22.2.3 公 式 法 课件　2025-2026学年华东师大版（2012）数学九年级上册　

该初中数学课件聚焦“公式法解一元二次方程”，系统梳理公式法步骤、判别式应用及与直接开平方法等解法的联系。通过归纳总结公式法万能性，以“化一般式—定a,b,c—算判别式—判断解”为解题支架，衔接典例剖析，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于多解法对比（如一题四解）和实际应用（三角形问题），结合推理能力与应用意识，换元法培养创新意识。表格总结解法选择顺序，助力学生用数学语言表达逻辑，学生能提升解题策略，教师可高效教学。

● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ● 方法技巧点拨 22.2.3 公 式 法 目 录 ■考点一 用公式法解一元二次方程 22.2.3 公 式 法 1.公式法 求根 公式 当Δ≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根为 ,这个式子叫做一元二次方程的求根公式 考点清单解读 返回目录 续表 22.2.3 公 式 法 公式法 解一个具体的一元二次方程时,把各系数直接代入求根公式得出解，这种解一元二次方程的方法叫做公式法 前提 ①a≠0;②Δ=b2-4ac≥0 补充 b2-4ac>0时, b2-4ac=0时,x1=x2=- 考点清单解读 返回目录 22.2.3 公 式 法 2.公式法解一元二次方程的步骤: 考点清单解读 返回目录 22.2.3 公 式 法 归纳总结 公式法是解一元二次方程的万能方法,适合所有的一元二次方程,但在用公式法前必须先把方程化为一般形式. 考点清单解读 返回目录 22.2.3 公 式 法 典例1 用公式法解下列方程: (1)2x2-5x+4=0; (2)x(x-2)-3x2=-1. 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 22.2.3 公 式 法 ［解题思路］ 考点清单解读 返回目录 22.2.3 公 式 法 ［答案］解:(1)∵a=2,b=-5,c=4,Δ=b2-4ac=(-5)2-4×2×4=-7<0,∴原方程无实数根; (2)x(x-2)-3x2=-1,x2-2x-3x2=-1 ,2x2+2x-1=0,a=2,b=2,c=-1,∴Δ=b2-4ac=22-4×2×(-1)=12>0, =,解得x1=,x2= 考点清单解读 返回目录 ■考点二 选择适当的方法解一元二次方程 22.2.3 公 式 法 方法 依据 适用范围 关键步骤 直接开平方法 平方根的意义 (ax+b)2=p(a≠0且 p≥0) 开方 因式分解法 若a·b=0,则 a=0或b=0 一边为0,一边能因式分解 因式分解 考点清单解读 返回目录 22.2.3 公 式 法 续表 方法 依据 适用范围 关键步骤 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 配方 公式法 配方法 所有一元二次方程 确定a,b,c,判 断Δ,代入求根公式 考点清单解读 返回目录 22.2.3 公 式 法 归纳总结 解一元二次方程要根据方程特点，合理变形,选择适当的方法,方法选择的一般顺序:直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法.特殊方法十字相乘法(因式分解法的一种): 考点清单解读 返回目录 22.2.3 公 式 法 典例2 选择适当的方法解一元二次方程. (1)25(x-2)2=49; (2)x2-2x-2=0; (3)4x2-5x-7=0; (4)(x-)2=5(-x). 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 22.2.3 公 式 法 ［答案］解:(1)(x-2)2=,x-2=,∴x1= (2)x2-2x=2,x2-2x+1 =3, (x-1)2=3,x-1=，x1=1+ ,x2=1- ; (3)=(-5)2-44(-7)=137,,x1= ,x2= (4)(x-)2+5(x-)=0,(x-)(x-+5)=0,x- =0或x-+5=0,x1= ,x2=-5. 考点清单解读 返回目录 ■题型一 用多种方法解一元二次方程 22.2.3 公 式 法 例 1 多种方法解方程:(x-2)2=(2x+5)2. 重难题型突破 返回目录 22.2.3 公 式 法 ［答案］解:解法一(直接开平方法):开平方,得x-2=±(2x+5),即x-2=2x+5,或x-2=-2x-5,x1=-7,x2=-1. 解法二(因式分解法1):移项,得(x-2)2-(2x+5)2=0,即得(x-2-2x-5)(x-2+2x+5)=0,即(-x-7)(3x+3)=0,x1=-7,x2=-1.(因式分解法2):原方程可变形为x2+8x+7=0,应用十字相乘法分解因式.(x+1)(x+7)=0,x1=-7,x2=-1. 重难题型突破 返回目录 22.2.3 公 式 法 解法三(公式法):原方程可变形x2+8x+7=0,a=1,b=8,c=7,Δ=b2-4ac=82-4×1×7=36>0, x= = ,x1=-7,x2=-1. 解法四(配方法):原方程可变形为x2+8x+7=0,移项,得x2+8x=-7,x2+8x+16=-7+16,(x+4)2=9,x+4=3,x1=-7,x2=-1. 重难题型突破 返回目录 22.2.3 公 式 法 变式衍生1 解下列方程: (1)x2-6x+5=0; (2)2x2+4x-3=0. 解：x1=1,x2=5 解：x1=-1+, x2=-1- . 重难题型突破 返回目录 22.2.3 公 式 法 解题通法 若方程能写成 A2=B2 的形式，就可用直接开平方法求解，若方程的一边为 0，另一边能分解成两个一次因式的乘积，就可用因式分解法来解.例题中的解法三和解法四是先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再选用公式法和配方法来解. 重难题型突破 返回目录 22.2.3 公 式 法 ■题型二 通过解方程解决与三角形有关的问题 例 2 若△ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0的两个实数根,第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时,求△ABC的周长. 重难题型突破 返回目录 22.2.3 公 式 法 ［答案］解：∵△ABC 的两边 AB，AC 的长是关于 x 的一元二次方程的两个实数根，原方程可通过配方法变形为 2= ＞0，∴AB≠AC，又 ∵△ABC 是等腰三角形，且 BC=5，∴x=5 是方程 x2-（2k+1）x+k2+k=0 的实数根，当 x=5 时，原方程为 25-5（2k+1）+k2+k=0，即 k2-9k+20=0，（k-4）（k-5）=0，解得 k1=4，k2=5．当 k=4 时，原方程为 x2-9x+20=0，（x-4）（x-5）=0，∴x1=4，x2=5．∵4，5，5 能围成等腰三角形，∴ 周长为 14； 重难题型突破 返回目录 22.2.3 公 式 法 当 k=5 时，原方程为 x2-11x+30=0，（x-5）（x-6）=0，解得 x1=5，x2=6．∵5，5，6 能围成等腰三角形，∴ 周长为 16.综上所述，△ABC 的周长为 14 或16． 重难题型突破 返回目录 22.2.3 公 式 法 变式衍生2 三角形两边的长分别为2和5,第三边的长是方程x2-8x+15=0的根,则该三角形的周长为____________. 12 重难题型突破 返回目录 22.2.3 公 式 法 思路点拨 结合等腰三角形的性质，可得出 x=5 是方程 x2-（2k+1）x+k2+k=0 的实数根，将其代入原方程可求出 k 值，进而求出x 的值，从而得出 AB，AC 的长，再利用三角形的周长计算公式，即可求出结论． 重难题型突破 返回目录 22.2.3 公 式 法 ■方法:换元法解复杂方程 解题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现. 方法技巧点拨 返回目录 22.2.3 公 式 法 例 换元法是一种非常有趣的解题方法解方程(x-1)2-5(x-1)+4=0.解 :设x-1=y,则原方程可化为y2-5y+4=0.解得y1=1,y2=4.当y=1时，即x-1=1 ,解得x=2;当y=4时,即x-1=4,解得x=5.所以原方程的解为x1=2,x2=5.上述解法称为“整体换元法”.请运用“整体换元法”解方程:(2x-5)2-2(2x- 5)-3=0. 方法技巧点拨 返回目录 22.2.3 公 式 法 ［解析］ ［答案］解:设2x-5=y,则原方程可化为y2-2y-3=0,∴(y-3)(y+1)=0,解得y1=3,y2=-1.当y=3时,即2x-5=3,解得x=4;当y=-1时,即2x-5=-1,解得x=2.所以原方程的解为x1=2,x2=4. 方法技巧点拨 返回目录 $