专题12 等腰（等边）三角形中重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型（几何模型讲义）数学沪科版2024八年级上册

该初中数学单元复习讲义聚焦等腰直角三角形核心模型，通过“模型来源-真题呈现-条件结论-证明应用”的框架图系统梳理知识体系，将等直内接等直、等直+高分线模型的条件、结论及内在联系可视化，突出几何直观与空间观念的培养。 讲义亮点在于“模型变式+分层练习”设计，如等直内接等直模型中条件与结论互换的推理训练，结合真题例题与综合练习题，培养推理意识与创新意识。基础题巩固模型应用，综合题提升动态探究能力，助力教师实施分层教学，学生自主构建解题思路。

专题12 等腰（等边）三角形中重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型 等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比”、“45°辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！ 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.等直内接等直模型 5 模型2.等直+高分线模型 10 15 等直内接等直模型主要来源于初中几何教学体系，是等腰直角三角形衍生的重要模型，近年来，一些教育工作者根据几何结构将其命名为等直内接等直模型。该模型通过在等腰直角三角形斜边中点构造新顶点形成嵌套结构，利用中点对称性与直角特性，形成多组线段相等、面积比例关系及特殊角度关系。该模型与“等直角+角分模型”结合后，可扩展至动态旋转问题的快速解题路径，是培养学生几何思维的重要工具。 ‌ （24-25八年级上·河南新乡·期末）如图所示，在中，，是边上的中线，点E是边上一动点（不与A、B重合），连结，过点P作的垂线交于点F，连结．有下列四个结论：①； ②是等腰直角三角形； ③； ④．其中一定正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：∵在中，，是边上的中线， ∴，，， ∴均为等腰直角三角形，，∴，故①正确； ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∴，故③正确； ∵，∴，当为的中位线时，满足，此时， ∵点E是边上一动点，∴无法确定是否为的中位线， ∴无法判断和的大小关系，故④错误；故选∶B （2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：延长，交于点H，连接， ∵为等腰直角三角形，D为中点，∴；∵平分，∴， 又∵，D为中点，∴，∴， ∴，∴，∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，∴， 又∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴，故B选项正确，不符合题意； ∵，，∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵为等腰直角三角形，D为中点，∴垂直平分，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，∴，故D选项正确，不符合题意；故选：C． 1）等直内接等直模型 条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。 结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④； ⑤；⑥。 （注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！） 证明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点是的中点 同理可得：， ，∵AB=AC，∴AE=FB； 又是直角，是等腰直角三角形，同理：易证是等腰直角三角形。 ∴AE+AF=FB+AF=AB，∴。 ，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴。 ∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴ 2）等直+高分线模型 条件：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点． 结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤． 证明：，，， ，，， ，，，， 在和中，，． 平分，， ∵，，，，， ，，，， ，，， ，是等腰三角形．，，， 平分，点到的距离等于点到的距离，， ∵，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。 模型1.等直内接等直模型 例1（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，点D为中点，直角绕点D旋转，，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得、，从而得到是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出，判断出②正确；根据，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得，判断出④错误． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为中点， ∴，，， ∴， ∵是直角， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故③正确； ∴、， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：C． 例2（25-26八年级上·新疆和田·阶段练习）如图，已知在中，，，的顶点是的中点，两边、分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时（点不与，重合），给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．上述结论中始终正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．寻找条件证明三角形全等是解题的关键； 观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断． 【详解】解：∵，，点P是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵ ∴是等腰直角三角形，，故②正确； ∵， ∴， ∴，③正确； ∵，， ∴， ∴，故④不正确． 综上，正确的有3个， 故选：B． 例3（24-25八年级下·广东·开学考试）如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，两边，分别交，于点E，F，过点F作于点H．现给出以下四个结论： ①；②是等腰直角三角形；③；④当时，，上述结论中始终正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，根据等腰直角三角形的性质得出，，，求出，证，推出，，推出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵，，P是中点， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 故①②正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 故选：A． 例4（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图，在等腰中，，，是边的中点，点、分别在、边上运动，且保持．连接．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③四边形的面积随的运动而变化；④面积的最小值为，其中正确的是（填序号） ． 【答案】①②④ 【分析】连接，作于点，由等腰直角三角形的性质得，则，可证明，得，可判断①正确；可求得，可判断②正确；因为，所以，可判断③错误；因为，所以，由得，则，所以的最小值是2，可判断④正确，从而确定答案． 【详解】解：连接，作于点，如图所示： ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确； ∴， ∴是等腰直角三角形， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积不随的运动而变化， 故③错误； ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是2， 故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积、四边形面积、垂线段最短、不等式性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 例5（2025八年级上·全国·专题练习）中，，，是的中点，． 求证：为等腰直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质；因为，，是的中点，，连接，可证明，则有，再用角与角之间的关系求得是直角，即可判断为等腰直角三角形． 【详解】证明：连接， 中，，， ． ∵是的中点， ∴， 又， ∴是的角平分线， ． ． ，． ，，， ． ，． ， ． 为等腰直角三角形． 模型2.等直+高分线模型 例1（24-25七年级下·山东东营·期末）已知：如图，中，点是边上一点，，，平分，且于，与相交于点，若于，交于点．有以下结论： ①；②；③若连接，则；④点是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是（   ） A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】证明，判断①，角平分线结合全等三角形的性质，判断②，连接，三线合一，全等三角形的性质，结合等边对等角，得到，判断③，中垂线的性质，结合斜边大于直角边，判断④，证明，得到垂直平分，判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∴；故②错误； 连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴垂直平分，， ∴，，故③正确； 在中，， ∴，故④错误； ∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴与成轴对称，故⑤正确； 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，成轴对称等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 例2（24-25八年级上·天津津南·期中）如图，中，于D，平分，且于点E，与相交于点F，于H，交于G，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据，可得，从而得到，故①符合题意；再由，可得，从而得到，故②符合题意；然后根据，可得，从而证得，可得到，故③符合题意；再由平分，可得，可得到，故④符合题意． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 例3（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，平分交于点D，延长到点E，使，连接交的延长线于点F．给出下面四个结论：①；②；③；④的面积是的面积的2倍；其中正确的结论有 （填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】证明，再，结合线段之间的关系，三角形面积公式，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，高的意义，线段之间的关系，三角形面积公式，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴； 故③正确，符合题意； 根据三角形面积公式得，只有时，的面积是的面积的2倍， 故④错误，不符合题意． 故答案为：①②③． 例4（24-25七年级下·福建三明·期末）如图，在中，于点E，于点F，交于点H，且平分于点D，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 根据等腰直角三角形的判定与性质可得，由此即可判断①正确；利用证出，得到，，由线段的和差关系可判断④；根据，结合，得到，推出是等腰三角形，再根据，即可得到，即可判断③；可证明，则可证明不全等，据此可判断②． 【详解】解：，， ∴是等腰直角三角形， ，结论①正确； ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∴，故④正确； 平分， ， ， ， ， ， ，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴不全等， ∴，故②错误； 故答案为：①③④． 例5（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，是的高，平分交于点，过点作，垂足为点，并交于点．若，则下列结论中： ①；②；③；④． 正确的是 （写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定．等腰三角形的性质和判定，谁教学大纲等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据，，得出，可判断①；根据证明，可判断②；根据全等三角形的性质得出，根据平分，得出，证出，即可得，可判断③；得出，即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴，①正确； ∵ ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵，，， ∴，②正确； ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，③正确； ∵， ， ∴， ∴，④错误． 故答案为：①②③． 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，已知，直角的顶点是的中点，两边分别交于点．给出以下四个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④，上述结论始终正确的有（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定定理与性质、三角形全等的判定定理与性质，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键． 连接，证明，得到，推出是等腰直角三角形，根据全等三角形的面积相等，结合三角形的中线平分面积，得到∴，判断即可． 【详解】解：如图，连接 ， 是等腰直角三角形 点是的中点 同理可得： ，故①正确 是等腰三角形 又是直角 是等腰直角三角形，故③正确 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴，故④正确； 假设②正确，由得，即 ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴两点重合，或两点重合，与题设不符，故②不正确 综上，正确的有①③④． 故选D 2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）如图，已知在中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F．以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，利用证明，得，，即可解决问题． 【详解】解：∵，，点P是的中点， ∴，,， ，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∴，故③正确； 没有条件得出，故④错误． 故选：A． 3．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，和均为等腰直角三角形，且，点在同一条线上，平分，连接．以下结论：①；②；③；④；⑤；正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定及性质、三角形面积等知识点，由 “”可证可得，可判断； 由等腰直角三角形的性质可得，，可判断，由线段和差关系可判断，由全等三角形的性质可求，可判断；由等底同高的两个三角形面积相等以及面积差可判断，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 【详解】 ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 根据已知条件不足以判定，故错误； ∵为等腰直角三角形，平分， ∴，故正确， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，故正确， ∵点在同一直线上,和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ，故正确； ∵， ∴， ∴ ∴，故正确； 综上可知：正确， 故选：． 4．（24-25八年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，已知中，，，直角的顶点P是中点，两边分别交于点E、F， ①； ②是等腰直角三角形； ③； ④当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），． 上述结论中始终正确的有 （　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定．观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断． 【详解】解：∵，，点P是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∴是等腰直角三角形，，故②正确； ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴，故④不成立． 始终正确的是①②③． 故选C． 5．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，，，O是的中点，点在上，点在上，且．则下列结论：①；②；③是等腰直角三角形；④四边形的面积等于的面积的一半．其中正确的有（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定、性质，全等三角形的判定和性质，根据等腰直角三角形的性质来判定①；证明，来判定②③④，即可． 【详解】解：∵，，O是的中点， ∴， ∴，①正确； ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ，， ∴，是等腰直角三角形，②③正确； ∵， ∴， ∴，④正确； 故选：D 6．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，的平分线交于点，过点作的延长线，交的延长线于点，连接．下列结论：①；②；③为等腰直角三角形；④，其中正确的个数为（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由等腰直角三角形的性质和角平分线的性质可求，故正确；进而可得，故正确；由“”可证，可得，，可证是等腰直角三角形，故正确；由等腰三角形的性质可得，故正确，即可求解；证明是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故正确； ∴， ∴， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，故正确； ∵，， ∴， ∴，故正确， ∴正确的个数为个， 故选：． 7．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，已知，，D是的中点，点E、F分别在边上运动（点E不与点A、C重合），且保持，连接在此运动变化的过程中，正确的结论的个数是（    ） ①是等腰直角三角形；②四边形的面积是定值；③；④面积的最小值为2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，连接，先由等腰直角三角形的性质得到，， ，进而证明，得到，，再证明，即可证明是等腰直角三角形，故①正确；由全等三角形的性质得到，则，即四边形的面积为定值，故②正确；证明，由，可得，故③正确；由，得到当时，有最小值， 即此时有最小值，利用等面积法求出 则，即面积的最小值为2，故④正确． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，，，D是的中点， ∴，， ， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为定值，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴当时，有最小值， 即此时有最小值， ∵，， ∴， ∴ ∴此时，即面积的最小值为2，故④正确； 故选D． 8．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，、分别是、边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C．为等腰直角三角形 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等角的余角相等、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，证明，推出，，证明，可得结论．一定要熟练掌握这些知识并能灵活应用． 【详解】解：∵、分别是、边上的高， ∴（垂直定义）， ∴（同角的余角相等）， ∴在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即． ∴是等腰直角三角形． 所以选项A，B，C正确， 故选：D． 9．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）如图，和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，根据证明得，求出，由为等腰直角三角形中边上的高可得． 【详解】解：∵， ∴, ∴, ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵为等腰直角三角形中边上的高， ∴． 故答案为：2． 10．（24-25八年级上·湖南常德·期末）如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边分别交于点，当在内绕点旋转时，下列结论错误的有 ．（填序号）；；为等腰直角三角形；． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，直角三角形斜边的中线等知识，根据全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，直角三角形斜边的中线逐一判断即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，不能证明，故错误，符合题意； 由可知， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 由可知， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，故正确； ∵， ∴，故正确； 综上可知：错误， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，和是两个等腰直角三角形，，，，的顶点E在边上移动，在移动过程中，线段与线段相交于点P，线段与线段相交于点Q，连接、．当E为中点时，若，，，则的长为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识． 在上截取，连接，证，得出，，再证，得出，即可得出答案． 熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明△CHE≌△APE是解题的关键． 【详解】解：在上截取，连接，如图， ∵，，E为中点， ∴，，则， ∴，， 在与中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：36． 12．（24-25七年级下·广东佛山·期中）综合探究 “特殊化”“转化”是两个重要的问题解决策略，请尝试运用这两个策略解决以下问题． 是等腰直角三角形，．点为边的中点，点、分别在边上，始终满足，且． (1)如图1，若点与点重合，则点与点重合，请直接猜测与的数量关系： ． (2)如图2，当点E、F不与边的端点重合时，与是否仍然保持第（1）问中的数量关系？请说明理由． (3)如图3，在 上截取，在延长线上截取，使，连接，当为何值时，有最小值？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)时，有最小值，理由见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可得到； （2）连接，如图，根据等腰直角三角形的性质得到，则，再利用等角的余角相等得到，则可证明，从而得到； （3）作 ，截取，可证，连接，与 交于点，当点与点重合时，有最小值，即有最小值，则，即，即可求证. 【详解】（1）解： ∵是等腰直角三角形，点为边的中点 ∴ ∵点与点重合，点与点重合 ∴ （2）解：连接， ， ，点为中点， ， ， ， （AAS）， ． （3）解：作 ，截取， ． ， ， （SAS）， ， ， 连接，与 交于点，当点与点重合时，有最小值，即有最小值． 此时，， （AAS）， ， 即， ， 当时，有最小值． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 13．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，的平分线交高于点E，交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④点E是的中点，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，同角的余角相等， 先根据同角的余角相等解答①；再根据“角角边”证明，解答②即可； 然后根据等边对等角及平行线的性质说明，可解答③；最后根据，说明④即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴；则①正确； ∵， ∴， ∴. ∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴；则②正确； ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴平分；则③正确； ∵， ∴. 在中，， ∴， 所以④不正确. 综上所述，正确的有①②③. 故选：C. 14．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，中，，于D，BE平分，且于点E，与CD相交于点F，于H，交BE于G，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据，可得，从而得到，故①符合题意；再由，可得，从而得到，故②符合题意；然后根据，可得，从而证得，可得到，故③符合题意；再由平分，可得，可得到，故④符合题意． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 15．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E．过点B作交的延长线于点F，连接，．现有如下结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】如果是角平分线，则，而，显然与已知矛盾，故错误． 易证是等腰直角三角形，故． 由，推出，由，推出，即． 由三线合一性质可得出是的垂直平分线，则，由，推出，推出，结合平行线的性质即可推出． 【详解】解：∵D为的中点，， ∴， 若平分，而 ， ∴， 又∵， ∴不可能平分，故①错误； ∵，，， ∴，， ∴， 是等腰直角三角形， ∴，故②正确． ，，， ， ， ， ， ，故③正确． ，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质、角平分线的定义与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 16．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，在中，，平分，于点，于点，与交于点，于点，且与交于点．则下面的结论：①；②；③．其中正确结论的序号有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形综合．熟练掌握等腰三角形判定和性质，线段垂直平分线的性质是解决本题的关键．根据，得到，根据，得到，即可判断①；根同角的余角相等可判断②，连接，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，进而得到，根据三角形外角性质得到，根据，推出，即得，即可判断③． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， ， ， 故本选项符合题意； ②， ， ， ， 故本选项符合题意； ③如图，连接， ，平分， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 故本选项符合题意； 故选：． 17．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，以下结论中：；；；是等腰三角形；；正确的有 （填序号）． 【答案】 【分析】由同角的余角相等，结合等角对等边可证，由角平分线的定义，结合已知可证，可得对应边相等，对应角相等，综合应用三角形的内角和定理，以及直角三角形的性质，对各结论进行分析判断即可． 【详解】解：∵于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴正确， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴正确， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴正确， ∵，是边的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴正确， 根据已知条件无法得出， ∴不正确， ∴正确的有． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，同角的余角相等，角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的内角和定理． 18．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，于点，平分交于点，交于点，过点作于点，交于点，下列结论：①；②；③；④若连接，则；⑤．其中正确的结论序号是 ． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理是解题的关键． 根据角平分线定义得到，根据余角的性质得到，等量代换得到，故①正确；连接，根据全等三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，故②错误；根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，故③正确；连接，得到四边形为菱形，则可得，故④正确；根据全等三角形的性质得到，推出，得到，即可解答．故⑤正确． 【详解】解：平分交于点， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； 如图，连接， ，，， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ，故②错误； 垂直平分， ， ， ， ，，， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，故③正确； 如图，连接， 根据线段垂直平分线的性质可得， ， ，， 平分， ， ，故④正确； ，， ， ，， ， ， ， ， ，即， ，， ， ，， ， ， ， ， ．故⑤正确； 综上所述：正确的是①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 19．（24-25七年级下·广东梅州·期末）如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，于点，交于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 根据等腰直角三角形的判定与性质可得，由此即可判断①正确；利用证出，由此即可判断②正确；根据，结合，得到，推出是等腰三角形，再根据，即可得到，即可判断③正确；由，即可判断④错误． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， ，结论①正确； ， ， ， ，， ， 在和中， ， ，结论②正确； 平分， ， 是等腰三角形， ， ，结论③正确； ， ，结论④错误； 综上，结论正确的是①②③， 故答案为：①②③． 20．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，，，点为中点，于点，其延长线交于点，交延长线于点，平分交于点，交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的有 ．（只填序号）    【答案】①②③④⑤⑥ 【分析】过点作交的延长线于，证明和得到即可判断①；由，得到即可判断②；根据三角形的面积得出即可判断③；根据同角的余角相等可得，从而得到，即可判断④；证明得到，即可判断⑤；根据三角形内角和定理找到角直角的关系即可判断⑥；从而得到答案． 【详解】解：①过点作交的延长线于，如图所示：   ，， ，，， ， 在和中， ， ， ，，， ∵点为的中点， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， 故结论①正确； ②， 又， ， 故结论②正确； ③∵点为的中点， 和等底同高， ， 又， ，即， ， ， ， 故结论③正确； ④，平分， ， ， ， ， ， 又， ， 故结论④正确； ⑤， ， 在和中， ， ， ， ， 故结论⑤正确； ⑥， ，即， ， 由结论①正确得：， ， ，即， 故结论⑥正确． 综上所述：正确的结论是①②③④⑤⑥， 故答案为：①②③④⑤⑥． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 等腰（等边）三角形中重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型 等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比”、“45°辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！ 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.等直内接等直模型 5 模型2.等直+高分线模型 10 15 等直内接等直模型主要来源于初中几何教学体系，是等腰直角三角形衍生的重要模型，近年来，一些教育工作者根据几何结构将其命名为等直内接等直模型。该模型通过在等腰直角三角形斜边中点构造新顶点形成嵌套结构，利用中点对称性与直角特性，形成多组线段相等、面积比例关系及特殊角度关系。该模型与“等直角+角分模型”结合后，可扩展至动态旋转问题的快速解题路径，是培养学生几何思维的重要工具。 ‌ （24-25八年级上·河南新乡·期末）如图所示，在中，，是边上的中线，点E是边上一动点（不与A、B重合），连结，过点P作的垂线交于点F，连结．有下列四个结论：①； ②是等腰直角三角形； ③； ④．其中一定正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 （2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 1）等直内接等直模型 条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。 结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④； ⑤；⑥。 （注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！） 证明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，点是的中点 同理可得：， ，∵AB=AC，∴AE=FB； 又是直角，是等腰直角三角形，同理：易证是等腰直角三角形。 ∴AE+AF=FB+AF=AB，∴。 ，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴。 ∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴ 2）等直+高分线模型 条件：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点． 结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤． 证明：，，， ，，， ，，，， 在和中，，． 平分，， ∵，，，，， ，，，， ，，， ，是等腰三角形．，，， 平分，点到的距离等于点到的距离，， ∵，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。 模型1.等直内接等直模型 例1（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，点D为中点，直角绕点D旋转，，分别与边，交于E，F两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（    ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 例2（25-26八年级上·新疆和田·阶段练习）如图，已知在中，，，的顶点是的中点，两边、分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时（点不与，重合），给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．上述结论中始终正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 例3（24-25八年级下·广东·开学考试）如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，两边，分别交，于点E，F，过点F作于点H．现给出以下四个结论： ①；②是等腰直角三角形；③；④当时，，上述结论中始终正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 例4（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图，在等腰中，，，是边的中点，点、分别在、边上运动，且保持．连接．下列结论：①；②是等腰直角三角形；③四边形的面积随的运动而变化；④面积的最小值为，其中正确的是（填序号） ． 例5（2025八年级上·全国·专题练习）中，，，是的中点，． 求证：为等腰直角三角形． 模型2.等直+高分线模型 例1（24-25七年级下·山东东营·期末）已知：如图，中，点是边上一点，，，平分，且于，与相交于点，若于，交于点．有以下结论： ①；②；③若连接，则；④点是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是（   ） A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 例2（24-25八年级上·天津津南·期中）如图，中，于D，平分，且于点E，与相交于点F，于H，交于G，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 例3（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，平分交于点D，延长到点E，使，连接交的延长线于点F．给出下面四个结论：①；②；③；④的面积是的面积的2倍；其中正确的结论有 （填写序号）． 例4（24-25七年级下·福建三明·期末）如图，在中，于点E，于点F，交于点H，且平分于点D，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 例5（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，是的高，平分交于点，过点作，垂足为点，并交于点．若，则下列结论中： ①；②；③；④． 正确的是 （写出所有正确结论的序号） 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）如图，已知，直角的顶点是的中点，两边分别交于点．给出以下四个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④，上述结论始终正确的有（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．①③④ 2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）如图，已知在中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F．以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，和均为等腰直角三角形，且，点在同一条线上，平分，连接．以下结论：①；②；③；④；⑤；正确的有（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，已知中，，，直角的顶点P是中点，两边分别交于点E、F， ①； ②是等腰直角三角形； ③； ④当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），． 上述结论中始终正确的有 （　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，，，O是的中点，点在上，点在上，且．则下列结论：①；②；③是等腰直角三角形；④四边形的面积等于的面积的一半．其中正确的有（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 6．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，的平分线交于点，过点作的延长线，交的延长线于点，连接．下列结论：①；②；③为等腰直角三角形；④，其中正确的个数为（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 7．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，已知，，D是的中点，点E、F分别在边上运动（点E不与点A、C重合），且保持，连接在此运动变化的过程中，正确的结论的个数是（    ） ①是等腰直角三角形；②四边形的面积是定值；③；④面积的最小值为2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，、分别是、边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C．为等腰直角三角形 D． 9．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）如图，和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则的长为 ． 10．（24-25八年级上·湖南常德·期末）如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边分别交于点，当在内绕点旋转时，下列结论错误的有 ．（填序号）；；为等腰直角三角形；． 11．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，和是两个等腰直角三角形，，，，的顶点E在边上移动，在移动过程中，线段与线段相交于点P，线段与线段相交于点Q，连接、．当E为中点时，若，，，则的长为 ． 12．（24-25七年级下·广东佛山·期中）综合探究 “特殊化”“转化”是两个重要的问题解决策略，请尝试运用这两个策略解决以下问题． 是等腰直角三角形，．点为边的中点，点、分别在边上，始终满足，且． (1)如图1，若点与点重合，则点与点重合，请直接猜测与的数量关系： ． (2)如图2，当点E、F不与边的端点重合时，与是否仍然保持第（1）问中的数量关系？请说明理由． (3)如图3，在 上截取，在延长线上截取，使，连接，当为何值时，有最小值？请说明理由． 13．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，的平分线交高于点E，交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④点E是的中点，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 14．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，中，，于D，BE平分，且于点E，与CD相交于点F，于H，交BE于G，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 15．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E．过点B作交的延长线于点F，连接，．现有如下结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 16．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，在中，，平分，于点，于点，与交于点，于点，且与交于点．则下面的结论：①；②；③．其中正确结论的序号有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 17．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，以下结论中：；；；是等腰三角形；；正确的有 （填序号）． 18．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，于点，平分交于点，交于点，过点作于点，交于点，下列结论：①；②；③；④若连接，则；⑤．其中正确的结论序号是 ． 19．（24-25七年级下·广东梅州·期末）如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，于点，交于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 ． 20．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，，，点为中点，于点，其延长线交于点，交延长线于点，平分交于点，交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的有 ．（只填序号）    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $