如图的三角形纸片中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为则的周长为（ ） A． B． C． D． 45．如图，在中，，，，将点与点分别沿和折叠，使点与点重合，则的周长为（　　） A．12 B．13 C．16 D．17 题型十六 最短路径（共3小题） 46．如图，直线是一条河，点是两个村庄．欲在直线上的某处修建一个水泵站，向C，D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　） A． B． C． D． 47．如图，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．要使牧民所走的路径最短，这个饮马的地点是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 48．如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上架一座桥，若河岸平行，与河岸垂直，要想使路径最短，下面有四种设计方案，你认为最合适的是（    ） A． B． C． D． 题型十七 垂直平分线的性质（共3小题） 49．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，则的周长是（   ） A．16 B．19 C．23 D．29 50．如图，中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，则的周长是（   ） A． B． C． D． 51．如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，若分别为线段上的动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C．10 D．7 题型十八 角平分线的性质（共3小题） 52．如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 53．如图，在中，，平分交于点D，若，则点D到的距离为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 54．如图，在中，平分，交于点，于，，则长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十九 三线合一（共3小题） 55．如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．平分 56．如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，已知的面积为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 57．如图，在中，，，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 题型二十 等边三角形的性质（共3小题） 58．如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A． B． C． D． 59．已知等边中，，，若点在线段上运动，当的值最小时，的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 60．如图，为等边三角形，，、相交于点，于，，．则的长是（   ） A．6 B．7 C． D． 题型二十一 含30度的直角三角形（共3小题） 61．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则等于（   ） A．10 B．12 C．16 D．18 62．如图，在中，，点为边的中点，于，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 63．如图，在中，，点D为上一点，连接，过点D作于点E；若，则（   ） A．12 B．10 C．9 D．6 题型二十二 平方根和立方根（共3小题） 64．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 65．下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．1是1的平方根 D．1的平方根是1 66．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二十三 实数的估值（共3小题） 67．估计的值应在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 68．如图，估计的值所对应的点可能落在（   ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 69．如图，估计的值所对应的点可能落在（     ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 题型二十四 不等式的性质（共3小题） 70．若，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 71．若，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 72．若，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型二十五 解不等式（共3小题） 73．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 74．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 75．不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二十六 坐标的平移问题（共3小题） 76．将点向右平移个单位长度到达点，若点的横坐标和纵坐标相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 77．把平面直角坐标系上一点向上平移个单位，这时它恰好在轴的正半轴上，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 78．在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型二十七 坐标的轴对称问题（共3小题） 79．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（　　） A． B． C． D． 80．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（    ）． A． B． C． D． 81．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型二十八 全等三角形相关综合问题（共3小题） 82．如图，在中，P，Q分别是上的点，作，垂足分别为R，S，若，则以下四个结论：①平分；②；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 83．如图，在中，，，分别为边，上的点，平分，于点，为的中点，延长交于点，则下列结论：①线段是的高；②与面积相等；③；④．其中正确的结论有． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 84．如图，点 D，E 在上，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论的个数为（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二十九 动点问题（共3小题） 85．已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，和全等． 86．如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当 秒时，与全等． 87．如图，在中，，，，在中，，，，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为 ． 题型三十 最值问题（共3小题） 88．在中，，，，点在线段上从点向点移动，同时，点在线段上由点向点移动，当点与点重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接，，则的最小值为 ． 89．如图，中，，，，若D是边上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 90．如图，已知和是两个全等的等边三角形，点是内部一点，连接、，点为直线上一动点，连接、，将沿直线翻折得到，连接，，若，，当的长度为最小时，则线段的最小值为 ．    题型三十一 不等式与分式方程综合含参问题（共3小题） 91．若整数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的整数有 （写出所有符合条件的a）． 92．若不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 93．若关于x的分式方程的解为正整数，且关于y的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的所有整数a的和是 ． 题型三十二 不等式组应用题方案类（共3小题） 94．发奋识遍天下字，立志读尽人间书．年4月日是第个“世界读书日”，某校为提高学生的阅读种类，进一步建设书香校园，准备购买A，B两种图书，若购买3本A种图书比2本B种图书多元；购买2本A种图书和5本B种图书共需元． (1)求这两种图书的单价； (2)现决定购买A，B两种图书共本，若购买A种图书的数量不少于所购买B种图书数量的一半，且购买两种图书的总价不超过元．请问有哪几种购买方案？ 95．重庆豌杂面以其劲道的面条、软糯的豌豆和香浓的杂酱，成为重庆小吃中极具代表性的美食．某超市计划试销两种包装规格的预包装重庆豌杂面（简装版、精装版），已知精装版豌杂面每箱售价比简装版贵45元，购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元． (1)求精装版和简装版豌杂面每箱的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每箱进价为165元，简装版豌杂面每箱进价为135元，超市计划购进两种包装共28箱，且进货总资金不超过4020元，同时要求试销总利润不低于790元． ①求超市可行的进货方案有哪些？ ②哪种进货方案能让超市获得最大利润？最大利润是多少元？ 96．为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元． (1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？ (2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？ (3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？ 题型三十三 几何证明压轴题（共3小题） 97．已知是等边三角形，点是的中点，，两边分别交直线、于点、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当的两边分别交线段、延长线于点、时，作垂直于，求证： (3)如图3，当的两边分别交线段、延长线于点、时，，，求线段的长． 98．已知：在中，，点D在的延长线上，交的延长线于点E． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，作的高，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点B作于点G，交于点H，连接，若，，求三角形的面积． 99．如图，在中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线，相交于，连接，当取得最大值时，请直接写出此时的值． 1．如图，中，，，为的中点，，且，与相交于点，则的值为（   ） A． B． C． D．1 2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在等边中，，，是的中点，是上的一点，则的最小值是 ； 4．如图，在中，，是边的中点，点在的延长线上，连接，，当，时，则的长为 ． 5．先化简，再求值：，其中． 6．解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 7．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 8．如图，在和中，，，，的延长线交于点． (1)若，请求出的度数； (2)过点作于点，求证：． $