精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

高二数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面α的一个法向量为，点在平面α内，则点到平面α的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出在法向量方向的投影向量的长度即得． 【详解】由题意知，则，， 所以点P到平面α的距离， 故选：C． 2. 已知p:直线与直线平行，q:，则q是p的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行的条件求出命题，再根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】直线与直线平行， 则解得或， 所以p等价于或，而q:， 故q是p的充分不必要条件. 故选：A. 3. 圆与圆的公切线共有（ ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 【答案】C 【解析】 【分析】将圆方程化为标准式，确定圆心与半径，计算圆心距，通过圆心距与半径和、差的关系判断两圆位置，进而确定公切线数量. 【详解】将圆的方程化为标准式：配方得， 故圆心，半径； 圆的圆心，半径. 圆心距. 因，两圆相交，相交两圆的公切线有2条. 故选：C. 4. 在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型（如图），其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为50 cm，短轴长为48 cm，小椭圆的短轴长为16 cm，则小椭圆的长轴长为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】A 【解析】 【分析】易知大小椭圆的离心率相同，根据和离心率的定义计算即可求解. 【详解】由大椭圆和小椭圆的扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同. 大椭圆的长轴长为50 cm，短轴长为48 cm， 得焦距长为cm，故离心率e=； 所以小椭圆的离心率. 小椭圆的短轴长为16 cm，即cm，得, 由e=，解得 cm， 所以小椭圆的长轴长为cm. 故选：A 5. 如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设球心到底面的距离为，底面外接圆的半径为，球的半径为，首先通过计算出进而得到，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量公式即可求解. 【详解】因为直三棱柱的各顶点在同一球面上， 所以球心到底面的距离. 又因为，所以，所以， 所以底面外接圆的半径.又因为球的表面积为，所以球的半径， 而，所以，. 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设异面直线和所成的角为， 则. 故选：C 6. 已知双曲线C:的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线为，利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，由两条渐近线均与圆相切，得到圆心到直线的距离等于半径，从而得到双曲线C的离心率. 【详解】双曲线的渐近线为，即， 因为两条渐近线均与圆相切，所以点到直线的距离等于半径， 即，故双曲线C的离心率. 故选：C. 7. 过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】通过抛物线焦点弦长公式结合题设条件求出，利用抛物线定义将转化为点到准线的距离，进而求距离和的最小值. 【详解】抛物线方程为，根据抛物线的标准形式，其焦点为，准线方程为. 因与垂直，故存在且不为0，直线过焦点， 设直线的斜率为，方程为. 将直线方程代入抛物线方程，联立得： 设、，由韦达定理得： 因，，故： 因，故直线的斜率为，直线的方程为. 同理可得. 根据题设，将、代入得， 即，解得，故抛物线方程为， 此时焦点，准线方程为. 设点到准线的垂线段为（为垂足）， 则，因此， 表示点到准线的距离与到点的距离之和. 根据几何最短路径原理，当、、三点共线（且该直线垂直于准线）时，距离和最小. 此时的坐标为，则，即. 综上，的最小值为. 故选：B 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，由余弦定理得出与的关系，从而得出，然后由三角换元法设，，，求得，从而得出结论． 【详解】设P为第一象限的交点，，则， 解得，. 在中，由余弦定理得， 所以，即， 整理得，即，故， 设，，，又， 则， ，所以或， 时，舍去， 时满足题意，此时，所以. 故选：C． 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设直线l的方程为，其中，若直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则m的取值可以为（ ） A. 0 B. -3 C. 3 D. 2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线l的方程，分和两类讨论，分别求出直线l的横截距和纵截距，根据题意列出方程即可求解. 【详解】当时，直线l的方程为，纵截距为，无横截距，不满足题意； 当时，令，得；令，得， 此时直线l的纵截距为，横截距为. 由题意得，所以或， 解得或或. 故选：ABD. 10. 若双曲线C:的右焦点为F，且点在双曲线C上，则下列关于双曲线C的结论正确的是（ ） A. 双曲线C的渐近线上的点到F点的距离的最小值为4 B. 离心率为 C. 双曲线C上的点到F的距离的最小值为2 D. 过点F的最短弦长为 【答案】AC 【解析】 【分析】将点代入双曲线方程求出，得到双曲线的标准方程，求出渐近线，过焦点作渐近线的垂线，垂线段就是双曲线C的渐近线上的点到F点的距离的最小值，利用点到直线的距离公式求出即可得解；利用离心率的公式求出离心率；当双曲线C上的点为其右顶点时，双曲线C上的点到点F的距离最小；过点F且斜率为零的直线与双曲线的交点为，为过点F的最短弦. 【详解】点在双曲线上， ，， 双曲线C的标准方程为，右焦点为， 渐近线的方程为， 由点F向双曲线C的渐近线作垂线，交渐近线于点， 垂线段的长度即为双曲线C的渐近线上的点到点F的距离的最小值， 由点到直线的距离公式可得，故选项A正确； 因为，所以双曲线C的离心率，故选项B错误； 当双曲线C上的点为其右顶点时，双曲线C上的点到点F的距离最小， 最小值为2，故选项C正确； 过点F且斜率为零的直线与双曲线C的交点为， 此时为过点F的最短弦，且，故选项D错误. 故选：AC. 11. 已知实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的半径为2 B. 的最大值为14 C. 的取值范围为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，首先将圆的一般方程化简为标准方程，即可判断A，对于B，C，分别设和，转化为直线与圆有交点，列式求解，判断B，C，对于D，为圆上的点与原点连线的距离，判断D. 【详解】对于A，圆的一般方程化简为圆的标准方程为，所以圆的半径为2，故A正确； 对于B，设，化为，可知直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离，得，所以的最大值为21，故B错误； 对于C，设，即，直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离，得或，所以的取值范围为，故C正确； 对于D，的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离， 圆心到坐标原点的距离为=，故的最小值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为4、到左顶点的距离为7的椭圆的标准方程是____. 【答案】 【解析】 【分析】根据右焦点到短轴端点的距离为4，可得a值，根据右焦点到左顶点的距离为7，可求得c值，根据a，b，c的关系，可得，根据焦点在x轴，即可得答案. 【详解】因为椭圆的右焦点到短轴端点的距离为4，所以， 因为右焦点到左顶点的距离为7，所以，则， 所以， 因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程是. 故答案为： 13. 圆关于直线对称的圆的标准方程为____. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心关于直线的对称点的坐标后可得． 【详解】将圆整理得，则圆心为，半径. 设圆心关于直线的对称点为， 所以解得， 所以所求对称圆的标准方程为． 故答案为：． 14. 如图，在底面圆的半径为，高为2的圆锥中，，是过底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点.已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于____.  【答案】 【解析】 【分析】先由圆锥已知条件结合中点性质，得E的空间位置与线段长度，再在截面内以E为原点建系，用C点坐标求抛物线方程，得焦点F的位置，最后解三角形求距，算出焦点到P的距离. 【详解】如图1所示，过点作于点， 因为是母线的中点，圆锥的底面圆的半径为，高为2， 所以，，所以. 在平面内建立如图2所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，为抛物线的焦点，， 所以，解得，， 即，，，所以为等边三角形， 所以该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离为 ， ， ， 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，是线段上靠近点A1的四等分点，F1在棱C1D1上，且. （1）求向量的坐标; （2）求在上的投影向量的坐标. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求解即可； （2）利用投影向量公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，， 故． 【小问2详解】 由（1）可知， 所以，． 所以在上的投影向量的坐标为． 16. 已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. （1）若直线与圆相切，求的值; （2）若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 【答案】（1）或； （2）四边形面积的最小值为， 【解析】 【分析】（1）设出圆心坐标，利用半径相等得到方程，求出，进而确定圆心和半径，得到圆的方程； （2）由对称性可知，四边形的面积，且当最小时，切线长最短，由点到直线距离公式得到的最小值，从而求出最小值，从而求出面积的最小值，并根据垂直关系求出直线方程为，联立求出点的坐标. 【小问1详解】 圆心C在直线上，不妨设圆心C的坐标为， 则，解得， 故半径为， 故圆C的方程为； 由已知得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或. 【小问2详解】 当时，直线l的方程为， 如图，圆的半径为，即，其中， 由对称性可知，四边形的面积. 由勾股定理得，故当最小时，切线长最短， 显然当时，，所以， 四边形的面积的最小值， 直线的斜率为，由垂直关系可知此时， 又，故直线方程为，即， 联立与得，即. 17. 已知椭圆过点，其左、右焦点分别为，且，椭圆第一象限上的一点P到两焦点的距离之差为4. （1）求椭圆的标准方程; （2）求的内切圆的标准方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入方程，可得a，b的关系，根据，可得，结合a，b，c的关系，可得的值，即可得答案. （2）根据条件及椭圆的定义，可得，根据勾股定理，可得，根据等面积法，可得内切圆的半径，设内切圆的圆心为I，如图作垂线，根据三角形的性质，可得圆心坐标，即可得答案. 【小问1详解】 因为椭圆过点，且， 所以，解得，则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由椭圆的定义及条件可得：，解得， 又因为，所以，即， 设内切圆的半径为r，则， 所以，解得， 设内切圆的圆心为I，过I分别作 、、的垂线，垂足分别为E、F、G，如图所示， 因为，且， 所以，则圆心， 所以的内切圆的标准方程为 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段上一点，且． （1）求证∶平面． （2）试问∶在线段上是否存在点F，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出平面与平面夹角的余弦值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由条件证得，，从而得平面，从而得，又，从而得证． （2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，由条件求出的值，确定存在点满足题意，分别求出平面与平面的法向量，利用向量法求两个平面的夹角的余弦值． 【小问1详解】 (1)证明∶因为底面，且底面， 所以． 又因为底面为正方形，所以． 又因为，且平面， 所以平面． 因为平面， 所以． 又，且平面， 所以平面． 【小问2详解】 已知底面，且，以A为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，．又，所以， 设，则， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则=， 解得=（负值舍去），所以． 即 ， 又因为，设平面的法向量为， 则，取，可得，， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值． 综上，存在点满足题意 ，且点为的中点 ，此时平面与平面夹角的余弦值为． 19. 已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4. （1）求抛物线C的标准方程. （2）设点是抛物线C上一点，则过点M的切线的斜率.若过焦点F的直线l与抛物线C交于两点，且抛物线C在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点. ①求（用表示）; ②求的取值范围. 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由题可得。从而得到抛物线方程； （2）由题可设直线方程为，与抛物线方程，结合韦达定理可得，， ①直线的方程为，则，利用两点间的距离公式可得; ②由①同理可得，化简即可求解. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点到其准线的距离为4，所以，故抛物线的标准方程为 【小问2详解】 由已知可判断直线l的斜率存在， 设斜率为，因为，所以. 由消去y得，所以，. ①由已知可得直线的斜率为，则直线的方程为. 令，解得，所以，从而. ②由①同理可得 所以， 因为，所以的取值范围， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 (120分钟　150分) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面α的一个法向量为，点在平面α内，则点到平面α的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知p:直线与直线平行，q:，则q是p的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 圆与圆的公切线共有（ ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 4. 在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型（如图），其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为50 cm，短轴长为48 cm，小椭圆的短轴长为16 cm，则小椭圆的长轴长为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 5. 如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线C:的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 7. 过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 4 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设直线l的方程为，其中，若直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则m的取值可以为（ ） A. 0 B. -3 C. 3 D. 2 10. 若双曲线C:的右焦点为F，且点在双曲线C上，则下列关于双曲线C的结论正确的是（ ） A. 双曲线C的渐近线上的点到F点的距离的最小值为4 B. 离心率为 C. 双曲线C上的点到F的距离的最小值为2 D. 过点F的最短弦长为 11. 已知实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的半径为2 B. 的最大值为14 C. 的取值范围为 D. 的最小值为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为4、到左顶点的距离为7的椭圆的标准方程是____. 13. 圆关于直线对称的圆的标准方程为____. 14. 如图，在底面圆的半径为，高为2的圆锥中，，是过底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点.已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于____.  四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，是线段上靠近点A1的四等分点，F1在棱C1D1上，且. （1）求向量的坐标; （2）求在上的投影向量的坐标. 16. 已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. （1）若直线与圆相切，求的值; （2）若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 17. 已知椭圆过点，其左、右焦点分别为，且，椭圆第一象限上的一点P到两焦点的距离之差为4. （1）求椭圆的标准方程; （2）求的内切圆的标准方程. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段上一点，且． （1）求证∶平面． （2）试问∶在线段上是否存在点F，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出平面与平面夹角的余弦值；若不存在，请说明理由． 19. 已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4. （1）求抛物线C的标准方程. （2）设点是抛物线C上一点，则过点M的切线的斜率.若过焦点F的直线l与抛物线C交于两点，且抛物线C在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点. ①求（用表示）; ②求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $