22.2 配方法 课件 2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

第22章　一元二次方程 22.2　一元二次方程的解法 第2课时　配 方 法 1.掌握用配方法解一元二次方程；（重点） 2.能根据一元二次方程的特征，灵活选择解法. (难点) 学习目标 读诗词解题： (通过列方程，算出周瑜去世时的年龄) 大江东去浪淘尽，千古风流数人物. 而立之年督东吴，早逝英年两位数. 十位恰小个位三，个位平方与寿符. 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 解：设个位数字为x，十位数字为x-3 x2-11x+30=0 x2=10(x-3)+x 导入新课 思考 这种方程怎样解？ 变形为 的形式．（a为非负常数） 变形为 x2－4x＋1＝0 （x－2）2=3 用配方法解一元二次方程 讲授新课 像这种先对原一元二次方程配方,使它出现完全平方式后, 再用直接开平方法求解的方法叫做配方法. (1)x2＋8x＋ =(x＋4)2 (2)x2－4x＋ =(x－ )2 (3)x2－___x＋ 9 =(x－ )2 配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方. 16 6 3 4 2 探究归纳 用配方法解一元二次方程的步骤: 移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解. 用配方法解一元二次方程的步骤: 移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解. 一、 选择题 1. 用配方法解方程 x 2－4 x ＝5时，需要在方程两边同时加上（　B　） A. 2 B. 4 C. 8 D. －4 2. （赤峰中考）用配方法解方程 x 2－4 x －1＝0，下列配方正确的是 （　C　） A. （ x ＋2）2＝3 B. （ x ＋2）2＝17 C. （ x －2）2＝5 D. （ x －2）2＝17 B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 用配方法解一元二次方程2 x 2－3 x －1＝0时，配方正确的是（　A　） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 4. 一元二次方程 x 2＋ x －1＝0的根为（　B　） A. x 1＝ x 2＝ B. x 1＝ ， x 2＝ C. x ＝ D. x ＝ A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. ☆若某个三角形的两边长分别为7、4，第三边的长为方程 x 2－10 x ＋9 ＝0的解，则这个三角形的周长为（　D　） A. 13 B. 13或20 C. 12 D. 20 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空题 6. 填空： （1） x 2＋10 x ＋ ＝（ x ＋ ）2； （2） x 2－14 x ＋ ＝（ x － ）2； （3） x 2－ x ＋ 　 　＝（ x － 　 　）2； （4） x 2＋ bx ＋ 　 　＝（ x ＋ 　 　）2. 25　 5　 49　 7　 　 　 　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 若一元二次方程 x 2－4096576＝0的两个根分别为 x 1＝2024， x 2＝－ 2024，则一元二次方程 t 2－2 t －4096575＝0的解为 ⁠ ⁠. 8. ☆已知代数式 x 2－2 x ＋6可以利用完全平方公式变形为（ x －1）2＋ 5，进而可知 x 2－2 x ＋6的最小值是5.依此方法，代数式 y 2＋ y －4的 最小值是 ⁠. 9. ★对任意的两实数 a 、 b ，用min（ a ， b ）表示其中较小的数，如min （2，－4）＝－4，则方程 x ·min（2，2 x －1）＝ x ＋1的解是 ⁠ ⁠. t 1＝2025， t 2＝ －2023　 －4 　 x ＝ 或 x ＝ 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、 解答题 10. 用配方法解方程： （1） x 2－4 x －2＝0； 解： x 1＝ ＋2， x 2＝－ ＋2 （2） x 2－ x －2＝0； 解： x 1＝ ， x 2＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3） 2 x 2＋7 x －4＝0； 解： x 1＝ ， x 2＝－4 （4） 3（ x －1）（ x ＋2）＝ x ＋4. 解： x 1＝－ ， x 2＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 下面是小聪用配方法解方程2 x 2＋4 x －1＝0的过程，仔细阅 读后，解决问题. 解：移项，得2 x 2＋4 x ＝1①. 二次项系数化为1，得 x 2＋2 x ＝ ②. 配方，得 x 2＋2 x ＋1＝ ，即（ x ＋1）2＝ ③. 由此，可得 x ＋1＝± ④. ∴ x 1＝－1＋ ， x 2＝－1－ ⑤. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 整个解答过程 （填“正确”或“不正确”）.若不正确， 则从第 步开始出现错误，错误的原因是 ⁠ .请用这种方法写出正确的解答过程. 解：移项，得2 x 2＋4 x ＝1.二次项系数化为1，得 x 2＋2 x ＝ .配方， 得 x 2＋2 x ＋1＝ ＋1，即（ x ＋1）2＝ .由此，可得 x ＋1＝± . ∴ x 1＝－1＋ ， x 2＝－1－ 不正确　 ③　 方程右边没有加上 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 先阅读材料，再解决问题： 例题：若 m 2＋2 mn ＋2 n 2－6 n ＋9＝0，求 m 和 n 的值. 解：∵ m 2＋2 mn ＋2 n 2－6 n ＋9＝0， ∴ m 2＋2 mn ＋ n 2＋ n 2－6 n ＋9＝0. ∴ （ m ＋ n ）2＋（ n －3）2＝0. ∴ m ＋ n ＝0， n －3＝0. ∴ m ＝－3， n ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （1） 若 x 2＋2 y 2－2 xy ＋4 y ＋4＝0，求 x 2＋ y 2的值； 解：（1） ∵ x 2＋2 y 2－2 xy ＋4 y ＋4＝0，∴ x 2－2 xy ＋ y 2＋ y 2＋4 y ＋4＝0.∴ （ x － y ）2＋（ y ＋2）2＝0.∴ x － y ＝0， y ＋ 2＝0.∴ x ＝－2， y ＝－2.∴ x 2＋ y 2＝（－2）2＋（－2）2＝4 ＋4＝8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 已知等腰三角形 ABC 的三边长为 a 、 b 、 c ，其中 a 、 b 满足 a 2＋ b 2＋45＝12 a ＋6 b ，求△ ABC 的周长. 解：（2） ∵ a 2＋ b 2＋45＝12 a ＋6 b ，∴ （ a －6）2＋（ b － 3）2＝0.∴ a －6＝0， b －3＝0.∴ a ＝6， b ＝3.∵ △ ABC 是等 腰三角形，∴ 当 c ＝ a ＝6时，△ ABC 的周长＝6＋6＋3＝ 15；当 c ＝ b ＝3时，3＋3＝6，不能构成三角形，舍去.∴ △ ABC 的周长为15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $