寒假作业(一) 空间向量及其运算-【步步维赢·优练必刷】2025-2026学年高二数学寒假作业

高二数学寒假作业( 温一故一知一新 1.空间向量 (1)定义：在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量 (2)长度：空间向量的 叫做空间 向量的长度或 2.空间向量的线性运算 空 加法 a+b=O月+AB= 间 向 减法 a-b=0A-O心 a 量 当入>0时，λa= 的 AOA-PQ 线 数乘 P 性 运算 当A<0时，Aa=入OA Aa(A>O)O 运 -MN N Xa(X<0)M 算 当入=0时，Aa=0 交换律 a+b= 也 (a+b)+c= 算 结合律 λ(0)= 律 (入+)a=a+a, 分配律 (a+b)= 3.空间向量的夹角 图示 已知两个非零向量a,b,在空间 任取一点O,作OA=a,O第=b, 定义 则 叫做向量a,b的夹角，记 作 通常规定： ≤(a,b》≤ 范围 当(a,b>= 时，a与b垂直， 记作 空间向量及其运算 4.空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a,b,则 叫做a,b的数量积，记作a·b.即a·b= (2)由数量积的定义，可以得到： a⊥b台 ;a·a=aa cos〈a,a)= 5.空间向量基本定理 定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么 对任意一个空间向量p,存在唯一的有序 实数组(x,y,z),使得 其中，把{a,b,c叫做空间的一个 a,b,c都叫做 ,空间任意三个不 共面的向量都可以构成空间的一个 基底。 精典题练 1.已知A,B,C三点不共线，对平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C一定共面的是 () A.OM-OA+OB+OC B.OM=2OA-OB-OC C.OM-0A+708+300 D.OM-30A+30B+300 2.在棱长为a的正方体ABCD-A,B,C1D, 中，向量BA与向量AC所成的角为 A.60° B.150° C.90° D.120° 3.在平行六面体ABCD-A1B,C,D1中，M 是上底面对角线AC与BD的交点，若 A1B,=a,AD,=b,A1A=c,则B,M可表 示为 A.2a+2bc 1 .te C.-ja-zbie 1 D.-2a+2b+c 4.若向量MA,MB,MC的起点M与终点 A,B,C互不重合，且点M,A,B,C中无 三点共线，满足下列关系(O是空间任一 点)，则能使向量M,M店，MC成为空间 一个基底的关系是 ( A.OM-0A+0B+00 B.MA≠MB+Md C.OM-OA+OB+OC D.MA=2 MB-MC 5.空间四边形OABC中，OA=a,OB=b, OC=c,点M在OA上，且OM=2MA,N 为BC中点，则MN为 () 3 B. 2 1 3a+2b+2c 1 1 2 C.2a+2b- Da+号b c 6.平行六面体ABCDA B,CD,中，向量AB, AD,AA两两的夹角均为60°，且AB=1, 1AD1=2,AA1=3,则1AC1等于 A.5 B.6 C.4 D.8 ·2 7.(多选)已知正方体ABCD-A,B1C,D1的 中心为O,则下列结论中正确的有() A.OA+OD与OB,+OC是一对相反 向量 B.OB-O心与OA;-OD,是一对相反 向量 C.OA+OB+O心+OD与OA+OB,+ OC+OD,是一对相反向量 D.OA-OA与O心-OC是一对相反 向量 8.给出下列命题，正确命题的有 ( A.若{a,b,c}可以作为空间的一个基底， d与c共线，d≠0，则{a,b,c}也可以 作为空间的一个基底 B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都 不能构成空间的一个基底 C.A,B,M,N是空间四点，若BA,BM, B不能构成空间的一个基底，则A, B,M,N四点共面 D.已知{a,b,c}是空间的一个基底，若m =a十c,则{a,b,m}也是空间的一个 基底 9.已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC 外一点，若由OM=-2OA+OB+λOC 确定的点M与A,B,C共面，则入= 10.在平行六面体ABCD-A1B1CD1中，M 为AC与BD的交点，若AB,=a,A,D =b,A1A=c,用a,b,c表示D1M,则 DM= 11.如图，在正方体 OABCO'A'B'C'中， A OA a,OC =b, OO'=c. (1)用a,b,c表示向量OB,AC: (2)设G,H分别是侧面BB'CC和 O'AB'C'的中心，用a,b,c表示Gi. 12.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,一1)，c= (3,-2,z),a∥b,b⊥c,求： (1)a,b,c; (2)a十c与b十c夹角的余弦值. 13.如图，已知在直三棱柱 ABCA'B'C'中，AC= BC=AA',∠ACB= 90°，D,E分别为AB, BB'的中点. (1)求证：CE⊥A'D; (2)求异面直线CE与AC'所成角的余 弦值.参考 高二数学寒假作业（一）空间向量及其运算 温故知新 1.(1)大小方向大小模2.O第cA b+aa+(b+c)(au)aλa+b 3.∠A0B(a,b0TaLb 4.(1)ab cos(a,b〉ab cos(a,b)〉 (2)a·b=0|a25.p=0十yb+十c基底 基向量 精典题练 1.D[由oM=号Oi+30i+o元， 3 3 可得3OM=OA+OB+O元OM-OA+OM -OB+OM-OC=0, 即AM=-BM-CM! 所以AM与BM,CM在一个平面上，即点M与 点A,B,C一定共面.] 2.D[如图，BA1=BA+AA1, |BA1|=√2a,AC=AB+AD, |AC1=√2a. ∴.BA·AC=BA·AB+BA·AD+AA1· AB+AA1·AD=-a2. ..cos(BAI,AC)=--a2 √2a·√2a2 .〈BA1,AC)=120°.] 3.D[由于Bi=B店+Bi=店+2(BA 十BC)=-a+号b十c,故选D] 4.C[若MA,MB,MC为空间一组基向量，则 M,A,B,C四点不共面.选预A中，因为行十 专+号-1，所以点M,A,B,C共面；选项B 中，MA≠MB十MC,但可能存在实数入，使 得MA=入MB十HMC,所以点M,A,B,C可 能共面；选项D中，四点M,A,B,C显然共 面；故选C.] 答案 5.B[M=MA+A店+B=OA+O成- oi+20-o成=-号oi+0店+0d 号a+b+2c] 6.A[在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，有 AC=AB+AD+CC=AB+AD+AA1. 所以有AC1|=|AB+AD+AA1I,于是有 AC12=1AB+AD+AA12=1AB12+ 1AD12+1AA112+21AB1·|AD1·cos60 +2AB1·1AA1|·cos60°+21AD11AA1 ·c0s60°=25，所以|AC1|=5.] 7.ACD[:O为正方体的中心，.OA= OC],OD=-OB1,A+OD=-(OB+ OC1),同理可得OB+OC=-(OA1+OD1), *OA+OB+OC+OD=-(OA:+OB+ OC1+OD1), ∴A、C正确；：OB-OC=CB,OA-OD1= D1A1,.OB-OC与OA1-OD1是两个相等 的向量，.B不正确；OA1-OA=AA1,OC OC]=C]C=-AA1, ∴.OA1-OA=-(0C-OC1), ∴.D正确.门 8.ABCD[根据基底的概念，知空间中任何三 个不共面的向量都可作为空间的一个基底· 显然B正确.C中由BA,BM,BN不能构成空 间的一个基底，知BA,BM,BN共面.又BA, BM,BN过相同，点B,知A,B,M,N四点共 面.所以C正确.下面证明AD正确：A假设d 与a,b共面，则存在实数入，4，使得d=a十 b,d与c共线，c≠0，∴.存在实数k,使得d =加.：d≠0k≠0，从而c=产a+b, ∴.c与a,b共面，与条件矛盾，∴.d与a,b不共 面.同理可证D也是正确的.于是ABCD四个 命题都正确，故选ABCD.] 9.2[由M、A、B、C四，点共面知：-2+1十λ=1， 即λ=2.] 10.2a-号b+c[Di=Dd +DM= AA+号(DA+DC)= +2(-AD+AB)= 11 2a-2b+c.] 11.解：(1)OB=OB+BB=OA+OC+Od=a +b+c. AC-AC+CC-AB+A0+AA-OC+ OO-OA=b+c-a. (2)法一：连接OG,OH(图略)， 则GH=G0+Oi=-OG+Oi= -2(08+0d+0B+00)= 2(a+b+c+b)+z(a+b+c+e) =c-b. 法二：连接0C(图略)，易得GHL2C0,则 ci=2cd-2od-00-2e-b). 12解，)因为a/b,将以2子 解得x=2,y=一4， 则a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又b⊥c, 所以b·c=0,即一6十8-之=0， 解得x=2,于是c=(3,一2,2). (2)由(1)得a十c=(5,2,3), b+c=(1,-6,1), 设a十c与b十c夹角为0， 因此c0s0=5-12+3--2 √38·√38 19 13.(1)证明：设CA=a,CB=b,CC=c, 根据题意得|a=|b=|c,且a·b=b·c =c…a=0.C它=b+2c c花.Ai=(b+2c)·(-+260) =-c2+=0,G正1Ai. 即CE⊥A'D, (2)解：AC--a十c,.AC1=2a, ci-9a, AC.CE-(-a+e).(b+ze) -2c2-3a, ∴.cos(AC,CE)= -=V10 5×号a 101 .异面直线CE与AC所成角的余弦值 为细 高二数学寒假作业（二）空间向量的应用 温故知新 1.(1)有序实数组(x,y,)横坐标纵坐标 竖坐标(2)a=xi十yj十k(x,y,之) 精典题练 1.D[由条件知AB=(5,-5,6),.|AB1= √/25+25+36=√86.故选D.] 2.B[取AC中点M,连接ME,MF(图略)， 则证-专店-（多号1小，-号ò =(名2小 所以EF=MF-ME=(-2,-3,-3),故 选B.] 3.B[u·v=(2,-2,2)·(1,2,1)=2×1-2 ×2+2×1=0, u⊥，.平面a⊥平面.] 4.C[{DA,DC,DD1}为单位正交向量，BE= BB:+BE--DC+DD. “E-(o,-1门 5.D[AB=(-2,-6,-2), AC=(-1,6,λ-3)， AB⊥AC,.AB·AC=-2X(-1)-6×6 -2(入-3)=0，解得λ=-14.] 6.B[设正方体棱长为2，则A(2,0,0), E(2,2,1),F(1,0,2), ∴.AE=(0,2,1),AF=(-1,0,2),