寒假作业(五) 直线的交点坐标与距离公式-【步步维赢·优练必刷】2025-2026学年高二数学寒假作业

高二数学寒假作业（五） 一温故知=新 1.两直线的交点坐标 几何元素及关系 代数表示 点A A(a,b) 直线l L:Ax+By+C=0 点A在直线I上 Ax+By+C=0 直线11与2 方程组 A2x+B2y+C2=0 的交点是A 的解是 2.两点间的距离公式 (1)平面上的两点P1(x1y1),P2(2y2) 间的距离公式P,P2= (2)特别地，原点O(0,0)与任意一点 P(x,y)的距离OP= 3.点到直线的距离与两条平行直线间的 距离 两条平行直线 点到直线的距离 间的距离 夹在两条平行 定 点到直线的垂线段 直线间公垂线 义 的长度 段的长度 两条平行直线 Ax+By+C 点P。(xo,yo)到直 =0与l2:Ax+ 线l:Ax十By+C 公式 By+C2=0(C1 =0的距离d= ≠C2)之间的距 离d= ● 直线的交点坐标与距离公式 精典题一练 1.已知点M(0,-1),点N在直线x-y+1 =0上，若直线MN垂直于直线x十2y一 3=0,则N点的坐标是 ( A.(2,3) B.(-2,-1)》 C.(-4,-3) D.(0,1) 2.已知点P(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1 的距离为则点P的坐标为 A.(0,-2) B.(2,4) C.(0,-2)或(2,4) D.(1,1) 3.直线ax十4y-2=0与直线2x-5y+b=0 垂直，垂足为(1，c),则a十b十c=( A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 4.在平面直角坐标系中，点A(1,2),点 B(3,1)到直线1的距离分别为1和2，则 符合条件的直线条数为 ( A.3 B.2 C.4 D.1 5.已知点A(1,1),B(3,5)到经过点(2,1) 的直线1的距离相等，则1的方程为 A.2x-y-3=0 B.x=2 C.2x-y-3=0或x=2 D.以上都不对 14· 6.若三条直线2x十3y十8=0，x-y-1=0, x十ky=0相交于一点，则k的值为() A.-2 B一司 C.2 D.7 7.（多选)两条平行线分别经过点A(6,2), B(一3，一1)，下列可能是这两条平行线 间的距离的是 ( A.4 B.7 C.9 D.11 8.(多选)下列过(2,2)的直线1中，到两点 A(0,一2)，B(8,2)的距离相等的是 ( A.x+y-4=0 B.x=2 C.2x+y-6=0 D.x-2y+2=0 9.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的 中点是P(2,一1)，则AB|等于 10.若直线1：y=kx-√3与直线11：2x+ 3y一6=0的交点位于第一象限，则直线 L的倾斜角α的取值范围是 11.求过直线2x一y+2=0和x+y+1=0 的交点，且斜率为3的直线方程， ·15 2.分别求经过两条直线2x十y一3=0和 x一y=0的交点，且符合下列条件的直线 方程. (1)平行于直线11：4x-2y一7=0； (2)垂直于直线l2:3x-2y+4=0. 13.已知一束光线经过直线l:3x-y十7=0 和l,:2x十y+3=0的交点M,且射到x 轴上一点N(1,0)后被x轴反射. (1)求点M关于x轴的对称点P的 坐标； ·16 (2)求反射光线所在的直线U,的方程； (3)求与直线13的距离为√10的直线 方程.BC的中点坐标为N(生，生)】 又AC中点在y轴上且BC中点在x轴上， .x=1,y=-3,故C(1,-3) (2)由1)可知M0,-）N(号o, 由藏距式方程符后十士=1， 1 2 2 整理得MN的方程为2x-10y-5=0. 13.解：(1)因为四边形ABCD为平行四边形， 所以AB∥CD, 设直线CD的方程为2x一y十m=0, 将点C(2,0)代入上式得m=一4，所以直线 CD的方程为2x-y-4=0. (2)设直线CE的方程为x十2y十n=0, 将点C(2,0)代入上式得n=-2. 所以直线CE的方程为x十2y一2=0. 高二数学寒假作业（五）直线的交点坐 标与距离公式 温故知新 x-a; 1.Aa+Bb+C=0 y=b 2.(1√（x2-x1)2+(2-y1)2 (2)Wπ2+y2 3.Aro+Byo+CI C1-C2 √WA+B2 VA2+B2 精典题练 1.A[由题意知，直线MN过点M(0,一1)且与 直线x十2y一3=0垂直，其方程为2x一y一1 =0.直线MN与直线x-y十1=0的交点为 N,联立方程组 2xy0解得二即 x-y+1=0, y=3, N点坐标为(2,3).] 2.C[直线l:y=2x-1可化为2x-y-1=0, 依题高得21+1+)-1-停，些理 W22+(-1)2 得|t=1,所以t=1或一1.当t=1时，点P的 坐标为(2,4)；当t=一1时，点P的坐标为 (0,-2),故选C.] 3.B[.直线a.x+4y-2=0与直线2x-5y十 b=0垂直， -× =-1,a=10, ∴.直线a.x十4y-2=0方程即为5x十2y-1 =0. 将点(1，c)的坐标代入上式可得5+2c-1=0, 解得c=一2.将点（1，一2)的坐标代入方程 2.x-5y+b=0得2-5×(-2)+b=0, 解得b=-12.∴.a十b+c=10-12-2= -4.] 4.B[由点A(1,2),点 B(3,1)可得AB= √/4+1=√5<1+2， 所以不存在与线段 AB相交的符合题意 的直线，故存在两条 符合题意的直线，这两条直线在线段AB的 两侧，如图，故选B.] 5.C[当A,B都在l的同侧时，设l的方程为 y一1=k(x-2),此时，AB∥l,所以k=kAB= 3=2,U的方程为2x-y-3=0.当A,B 在L的两侧时，A,B到x=2的距离相等， 因此，l的方程为x=2,故选C.] 6.B[易求直线2x十3y十8=0与x-y-1=0 的交点坐标为（一1，一2），代入x十ky=0, 得】 7.ABC[当两直线的斜率不存在时，两直线方 程分别为x=6,x=一3，则d=9. 当两直线的斜率存在时，设两直线方程分别为 y-2=k(x-6)与y+1=k(x+3), 即kx-y+2-6k=0,kx-y+3k-1=0, :d=12-6k-3k+1-19k-3 √/k2+1 √Wk2+1 由此可得(81-d2)k2-54k+9-d2=0. 当81-d2=0,即d=9时，k=-导 ∴.d=9成立. 当d≠9时，由k∈R,可得△=(-54)2-4(81 -d2)(9-d2)≥0， 即d4-90d2≤0， ∴.0<d≤3w10且d≠9. 综上所述，d∈(0,3√10].故应选ABC.] 8.AD[显然斜率不存在时x=2不合适，设L: y-2=k(x一2)即kx-y十2-2k=0,由条件可 知42-6，解得k=专或-1. √Wk2+1√k2+1 当=2时，l/AB,方程为x一2叶2=0，当6 一1时，l过AB中点，方程为x十y-4=0.] 6 9.2√5[设A(x,0),B(0,y),因为AB的中点 为P(2,-1),所以受=2，受=-1， 所以x=4,y=-2,即A(4,0),B(0,-2), 所以|AB=√42+22=2√5.] 10.30°<a<90°[如图，直线1：2x十3y-6= 0过A(3,0),B(0,2) 3 而l过定点C(0,一√3)， (k>kAC 由图象可知 1k>0, 又kAC= 公 3 3 .l的倾斜角a的取值范围是30°<α<90°.] 11.解：法一：解方程组21y叶2=0 得1， x+y+1=0,y=0, 所以两条直线的交点坐标为（一1,0）. 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程 为y-0=3[x-(-1)],即3x-y+3=0. 法二：设所求直线为，因为过已知两条直 线的交点，所以直线l的方程可设为2x一y 十2十入(x十y十1)=0（其中入为常数），即（入 +2)x+(λ-1)y+λ+2=0①， 又直线1的斜率为3，所以一2-3，解得入 λ-1 =},将A=子代入①，整理得3x一y十3 =0. 12.解：解方程组 12x十y3=0,得交 x-y=0, 点P(1,1), (1)若直线与1平行， k1=2,.斜率k=2, .所求直线方程为y-1=2(x-1), 即2x-y-1=0. (2)若直线与l2垂直， 3 :k2=2 斜率k三一=一3， “所求直线的方程为y一1=号（红1》，即 2.x十3y-5=0. ·4 13.解：(1)由 3x-y+7=0, 2x+y+3=0, 降x2M2,1D y=1, .点M关于x轴的对称点P的坐标为 (-2,-1). (2)易知3经过点P与点N, 6的方程为。=2号 即x-3y-1=0. (3)设与4平行的直线为y=3x十b. 根据两平行线之间的距离公式， 1 6+ 3 得 =√10， 解得b=3或b=-1」 3 ∴.与直线3的距离为W√10的直线方程为y= 1x号或y=3x+3, 21 3x-3 即x-3y-11=0或x-3y十9=0. 高二数学寒假作业（六）圆的方程 温故知新 1.定点定长圆心半径(2)圆心 半径 (3)(x-a)2+(y-b)2=r2原点O 3.D2+E2-4F>0 4.(号，-) 名VD+E-4 精典题练 1.D[圆心坐标为(1,2)，半径r= √(5-1)2+(5-2)2=5，故所求圆的方程为 (x-1)2+(y-2)2=25.] 2.B[在直角坐标系中画出 c2.3) △ABC(如图)，利用两点间 的距离公式可得|AB= |AC=|BC引=2（也可以借 助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三 角形.设BC的中点为D,点E为外心，同时也 是重心，所以AE=号AD-2 3 从而OE=OA+1AE平=√1+专 I,故选B.] 3