寒假作业(十一) 数列的概念-【步步维赢·优练必刷】2025-2026学年高二数学寒假作业

高二数学寒假作业( 一温一故知一新 1.数列的概念 (1)定义：按照确定的 排列的一 列数称为数列· (2)项：数列中的 叫做这个数列 的项.数列的第一个位置上的数叫做这 个数列的第1项，常用符号 表 示，第二个位置上的数叫做这个数列的 第2项，用 表示…第n个位置 上的数叫做这个数列的第n项，用 表示.其中第1项也叫做 2.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与它的 之间的对应关系可以用 来表 示，那么这个 叫做这个数列的 通项公式 3.数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的 关系可以用 来表示，那么这个 式子叫做这个数列的递推公式. 4.数列的前n项和公式 (1)如果数列{am}的前n项和Sn与它的 序号n之间的对应关系可以用 来表示，那么 叫做这个数列的 前n项和公式； (2)显然S1=a1,而Sn-1= (n≥2)，于是我们有 S1,n=1, ,n≥2. ·3 十一) 数列的概念 精=典题练 1.不能作为数列2,0,2,0，…的通项公式的 是 ( A.an=1+(-1)n+1 B.am=1-(-1)” C.am=1+(-1)” D.am=1一cosnπ 2.已知数列{an}的首项a1=1,且am+1 2 a +1,则这个数列的第4项是 号 11 c器 D.6 3.已知数列1，√5，√5，√7,3，√11，…， √2n一1，…，则/21是这个数列的( A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第21项 4.已知数列{an}的前n项和Sm满足：Sn十 Sm=Sn+m,且a1=1,那么a1o=( A.1 B.9 C.10 D.55 5.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大 衍之数五十”的推论，主要用于解释中国 传统文化中的太极衍生原理.该数列从 第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32， 40,50,…,则该数列第18项为() A.200 B.162 C.144 D.128 6.已知数列{an},若a1=2,an+1十an=2n十1， 则a2020一 ( A.2017 B.2018 C.2019 D.2020 7.（多选)有下面四个结论，不正确的是 ( A.数列可以看作一个定义在正整数集 (或它的有限子集)上的函数 B.数列的项数一定是无限的 C.数列的通项公式的形式是唯一的 D.数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存 在通项公式 8.(多选)已知函数f(x)= 2x-1,<<1,若数列{a.}满足 x-1,x≥1， 7 a=3,a+1=f(a,),n∈N“,则下列说 法正确的是 ( A.该数列是周期数列且周期为3 B.该数列不是周期数列 3 C.a2020十a2021= 7 D.a2020十a2021= 6 9.已知数列{an}满足a1=21,an+1=an十 2n,则a4 数列只}的最小值 为 0,已知数列a中，4=a1二。 (n≥2)，则a22o的值是 11.已知数列/9n-9n+2 9n2-1 (1)求这个数列的第10项； ·33 (2)器是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间 (0,1)内. 12.已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n 13.已知数列{a}中，a,=1十a十2(m-1 1 +4. (1)数列中有多少项是负数？ (n∈N",a∈R且a≠0). (1)若a=一7，求数列{an}中的最大项 和最小项的值； (2)n为何值时，an有最小值？并求出最 小值. (2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成 立，求a的取值范围. ·34·由A(2,2√2)，F(1,0)可得直线AF的方程为 y=2V2(x-1). 由/y=2v2(x-1D, y=4x, 得2x2-5x十2=0， 解得=2或一号 从而（分）： 又G(一1,0)，故直线GA的方程为2√2x-3y +2√2=0， 从而r=2E+2②_42 w/8+9 √17 又直线GB的方程为2√2x十3y十2√2=0， 所以点F到直线GB的距离d=2VE+2② √8+9 -42 r 17 这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆， 必与直线GB相切. 高二数学寒假作业（十一）数列的概念 温故知新 1.(1)顺序(2)每一个数aa2a,首项 2.序号n一个式子式子 3.(1)一个式子4.(1)一个式子这个式子 (2)a1+a2+…+am-1Sm-Sm-1 精典题练 1.C[经过验证知A、B、D均可以作为数列的 通项公式，只有C不符合.] 2.B[由a+1=2+1,a=1得，2=2+1=3， an a =名+1=号4，-忌+1=号做选这] a2 3.B[观察可知该数列的通项公式为am= √21（事实上，根号内的数成等差数列，首 项为1，公差为2)，令21=2n-1,解得n=11. 故选B.] 4.A[a10=S10-S9g.由条件知S1十S9=S10, ∴.a10=(S1+Sg)-Sg=S1=a1=1.故 选A.] 5.B[偶数项分别为2,8,18,32,50， 即2×1,2×4,2×9,2×16,2×25， 即偶数项对应的通项公式为a2m=22,则数 列的第18项为第9个偶数，即a18=a2×9=2 ×92=2×81=162.故选B.] ·5 6.C[.am+1+am=2n+1,∴.am+1-(n+1)= -(an-n), 即数列{am一n}是以1为首项，一1为公比的 等比数列， .an-n=（-1)n-1,∴.an=n十(-1)”-1， ∴.a2020=2020-1=2019.] 7.BCD[结合数列的定义与函数的概念可知， A正确；有穷数列的项数就是有限的，B错 误；数列的通项公式的形式不一定唯一，C错 误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…存在通 项公式，D错误.故选BCD.] 8.BC[a=f(3)=-1=含 =∫（告）=专-1=3： @=()=2×-1- 3: 6=f()=2×号-1= 1 ∴.从a3开始数列{am}是以3为周期的周期数 列，但数列{an}并不是周期数列，A错误，B正 确.a2020十a2021=a4十a5= 子，C正确，D蜡 误.故选BC.] 9.33 41 [因为an+1=am十2n, 所以am+1一am=21, 从而am一am-1=2(n-1)(n≥2). 所以a4-ag=2X3=6,a3一a2=2×2=4, a2-a1=2X1=2,a1=21, ∴.a4=6+4+2+21=33. an-a1=(am-an-1）+(an-1-an-2)十…十 (a3-a2)+(a2-a1)=2(n-1)+2(n-2)+ …+2×2+2×1=2×[1+2+…+(n-1)] =2×0n)10m=n2-n 2 而a1=21,所以am=n2-n十21， 则8=2-n+21=n+21-1. 17 n 因为f(n)=n+21-1在(0,4]递减， 在[5，十∞)递增， 当1=4时，0=33=8.25， 'n 4 6 当m=5时，4=1=8.2， ’n5 所以当=5时，取得最小值，最小值为] n 10.号[数列1a}中a=子 1 a,=1-1(m≥2). an-1 可得ag=-3,as=号a1=号所以教列的 周期为3age0=as3x3+1=a1=子】 11.解：设f(n)=9m2-9n十2 9n2-1 =(3n-1)(3n-2)_3m-2 (3m-1)(3n+1)3n+1 ①)令n=10,得第10项a10=f(10)-=8, 2)◆0号-9开9n-30n 此方程无正整教解，所以器不是该载列中 的项. 3n-2_3n+1-3 (3)证明：am=3n+13n十1 3 =1-3n十1' 又n∈N*, 07<1. .0<an<1. 即数列中的各项都在区间(0,1)内. 12.解：(1)由n2-5n十4<0，解得1<n<4. ,n∈N*, ∴.n=2,3. 数列中有两项是负数. (2)法-：.am=n2-5n+4 一(。一}了-子可多对称轴方程方x 5 =2.5. 又，n∈N*,故n=2或3时，am有最小值， 且a2=g,其最小值为22-5×2十4=-2. 法二：设第n项最小， 由an≤an+1, an≤an-1, (n2-5n+4≤(n+1)2-5(n+1)+4, 得2-5m+4长(m-1)2-5(n-1D+4. 解不等式组，得2≤n≤3， ·5 ∴.n=2或3时am有最小值且a2=a3, .最小值为22-5×2+4=-2. 13.解：(1).a=1+ Ta+2(n-1)n∈N*,a∈R,且 1 a≠0)， 1 又a=-7a,=1+2n-gn∈N*), 结合西数了)=1十2g的单调性，可知 1>a>a2>ag>a4,a5>a6>a7>…>am>1(n ∈N*). .数列{am}中的最大项为a5=2,最小项为 a4=0. 1 2 (2)am=1+ 1 a+2(n-1) =1+ n 2-a 2 已知对任意的n∈N,都有an≤a6成立，结 1 2 合函数f(x)=1十 2-a 的单调性， 2 可知5<222<6即-10<a<-8 即a的取值范围是（一10，一8）. 高二数学寒假作业（十二）等差数列 温故知新 1.同一个公差d 2.an-am-1a1+(n-1)d n(a1十an） 3. 2 na+un Dd 2 精典题练 1.D[由a2·a4=12,a2十a4=8,且d<0,解 得a2=6,a4=2,所以d=4,2-2,5=-2, 2 2 则an=2+(n-2)d=6-2(n-2)=-2n+ 10.故选D.] 2C[a+a=4. a3+a5=10, /a+2d=2,ja=-4, a1+3d=5,d=3, ∴S10=10a1+10,X9×d=-40+135=95.] 2 3.B[由题意可得{am}为等差数列，a1=5, S0=30×5+30X29d=390, 2 解得d=16 9